Ficha de Trabalho — Estatística

A Maria tem um plano de treinos de corrida. Em cada treino, utiliza uma aplicação que regista a distância percorrida e a energia gasta.

No diagrama de dispersão da figura seguinte, apresentam-se os valores registados em alguns desses treinos, sendo \(x\) a distância percorrida, em quilómetros, e \(y\) a correspondente energia gasta, em quilocalorias.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados no diagrama.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Nos treinos cujos registos se apresentam, a Maria percorreu, em média, cerca de I quilómetros por treino (valor arredondado às décimas). Neste conjunto de treinos, a mediana das quilocalorias gastas foi II.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\) obtido a partir dos dados representados no diagrama, verifica-se uma correlação III entre a distância percorrida e as quilocalorias gastas por treino. Com base nesse modelo e utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, estima-se que a Maria, num treino em que percorra 6 quilómetros, gaste, aproximadamente, IV quilocalorias (valor arredondado às unidades).

Espaço I — Média das distâncias

Inserindo numa lista da calculadora gráfica os valores das distâncias percorridas (abcissas dos pontos), obtemos:

\(\overline{x}_d = \dfrac{5 + 6{,}5 + 7 + 7{,}7 + 8 + 8{,}6 + 9{,}4}{7} \approx 7{,}5\) km

Espaço II — Mediana das quilocalorias

Ordenando as energias gastas: \(340, 450, 478, \mathbf{515}, 550, 580, 630\). O valor central (4.º elemento) é a mediana:

\(\tilde{x}_e = 515\) quilocalorias

Espaço III — Coeficiente de correlação

Com os dados das duas listas, a calculadora dá \(r \approx 0{,}99\), valor próximo de 1. A correlação é, portanto, positiva forte.

Espaço IV — Estimativa para 6 km

Recorrendo à regressão linear de \(y\) em função de \(x\) (calculadora), e calculando a ordenada do ponto da reta de abcissa 6, obtemos aproximadamente 411 quilocalorias.

I → a) 7,5

II → b) 515

III → c) positiva forte

IV → b) 411

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados referentes à produção de pera e de maçã, em quilogramas por hectare (kg/ha), em cada ano, de 2019 a 2023, em Portugal continental.

Fonte: Instituto Nacional de Estatística (consultado em setembro de 2024).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos valores da produção de maçã excede a mediana dos valores da produção de pera em I kg/ha.

De 2020 para 2021, a produção de maçã teve um aumento de, aproximadamente, II.

No que respeita à distribuição da produção de pera, houve III anos em que a produção foi inferior à soma da média com o desvio padrão.

De acordo com previsões do INE, a produção acumulada de maçã, de 2019 a 2024, seria 136 270 kg/ha, enquanto a produção acumulada de pera, no mesmo período, corresponderia a 60% da produção acumulada de maçã. De acordo com os dados da tabela e com esta previsão do INE, obtém-se para o valor da produção de pera em 2024, aproximadamente, IV kg/ha.

Espaço I — Diferença das medianas

Ordenando as duas listas:

• Pera: \(10\,929; \; 11\,565; \; \mathbf{12\,197}; \; 17\,530; \; 20\,208 \;\Rightarrow\; \tilde{x}_p = 12\,197\) kg/ha
• Maçã: \(20\,087; \; 21\,072; \; \mathbf{21\,330}; \; 26\,067; \; 26\,644 \;\Rightarrow\; \tilde{x}_m = 21\,330\) kg/ha

\(\tilde{x}_m - \tilde{x}_p = 21\,330 - 12\,197 = 9133\) kg/ha

Espaço II — Aumento percentual da maçã (2020 → 2021)

Aumento absoluto: \(26\,644 - 20\,087 = 6557\) kg/ha
\(\dfrac{p}{100} = \dfrac{6557}{20\,087} \;\Leftrightarrow\; p \approx 33\%\)

Espaço III — Anos com produção de pera abaixo de \(\overline{x}+\sigma\)

Para a produção de pera, com a calculadora obtém-se \(\overline{x} \approx 14\,485{,}8\) e \(\sigma \approx 3699{,}5\), logo:

\(\overline{x} + \sigma \approx 18\,185\) kg/ha

Comparando com cada ano: \(17\,530\) (2019) ✓, \(11\,565\) (2020) ✓, \(20\,208\) (2021) ✗, \(12\,197\) (2022) ✓, \(10\,929\) (2023) ✓. Foram quatro anos.

Espaço IV — Previsão para 2024 (pera)

Acumulado previsto pera = \(0{,}6 \times 136\,270 = 81\,762\) kg/ha
Acumulado real 2019–2023 = \(17\,530 + 11\,565 + 20\,208 + 12\,197 + 10\,929 = 72\,429\) kg/ha
Produção 2024 \(= 81\,762 - 72\,429 = 9333\) kg/ha

I → c) 9133

II → b) 33%

III → c) quatro

IV → b) 9333

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao diâmetro biparietal, \(x\), em centímetros, medido na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, \(y\), em centímetros, medido à nascença, de uma amostra de oito recém-nascidos numa maternidade.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I cm.

A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é II cm.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é III.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de \(y\) em função de \(x\), e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, para um recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana de gravidez tenha sido 8,50 cm, estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, IV cm.

Espaço I — Mediana − média (diâmetro biparietal)

Inserindo os valores de \(x\) na calculadora obtemos \(\overline{x} \approx 8{,}44\) cm. Como há 8 valores ordenados, a mediana é a média dos centrais (4.º e 5.º):

\(\tilde{x} = \dfrac{8{,}30 + 8{,}66}{2} = 8{,}48\) cm \(\;\Rightarrow\; \tilde{x} - \overline{x} \approx 0{,}04\) cm

Espaço II — Amplitude (perímetro cefálico)

Amplitude \(= y_{\max} - y_{\min} = 37{,}63 - 30{,}36 = 7{,}27\) cm

Espaço III — Coeficiente de correlação linear

Com as duas listas na calculadora, obtemos \(r \approx 0{,}94\).

Espaço IV — Estimativa para \(x=8{,}50\) cm

Usando a reta de regressão de \(y\) em função de \(x\), obtém-se na abcissa \(x=8{,}5\) o valor \(y \approx 34{,}54\) cm.

I → a) 0,04

II → c) 7,27

III → b) 0,94

IV → a) 34,54

Uma empresa tem 50 funcionários, dos quais 12 são da área comercial e os restantes são da área de produção.

A distribuição dos vencimentos, em euros, dos funcionários da área de produção tem média 1010, desvio padrão 62,71 e mediana 900.

Na tabela seguinte, estão representados os vencimentos, em euros, dos 12 funcionários da área comercial.

Nenhum dos funcionários da empresa tem vencimento igual a 900 euros.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos vencimentos dos funcionários da área comercial é I euros, e o vencimento médio dos funcionários desta área é II ao vencimento médio dos funcionários da área de produção.

A dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área de produção é III à dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área comercial.

A percentagem de funcionários da empresa com vencimento menor do que 900 euros é IV.

Cálculo das estatísticas (área comercial)

Inserindo os vencimentos numa lista e as frequências absolutas noutra na calculadora gráfica, obtém-se:

\(\tilde{x} = 940\); \(\;\overline{x} = 955\); \(\;\sigma \approx 49{,}58\)

Espaço I — Mediana

A mediana dos vencimentos da área comercial é 940 €.

Espaço II — Comparação das médias

Vencimento médio da área comercial \(= 955\) €; da área de produção \(= 1010\) €. Como \(955 < 1010\), a média da área comercial é inferior.

Espaço III — Comparação das dispersões

Desvio padrão (produção) \(= 62{,}71\); desvio padrão (comercial) \(\approx 49{,}58\). Logo, a dispersão da área de produção é superior à da área comercial.

Espaço IV — % com vencimento < 900 €

Nenhum funcionário da área comercial tem vencimento inferior a 900 €. Na área de produção há \(50-12=38\) funcionários, com mediana 900 € e nenhum com esse valor exato — logo metade tem vencimento abaixo de 900 €:

Funcionários \(< 900\) €: \(\dfrac{38}{2} = 19\)
\(\dfrac{19}{50} \times 100 = 38\%\)

I → b) 940

II → a) inferior

III → c) superior

IV → b) 38%

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à remuneração base média mensal dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, por sexo, em seis anos pertencentes ao período de 1995 a 2020.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana da remuneração base média mensal dos homens é I euros, e a amplitude interquartil é II euros.

De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a III.

O coeficiente de correlação linear das variáveis \(x\) e \(y\), apresentadas na tabela, arredondado às milésimas, é IV.

Espaço I — Mediana das remunerações dos homens

Ordenando os valores: \(542{,}8; \; 674{,}7; \; \mathbf{832{,}5}; \; \mathbf{976{,}7}; \; 990{,}1; \; 1109{,}2\). Com 6 valores, a mediana é a média dos centrais:

\(\tilde{x} = \dfrac{832{,}5 + 976{,}7}{2} = 904{,}6\) €

Espaço II — Amplitude interquartil

\(Q_1 = 674{,}7\) (mediana dos 3 primeiros) e \(Q_3 = 990{,}1\) (mediana dos 3 últimos):

\(\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 990{,}1 - 674{,}7 = 315{,}4\) €

Espaço III — Aumento percentual mulheres (2015 → 2020)

Aumento absoluto: \(960{,}3 - 825 = 135{,}3\) €
\(\dfrac{a_p}{100} = \dfrac{135{,}3}{825} \;\Leftrightarrow\; a_p \approx 16{,}4\%\)

Espaço IV — Coeficiente de correlação linear

Com as listas \(x\) (homens) e \(y\) (mulheres), a calculadora dá \(r \approx 0{,}998\), indicando uma correlação positiva muito forte.

I → c) 904,6

II → a) 315,4

III → b) 16,4%

IV → c) 0,998

O gráfico da figura seguinte apresenta a distribuição das classificações finais, em valores, na disciplina de Português, dos 20 alunos de uma turma.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da figura anterior.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Na turma, há I alunos com classificação final inferior a 13 valores na disciplina de Português.

A mediana da distribuição das classificações finais na disciplina de Português é II valores.

A classificação média final na disciplina de Português é III valores, e o desvio padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é IV valores.

Frequências absolutas (turma de 20 alunos)

A partir das frequências relativas (lidas no gráfico), calculam-se as frequências absolutas multiplicando por 20:

Classificação	Frequência relativa	Frequência absoluta
8	5%	\(0{,}05 \times 20 = 1\)
10	15%	\(0{,}15 \times 20 = 3\)
12	10%	\(0{,}10 \times 20 = 2\)
13	20%	\(0{,}20 \times 20 = 4\)
14	25%	\(0{,}25 \times 20 = 5\)
17	20%	\(0{,}20 \times 20 = 4\)
20	5%	\(0{,}05 \times 20 = 1\)

Espaço I — Alunos com classificação < 13

Percentagem \(= 5 + 15 + 10 = 30\%\), logo \(0{,}3 \times 20 = \mathbf{6}\) alunos.

Espaços II, III e IV — Mediana, média e desvio padrão

Inserindo os valores na calculadora (com as frequências absolutas), obtemos:

\(\tilde{x} = 13{,}5\); \(\;\overline{x} = 13{,}6\); \(\;\sigma \approx 2{,}9\)

I → b) 6

II → c) 13,5

III → b) 13,6

IV → a) 2,9

Foi realizado um inquérito acerca do número de livros que cada um dos alunos de uma turma tinha lido nas férias. Os resultados do inquérito estão representados no gráfico que se segue:

Em média, quantos livros foram lidos por aluno?