Resoluções - Estatística (10.º ano)

1

Espaço I — Média das distâncias

Inserindo numa lista da calculadora gráfica os valores das distâncias percorridas (abcissas dos pontos), obtemos:

$\overline{x}_d = \dfrac{5 + 6{,}5 + 7 + 7{,}7 + 8 + 8{,}6 + 9{,}4}{7} \approx 7{,}5$ km

Espaço II — Mediana das quilocalorias

Ordenando as energias gastas: $340, 450, 478, \mathbf{515}, 550, 580, 630$. O valor central (4.º elemento) é a mediana:

$\tilde{x}_e = 515$ quilocalorias

Espaço III — Coeficiente de correlação

Com os dados das duas listas, a calculadora dá $r \approx 0{,}99$, valor próximo de 1. A correlação é, portanto, positiva forte.

Espaço IV — Estimativa para 6 km

Recorrendo à regressão linear de $y$ em função de $x$ (calculadora), e calculando a ordenada do ponto da reta de abcissa 6, obtemos aproximadamente 411 quilocalorias.

I → a) 7,5

II → b) 515

III → c) positiva forte

IV → b) 411

2

Espaço I — Diferença das medianas

Ordenando as duas listas:

Pera: $10\,929; \; 11\,565; \; \mathbf{12\,197}; \; 17\,530; \; 20\,208 \;\Rightarrow\; \tilde{x}_p = 12\,197$ kg/ha
Maçã: $20\,087; \; 21\,072; \; \mathbf{21\,330}; \; 26\,067; \; 26\,644 \;\Rightarrow\; \tilde{x}_m = 21\,330$ kg/ha

$\tilde{x}_m - \tilde{x}_p = 21\,330 - 12\,197 = 9133$ kg/ha

Espaço II — Aumento percentual da maçã (2020 → 2021)

Aumento absoluto: $26\,644 - 20\,087 = 6557$ kg/ha $\dfrac{p}{100} = \dfrac{6557}{20\,087} \;\Leftrightarrow\; p \approx 33\%$

Espaço III — Anos com produção de pera abaixo de $\overline{x}+\sigma$

Para a produção de pera, com a calculadora obtém-se $\overline{x} \approx 14\,485{,}8$ e $\sigma \approx 3699{,}5$, logo:

$\overline{x} + \sigma \approx 18\,185$ kg/ha

Comparando com cada ano: $17\,530$ (2019) ✓, $11\,565$ (2020) ✓, $20\,208$ (2021) ✗, $12\,197$ (2022) ✓, $10\,929$ (2023) ✓. Foram quatro anos.

Espaço IV — Previsão para 2024 (pera)

Acumulado previsto pera = $0{,}6 \times 136\,270 = 81\,762$ kg/ha Acumulado real 2019–2023 = $17\,530 + 11\,565 + 20\,208 + 12\,197 + 10\,929 = 72\,429$ kg/ha Produção 2024 $= 81\,762 - 72\,429 = 9333$ kg/ha

I → c) 9133

II → b) 33%

III → c) quatro

IV → b) 9333

3

Espaço I — Mediana − média (diâmetro biparietal)

Inserindo os valores de $x$ na calculadora obtemos $\overline{x} \approx 8{,}44$ cm. Como há 8 valores ordenados, a mediana é a média dos centrais (4.º e 5.º):

$\tilde{x} = \dfrac{8{,}30 + 8{,}66}{2} = 8{,}48$ cm $\;\Rightarrow\; \tilde{x} - \overline{x} \approx 0{,}04$ cm

Espaço II — Amplitude (perímetro cefálico)

Amplitude $= y_{\max} - y_{\min} = 37{,}63 - 30{,}36 = 7{,}27$ cm

Espaço III — Coeficiente de correlação linear

Com as duas listas na calculadora, obtemos $r \approx 0{,}94$.

Espaço IV — Estimativa para $x=8{,}50$ cm

Usando a reta de regressão de $y$ em função de $x$, obtém-se na abcissa $x=8{,}5$ o valor $y \approx 34{,}54$ cm.

I → a) 0,04

II → c) 7,27

III → b) 0,94

IV → a) 34,54

4

Cálculo das estatísticas (área comercial)

Inserindo os vencimentos numa lista e as frequências absolutas noutra na calculadora gráfica, obtém-se:

\tilde{x} = 940$; $\;\overline{x} = 955$; $\;\sigma \approx 49{,}58

Espaço I — Mediana

A mediana dos vencimentos da área comercial é 940 €.

Espaço II — Comparação das médias

Vencimento médio da área comercial $= 955$ €; da área de produção $= 1010$ €. Como $955 < 1010$, a média da área comercial é inferior.

Espaço III — Comparação das dispersões

Desvio padrão (produção) $= 62{,}71$; desvio padrão (comercial) $\approx 49{,}58$. Logo, a dispersão da área de produção é superior à da área comercial.

Espaço IV — % com vencimento < 900 €

Nenhum funcionário da área comercial tem vencimento inferior a 900 €. Na área de produção há $50-12=38$ funcionários, com mediana 900 € e nenhum com esse valor exato — logo metade tem vencimento abaixo de 900 €:

Funcionários $< 900$ €: $\dfrac{38}{2} = 19$ $\dfrac{19}{50} \times 100 = 38\%$

I → b) 940

II → a) inferior

III → c) superior

IV → b) 38%

5

Espaço I — Mediana das remunerações dos homens

Ordenando os valores: $542{,}8; \; 674{,}7; \; \mathbf{832{,}5}; \; \mathbf{976{,}7}; \; 990{,}1; \; 1109{,}2$. Com 6 valores, a mediana é a média dos centrais:

$\tilde{x} = \dfrac{832{,}5 + 976{,}7}{2} = 904{,}6$ €

Espaço II — Amplitude interquartil

$Q_1 = 674{,}7$ (mediana dos 3 primeiros) e $Q_3 = 990{,}1$ (mediana dos 3 últimos):

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 990{,}1 - 674{,}7 = 315{,}4$ €

Espaço III — Aumento percentual mulheres (2015 → 2020)

Aumento absoluto: $960{,}3 - 825 = 135{,}3$ € $\dfrac{a_p}{100} = \dfrac{135{,}3}{825} \;\Leftrightarrow\; a_p \approx 16{,}4\%$

Espaço IV — Coeficiente de correlação linear

Com as listas $x$ (homens) e $y$ (mulheres), a calculadora dá $r \approx 0{,}998$, indicando uma correlação positiva muito forte.

I → c) 904,6

II → a) 315,4

III → b) 16,4%

IV → c) 0,998

6

Frequências absolutas (turma de 20 alunos)

A partir das frequências relativas (lidas no gráfico), calculam-se as frequências absolutas multiplicando por 20:

Classificação	Frequência relativa	Frequência absoluta
8	5%	$0{,}05 \times 20 = 1$
10	15%	$0{,}15 \times 20 = 3$
12	10%	$0{,}10 \times 20 = 2$
13	20%	$0{,}20 \times 20 = 4$
14	25%	$0{,}25 \times 20 = 5$
17	20%	$0{,}20 \times 20 = 4$
20	5%	$0{,}05 \times 20 = 1$

Espaço I — Alunos com classificação < 13

Percentagem $= 5 + 15 + 10 = 30\%$, logo $0{,}3 \times 20 = \mathbf{6}$ alunos.

Espaços II, III e IV — Mediana, média e desvio padrão

Inserindo os valores na calculadora (com as frequências absolutas), obtemos:

\tilde{x} = 13{,}5$; $\;\overline{x} = 13{,}6$; $\;\sigma \approx 2{,}9

I → b) 6

II → c) 13,5

III → b) 13,6

IV → a) 2,9

7

Tabela de frequências

A partir do gráfico de barras:

N.º de livros lidos	Frequência absoluta
0	3
1	7
2	10
3	3
4	1
5	1

Cálculo da média

Total de alunos: $3 + 7 + 10 + 3 + 1 + 1 = 25$. Soma dos livros lidos:

0 \times 3 + 1 \times 7 + 2 \times 10 + 3 \times 3 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 0 + 7 + 20 + 9 + 4 + 5 = 45

$\overline{x} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8$ livros

Resposta: (A) 1,8