Equação a resolver: $m(t+30) = 3 \times m(t)$. Recorrendo à calculadora gráfica (interseção das duas funções no domínio dado), obtemos:
Procuramos os intervalos onde o gráfico está abaixo ou sobre o eixo Ox ($f(x) \le 0$). Pelo gráfico, a função é zero em $x = -1$.
Em $]1, +\infty[$, a função é $f(x) = \frac{2x-3}{1-x}$. Condição: $\frac{2x-3}{1-x} < \frac{1}{x-2}$
O numerador tem $\Delta < 0$, logo é sempre positivo. O sinal da fração depende apenas do denominador. Neste domínio, para ser negativo, $x-2$ deve ser positivo, logo $x>2$.
A função base $f(x) = \frac{1}{x+1}$ tem assíntotas em $x = -1$ e $y = 0$. $g(x) = f(x+a)+k$ sofre translações.
5.1.1. A equação $f(x) = k$ é impossível quando $k$ coincide com a assíntota horizontal: $k = -1$.
5.1.2. O limite quando $x \to +\infty$ é o valor da assíntota horizontal: $-1$.
Resolução 5.2.1.A função $f$ tem assíntota horizontal em $y=1$. A função $g(x) = f(x) + k$ tem de ter a sua assíntota horizontal sobre o eixo Ox ($y=0$) para não ter zeros.
7.1.1. Contradomínio $D'_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
7.1.2. Pelo gráfico, $f(x) \le 0$ para $x \in ]-\infty, -1] \cup ]1, +\infty[$.
Resolução 7.2.Modelo: $f(x) = a + \frac{b}{x-c}$. Assíntotas dão $c=1$ e $a=-2$. Passa em $(-1,0)$:
Assíntotas de $g(x) = \frac{x-1}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$: $x=-1$ e $y=1$. Ponto $P(-1, 1)$. Se $P \in h$, então $h(-1) = 1$.
Variação total no ano ($t=0$ para $t=1$):
Variação = Nascimentos - Mortes $\implies 2500 = N - 500 \implies N = 3000$.
Resolução 10.2.Calculamos os limites quando $t \to +\infty$ (assíntotas horizontais):
Zero do numerador $x=3$. Zero do denominador $x=0$. Quadro de sinais resulta em:
Encontrar os vértices: $A$ está no eixo Oy ($x=0 \implies y=2$). $B$ está no eixo Ox ($y=0 \implies x=-1$). $C$ é interseção de assíntotas $x=-2, y=4 \implies C(-2,4)$. $D$ é a interseção de $y=4$ com Oy $\implies D(0,4)$.
Área do Trapézio Retângulo [OADC] menos a área do Triângulo [OAB] permite obter a área pretendida usando decomposição geométrica.
Pelas assíntotas $y=3$ e $x=2$, temos $a=3$ e $c=2$. Passa pela origem $(0,0)$:
A área de um retângulo é comprimento $\times$ largura. Sendo $x$ o comprimento e $y$ a largura: $x \cdot y = 5 \implies y = \frac{5}{x}$.
Perímetro $= 2x + 2y = 2x + 2\left(\frac{5}{x}\right) = 2x + \frac{10}{x}$
A função $f(x)=a+\frac{1}{x-b}$ tem assíntota vertical em $x=b$ e horizontal em $y=a$. O gráfico indica que a assíntota vertical está à direita de Oy ($b > 0$) e a horizontal está abaixo de Ox ($a < 0$).
Volume $= \text{Área da Base} \times \text{Altura} \implies 64 = x^2 \cdot y \implies y = \frac{64}{x^2}$. Esta é a expressão de uma curva decrescente para valores positivos de $x$, típica de proporcionalidade inversa ao quadrado.
A partir do formato da função, identificamos facilmente os valores excluídos do domínio e as translações.
Dividindo os polinómios: $\frac{x-2}{x-3} = \frac{x-3+1}{x-3} = 1 + \frac{1}{x-3}$. Daqui retiramos a assíntota horizontal $y=1$ e vertical $x=3$.
O paciente bebeu 2 decilitros. Sendo 5g por decilitro, o peso total de álcool é $2 \times 5 = 10\text{g}$. O nível de álcool é o quociente entre este peso e $70\%$ do peso corporal $x$.
Volume $= 2 \text{ litros} = 2 \text{ dm}^3$. Assim, $x^2 \cdot y = 2 \implies y = \frac{2}{x^2}$. A área total é composta por 2 bases quadradas e 4 faces laterais: