Exercícios de Exame — Declive e Inclinação | 11.º ano

Ferramentas úteis.

Declive e inclinação: \(m=\tan\alpha\), sendo \(\alpha\) a inclinação (ângulo da reta com o semieixo positivo \(Ox\)).
Equação reduzida: \(y=mx+b\) (\(m\) = declive, \(b\) = ordenada na origem).
Declive por dois pontos: \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
Retas paralelas: \(m_1=m_2\); retas perpendiculares: \(m_1\times m_2=-1\), ou seja \(m_2=-\dfrac{1}{m_1}\).
A reta tangente a uma circunferência num ponto é perpendicular ao raio nesse ponto.
Relação: \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\).

As resoluções seguem as propostas oficiais (IAVE).

1. Hexágono — equação da reta MN

Exame 2020, época especialEscolha múltipla

Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), um hexágono regular \([MNPQRS]\) centrado na origem.

Sabe-se que o vértice \(M\) tem coordenadas \((1,0)\), e que o vértice \(N\) pertence ao primeiro quadrante. Qual é a equação reduzida da reta \(MN\)?

(A) \(y=-\sqrt3 x+\sqrt3\)

(B) \(y=-\sqrt3 x+\sqrt6\)

(C) \(y=-x+2\)

(D) \(y=-x+1\)

Como interpretar. Precisamos do declive (a partir da inclinação da reta) e da ordenada na origem. Num hexágono regular, os triângulos formados com o centro são equiláteros, o que dá o ângulo que a reta \(MN\) faz com o eixo \(Ox\).

1.º — Declive pela inclinação

O triângulo \([OMN]\) é equilátero (ângulo ao centro \(60°\)). A reta \(MN\) faz com o semieixo positivo \(Ox\) um ângulo de \(180°-60°=120°\), logo:

m_{MN}=\tan(120°)=-\sqrt3

2.º — Ordenada na origem

\(y=-\sqrt3 x+b\); como \(M(1,0)\) pertence à reta:

0=-\sqrt3\times 1+b \Leftrightarrow b=\sqrt3

MN:\ y=-\sqrt3 x+\sqrt3

Opção: (A)

2. Ângulo entre reta e eixo

Exame 2020, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(S\), \(T\) e \(U\) e a reta \(r\) de equação \(y=2x+4\).

Sabe-se que: os pontos \(S\) e \(T\) são, respetivamente, os pontos de interseção da reta \(r\) com os eixos \(Oy\) e \(Ox\); o ponto \(U\) pertence ao eixo \(Ox\) e tem abcissa inferior à do ponto \(T\). Qual dos valores seguintes é o valor, aproximado às centésimas, da amplitude, em radianos, do ângulo \(STU\)?

(A) 4,25

(B) 2,68

(C) 2,03

(D) 1,82

Como interpretar. O declive da reta é a tangente da inclinação, ou seja, do ângulo \(O\hat{T}S\) que a reta faz com o eixo \(Ox\). O ângulo \(S\hat{T}U\) é o suplementar desse (o ponto \(U\) está do lado oposto de \(T\)).

1.º — Inclinação da reta

m_r=2 \Leftrightarrow \tan\left(O\hat{T}S\right)=2 \Leftrightarrow O\hat{T}S=\tan^{-1}(2)

2.º — Ângulo STU (suplementar)

S\hat{T}U+O\hat{T}S=\pi \Leftrightarrow S\hat{T}U=\pi-\tan^{-1}(2)\approx 2{,}03\text{ rad}

Porquê o suplementar? \(U\) está à esquerda de \(T\) e \(S\) acima: o ângulo \(S\hat{T}U\) e a inclinação \(O\hat{T}S\) são ângulos suplementares (somam \(\pi\)).

Opção: (C)

3. Tangente a circunferência

Exame 2018, 2.ª faseEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência centrada na origem do referencial e que passa no ponto \(A(2,1)\). Seja \(r\) a reta tangente à circunferência no ponto \(A\).

Circunferência centrada na origem e reta tangente em A(2,1)

Qual é a ordenada na origem da reta \(r\)?

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

Como interpretar. A tangente é perpendicular ao raio \([OA]\). Calcula-se o declive de \(OA\), obtém-se o declive de \(r\) (o simétrico do inverso) e determina-se a ordenada na origem substituindo \(A\).

1.º — Declives

m_{OA}=\dfrac{y_A}{x_A}=\dfrac12 \;\Rightarrow\; m_r=-\dfrac{1}{m_{OA}}=-2

2.º — Ordenada na origem

\(r:\ y=-2x+b\); substituindo \(A(2,1)\):

1=-2\times 2+b \Leftrightarrow b=5

Opção: (B)

4. Reta com dado cosseno da inclinação

Exame 2018, 2.ª faseEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), uma reta \(r\) de inclinação \(\alpha\). Sabe-se que \(\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt5}\).

Qual pode ser a equação reduzida da reta \(r\)?

(A) \(y=-5x\)

(B) \(y=4x\)

(C) \(y=-2x\)

(D) \(y=3x\)

Como interpretar. O declive é \(m=\tan\alpha\). De \(\cos\alpha\) obtém-se \(\tan\alpha\) pela relação \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\). O sinal de \(\cos\alpha\) decide o sinal da tangente.

1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\left(-\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}=5 \Leftrightarrow \tan^2\alpha=4 \Leftrightarrow \tan\alpha=\pm 2

Porquê \(\tan\alpha=-2\)? Como \(\cos\alpha<0\), a inclinação \(\alpha\) está no 2.º quadrante, onde a tangente é negativa.

m=\tan\alpha=-2 \;\Rightarrow\; y=-2x

Opção: (C)

5. Tangente a circunferência

Exame 2015, 2.ª faseEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência definida pela equação \(x^2+(y-1)^2=2\). Esta circunferência interseta o eixo \(Ox\) em dois pontos. Destes pontos, seja \(A\) o que tem abcissa positiva. Seja \(r\) a reta tangente à circunferência no ponto \(A\).

Qual é a equação reduzida da reta \(r\)?

(A) \(y=x+1\)

(B) \(y=x-1\)

(C) \(y=2x+2\)

(D) \(y=2x-2\)

Como interpretar. Primeiro determina-se \(A\) (interseção com \(Ox\), abcissa positiva). O centro lê-se na equação: \(C(0,1)\). A tangente é perpendicular ao raio \([AC]\).

1.º — Ponto A

x^2+(0-1)^2=2 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=-1\ \lor\ x=1 \;\Rightarrow\; A(1,0)

2.º — Declive da tangente

m_{AC}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1 \;\Rightarrow\; m_r=-\dfrac{1}{m_{AC}}=1

3.º — Equação

\(r:\ y=x+b\); com \(A(1,0)\): \(0=1+b\Leftrightarrow b=-1\).

r:\ y=x-1

Opção: (B)

6. Triângulo equilátero — reta AB

Exame 2015, 1.ª faseEscolha múltipla

Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), um triângulo equilátero \([ABC]\).

Sabe-se que: o ponto \(A\) tem ordenada positiva; os pontos \(B\) e \(C\) pertencem ao eixo \(Ox\); o ponto \(B\) tem abcissa 1 e o ponto \(C\) tem abcissa maior do que 1. Qual é a equação reduzida da reta \(AB\)?

(A) \(y=\sqrt2 x-\sqrt2\)

(B) \(y=\sqrt2 x+\sqrt2\)

(C) \(y=\sqrt3 x+\sqrt3\)

(D) \(y=\sqrt3 x-\sqrt3\)

Como interpretar. A reta \(AB\) sobe de \(B\) (no eixo \(Ox\)) para o vértice \(A\). O ângulo que faz com o eixo é o ângulo interno do triângulo em \(B\), que num equilátero é \(60°\). Daí sai o declive; a ordenada na origem vem de \(B(1,0)\).

1.º — Declive

A\hat{B}C=60° \;\Rightarrow\; m_{AB}=\tan(60°)=\sqrt3

2.º — Ordenada na origem

\(AB:\ y=\sqrt3 x+b\); como \(B(1,0)\) pertence à reta:

0=\sqrt3\times 1+b \Leftrightarrow b=-\sqrt3

AB:\ y=\sqrt3 x-\sqrt3

Opção: (D)

7. Declive da tangente

Teste Intermédio 11.º ano · fevereiro 2012Escolha múltipla

Num referencial o.n. \(Oxy\), considere a circunferência definida por \(x^2+y^2=5\). A reta \(r\) é tangente à circunferência no ponto de ordenadas \((1,2)\).

Qual é o declive da reta \(r\)?

(A) \(-2\)

(B) \(-\dfrac12\)

(C) \(\dfrac12\)

(D) 2

Como interpretar. A circunferência tem centro na origem. A reta que contém o raio (de \(O\) ao ponto de tangência) é perpendicular à tangente. Basta o declive do raio e depois o seu simétrico-inverso.

m_{\text{raio}}=\dfrac{2-0}{1-0}=2 \;\Rightarrow\; m_r=-\dfrac{1}{m_{\text{raio}}}=-\dfrac12

Opção: (B)

8. Tangente a circunferência

Teste Intermédio 11.º ano · janeiro 2011Resposta aberta · sem calculadora

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro em \(O\) e raio 5. Os pontos \(A\) e \(B\) são os pontos de interseção da circunferência com os semieixos positivos \(Ox\) e \(Oy\), respetivamente.

Circunferência de centro O e raio 5, com o ponto P no arco AB

Considere que um ponto \(P\) se desloca ao longo do arco \(AB\), nunca coincidindo com o ponto \(A\), nem com o ponto \(B\). Considere agora o caso em que a abcissa do ponto \(P\) é 3.

Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto \(P\).

Como interpretar. Primeiro determina-se a ordenada de \(P\) (está na circunferência, abcissa 3). A tangente é perpendicular ao raio \([OP]\); com o declive e o ponto \(P\), obtém-se a equação.

1.º — Ponto P

A circunferência é \(x^2+y^2=25\). Com abcissa 3 (e \(P\) no 1.º quadrante, \(y>0\)):

3^2+y^2=25 \Leftrightarrow y^2=16 \Rightarrow y=4 \;\Rightarrow\; P(3,4)

2.º — Declive da tangente

m_{OP}=\dfrac43 \;\Rightarrow\; m=-\dfrac{1}{m_{OP}}=-\dfrac34

3.º — Equação

\(y=-\dfrac34 x+b\); com \(P(3,4)\):

4=-\dfrac34\times 3+b \Leftrightarrow b=4+\dfrac94=\dfrac{25}{4}

A reta tangente é \(y=-\dfrac34 x+\dfrac{25}{4}\).

9. Tangente a circunferência

Teste Intermédio 11.º ano · janeiro 2010Resposta aberta

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de equação \((x-4)^2+(y-1)^2=25\). O ponto \(C\) é o centro da circunferência. O ponto \(A\) tem coordenadas \((0,-2)\) e pertence à circunferência. A reta \(t\) é tangente à circunferência no ponto \(A\).

Circunferência de centro C e reta tangente t em A(0,-2)

Determine a equação reduzida da reta \(t\).

Como interpretar. O centro \(C\) lê-se na equação. A tangente é perpendicular ao raio \([AC]\); calcula-se \(m_{AC}\), depois \(m_t\). Como \(A\) está no eixo \(Oy\), a sua ordenada é logo a ordenada na origem.

1.º — Centro e declives

\(C(4,1)\) e \(A(0,-2)\):

m_{AC}=\dfrac{-2-1}{0-4}=\dfrac34 \;\Rightarrow\; m_t=-\dfrac{1}{m_{AC}}=-\dfrac43

2.º — Equação

A ordenada na origem é \(-2\) (pois \(A(0,-2)\) está em \(Oy\)):

t:\ y=-\dfrac43 x-2

A reta tangente é \(y=-\dfrac43 x-2\).

10. Retas perpendiculares

Teste Intermédio 11.º ano · janeiro 2009Escolha múltipla

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) de equação \(y=-\dfrac12 x+\dfrac35\). Seja \(s\) a reta perpendicular a \(r\) e que passa no ponto de coordenadas \((1,4)\).

Qual é a equação reduzida da reta \(s\)?

(A) \(y=2x+2\)

(B) \(y=-2x+6\)

(C) \(y=-2x+\dfrac53\)

(D) \(y=2x+\dfrac53\)

Como interpretar. O declive de \(s\) obtém-se do de \(r\) pela regra da perpendicularidade (\(m_s=-\frac{1}{m_r}\)); a ordenada na origem vem do ponto \((1,4)\).

1.º — Declive de s

m_s=-\dfrac{1}{m_r}=-\dfrac{1}{-\frac12}=2

2.º — Ordenada na origem

\(s:\ y=2x+b\); com \((1,4)\): \(4=2\times 1+b\Leftrightarrow b=2\).

s:\ y=2x+2

Opção: (A)

11. Tangente — abcissa de Q

Teste Intermédio 11.º ano · maio 2007Resposta aberta · demonstração

Considere um ponto \(P\), do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1. Sejam \((r,s)\) as coordenadas do ponto \(P\). Seja \(t\) a reta tangente à circunferência no ponto \(P\). Seja \(Q\) o ponto de interseção da reta \(t\) com o eixo \(Ox\).

Circunferência de raio 1, tangente em P e ponto Q no eixo Ox

Prove que a abcissa do ponto \(Q\) é \(\dfrac{1}{r}\).

Como interpretar. Escreve-se a equação da tangente \(t\) (perpendicular ao raio \([OP]\)), usando as coordenadas genéricas \(P(r,s)\) e a relação \(r^2+s^2=1\) (\(P\) está na circunferência de raio 1). Depois faz-se \(y=0\) para obter a abcissa de \(Q\).

1.º — Declive e equação de t

Como \(t\) é perpendicular ao raio \([OP]\), com \(m_{OP}=\dfrac{s}{r}\):

m_t=-\dfrac{1}{m_{OP}}=-\dfrac{r}{s} \;\Rightarrow\; t:\ y=-\dfrac{r}{s}x+b

2.º — Ordenada na origem

Substituindo \(P(r,s)\) e usando \(r^2+s^2=1\):

s=-\dfrac{r}{s}\times r+b \Leftrightarrow b=s+\dfrac{r^2}{s}=\dfrac{s^2+r^2}{s}=\dfrac{1}{s}

t:\ y=-\dfrac{r}{s}x+\dfrac{1}{s}

3.º — Abcissa de Q

\(Q\) pertence ao eixo \(Ox\), logo \(Q(x_Q,0)\):

0=-\dfrac{r}{s}x_Q+\dfrac{1}{s} \Leftrightarrow \dfrac{r}{s}x_Q=\dfrac{1}{s} \Leftrightarrow x_Q=\dfrac{1}{r}

A abcissa do ponto \(Q\) é \(\dfrac{1}{r}\), c.q.m.