Exercícios de Exame — Derivada

Seja \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\) uma função tal que \(f'(x)<0\), para qualquer número real positivo \(x\). Considere, num referencial o.n. \(xOy\),

• um ponto \(P\), de abcissa \(a\), pertencente ao gráfico de \(f\);
• a reta \(r\), tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(P\);
• o ponto \(Q\), ponto de interseção da reta \(r\) com o eixo \(Ox\).

Sabe-se que \(\overline{OP}=\overline{PQ}\). Determine o valor de \(f'(a)+\dfrac{f(a)}{a}\).

Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial \(g\), de grau 3.

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), que verifica \(f(x)=g(x-3)\). Em qual das opções pode estar representada parte do gráfico de \(f'\), primeira derivada de \(f\)?

Na figura está representada parte do gráfico de uma função \(h'\), primeira derivada de \(h\).

Em qual das opções pode estar representada parte do gráfico da função \(h\)?

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em \(\mathbb{R}\). Sabe-se que \(f(1)=f'(1)=1\) e \(g(x)=(2x-1)\times f(x)\), para todo o \(x\). Qual é a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa 1?

Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial \(f\), de grau 3 e domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que \(-2\), \(2\) e \(5\) são zeros de \(f\) e que \(f'\) é a derivada de \(f\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Seja \(f\) uma função real de variável real. Sabe-se que \(f'(2)=9\) e que a reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto de abcissa 2, intersecta o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada \(-15\). Qual é o valor de \(f(2)\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-11\). Estude, utilizando métodos exclusivamente analíticos, a função \(f\) quanto à monotonia e aos extremos relativos.

Na figura está representada parte do gráfico da função derivada, \(f'\), de uma função \(f\).

Em qual das figuras pode estar representada parte do gráfico da função \(f\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(f(x)=3+\dfrac{6}{x}\), e a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-3x^{2}+8x-3\). Resolva usando métodos analíticos.

9.1. Seja \(P\) o ponto do gráfico de \(f\) de abcissa 2 e \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) em \(P\). Determine a equação reduzida de \(r\).

9.2. Na figura está parte do gráfico de \(g\). Os pontos \(A\) e \(B\) pertencem ao gráfico de \(g\), com ordenadas iguais, respetivamente, ao máximo e ao mínimo relativos. \(C\) e \(D\) pertencem ao eixo \(Ox\); a abcissa de \(C\) é a de \(B\) e a de \(D\) é a de \(A\). Determine a área do triângulo \([OAC]\).

Na figura está parte do gráfico de uma função \(f'\), derivada de \(f\) (ambas de domínio \(\mathbb{R}\)), em que o eixo \(Ox\) é assíntota do gráfico de \(f'\).

Seja \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=f(x)+x\). Qual das figuras pode representar parte do gráfico de \(g'\), derivada de \(g\)?

Seja \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{2}+1\), e \(g\) a função cujo gráfico é a reta representada na figura.

Seja \(h=f+g\) e \(h'\) a sua derivada, cujo gráfico é uma reta de declive \(m\) e ordenada na origem \(b\). Qual das afirmações é verdadeira?

O gráfico de uma função \(f\) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo cujo vértice é o ponto \((3,2)\). Seja \(f'\) a derivada de \(f\). Qual dos valores seguintes é negativo?

Num referencial o.n. \(Oxyz\), os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) pertencem a eixos coordenados e \(P\) pertence ao plano \(ABC\), de equação \(x+2y+3z=9\). O ponto \(P\) desloca-se sendo sempre vértice de um prisma quadrangular regular com os restantes vértices nos planos coordenados.

Sendo \(a\) a abcissa de \(P\) (\(a\in\,]0,3[\)), o volume do prisma é \(V(a)=3a^{2}-a^{3}\). Estude \(V\) quanto à monotonia, sem calculadora, e conclua qual o valor de \(a\) para o qual o volume é máximo.

A figura representa parte do gráfico de uma função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\).

Em qual das figuras pode estar parte da representação gráfica de \(f'\), derivada de \(f\)?

Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função \(h\) e a reta \(t\), tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa 1. A reta \(t\) interseta \(Ox\) em \(-2\) e \(Oy\) em \(1\).

Indique o valor de \(h'(1)\).

Na figura está uma pirâmide quadrangular em referencial \(Oxyz\). O vértice \(E\) desloca-se no semieixo positivo \(Oz\) (entre a origem e a cota 6). O volume, em função de \(x\) (\(x\in\,]0,6[\)), é \(V(x)=8x^{2}-\dfrac{4}{3}x^{3}\). Estude \(V\) quanto à monotonia, conclua o valor de \(x\) que maximiza o volume e determine esse volume máximo.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=1-x^{2}\). Seja \(t\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(\dfrac{1}{2}\). Qual é a inclinação da reta \(t\)?

A velocidade de rotação do eixo de um motor, nos primeiros oito minutos, é dada por \(v(t)=t^{3}-15t^{2}+63t\) (\(t\) em minutos, \(v\) em centenas de rotações por minuto). Sem recorrer à calculadora (a não ser para cálculos numéricos), determine a velocidade máxima atingida nos primeiros oito minutos.

De uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), sabe-se que: tem derivada finita em todos os pontos; \(f(0)=-1\); é estritamente crescente em \(\mathbb{R}^{-}\) e estritamente decrescente em \(\mathbb{R}^{+}\). Seja \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=[f(x)]^{2}\). Prove que 1 é o mínimo da função \(g\).

Seja \(f\) a função definida, em \(\mathbb{R}\), por

Sem recorrer à calculadora, estude a função \(f\) quanto à monotonia em \(\mathbb{R}^{+}\).

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), com derivada finita em todos os pontos. Na figura está parte do gráfico de \(f'\), derivada de \(f\). Sabe-se ainda que \(f(0)=2\).

Qual pode ser o valor de \(f(3)\)?

Seja \(g\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), cuja expressão é um polinómio do quarto grau com uma raiz dupla \(x_0\). Prove que o eixo \(Ox\) é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(x_0\).
Sugestão: \(g(x)=(x-x_0)^{2}(ax^{2}+bx+c)\).

Prove que, para qualquer função quadrática, existe um e um só ponto do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Uma embalagem tem a forma de um prisma quadrangular regular. A sua área total é \(A(x)=\dfrac{2x^{3}+8}{x}\), sendo \(x\) o comprimento da aresta da base, em dm. Mostre, por métodos analíticos, que existe um valor de \(x\) para o qual a área é mínima e determine-o.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), com derivada finita em todos os pontos e crescente. Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais e \(r\), \(s\) as retas tangentes ao gráfico de \(f\) nos pontos de abcissas \(a\) e \(b\). Prove que \(r\) e \(s\) não podem ser perpendiculares.

Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\) cuja derivada verifica \(f'(x)=x-2\), para todo o \(x\in\mathbb{R}\). Qual das afirmações é verdadeira?

A reta de equação \(y=x\) é tangente ao gráfico de uma certa função \(f\), no ponto de abcissa 0. Qual das seguintes expressões pode definir \(f\)?

Na figura está parte da representação gráfica de uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Qual das figuras poderá ser parte da representação gráfica de \(g'\), derivada de \(g\)?

Na figura estão parte do gráfico de \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\sqrt{3}\,x^{2}-1\), e uma reta \(r\), tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(a\). A inclinação de \(r\) é \(60^\circ\). Indique o valor de \(a\).

Na figura está a representação gráfica de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Em qual das opções pode estar a representação gráfica de \(h'\), derivada de \(h\)?

Na figura estão a representação gráfica de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), e uma reta \(t\), tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa \(a\). A reta \(t\) passa pela origem e pelo ponto \((6,3)\). Qual é o valor de \(h'(a)\)?