Resoluções - Derivada - Matemática para Todos

1

Declive da tangente

Como $\overline{OP}=\overline{PQ}$, o triângulo $[OPQ]$ é isósceles e $\overline{OQ}=2a$.

P=(a,f(a)),\quad Q=(2a,0)$$ $$m_{PQ}=\frac{0-f(a)}{2a-a}=-\frac{f(a)}{a}

A reta $r$ é tangente ao gráfico de $f$ em $P$, logo o seu declive é $f'(a)$.

f'(a)=-\frac{f(a)}{a}$$ $$f'(a)+\frac{f(a)}{a}=0

Resposta: $0$

2

Translação horizontal

Pelo gráfico de $g$, a função tem um máximo em $a$ e um mínimo em $b$, com $-2\lt a\lt0$ e $0\lt b\lt2$.

$x$	$-\infty$	$a$	$b$	$+\infty$
$g'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0\quad+$

Como $f(x)=g(x-3)$, o gráfico de $f$ resulta de uma translação do gráfico de $g$ três unidades para a direita. Assim, os extremos de $f$ têm abcissas $a+3$ e $b+3$.

1\lt a+3\lt 3,\qquad 3\lt b+3\lt 5

Resposta: opção A

3

Sinal de $h'$ e monotonia de $h$

Pela análise do gráfico de $h'$, temos $h'(x)\gt0$ para $x\lt0$, $h'(0)=0$ e $h'(x)\lt0$ para $x\gt0$.

$x$	$-\infty$	$0$	$+\infty$
$h'(x)$	$+$	$0$	$-$
$h$	crescente, máximo, decrescente

Resposta: opção D

4

Regra do produto

Como $g(x)=(2x-1)f(x)$, temos:

$$g'(x)=2f(x)+(2x-1)f'(x)$$ $$g'(1)=2f(1)+(2-1)f'(1)=2+1=3$$ $$g(1)=(2-1)f(1)=1$$

A reta tangente tem declive $3$ e passa por $(1,1)$.

y=3x+b,\quad 1=3+b\Rightarrow b=-2$$ $$y=3x-2

Resposta: opção A

5

Sinal da derivada pelo gráfico

Observando o gráfico de $f$:

em $x=-3$, a função é crescente, logo $f'(-3)\gt0$;
em $x=0$, a função é decrescente, logo $f'(0)\lt0$;
em $x=6$, a função é crescente, logo $f'(6)\gt0$.

f'(0)\times f'(6)\lt0

Resposta: opção D

6

Equação da tangente

O valor $f'(2)=9$ é o declive da tangente no ponto de abcissa 2. Como a reta intersecta $Oy$ em $-15$, a reta é:

$$y=9x-15$$ $$f(2)=9(2)-15=3$$

Resposta: opção C

7

Estudo da monotonia

$$f(x)=x^3+3x^2-9x-11$$ $$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$$

$x$	$-\infty$	$-3$	$1$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0\quad+$

$f$ é crescente em $]-\infty,-3]$ e em $[1,+\infty[$;
$f$ é decrescente em $[-3,1]$;
máximo relativo: $f(-3)=16$;
mínimo relativo: $f(1)=-16$.

Conclusão: máximo relativo $16$ para $x=-3$ e mínimo relativo $-16$ para $x=1$.

8

Sinal de $f'$

Pelo gráfico da derivada, $f$ cresce até $a$, decresce entre $a$ e $b$, e volta a crescer depois de $b$.

$x$	$a$	$b$
$f'(x)$	$+\;0$	$-\;0\;+$
$f$	máximo	mínimo

Resposta: opção A

9

Resolução 9.1.

f(x)=3+\frac{6}{x}\Rightarrow f'(x)=-\frac{6}{x^2}$$ $$f'(2)=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2},\qquad f(2)=3+\frac{6}{2}=6

A tangente passa por $(2,6)$ e tem declive $-\frac{3}{2}$.

y=-\frac{3}{2}x+b,\quad 6=-3+b\Rightarrow b=9$$ $$y=-\frac{3}{2}x+9

Resolução 9.2.

g(x)=\frac13x^3-3x^2+8x-3$$ $$g'(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)

O máximo ocorre em $x=2$ e o mínimo em $x=4$.

g(2)=\frac{8}{3}-12+16-3=\frac{11}{3}$$ $$A_{[OAC]}=\frac{4\cdot\frac{11}{3}}{2}=\frac{22}{3}

Resposta: $y=-\frac32x+9$ e área $\frac{22}{3}$

10

Derivada de $g$

g(x)=f(x)+x\Rightarrow g'(x)=f'(x)+1

O gráfico de $g'$ obtém-se deslocando verticalmente o gráfico de $f'$ uma unidade para cima.

Resposta: opção D

11

Soma de funções

Como o gráfico de $g$ é uma reta de declive negativo, escrevemos $g(x)=ax+k$, com $a\lt0$.

$$h(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+g(x)$$ $$h'(x)=2x+a$$

Logo, o gráfico de $h'$ é uma reta de declive $m=2\gt0$ e ordenada na origem $b=a\lt0$.

Resposta: opção B

12

Parábola com concavidade para baixo

O vértice tem abcissa 3. Assim, $f$ cresce antes de $3$ e decresce depois de $3$.

f'(1)\gt0,\quad f'(2)\gt0,\quad f'(3)=0,\quad f'(4)\lt0

Resposta: opção D

13

Volume máximo

$$V(a)=3a^2-a^3$$ $$V'(a)=6a-3a^2=3a(2-a)$$

$a$	$0$	$2$	$3$
$V'(a)$	n.d.	$+\;0$	$-\;$ n.d.

No domínio $a\in]0,3[$, $V$ cresce em $]0,2]$ e decresce em $[2,3[$.

O volume é máximo para $a=2$.

14

Leitura gráfica

Para $x\lt0$, o gráfico de $f$ é uma reta crescente, logo $f'$ é constante e positiva. Em $x=0$, as semitangentes têm declives diferentes, pelo que $f'$ não está definida nesse ponto.

À direita de $0$, o gráfico é inicialmente decrescente e depois crescente, o que determina a variação do sinal de $f'$.

Resposta: opção C

15

Declive da tangente

A reta $t$ passa por $(-2,0)$ e $(0,1)$.

h'(1)=m_t=\frac{1-0}{0-(-2)}=\frac12

Resposta: opção C

16

Volume máximo da pirâmide

V(x)=8x^2-\frac43x^3$$ $$V'(x)=16x-4x^2=4x(4-x)

No domínio $x\in]0,6[$, a derivada é positiva em $]0,4[$ e negativa em $]4,6[$.

V(4)=8(4)^2-\frac43(4)^3=128-\frac{256}{3}=\frac{128}{3}

O volume máximo ocorre para $x=4$ e vale $\frac{128}{3}$.

17

Inclinação da tangente

f(x)=1-x^2\Rightarrow f'(x)=-2x$$ $$m_t=f'\left(\frac12\right)=-1

Uma reta com declive $-1$ tem inclinação $135^\circ$.

Resposta: opção C

18

Velocidade máxima

$$v(t)=t^3-15t^2+63t$$ $$v'(t)=3t^2-30t+63=3(t-3)(t-7)$$

No intervalo $[0,8]$, $v$ cresce até $t=3$, decresce entre $3$ e $7$, e volta a crescer depois de $7$.

$$v(3)=27-135+189=81$$

Velocidade máxima: $81$ centenas de rotações por minuto.

19

Mínimo de $g$

A função $f$ cresce em $\mathbb{R}^-$ e decresce em $\mathbb{R}^+$, tendo máximo em $x=0$. Como $f(0)=-1$, conclui-se que $f(x)\le -1$ para todo o $x$.

g(x)=[f(x)]^2,\qquad g'(x)=2f(x)f'(x)

Como $f(x)\lt0$, o sinal de $g'$ é o contrário do sinal de $f'$: $g$ decresce até $0$ e cresce depois de $0$.

$$g(0)=[f(0)]^2=(-1)^2=1$$

O mínimo de $g$ é $1$.

20

Monotonia em $\mathbb{R}^+$

Para $x\gt0$, usa-se o ramo $f(x)=\frac{3x+2}{2x+2}$.

f'(x)=\frac{3(2x+2)-(3x+2)\cdot2}{(2x+2)^2} =\frac{6x+6-6x-4}{(2x+2)^2} =\frac{2}{(2x+2)^2}>0

$f$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}^+$.

21

Leitura do sinal de $f'$

Pelo gráfico, $f'(x)\lt0$ para $x\in[0,3]$. Logo, $f$ é decrescente em $[0,3]$.

f(0)=2\Rightarrow f(3)\lt2

Das opções apresentadas, o único valor possível é $1$.

Resposta: opção A

22

Raiz dupla e tangência

Se $x_0$ é uma raiz dupla, então:

$$g(x)=(x-x_0)^2(ax^2+bx+c)$$

Daí resulta $g(x_0)=0$ e, derivando, também $g'(x_0)=0$. A reta tangente no ponto de abcissa $x_0$ tem declive zero e passa por $(x_0,0)$.

$$y=0$$

Logo, o eixo $Ox$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $x_0$.

23

Tangente paralela à bissetriz

Qualquer função quadrática pode escrever-se como $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\ne0$.

$$f'(x)=2ax+b$$

A bissetriz dos quadrantes ímpares tem declive $1$. Procuramos, portanto, $f'(x_0)=1$.

2ax_0+b=1\Rightarrow x_0=\frac{1-b}{2a}

Como $a\ne0$, existe um e um só valor de $x_0$.

24

Minimização da área

A(x)=\frac{2x^3+8}{x}$$ $$A'(x)=\frac{(6x^2)x-(2x^3+8)}{x^2} =\frac{4x^3-8}{x^2}

Como $x\gt0$, os zeros da derivada vêm de $4x^3-8=0$.

4x^3=8\Rightarrow x^3=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}

A função decresce até $\sqrt[3]{2}$ e cresce depois desse valor.

A área total é mínima para $x=\sqrt[3]{2}$.

25

Declives de tangentes

Os declives das retas tangentes nos pontos de abcissas $a$ e $b$ são, respetivamente, $f'(a)$ e $f'(b)$.

Como $f$ é crescente, tem-se $f'(x)\ge0$ em todos os pontos em que a derivada existe.

Duas retas perpendiculares têm declives de sinais contrários, ou produto igual a $-1$ quando ambos existem. Isso não pode acontecer com dois declives não negativos.

As retas $r$ e $s$ não podem ser perpendiculares.

26

Sinal da derivada

f'(x)=x-2,\qquad f'(x)=0\Leftrightarrow x=2

$x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$

A função decresce até $2$ e cresce depois de $2$.

Resposta: opção C, $f$ tem um mínimo para $x=2$.

27

Condições de tangência

Para que $y=x$ seja tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $0$, devem verificar-se:

f(0)=0,\qquad f'(0)=1

A expressão $x^2+x$ verifica ambas as condições:

f(0)=0,\qquad f'(x)=2x+1,\quad f'(0)=1

Resposta: opção A

28

Monotonia e sinal da derivada

Da análise do gráfico de $g$, conclui-se que a função é decrescente em $]-\infty,0[$ e crescente em $]0,+\infty[$. Em $x=0$ não está definida.

$x$	$-\infty$	$0$	$+\infty$
$g'(x)$	$-$	n.d.	$+$

Resposta: opção A

29

Inclinação e declive

g(x)=\sqrt3\,x^2-1\Rightarrow g'(x)=2\sqrt3\,x

O declive da tangente no ponto de abcissa $a$ é $g'(a)=2\sqrt3\,a$.

m_r=\tan60^\circ=\sqrt3$$ $$2\sqrt3\,a=\sqrt3\Rightarrow a=\frac12

Resposta: opção D

30

Leitura gráfica de $h'$

Pelo gráfico, $h$ é constante antes de $-2$, não é derivável em $-2$, é decrescente entre $-2$ e $2$, não é derivável em $2$, e é crescente depois de $2$.

$x$	$-2$	$2$
$h'(x)$	$0$ / n.d.	$-$ / n.d. / $+$

Resposta: opção C

31

Declive da reta tangente

A reta $t$ passa pelos pontos $(0,0)$ e $(6,3)$.

m_t=\frac{3-0}{6-0}=\frac{3}{6}=\frac12

Como $t$ é tangente ao gráfico de $h$ no ponto de abcissa $a$, temos $h'(a)=m_t$.

Resposta: opção D, $h'(a)=\frac12$.