Exercícios de Exame - Padrões geométricos

Enunciado original. Os enunciados e as figuras foram transcritos das provas nacionais indicadas. As resoluções seguem os critérios oficiais de classificação.

Ferramentas úteis.

Progressão geométrica: cada termo obtém-se do anterior multiplicando pela razão \(r\): \(u_n=u_1\times r^{\,n-1}\).
Figuras semelhantes: se a razão de semelhança é \(k\), os comprimentos (perímetros) multiplicam-se por \(k\) e as áreas por \(k^{2}\).
Pontos médios: unir os pontos médios dos lados de um triângulo dá um triângulo semelhante com razão \(\frac12\) (Teorema dos pontos médios).
Identificar sempre o primeiro termo e a ordem do termo pedido: a etapa \(n\) corresponde a \(u_n\), com \(n-1\) multiplicações pela razão.

1. Triângulos equiláteros encaixados

Exame 2025, Ép. especial · Item 8Resposta aberta

Considere um triângulo equilátero, [ABC]. Fixada uma unidade de medida, tem-se \(\overline{AB}=1\).

Na Figura 10, está representada uma construção com quatro triângulos equiláteros, que começou a ser elaborada a partir do triângulo [ABC]. O segundo triângulo desta construção obteve-se unindo os pontos médios dos lados do triângulo [ABC], o terceiro triângulo obteve-se unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, e o quarto triângulo obteve-se, de modo semelhante, a partir do terceiro.

Triângulo equilátero [ABC] com três triângulos equiláteros encaixados, obtidos unindo pontos médios

Admita que se continua esta construção, do modo acima descrito, até se obter o décimo triângulo.

Determine o perímetro do décimo triângulo.

Apresente o valor pedido arredondado às milésimas.

Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

Estratégia. Pelo Teorema dos pontos médios, cada lado do triângulo seguinte é metade do lado do anterior: os perímetros formam uma progressão geométrica de razão \(\frac12\).

Progressão dos perímetros

P_1=3\times1=3 \qquad r=\frac12 \qquad P_n=3\times\left(\frac12\right)^{n-1}

Décimo triângulo

P_{10}=3\times\left(\frac12\right)^{9}=\frac{3}{512}\approx0{,}006

O perímetro do décimo triângulo é, aproximadamente, 0,006.

2. Composição com hexágonos regulares

Exame 2025, 2.ª Fase · Item 8Resposta aberta

Na Figura 9, estão representados os três primeiros elementos de uma composição geométrica com hexágonos regulares, \(h_1\), \(h_2\) e \(h_3\), em que cada hexágono, a partir do segundo, tem \(\frac14\) da área do hexágono anterior.

Três hexágonos regulares h1, h2 e h3, cada um com um quarto da área do anterior

Considere que a área do hexágono \(h_1\) é 1.

Determine a área do sétimo hexágono desta composição geométrica.

Apresente o valor pedido na forma de fração.

Estratégia. As áreas dos hexágonos formam uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão \(\frac14\).

A_n=1\times\left(\frac14\right)^{n-1} \qquad A_7=\left(\frac14\right)^{6}=\frac{1}{4096}

A área do sétimo hexágono é \(\frac{1}{4096}\).

3. Floco de neve de Koch

Exame 2025, 1.ª Fase · Item 9Resposta aberta

O floco de neve de Koch é uma composição geométrica que se pode obter em várias etapas, a partir de um triângulo equilátero inicial, de modo que, em cada etapa, a partir da segunda, se obtém um polígono cujo perímetro é \(\frac43\) do perímetro do polígono obtido na etapa anterior.

Na Figura 9, apresentam-se as cinco primeiras etapas da construção de um floco de neve de Koch, considerando-se, na primeira etapa, um triângulo equilátero de lado 1.

Cinco primeiras etapas do floco de neve de Koch, a partir de um triângulo equilátero

Determine o perímetro do polígono obtido na oitava etapa.

Apresente o valor pedido arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

Estratégia. Os perímetros das sucessivas etapas formam uma progressão geométrica de primeiro termo 3 (perímetro do triângulo inicial) e razão \(\frac43\).

P_n=3\times\left(\frac43\right)^{n-1} \qquad P_8=3\times\left(\frac43\right)^{7}=\frac{16\,384}{729}\approx22{,}5

O perímetro do polígono da oitava etapa é, aproximadamente, 22,5.