Seja $f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$ uma função tal que $f'(x)<0$, para qualquer número real positivo $x$.

Considere, num referencial o.n. $xOy$,

• um ponto $P$, de abcissa $a$, pertencente ao gráfico de $f$;
• a reta $r$, tangente ao gráfico de $f$ no ponto $P$;
• o ponto $Q$, ponto de interseção da reta $r$ com o eixo $Ox$.

Sabe-se que $\overline{OP}=\overline{PQ}$.

Determine o valor de

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal $xOy$, parte do gráfico de uma função polinomial $g$, de grau 3. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, que verifica a condição Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $f'$, primeira derivada da função $f$?

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico de uma função $h'$, primeira derivada de $h$. Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $h$?

Sejam $f$ e $g$ duas funções deriváveis em $\mathbb{R}$. Sabe-se que:

• $f(1)=f'(1)=1$;
• $g(x)=(2x-1)\times f(x)$, para todo o valor real de $x$.

Qual é a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa 1?

Na figura ao lado, está representada, num referencial ortogonal $xOy$, parte do gráfico de uma função polinomial $f$, de grau 3, de domínio $\mathbb{R}$.
Sabe-se que:

• $-2$, $2$ e $5$ são zeros de $f$;
• $f'$ representa a função derivada de $f$.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Seja $f$ uma função real de variável real. Sabe-se que:

• $f'(2)=9$;
• a reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto de abcissa 2, intersecta o eixo $Oy$ no ponto de ordenada $-15$.

Qual é o valor de $f(2)$?

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por Estude, utilizando métodos exclusivamente analíticos, a função $f$ quanto à monotonia e quanto aos extremos relativos.

Na sua resposta deve apresentar:

• o(s) intervalo(s) em que a função é crescente;
• o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente;
• os extremos relativos, caso existam.

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico da função derivada, $f'$, de uma função $f$. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $f$?

Considere:

• a função $f$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, definida por $f(x)=3+\frac{6}{x}$;
• a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x-3$.

Resolva os dois itens seguintes usando exclusivamente métodos analíticos.
Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função $f'$, derivada de $f$, ambas de domínio $\mathbb{R}$, em que o eixo $Ox$ é uma assíntota do gráfico de $f'$. Seja a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x)=f(x)+x$.

Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função $g'$, derivada de $g$?

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^2+1$. Seja $g$ a função cujo gráfico é a reta representada na figura ao lado. Seja $h=f+g$. Seja $h'$ a função derivada da função $h$. O gráfico da função $h'$ é uma reta. Sejam $m$ e $b$, respetivamente, o declive e a ordenada na origem desta reta.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

O gráfico de uma função $f$ é uma parábola com a concavidade voltada para baixo cujo vértice é o ponto $(3,2)$. Seja $f'$ a função derivada da função $f$.

Qual dos valores seguintes é negativo?

Na figura ao lado está representado um referencial o.n. $Oxyz$. Cada um dos pontos $A$, $B$ e $C$ pertence a um eixo coordenado. O ponto $P$ pertence ao plano $ABC$.

O ponto $P$ desloca-se no plano $ABC$, de tal modo que é sempre vértice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados.

O plano é definido pela equação $x+2y+3z=9$.

Considerando $a$ como a abcissa do ponto $P$ $(a\in]0,3[)$, o volume do prisma é dado, em função de $a$, por Estude a função $V$ quanto à monotonia, sem recorrer à calculadora, e conclua qual é o valor de $a$ para o qual o volume do prisma é máximo.

A figura ao lado representa parte do gráfico de uma função $f$ de domínio $\mathbb{R}$. Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica de $f'$, derivada de $f$?

Na figura ao lado estão representadas, em referencial o.n. $xOy$:

• parte do gráfico de uma função $h$;
• uma reta $t$, tangente ao gráfico de $h$ no ponto de abcissa 1.

Tal como a figura sugere, a reta $t$ interseta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $-2$ e o eixo $Oy$ no ponto de ordenada 1.

Indique o valor de $h'(1)$, derivada da função $h$ no ponto 1.

Na figura seguinte está representada, em referencial o.n. $Oxyz$, uma pirâmide quadrangular. Admita que o vértice $E$ se desloca no semieixo positivo $Oz$, entre a origem e o ponto de cota 6, nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos.

Com o movimento do vértice $E$, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se no plano $xOy$, de tal forma que:

• a pirâmide permanece sempre regular;
• o vértice $A$ tem sempre abcissa igual à ordenada;
• sendo $x$ a abcissa de $A$ e sendo $c$ a cota de $E$, tem-se sempre $x+c=6$.

O volume da pirâmide, em função de $x$, $(x\in]0,6[)$ é: Utilizando a função derivada de $V$ e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função $V$ quanto à monotonia, conclua qual é o valor de $x$ para o qual é máximo o volume da pirâmide e determine esse volume máximo.

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por Seja $t$ a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $\frac{1}{2}$.

Qual é a inclinação da reta $t$?

Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função onde $t$ designa o tempo, medido em minutos, contado a partir do início da experiência, e $v(t)$ designa a velocidade de rotação do eixo do motor, medida em centenas de rotações por minuto.

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto.

De uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, sabe-se que:

• $f$ tem derivada finita em todos os pontos de $\mathbb{R}$;
• $f(0)=-1$;
• $f$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}^{-}$ e é estritamente decrescente em $\mathbb{R}^{+}$.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por Prove que 1 é o mínimo da função $g$.

Seja $f$ a função definida, em $\mathbb{R}$, por Sem recorrer à calculadora, estude a função $f$ quanto à monotonia em $\mathbb{R}^{+}$.

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio.

Na figura ao lado encontra-se parte do gráfico de $f'$, função derivada de $f$. Sabe-se ainda que $f(0)=2$. Qual pode ser o valor de $f(3)$?

Seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, cuja expressão analítica é um polinómio do quarto grau, que tem uma raiz dupla $x_0$.

Prove que o eixo $Ox$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $x_0$.

Sugestão: tenha em conta que, se $x_0$ é uma raiz dupla do polinómio que define a função $g$, então tem-se

Prove que, para qualquer função quadrática, existe um e um só ponto do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

A área total da embalagem é dada por $(x$ é o comprimento da aresta da base, em dm$)$.

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de $x$ para o qual a área total da embalagem é mínima e determine-o.

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$, com derivada finita em todos os pontos do domínio, e crescente. Sejam $a$ e $b$ dois quaisquer números reais.

Considere as retas $r$ e $s$, tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos de abcissas $a$ e $b$, respetivamente.

Prove que as retas $r$ e $s$ não podem ser perpendiculares.

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$. Sabe-se que a sua derivada, $f'$, é tal que Relativamente à função $f$, qual das afirmações seguintes é verdadeira?

A reta de equação $y=x$ é tangente ao gráfico de uma certa função $f$, no ponto de abcissa 0.

Qual das seguintes expressões pode definir a função $f$?

Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função $g$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função $g'$, derivada de $g$?

Na figura ao lado estão representadas:

• parte do gráfico da função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x)=\sqrt{3}x^2-1$;
• uma reta $r$, tangente ao gráfico de $g$, no ponto de abcissa $a$.

A inclinação da reta $r$ é $60^\circ$.

Indique o valor de $a$.

Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função $h$, de domínio $\mathbb{R}$. Em qual das opções seguintes pode estar a representação gráfica da função $h'$, função derivada de $h$?

Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função $h$, de domínio $\mathbb{R}$, e de uma reta $t$, tangente ao gráfico de $h$ no ponto de abcissa $a$. A reta $t$ passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas $(6,3)$.

Qual é o valor de $h'(a)$?