Exercícios de Exame - Modelos matemáticos nas eleições

Enunciados originais. Os quatro enunciados foram transcritos integralmente das provas nacionais indicadas. As resoluções seguem os critérios oficiais de classificação e as propostas de resolução fornecidas.

Ferramentas úteis.

Método de Hondt: dividir os votos de cada lista por \(1,2,3,\dots\) e atribuir os mandatos aos maiores quocientes.
Método de Sainte-Laguë: igual ao de Hondt, mas com divisores ímpares \(1,3,5,7,\dots\); favorece mais os partidos pequenos.
Método de Borda: cada posição vale um número de pontos; ganha quem somar mais pontos.
Maioria simples: mais votos do que qualquer outro. Maioria absoluta: mais de 50% dos votos.
Método de Condorcet: confrontos dois a dois; vence quem ganhar todos os confrontos (pode não existir vencedor).
Construir sempre a tabela de quocientes completa e numerar a ordem por que os mandatos são atribuídos.

1. Maioria absoluta nas presidenciais

Exame 2026, Ép. especial · Item 1Escolha múltipla

O resultado das eleições presidenciais, em Portugal, é apurado pelo método da maioria absoluta.

Nas eleições presidenciais de 2026, em Portugal, nenhum candidato foi eleito vencedor à primeira volta, na qual se registaram 5 769 394 votos validamente expressos.

Qual seria o número mínimo de votos que um candidato deveria ter tido para ser eleito vencedor à primeira volta?

(A) 2 884 698(B) 2 884 697(C) 1 442 349(D) 1 442 348

Estratégia. Pelo método da maioria absoluta, é eleito à primeira volta quem obtiver mais de metade dos votos validamente expressos.

\frac{5\,769\,394}{2}=2\,884\,697

É preciso ter mais do que 2 884 697 votos; como o número de votos é inteiro, o mínimo é \(2\,884\,697+1=2\,884\,698\).

Opção (A).

2. Métodos de Hondt e de Sainte-Laguë

Exame 2026, 2.ª Fase · Item 5Resposta aberta

Nas eleições legislativas de 2025, num certo distrito, foram atribuídos três mandatos para o exercício da função de deputado na Assembleia da República Portuguesa.

O apuramento dos resultados, por aplicação do método de Hondt, fez-se de acordo com a Tabela 2, em que se apresentam apenas os quatro partidos mais votados e em que os valores dos quocientes estão arredondados às unidades.

Tabela 2

Partidos	Votos	Quocientes do número de votantes por					Número de mandatos
Partidos	Votos	1	2	3	4	5	Número de mandatos
Partido A	30 611	30 611	15 306	10 204	7653	6122	2
Partido B	17 796	17 796	8898	5932	4449	3559	1
Partido C	14 288	14 288	7144	4763	3572	2858	0
Partido D	1527	1527	764	509	382	305	0

De acordo com a Tabela 2, foram atribuídos dois mandatos ao Partido A e um mandato ao Partido B.

Averigue se seria obtida a mesma distribuição de mandatos, caso se aplicasse o método de Sainte-Laguë.

Estratégia. No método de Sainte-Laguë, o número de votos de cada partido é dividido sucessivamente pelos números ímpares. Como há três mandatos, basta identificar os três maiores quocientes.

Quocientes relevantes

Partido	Votos ÷ 1	Votos ÷ 3	Votos ÷ 5
Partido A	30 611	10 204	6122
Partido B	17 796	5932	3559
Partido C	14 288	4763	2858
Partido D	1527	509	305

Os três maiores quocientes são 30 611, 17 796 e 14 288. Correspondem, respetivamente, aos partidos A, B e C.

Pelo método de Sainte-Laguë, seria atribuído um mandato a cada um dos partidos A, B e C. Portanto, não seria obtida a mesma distribuição de mandatos.

3. Maioria simples e método de Borda

Exame 2026, 1.ª Fase · Item 4.1Resposta aberta

Numa turma de Artes Visuais com 30 alunos, o professor de Desenho propôs que os alunos escolhessem uma das obras da artista Joana Vasconcelos como tema do próximo projeto da turma, através de uma votação por preferências. As opções eram as obras Drag Race, Marilyn e Solitário.

Na Tabela 2, apresentam-se os resultados das votações, por ordem de preferências, de todos os alunos da turma.

Tabela 2

Preferências	Número de votos
Preferências	15	10	5
1.ª	Drag Race	Marilyn	Solitário
2.ª	Solitário	Solitário	Marilyn
3.ª	Marilyn	Drag Race	Drag Race

Considere a seguinte afirmação:

«Quer a eleição se realize por maioria simples, com base nos votos na 1.ª preferência, quer se realize pelo método de Borda, a obra vencedora é a mesma.»

Mostre que esta afirmação é falsa, atribuindo, na aplicação do método de Borda, 3 pontos por cada voto na 1.ª preferência, 2 pontos por cada voto na 2.ª preferência e 1 ponto por cada voto na 3.ª preferência.

Estratégia. Determina-se primeiro a vencedora por maioria simples e, depois, calcula-se a pontuação de cada obra pelo método de Borda.

Maioria simples

A obra Drag Race tem 15 votos na 1.ª preferência, Marilyn tem 10 e Solitário tem 5. Logo, a vencedora por maioria simples é Drag Race.

Método de Borda

\begin{aligned} P_{\textit{Drag Race}}&=15\times3+10\times1+5\times1=60\\ P_{\textit{Marilyn}}&=15\times1+10\times3+5\times2=55\\ P_{\textit{Solitário}}&=15\times2+10\times2+5\times3=65 \end{aligned}

A obra com maior pontuação pelo método de Borda é Solitário, com 65 pontos.

Por maioria simples vence Drag Race, mas pelo método de Borda vence Solitário. Assim, a afirmação é falsa.

4. Escolha de uma praia por pontuação

Exame de Matemática A 2026, 1.ª Fase · Item 13.(AE2023)Resposta aberta

Uma agência de viagens pretende organizar um passeio que inclui a visita a uma praia portuguesa.

Para escolher a praia a visitar, a agência realizou uma votação junto de 250 dos seus clientes, de modo a saber qual destas quatro praias preferiam: praia do Almograve (A); praia do Barril (B); praia do Cabedelo (C); praia da Duquesa (D).

Ao votar, cada cliente preencheu um boletim, no qual ordenou as quatro praias, A, B, C e D, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido com uma certa ordenação corresponde a 1 voto.

A Tabela 2 apresenta as preferências de 200 desses 250 clientes.

Tabela 2

Preferências	Votos
Preferências	82	24	51	43
1.ª	B	C	A	D
2.ª	A	A	D	A
3.ª	C	D	B	C
4.ª	D	B	C	B

Os 50 clientes restantes votaram todos numa mesma ordenação das quatro praias, colocando a praia B numa posição superior à da praia A.

Concluída a votação, aplicou-se o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada uma das praias, em função do seu lugar na ordem de preferência. Cada praia recebe: quatro pontos por cada voto na 1.ª preferência; três pontos por cada voto na 2.ª preferência; dois pontos por cada voto na 3.ª preferência; um ponto por cada voto na 4.ª preferência.
Contabiliza-se a pontuação total de cada uma das praias, e a mais pontuada é considerada a praia preferida pelos clientes da agência de viagens.
Em caso de empate, a tabela de preferências é reestruturada, contemplando-se, em cada coluna, apenas as praias empatadas, que ocuparão a 1.ª e a 2.ª preferências, mantendo-se a mesma ordem. A praia preferida pelos clientes da agência de viagens é a que obtiver maior número de votos na primeira preferência.

Mostre que a praia B não poderá ser a escolhida.

Na sua resposta, apresente:

a pontuação de cada praia, resultante da aplicação do método acima descrito aos votos registados na Tabela 2;
uma justificação para que a praia B não possa ser a escolhida, mesmo incluindo as votações possíveis dos 50 clientes.

Estratégia. Calcula-se a pontuação de cada praia com os 200 votos conhecidos. Depois, vê-se quantos pontos a praia B pode, no máximo, recuperar à praia A com os 50 votos em falta.

Pontuações com os votos da Tabela 2

\begin{aligned} P_A&=3\times82+3\times24+4\times51+3\times43=651\\ P_B&=4\times82+1\times24+2\times51+1\times43=497\\ P_C&=2\times82+4\times24+1\times51+2\times43=397\\ P_D&=1\times82+2\times24+3\times51+4\times43=455 \end{aligned}

Os 50 votos restantes

A diferença entre A e B é \(651-497=154\) pontos. Em cada um dos 50 votos, B fica acima de A, e a diferença de pontos entre as duas é, no máximo, \(4-1=3\) (B em 1.º lugar e A em 4.º). Assim, B recupera no máximo \(50\times3=150\) pontos.

Como \(150\lt154\), a pontuação final de A é sempre superior à de B. A praia B nunca é a mais pontuada (nem empata com A), pelo que não pode ser a escolhida.

5. Eleições presidenciais

Exame 2025, 2.ª Fase · Item 9Resposta aberta

Em Portugal, para se apurar o vencedor das eleições presidenciais, utiliza-se o método seguinte:

realiza-se uma primeira votação, na qual é eleito Presidente da República o candidato que obtiver mais de 50% dos votos validamente expressos;
se tal não se verificar, realiza-se uma segunda votação em que participam apenas os dois candidatos mais votados na primeira votação, sendo eleito presidente o candidato mais votado na segunda votação.

Na Tabela 2, apresenta-se o resultado da contagem de votos validamente expressos atribuídos a cada candidato concorrente a umas eleições presidenciais, em Portugal.

Tabela 2

Candidato	A	B	C	D
N.º de votos validamente expressos	1 443 683	2 629 597	1 185 867	418 961

Justifique que, nesta eleição, foi necessária a realização da segunda votação e identifique os candidatos que nela participaram.

Estratégia. Calcula-se o total de votos, determina-se o número mínimo correspondente a mais de 50% e comparam-se os resultados dos candidatos.

Total de votos validamente expressos

1\,443\,683+2\,629\,597+1\,185\,867+418\,961=5\,678\,108

Maioria absoluta

Metade do total de votos é:

5\,678\,108\times0{,}5=2\,839\,054

Como é necessário obter mais de 50%, seriam necessários, no mínimo, 2 839 055 votos para vencer na primeira votação. Nenhum candidato atingiu esse número.

Candidatos à segunda votação

Os dois candidatos mais votados foram B, com 2 629 597 votos, e A, com 1 443 683 votos.

Foi necessária uma segunda votação, na qual participaram os candidatos A e B.

6. Eleição do delegado de turma

Exame 2025, 1.ª Fase · Item 8Resposta aberta

Numa turma, aquando da eleição do delegado de turma, concorreram três alunos: o António (A), o Bruno (B) e a Carla (C).

Cada aluno da turma escreveu no boletim de voto os nomes dos três colegas concorrentes, por ordem de preferência.

O resultado da contagem dos votos apresenta-se na Tabela 3.

Tabela 3

N.º de votos Preferências	5	6	4	9
1.ª preferência	A	A	C	B
2.ª preferência	B	C	A	C
3.ª preferência	C	B	B	A

Para se apurar o vencedor, aplica-se o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada um dos concorrentes, em função do seu lugar na ordem de preferências. Cada concorrente recebe:
- 4 pontos por cada voto na 1.ª preferência;
- 2 pontos por cada voto na 2.ª preferência;
- 1 ponto por cada voto na 3.ª preferência.
Determina-se, para cada concorrente, a soma dos pontos obtidos.
Declara-se vencedor o concorrente que obtém mais pontos.

Determine o vencedor desta eleição, de acordo com o método descrito.

Estratégia. Para cada candidato, multiplica-se o número de votos pela pontuação correspondente à posição ocupada e somam-se os resultados.

Pontuação de cada candidato

\begin{aligned} P_A&=5\times4+6\times4+4\times2+9\times1=61\\ P_B&=5\times2+6\times1+4\times1+9\times4=56\\ P_C&=5\times1+6\times2+4\times4+9\times2=51 \end{aligned}

O António obteve 61 pontos, o Bruno 56 pontos e a Carla 51 pontos.

O vencedor da eleição é o António, porque obteve o maior número de pontos.