Exercícios de Exame — Estatística

Para estudar a associação entre o Produto Interno Bruto (PIB) real per capita de um país e a quantidade de gases com efeito de estufa (GEE) emitidos per capita nesse país, recolheram-se os dados relativos a 2021 de nove países europeus, apresentados na tabela seguinte.

Fonte: PORDATA (consultado em outubro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

Em 2021, o PIB real per capita da Roménia foi, aproximadamente, (a) do PIB real per capita do Luxemburgo (valor arredondado às unidades).

Relativamente à distribuição dos valores do PIB real per capita apresentados na tabela, existem exatamente (b) países com PIB real per capita pertencente ao intervalo \(\left]\overline{x}-s,\ \overline{x}+s\right[\), em que \(\overline{x}\) e \(s\) são, respetivamente, a média e o desvio padrão amostral dessa distribuição.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\) obtido a partir dos dados apresentados na tabela, verifica-se uma correlação linear (c) entre o PIB real per capita e as emissões de GEE per capita. Com base nesse modelo, utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, e sabendo que, em 2021, o PIB real per capita da França foi 32,53 milhares de euros, estima-se que, nesse ano, a quantidade de GEE emitidos per capita na França, em tCO₂eq, tenha sido (d) (valor arredondado às décimas).

O Instituto Nacional de Estatística (INE) realiza, de forma periódica, o Inquérito às Despesas das Famílias, o qual permite analisar o modo como os agregados familiares portugueses distribuem as suas despesas.

Na tabela seguinte, apresentam-se as percentagens da despesa anual média associadas à habitação e à alimentação, em relação à despesa total anual média por agregado familiar, em seis anos do período entre 1989 e 2023.

Fonte: www.ine.pt (consultado em setembro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

O desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à habitação é (a) ao desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à alimentação.

De acordo com dados do INE, em 2022/2023, a despesa anual média associada à alimentação foi 3121 euros. Considerando os dados da tabela, em 2022/2023, a despesa anual média associada à habitação, arredondada às unidades, foi (b) euros.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é (c).

Em 2000, a despesa anual média associada à habitação foi 19,8% da despesa total anual média. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\), e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, estima-se que a percentagem da despesa anual média associada à alimentação, em relação à despesa total anual média, em 2000, foi, aproximadamente, (d) (valor arredondado às décimas).

Espaço (a) — Comparar os desvios padrão

Na calculadora: \(\sigma_x\approx8{,}4\) (habitação) e \(\sigma_y\approx5{,}9\) (alimentação). O primeiro é superior ao segundo.

Espaço (b) — Despesa em habitação em 2022/2023

Os 3121 euros correspondem a 12,9% da despesa total; a habitação corresponde a 39,0%:

\(\dfrac{3121}{0{,}129}\times0{,}39\approx9436\) euros

Espaço (c) — Coeficiente de correlação linear

A calculadora dá \(r\approx-0{,}9260\approx-0{,}93\).

Espaço (d) — Estimativa para 2000

Reta de regressão (parâmetros às milésimas): \(y=-0{,}648x+35{,}006\).

\(y=-0{,}648\times19{,}8+35{,}006\approx22{,}2\%\)

(a) → (3) superior

(b) → (3) 9436

(c) → (1) −0,93

(d) → (2) 22,2%

Existem vários indicadores utilizados na monitorização de um peso saudável. Dois desses indicadores são o Índice de Massa Corporal (IMC), expresso em quilogramas por metro quadrado, e a Taxa Metabólica Basal (TMB), expressa em quilocalorias por dia.

Na Tabela 1, apresentam-se os valores do IMC e da TMB de sete mulheres.

Na Figura 1, estão representados, para as variáveis idade, em anos, e TMB, em quilocalorias por dia, das sete mulheres: o diagrama de dispersão; a reta de regressão e a respetiva equação reduzida; o quadrado do coeficiente de correlação linear, \(r^{2}\).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

A média dos valores da TMB das sete mulheres, arredondada às unidades, é (a) quilocalorias por dia.

Relativamente à distribuição dos valores do IMC apresentados na Tabela 1, existem exatamente (b) mulheres com IMC pertencente ao intervalo \(]Q_1,Q_3[\), em que \(Q_1\) e \(Q_3\) são, respetivamente, o primeiro quartil e o terceiro quartil dessa distribuição.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Tabela 1 é (c) ao coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Figura 1.

Relativamente às variáveis apresentadas no diagrama de dispersão, e admitindo a validade do modelo de regressão linear aí apresentado, uma mulher com 43 anos terá uma TMB aproximadamente igual a (d) quilocalorias por dia (valor arredondado às unidades).

Espaço (a) — Média da TMB

\(\overline{y}=\dfrac{1282+1291+1385+1513+1379+1202+1567}{7}=\dfrac{9619}{7}\approx1374\)

Espaço (b) — IMC entre os quartis

IMC ordenados: 22,7; 23,4; 23,6; 23,9; 24,6; 27,5; 31,2. A mediana é 23,9; \(Q_1\) é a mediana dos três valores inferiores e \(Q_3\) a dos três superiores: \(Q_1=23{,}4\) e \(Q_3=27{,}5\).

Em \(]23{,}4\,;\,27{,}5[\) estão 23,6; 23,9 e 24,6: 3 mulheres.

Espaço (c) — Comparar coeficientes de correlação

Para os dados da Tabela 1, a calculadora dá \(r\approx0{,}881\gt0\). Na Figura 1 a reta de regressão tem declive negativo, logo o coeficiente é negativo (\(r=-\sqrt{0{,}887}\approx-0{,}94\)). Assim, o da Tabela 1 é superior.

Espaço (d) — TMB aos 43 anos

\(y=-9{,}02\times43+1777{,}62\approx1390\)

(a) → (2) 1374

(b) → (1) 3

(c) → (3) superior

(d) → (3) 1390

A Maria tem um plano de treinos de corrida. Em cada treino, utiliza uma aplicação que regista a distância percorrida e a energia gasta.

No diagrama de dispersão da figura seguinte, apresentam-se os valores registados em alguns desses treinos, sendo \(x\) a distância percorrida, em quilómetros, e \(y\) a correspondente energia gasta, em quilocalorias.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados no diagrama.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Nos treinos cujos registos se apresentam, a Maria percorreu, em média, cerca de I quilómetros por treino (valor arredondado às décimas). Neste conjunto de treinos, a mediana das quilocalorias gastas foi II.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\) obtido a partir dos dados representados no diagrama, verifica-se uma correlação III entre a distância percorrida e as quilocalorias gastas por treino. Com base nesse modelo e utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, estima-se que a Maria, num treino em que percorra 6 quilómetros, gaste, aproximadamente, IV quilocalorias (valor arredondado às unidades).

Espaço I — Média das distâncias

Inserindo numa lista da calculadora gráfica os valores das distâncias percorridas (abcissas dos pontos), obtemos:

\(\overline{x}_d = \dfrac{5 + 6{,}5 + 7 + 7{,}7 + 8 + 8{,}6 + 9{,}4}{7} \approx 7{,}5\) km

Espaço II — Mediana das quilocalorias

Ordenando as energias gastas: \(340, 450, 478, \mathbf{515}, 550, 580, 630\). O valor central (4.º elemento) é a mediana:

\(\tilde{x}_e = 515\) quilocalorias

Espaço III — Coeficiente de correlação

Com os dados das duas listas, a calculadora dá \(r \approx 0{,}99\), valor próximo de 1. A correlação é, portanto, positiva forte.

Espaço IV — Estimativa para 6 km

Recorrendo à regressão linear de \(y\) em função de \(x\) (calculadora), e calculando a ordenada do ponto da reta de abcissa 6, obtemos aproximadamente 411 quilocalorias.

I → a) 7,5

II → b) 515

III → c) positiva forte

IV → b) 411

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados referentes à produção de pera e de maçã, em quilogramas por hectare (kg/ha), em cada ano, de 2019 a 2023, em Portugal continental.

Fonte: Instituto Nacional de Estatística (consultado em setembro de 2024).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos valores da produção de maçã excede a mediana dos valores da produção de pera em I kg/ha.

De 2020 para 2021, a produção de maçã teve um aumento de, aproximadamente, II.

No que respeita à distribuição da produção de pera, houve III anos em que a produção foi inferior à soma da média com o desvio padrão.

De acordo com previsões do INE, a produção acumulada de maçã, de 2019 a 2024, seria 136 270 kg/ha, enquanto a produção acumulada de pera, no mesmo período, corresponderia a 60% da produção acumulada de maçã. De acordo com os dados da tabela e com esta previsão do INE, obtém-se para o valor da produção de pera em 2024, aproximadamente, IV kg/ha.

Espaço I — Diferença das medianas

Ordenando as duas listas:

• Pera: \(10\,929; \; 11\,565; \; \mathbf{12\,197}; \; 17\,530; \; 20\,208 \;\Rightarrow\; \tilde{x}_p = 12\,197\) kg/ha
• Maçã: \(20\,087; \; 21\,072; \; \mathbf{21\,330}; \; 26\,067; \; 26\,644 \;\Rightarrow\; \tilde{x}_m = 21\,330\) kg/ha

\(\tilde{x}_m - \tilde{x}_p = 21\,330 - 12\,197 = 9133\) kg/ha

Espaço II — Aumento percentual da maçã (2020 → 2021)

Aumento absoluto: \(26\,644 - 20\,087 = 6557\) kg/ha
\(\dfrac{p}{100} = \dfrac{6557}{20\,087} \;\Leftrightarrow\; p \approx 33\%\)

Espaço III — Anos com produção de pera abaixo de \(\overline{x}+\sigma\)

Para a produção de pera, com a calculadora obtém-se \(\overline{x} \approx 14\,485{,}8\) e \(\sigma \approx 3699{,}5\), logo:

\(\overline{x} + \sigma \approx 18\,185\) kg/ha

Comparando com cada ano: \(17\,530\) (2019) ✓, \(11\,565\) (2020) ✓, \(20\,208\) (2021) ✗, \(12\,197\) (2022) ✓, \(10\,929\) (2023) ✓. Foram quatro anos.

Espaço IV — Previsão para 2024 (pera)

Acumulado previsto pera = \(0{,}6 \times 136\,270 = 81\,762\) kg/ha
Acumulado real 2019–2023 = \(17\,530 + 11\,565 + 20\,208 + 12\,197 + 10\,929 = 72\,429\) kg/ha
Produção 2024 \(= 81\,762 - 72\,429 = 9333\) kg/ha

I → c) 9133

II → b) 33%

III → c) quatro

IV → b) 9333

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao diâmetro biparietal, \(x\), em centímetros, medido na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, \(y\), em centímetros, medido à nascença, de uma amostra de oito recém-nascidos numa maternidade.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I cm.

A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é II cm.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é III.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\), e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, para um recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana de gravidez tenha sido 8,50 cm, estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, IV cm.

Espaço I — Mediana − média (diâmetro biparietal)

Inserindo os valores de \(x\) na calculadora obtemos \(\overline{x} \approx 8{,}44\) cm. Como há 8 valores ordenados, a mediana é a média dos centrais (4.º e 5.º):

\(\tilde{x} = \dfrac{8{,}30 + 8{,}66}{2} = 8{,}48\) cm \(\;\Rightarrow\; \tilde{x} - \overline{x} \approx 0{,}04\) cm

Espaço II — Amplitude (perímetro cefálico)

Amplitude \(= y_{\max} - y_{\min} = 37{,}63 - 30{,}36 = 7{,}27\) cm

Espaço III — Coeficiente de correlação linear

Com as duas listas na calculadora, obtemos \(r \approx 0{,}94\).

Espaço IV — Estimativa para \(x=8{,}50\) cm

Usando a reta de regressão de \(y\) em função de \(x\), obtém-se na abcissa \(x=8{,}5\) o valor \(y \approx 34{,}54\) cm.

I → a) 0,04

II → c) 7,27

III → b) 0,94

IV → a) 34,54

Uma empresa tem 50 funcionários, dos quais 12 são da área comercial e os restantes são da área de produção.

A distribuição dos vencimentos, em euros, dos funcionários da área de produção tem média 1010, desvio padrão 62,71 e mediana 900.

Na tabela seguinte, estão representados os vencimentos, em euros, dos 12 funcionários da área comercial.

Nenhum dos funcionários da empresa tem vencimento igual a 900 euros.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos vencimentos dos funcionários da área comercial é I euros, e o vencimento médio dos funcionários desta área é II ao vencimento médio dos funcionários da área de produção.

A dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área de produção é III à dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área comercial.

A percentagem de funcionários da empresa com vencimento menor do que 900 euros é IV.

Cálculo das estatísticas (área comercial)

Inserindo os vencimentos numa lista e as frequências absolutas noutra na calculadora gráfica, obtém-se:

\(\tilde{x} = 940\); \(\;\overline{x} = 955\); \(\;\sigma \approx 49{,}58\)

Espaço I — Mediana

A mediana dos vencimentos da área comercial é 940 €.

Espaço II — Comparação das médias

Vencimento médio da área comercial \(= 955\) €; da área de produção \(= 1010\) €. Como \(955 < 1010\), a média da área comercial é inferior.

Espaço III — Comparação das dispersões

Desvio padrão (produção) \(= 62{,}71\); desvio padrão (comercial) \(\approx 49{,}58\). Logo, a dispersão da área de produção é superior à da área comercial.

Espaço IV — % com vencimento < 900 €

Nenhum funcionário da área comercial tem vencimento inferior a 900 €. Na área de produção há \(50-12=38\) funcionários, com mediana 900 € e nenhum com esse valor exato — logo metade tem vencimento abaixo de 900 €:

Funcionários \(< 900\) €: \(\dfrac{38}{2} = 19\)
\(\dfrac{19}{50} \times 100 = 38\%\)

I → b) 940

II → a) inferior

III → c) superior

IV → b) 38%

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à remuneração base média mensal dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, por sexo, em seis anos pertencentes ao período de 1995 a 2020.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana da remuneração base média mensal dos homens é I euros, e a amplitude interquartil é II euros.

De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a III.

O coeficiente de correlação linear das variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às milésimas, é IV.

Espaço I — Mediana das remunerações dos homens

Ordenando os valores: \(542{,}8; \; 674{,}7; \; \mathbf{832{,}5}; \; \mathbf{976{,}7}; \; 990{,}1; \; 1109{,}2\). Com 6 valores, a mediana é a média dos centrais:

\(\tilde{x} = \dfrac{832{,}5 + 976{,}7}{2} = 904{,}6\) €

Espaço II — Amplitude interquartil

\(Q_1 = 674{,}7\) (mediana dos 3 primeiros) e \(Q_3 = 990{,}1\) (mediana dos 3 últimos):

\(\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 990{,}1 - 674{,}7 = 315{,}4\) €

Espaço III — Aumento percentual mulheres (2015 → 2020)

Aumento absoluto: \(960{,}3 - 825 = 135{,}3\) €
\(\dfrac{a_p}{100} = \dfrac{135{,}3}{825} \;\Leftrightarrow\; a_p \approx 16{,}4\%\)

Espaço IV — Coeficiente de correlação linear

Com as listas \(x\) (homens) e \(y\) (mulheres), a calculadora dá \(r \approx 0{,}998\), indicando uma correlação positiva muito forte.

I → c) 904,6

II → a) 315,4

III → b) 16,4%

IV → c) 0,998

O gráfico da figura seguinte apresenta a distribuição das classificações finais, em valores, na disciplina de Português, dos 20 alunos de uma turma.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da figura anterior.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Na turma, há I alunos com classificação final inferior a 13 valores na disciplina de Português.

A mediana da distribuição das classificações finais na disciplina de Português é II valores.

A classificação média final na disciplina de Português é III valores, e o desvio padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é IV valores.

Frequências absolutas (turma de 20 alunos)

A partir das frequências relativas (lidas no gráfico), calculam-se as frequências absolutas multiplicando por 20:

Classificação	Frequência relativa	Frequência absoluta
8	5%	\(0{,}05 \times 20 = 1\)
10	15%	\(0{,}15 \times 20 = 3\)
12	10%	\(0{,}10 \times 20 = 2\)
13	20%	\(0{,}20 \times 20 = 4\)
14	25%	\(0{,}25 \times 20 = 5\)
17	20%	\(0{,}20 \times 20 = 4\)
20	5%	\(0{,}05 \times 20 = 1\)

Espaço I — Alunos com classificação < 13

Percentagem \(= 5 + 15 + 10 = 30\%\), logo \(0{,}3 \times 20 = \mathbf{6}\) alunos.

Espaços II, III e IV — Mediana, média e desvio padrão

Inserindo os valores na calculadora (com as frequências absolutas), obtemos:

\(\tilde{x} = 13{,}5\); \(\;\overline{x} = 13{,}6\); \(\;\sigma \approx 2{,}9\)

I → b) 6

II → c) 13,5

III → b) 13,6

IV → a) 2,9

Foi realizado um inquérito acerca do número de livros que cada um dos alunos de uma turma tinha lido nas férias. Os resultados do inquérito estão representados no gráfico que se segue:

Em média, quantos livros foram lidos por aluno?