Exercícios de Exame — Vetores e Equação Vetorial da Reta | 10.º ano

Ferramentas úteis.

Coordenadas de um vetor: $\overrightarrow{AB} = B - A$. A norma de $\vec{u}(u_1,u_2,u_3)$ é $\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$.
Soma de um ponto com um vetor: $A + \overrightarrow{AB} = B$. Regra do triângulo: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Vetores colineares: $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares se e só se existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{u} = \lambda\vec{v}$. Duas retas são paralelas se os seus vetores diretores forem colineares.
Equação vetorial da reta: a reta que passa no ponto $P_0$ e tem vetor diretor $\vec{v}$ é definida por $(x,y,z) = P_0 + k\vec{v},\ k \in \mathbb{R}$.
Retas paralelas aos eixos: vetor diretor $(1,0,0)$ — paralela a $Ox$; $(0,1,0)$ — paralela a $Oy$; $(0,0,1)$ — paralela a $Oz$.

As resoluções seguem as propostas oficiais e as Aprendizagens Essenciais (AE2023).

1. Vetor $\overrightarrow{AB}$ e volume de uma pirâmide

Exame 2021, Ép. especialResposta aberta

Na figura, está representada, num referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $E$.

Figura 1 - pirâmide regular de base quadrada [ABCD] e vértice E

Sabe-se que:

a base da pirâmide está contida no plano $Oxz$;
o vértice $A$ pertence ao semieixo positivo $Oz$ e o vértice $B$ pertence ao semieixo negativo $Ox$;
o vértice $E$ tem coordenadas $(-2,6,2)$;
o vetor $\overrightarrow{BE}$ tem coordenadas $(-1,6,2)$;
o volume da pirâmide é $20$.

Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do vetor $\overrightarrow{AB}$.

Como interpretar. A base está no plano $Oxz$ (pontos de ordenada nula), pelo que a altura da pirâmide é a distância de $E$ a esse plano, ou seja, a ordenada de $E$. Com o volume obtemos o comprimento da aresta da base, e com $\overrightarrow{BE}$ obtemos o ponto $B$.

1.º — Altura da pirâmide e aresta da base

Como a base está contida no plano $Oxz$ e $E(-2,6,2)$, a altura da pirâmide é $6$. Sendo o volume igual a $20$:

V_{[ABCDE]} = 20 \Leftrightarrow \frac{1}{3}\times A_{[ABCD]}\times 6 = 20 \Leftrightarrow 2\,\overline{AB}^{\,2} = 20 \Leftrightarrow \overline{AB}^{\,2} = 10

Como $\|\overrightarrow{AB}\|^2 = \overline{AB}^{\,2}$, então $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{10}$.

2.º — Coordenadas do ponto B

Sabemos que $\overrightarrow{BE}(-1,6,2)$, então podemos determinar as coordenadas de $B$ a partir do ponto $E$:

B = E - \overrightarrow{BE} = (-2,6,2) - (-1,6,2) = (-1,0,0)

3.º — Coordenadas do vetor

Como $A$ pertence ao semieixo positivo $Oz$, tem-se $A(0,0,z_A)$, com $z_A > 0$. Assim:

\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,0,0) - (0,0,z_A) = (-1,0,-z_A)

\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{10} \Leftrightarrow \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + z_A^2} = \sqrt{10} \Leftrightarrow 1 + z_A^2 = 10 \Leftrightarrow z_A^2 = 9 \underset{z_A>0}{\Leftrightarrow} z_A = 3

Portanto, $\overrightarrow{AB} = (-1,0,-3)$.

2. Ponto médio de um segmento

Exame 2019, 2.ª FaseEscolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. $Oxy$, a reta $AB$.

Figura 2 - reta AB num referencial Oxy, com A no semieixo negativo Ox e B no semieixo positivo Oy

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence ao semieixo negativo $Ox$ e o ponto $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;
a reta $AB$ tem equação $y = 2x + 4$.

Seja $M$ o ponto médio de $[AB]$.

Quais são as coordenadas do ponto $M$?

(A) $\left(-\frac{1}{2},2\right)$

(B) $(-1,2)$

(C) $\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

(D) $(-2,4)$

Como interpretar. Os pontos $A$ e $B$ são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados. Determinam-se as suas coordenadas e, de seguida, o ponto médio.

1.º — Coordenadas de A e de B

O ponto $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$ e à reta de equação $y = 2x+4$, logo $B(0,4)$.

O ponto $A$ pertence ao semieixo negativo $Ox$ e à reta, logo:

2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \quad\Rightarrow\quad A(-2,0)

2.º — Ponto médio

Como $\overrightarrow{AB} = B - A = (2,4)$:

M = A + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (-2,0) + \frac{1}{2}(2,4) = (-2,0) + (1,2) = (-1,2)

Opção correta: (B)

3. Soma de ponto com vetor numa superfície esférica

Exame 2018, Ép. especialResposta aberta

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, a superfície esférica de equação $x^2+y^2+z^2 = 3$ e o ponto $P$ de coordenadas $(1,1,1)$, pertencente a essa superfície esférica.

Seja $\vec{u} = -2\overrightarrow{OP}$ e seja $Q = P + \vec{u}$.

Determine as coordenadas do ponto $Q$ e refira, no contexto do problema, o significado de $[PQ]$.

Como interpretar. Calcula-se o vetor $\vec{u}$ a partir de $\overrightarrow{OP}$ e soma-se ao ponto $P$. Para interpretar $[PQ]$, repare-se que a superfície esférica tem centro na origem $O$.

1.º — Coordenadas de Q

O vetor $\overrightarrow{OP} = P - O = (1,1,1)$ e $\vec{u} = -2\overrightarrow{OP} = -2(1,1,1) = (-2,-2,-2)$.

Q = P + \vec{u} = (1,1,1) + (-2,-2,-2) = (-1,-1,-1)

2.º — Significado de [PQ]

Como $Q = P + \vec{u} \Leftrightarrow Q = P - 2\overrightarrow{OP} \Leftrightarrow Q = P + 2\overrightarrow{PO}$, o ponto $Q$ é o simétrico de $P$ relativamente à origem.

Porquê. $[OP]$ é um raio da superfície esférica (o centro é $O$ e $P$ pertence-lhe). Como $P$ e $Q$ pertencem à superfície esférica e o segmento $[PQ]$ passa no centro, $[PQ]$ é um diâmetro.

$Q(-1,-1,-1)$; o segmento de reta $[PQ]$ é um diâmetro da superfície esférica.

4. Paralelismo de retas no plano

Exame 2018, Ép. especialEscolha múltipla

Para um certo número real $a$, diferente de zero, são paralelas as retas $r$ e $s$, definidas, num referencial o.n. $Oxy$, pelas condições $r: ax + 2y + 1 = 0$ e $s: (x,y) = (1,1) + k(a, 2a),\ k \in \mathbb{R}$.

Qual é o valor de $a$?

(A) $-4$

(B) $2$

(C) $-2$

(D) $4$

Como interpretar. Duas retas são paralelas quando têm o mesmo declive. Determina-se o declive de cada reta em função de $a$ e igualam-se.

1.º — Declive de cada reta

Para a reta $r$:

ax + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = -\frac{a}{2}x - \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad m_r = -\frac{a}{2}

A reta $s$ tem vetor diretor $(a, 2a)$, com $a \neq 0$, logo:

m_s = \frac{2a}{a} = 2

2.º — Igualar os declives

m_r = m_s \Leftrightarrow -\frac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a = -4

Opção correta: (A)

5. Superfície esférica com centro num vértice de um cubo

Teste Intermédio 11.º ano · março 2013Resposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[ABCDEFGH]$ (o ponto $E$ não está representado na figura).

Figura 5 - cubo [ABCDEFGH] num referencial Oxyz

Sabe-se que:

o ponto $F$ tem coordenadas $(1,3,-4)$;
o vetor $\overrightarrow{FA}$ tem coordenadas $(2,3,6)$.

Escreva uma equação cartesiana que defina a superfície esférica de centro no ponto $F$ à qual pertence o ponto $G$.

Como interpretar. O raio da superfície esférica é a distância de $F$ a $G$. Como $[FA]$ e $[FG]$ são ambos arestas do cubo, têm o mesmo comprimento, e o vetor $\overrightarrow{FA}$ é conhecido.

1.º — Raio da superfície esférica

Os comprimentos dos vetores $\overrightarrow{FA}$ e $\overrightarrow{FG}$ são iguais (ambos correspondem a arestas do cubo):

r = \|\overrightarrow{FA}\| = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{49} = 7

2.º — Equação cartesiana

Com centro $F(1,3,-4)$ e raio $7$:

$$(x-1)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2 = 49$$

A superfície esférica é definida por $(x-1)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2 = 49$.

6. Condições que definem uma reta

Teste Intermédio 10.º ano · março 2012Escolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, a reta $t$ definida por

(x,y,z) = (-1,2,3) + k(0,1,0),\ k \in \mathbb{R}

Qual das condições seguintes também define a reta $t$?

(A) $x=-1 \wedge y=2$

(B) $y=2 \wedge z=3$

(C) $x=-1 \wedge z=3$

(D) $x=0 \wedge y=0$

Como interpretar. O vetor diretor indica a direção da reta: as coordenadas que variam são as da direção do vetor; as restantes ficam fixas.

Procedimento de Resolução

O vetor diretor da reta é $(0,1,0)$, logo a reta é paralela ao eixo $Oy$ (ordenadas). Só a ordenada varia; a abcissa e a cota mantêm-se constantes.

Como a reta passa no ponto de coordenadas $(-1,2,3)$, então a condição $x=-1 \wedge z=3$ define a reta $t$.

Opção correta: (C)

7. Equação vetorial de uma reta no plano

Teste Intermédio 10.º ano · março 2012Resposta aberta

Considere, num referencial o.n. $Oxy$:

a reta $r$, definida pela equação $y = 2x - 1$;
o ponto $A$ de coordenadas $(0,-2)$.

Escreva uma equação vetorial da reta $r$.

Como interpretar. Para escrever uma equação vetorial precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor. O declive $m$ dá-nos de imediato um vetor diretor: $(1,m)$.

1.º — Vetor diretor e ponto da reta

Como o declive da reta $r$ é $m = 2$, um vetor diretor da reta é, por exemplo, $\vec{v}(1,2)$.

Como a ordenada na origem é $b = -1$, o ponto $(0,-1)$ pertence à reta $r$.

2.º — Equação vetorial

(x,y) = (0,-1) + k(1,2),\ k \in \mathbb{R}

Uma equação vetorial da reta $r$ é $(x,y) = (0,-1) + k(1,2),\ k \in \mathbb{R}$.

8. Reta paralela a uma reta dada

Teste Intermédio 11.º ano · maio 2011Escolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, a reta $r$ definida por $(x,y,z) = (3,4,5) + k(1,0,0),\ k \in \mathbb{R}$.

Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta $r$?

(A) $y=5 \wedge z=6$

(B) $x=3 \wedge y=4$

(C) $(x,y,z)=(1,0,0)+k(3,4,5),\ k \in \mathbb{R}$

(D) $(x,y,z)=(3,4,5)+k(0,1,0),\ k \in \mathbb{R}$

Como interpretar. Retas paralelas têm vetores diretores colineares. O vetor diretor de $r$ é $(1,0,0)$, pelo que $r$ é paralela ao eixo das abcissas.

Procedimento de Resolução

Os vetores diretores das retas das opções (C) e (D), $(3,4,5)$ e $(0,1,0)$, não são colineares com $(1,0,0)$, logo essas retas não são paralelas a $r$.

A condição $x=3 \wedge y=4$ (opção (B)) define uma reta paralela ao eixo $Oz$.

A condição $y=5 \wedge z=6$ define uma reta em que apenas a abcissa varia, ou seja, uma reta paralela ao eixo das abcissas — tal como a reta $r$.

Opção correta: (A)

9. Prisma: ponto H e reta paralela a Ox

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2011Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o prisma quadrangular regular $[ABCDEFGH]$.

Figura 9 - prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] num referencial Oxyz

As coordenadas dos pontos $A$, $B$ e $G$ são $(11,-1,2)$, $(8,5,0)$ e $(6,9,15)$, respetivamente.

9.1. Determine as coordenadas do ponto $H$.

9.2. Escreva uma condição que defina a reta que passa no ponto $G$ e que é paralela ao eixo $Ox$.

Como interpretar. Num prisma quadrangular regular as bases são quadrados, pelo que os lados correspondentes das duas bases definem vetores iguais: $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{GH}$.

9.1 — Coordenadas do ponto H

Como $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{GH}$, tem-se $H = G + \overrightarrow{BA}$:

\overrightarrow{BA} = A - B = (11,-1,2) - (8,5,0) = (3,-6,2)

H = G + \overrightarrow{BA} = (6,9,15) + (3,-6,2) = (9,3,17)

9.2 — Reta paralela ao eixo Ox

Como a reta é paralela a $Ox$, um vetor diretor da reta é $\vec{v}(1,0,0)$ e, como passa em $G(6,9,15)$, a condição que define a reta é:

(x,y,z) = (6,9,15) + k(1,0,0),\ k \in \mathbb{R}

$H(9,3,17)$; a reta é definida por $(x,y,z) = (6,9,15) + k(1,0,0),\ k \in \mathbb{R}$.

10. Cubo: igualdades vetoriais e secção

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2010Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[ABCDEFGH]$ (o ponto $H$ não está representado na figura).

Figura 10 - cubo [ABCDEFGH] num referencial Oxyz, sem o ponto H representado

10.1. Preencha cada um dos espaços seguintes utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras.

\dots\dots + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AC} \qquad\qquad F + \overrightarrow{CD} = \dots\dots \qquad\qquad D + 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = \dots\dots

10.2. Admita agora que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(11,-1,2)$;
o ponto $B$ tem coordenadas $(13,2,8)$;
o ponto $E$ tem coordenadas $(8,5,0)$.

10.2.1. Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano $ABG$.

10.2.2. Defina, por uma condição, a reta que contém o ponto $F$ e é paralela ao eixo $Oz$.

Como interpretar. No cubo $[ABCDEFGH]$, $[ABCD]$ e $[EFGH]$ são faces opostas e $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ e $[DH]$ são arestas. As igualdades vetoriais resolvem-se com a regra do triângulo e com a soma de um ponto com um vetor.

10.1 — Igualdades vetoriais

\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AC} \qquad\qquad F + \overrightarrow{CD} = E \qquad\qquad D + 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = F

Porquê. $\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}$ (regra do triângulo) e $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$, porque as faces $[EFGH]$ e $[ABCD]$ são paralelas e os vértices correspondem-se. Como $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$, tem-se $F + \overrightarrow{CD} = F + \overrightarrow{BA} = E$. Na última, $D + 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = D + \overrightarrow{AB} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE}\right)$ e, efetuando as somas sucessivas, obtém-se o ponto $F$.

10.2.1 — Área da secção

A secção produzida no cubo pelo plano $ABG$ é o retângulo $[ABGH]$.

O comprimento da aresta do cubo é:

\overrightarrow{AB} = B - A = (13,2,8) - (11,-1,2) = (2,3,6) \quad\Rightarrow\quad \overline{AB} = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{49} = 7

O lado $[BG]$ é uma diagonal de uma face, logo, pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BG}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{AB}^{\,2} = 49 + 49 = 98 \underset{\overline{BG}>0}{\Rightarrow} \overline{BG} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}

A_{[ABGH]} = \overline{AB}\times\overline{BG} = 7 \times 7\sqrt{2} = 49\sqrt{2}

10.2.2 — Reta que contém F e é paralela a Oz

Por 10.2.1, $\overrightarrow{AB} = (2,3,6)$. Como $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$:

F = E + \overrightarrow{EF} = E + \overrightarrow{AB} = (8,5,0) + (2,3,6) = (10,8,6)

Como a reta é paralela ao eixo $Oz$, um vetor diretor é $\vec{v}(0,0,1)$. Assim, a reta é definida por:

(x,y,z) = (10,8,6) + k(0,0,1),\ k \in \mathbb{R}

10.1: $\overrightarrow{EF}$, $E$ e $F$; 10.2.1: a área da secção é $49\sqrt{2}$; 10.2.2: $(x,y,z) = (10,8,6) + k(0,0,1),\ k \in \mathbb{R}$.

11. Equação vetorial da reta DF

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2009Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o prisma triangular não regular $[ABCDEF]$.

Figura 11 - prisma triangular [ABCDEF] num referencial Oxyz

Sabe-se que:

as bases são triângulos isósceles $\left(\overline{AB} = \overline{AC}\ \text{e}\ \overline{DE} = \overline{DF}\right)$;
a base $[ABC]$ está contida no plano $Oxy$;
as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases;
o ponto $A$ tem coordenadas $(4,0,0)$;
o ponto $E$ tem coordenadas $(0,3,8)$;
o ponto $F$ é simétrico do ponto $E$ relativamente ao plano $Oxz$.

Determine uma equação vetorial da reta $DF$.

Como interpretar. Como as arestas laterais são perpendiculares às bases e a base $[ABC]$ está no plano $Oxy$, o ponto $D$ está "por cima" de $A$, à cota da base superior (a cota de $E$). O simétrico de um ponto relativamente ao plano $Oxz$ obtém-se trocando o sinal da ordenada.

1.º — Coordenadas de D e de F

As coordenadas dos pontos $D$ e $F$ são:

D(x_A, y_A, z_E) = (4,0,8) \qquad\text{e}\qquad F(x_E, -y_E, z_E) = (0,-3,8)

2.º — Vetor diretor e equação vetorial

\overrightarrow{DF} = F - D = (0,-3,8) - (4,0,8) = (-4,-3,0)

(x,y,z) = (4,0,8) + k(-4,-3,0),\ k \in \mathbb{R}

Uma equação vetorial da reta $DF$ é $(x,y,z) = (4,0,8) + k(-4,-3,0),\ k \in \mathbb{R}$.

12. Simetria e segmento de reta [VW]

Teste Intermédio 11.º ano · janeiro 2009Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cone de revolução.

Figura 12 - cone de revolução num referencial Oxyz, com vértice V e centro da base C

Sabe-se que:

o vértice $V$ tem coordenadas $(1,2,6)$;
o ponto $C$ é o centro da base do cone.

Seja $W$ o ponto simétrico do ponto $V$ em relação ao plano $Oxy$.

Indique as coordenadas do ponto $W$ e escreva uma condição que defina o segmento de reta $[VW]$.

Como interpretar. O simétrico de um ponto relativamente ao plano $Oxy$ obtém-se trocando o sinal da cota. Para definir um segmento de reta usa-se a equação vetorial da reta com o parâmetro restrito a um intervalo.

1.º — Coordenadas de W

Como $W$ é simétrico de $V$ em relação ao plano $Oxy$:

$$W(x_V, y_V, -z_V) = (1,2,-6)$$

2.º — Condição que define [VW]

Um vetor diretor do segmento de reta $[VW]$ é o vetor $\overrightarrow{VW}$, que tem o mesmo comprimento do segmento e é paralelo ao eixo $Oz$:

\overrightarrow{VW} = W - V = (1,2,-6) - (1,2,6) = (0,0,-12)

Restringindo o parâmetro ao intervalo $[0,1]$, percorre-se exatamente o segmento de $V$ até $W$:

(x,y,z) = (1,2,6) + k(0,0,-12),\ k \in [0,1]

$W(1,2,-6)$; o segmento $[VW]$ é definido por $(x,y,z) = (1,2,6) + k(0,0,-12),\ k \in [0,1]$.

13. Reta paralela ao eixo Oz

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2009Escolha múltipla

Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. $Oxyz$, uma reta paralela ao eixo $Oz$?

(A) $(x,y,z)=(7,0,0)+k(1,1,0),\ k \in \mathbb{R}$

(B) $(x,y,z)=(1,1,0)+k(0,0,7),\ k \in \mathbb{R}$

(C) $(x,y,z)=(1,1,0)+k(7,0,0),\ k \in \mathbb{R}$

(D) $(x,y,z)=(0,0,7)+k(1,1,0),\ k \in \mathbb{R}$

Como interpretar. Uma reta é paralela ao eixo $Oz$ quando o seu vetor diretor é colinear com $(0,0,1)$. Basta analisar os vetores diretores das quatro opções.

Procedimento de Resolução

Por observação das quatro hipóteses, a única equação vetorial que tem um vetor diretor colinear com o eixo das cotas é a da opção (B), com $\vec{v}(0,0,7) = 7(0,0,1)$.

Opção correta: (B)

14. Prova vetorial: retas paralelas

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2009Resposta aberta

Na figura está representado um triângulo $[ABC]$. Os pontos $D$ e $E$ são pontos médios dos lados $[AB]$ e $[BC]$, respetivamente.

Figura 14 - triângulo [ABC] com D e E pontos médios de [AB] e [BC]

Utilizando o cálculo vetorial, prove que as retas $AC$ e $DE$ são paralelas.

Sugestão — percorra as seguintes etapas:

exprima o vetor $\overrightarrow{AC}$ à custa dos vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$;
relacione o vetor $\overrightarrow{AB}$ com o vetor $\overrightarrow{DB}$;
relacione o vetor $\overrightarrow{BC}$ com o vetor $\overrightarrow{BE}$;
mostre que $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{DE}$;
utilize a igualdade anterior para justificar que as retas $AC$ e $DE$ são paralelas.

Como interpretar. Segue-se a sugestão do enunciado: escrever $\overrightarrow{AC}$ com a regra do triângulo e usar o facto de $D$ e $E$ serem pontos médios para fazer aparecer o vetor $\overrightarrow{DE}$.

1.º — Relações entre os vetores

\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

Como $D$ é ponto médio de $[AB]$: $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{DB}$.

Como $E$ é ponto médio de $[BC]$: $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BE}$.

2.º — Mostrar que $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{DE}$

\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{DB} + 2\overrightarrow{BE} = 2\left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}\right) = 2\overrightarrow{DE}

3.º — Concluir

Conclusão. Como $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{DE}$, os vetores $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{DE}$ são colineares.

Sendo $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{DE}$ colineares, as retas $AC$ e $DE$ são paralelas.

15. Interseção de uma esfera com uma reta

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2008Escolha múltipla

Num referencial o.n. $Oxyz$, considere:

a esfera $E$ definida pela condição $x^2+y^2+z^2 \le 4$;
a reta $r$ de equação vetorial $(x,y,z) = (0,0,2) + k(0,1,0),\ k \in \mathbb{R}$.

A interseção da esfera $E$ com a reta $r$ é

(A) um segmento de reta de comprimento $2$

(B) um segmento de reta de comprimento $4$

(C) um ponto

(D) o conjunto vazio

Como interpretar. Identifica-se o centro e o raio da esfera e a posição da reta relativamente à esfera.

Procedimento de Resolução

A esfera $E$ tem centro na origem e raio $2$, logo o ponto $(0,0,2)$, que pertence à reta $r$, é o ponto da esfera com a maior cota.

O vetor diretor da reta $r$, $(0,1,0)$, é paralelo ao eixo das ordenadas, pelo que a reta é tangente à esfera nesse ponto.

Porquê. Qualquer outro ponto da reta é da forma $(0,k,2)$, com $k \neq 0$, e verifica $0^2+k^2+2^2 = k^2+4 > 4$, ou seja, está fora da esfera.

A interseção é um ponto. Opção correta: (C)

16. Condição que define uma aresta de um cubo

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2008Resposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cubo $[OPQRSTUV]$.

Figura 16 - cubo [OPQRSTUV] num referencial Oxyz

A aresta $[OP]$ está contida no semieixo positivo $Ox$, a aresta $[OR]$ está contida no semieixo positivo $Oy$ e a aresta $[OS]$ está contida no semieixo positivo $Oz$.

O ponto $U$ tem coordenadas $(2,2,2)$.

Defina, por meio de uma condição, a aresta $[UQ]$.

Como interpretar. A aresta $[UQ]$ é um segmento de reta vertical (paralelo a $Oz$). Define-se pela equação vetorial da reta $UQ$ com o parâmetro restrito a um intervalo.

1.º — Coordenadas de Q e vetor diretor

Como $U(2,2,2)$ e a aresta do cubo mede $2$, o ponto $Q$ (na base, por baixo de $U$) tem coordenadas $(2,2,0)$.

\overrightarrow{QU} = U - Q = (2,2,2) - (2,2,0) = (0,0,2)

2.º — Condição que define a aresta

(x,y,z) = (2,2,0) + k(0,0,2),\ k \in [0,1]

A aresta $[UQ]$ é definida por $(x,y,z) = (2,2,0) + k(0,0,2),\ k \in [0,1]$.

17. Reta paralela a uma reta dada no espaço

Teste Intermédio 11.º ano · maio 2008Escolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, a reta $r$ definida por $(x,y,z) = (1,2,3) + k(0,0,1),\ k \in \mathbb{R}$.

Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta $r$?

(A) $(x,y,z)=(1,2,3)+k(0,1,0),\ k \in \mathbb{R}$

(B) $(x,y,z)=(0,0,1)+k(1,2,3),\ k \in \mathbb{R}$

(C) $x=2 \wedge y=1$

(D) $x=2 \wedge z=1$

Como interpretar. O vetor diretor de $r$, $\vec{v}(0,0,1)$, é paralelo ao eixo $Oz$. Uma reta paralela a $r$ tem de ter um vetor diretor colinear com $\vec{v}$.

Procedimento de Resolução

Os vetores diretores das opções (A) e (B), $(0,1,0)$ e $(1,2,3)$, não são colineares com $(0,0,1)$.

A condição $x=2 \wedge z=1$ define uma reta paralela ao eixo $Oy$ (só a ordenada varia).

A condição $x=2 \wedge y=1$ define uma reta onde apenas a cota varia — uma reta paralela ao eixo $Oz$, tal como $r$.

Opção correta: (C)

18. Coordenadas possíveis de um vetor

Exame 2001, Ép. especialEscolha múltipla

Num referencial o.n. $Oxyz$, considere um ponto $A$ pertencente ao semieixo positivo $Ox$ e um ponto $B$ pertencente ao semieixo positivo $Oy$.

Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor $\overrightarrow{AB}$?

(A) $(-2,0,1)$

(B) $(2,0,-1)$

(C) $(-2,1,0)$

(D) $(2,-1,0)$

Como interpretar. Escrevem-se as coordenadas genéricas de $A$ e de $B$ e calcula-se $\overrightarrow{AB} = B - A$, analisando os sinais de cada coordenada.

Procedimento de Resolução

Como $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$, tem-se $A(x_A,0,0)$, com $x_A \in \mathbb{R}^+$.

Como $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$, tem-se $B(0,y_B,0)$, com $y_B \in \mathbb{R}^+$.

\overrightarrow{AB} = B - A = (0,y_B,0) - (x_A,0,0) = (-x_A,\, y_B,\, 0)

Porquê. A abcissa do vetor é negativa ($-x_A < 0$), a ordenada é positiva ($y_B > 0$) e a cota é nula.

As coordenadas nestas condições são $(-2,1,0)$. Opção correta: (C)

19. Reta TU num sólido

Exame 2001, Ép. especialResposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxyz$, um prisma e uma pirâmide quadrangulares regulares, com a mesma altura.

Figura 19 - prisma quadrangular regular com pirâmide inscrita, num referencial Oxyz

A base do prisma, que coincide com a base da pirâmide, está contida no plano $Oxy$.

O vértice $P$ pertence ao eixo $Ox$.
O vértice $R$ pertence ao eixo $Oy$.
O vértice $S$ pertence ao eixo $Oz$.
O vértice $U$ tem coordenadas $(2,2,4)$.

Escreva uma condição que defina a reta $TU$.

Como interpretar. Da figura, $T$ e $U$ são vértices da face superior do prisma. Como $U(2,2,4)$, a aresta da base mede $2$ e a altura é $4$, o ponto $T$ está na face superior com ordenada nula.

1.º — Coordenadas de T e vetor diretor

O ponto $T$ tem coordenadas $(2,0,4)$.

\overrightarrow{TU} = U - T = (2,2,4) - (2,0,4) = (0,2,0)

2.º — Condição que define a reta

(x,y,z) = (2,2,4) + k(0,2,0),\ k \in \mathbb{R}

A reta $TU$ é definida por $(x,y,z) = (2,2,4) + k(0,2,0),\ k \in \mathbb{R}$.

20. Interseção de uma reta com um plano

Exame 2001, 2.ª FaseEscolha múltipla

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um paralelepípedo retângulo.

Figura 20 - paralelepípedo retângulo [OPQRSTUV] num referencial Oxyz

O vértice $O$ é a origem do referencial.
O vértice $P$ pertence ao eixo $Ox$.
O vértice $R$ pertence ao eixo $Oy$.
O vértice $S$ pertence ao eixo $Oz$.
O vértice $U$ tem coordenadas $(2,4,2)$.

Seja $r$ a reta de equação $(x,y,z) = (2,0,2) + k(0,0,1),\ k \in \mathbb{R}$.

Qual é o ponto de interseção da reta $r$ com o plano $OUV$?

(A) O ponto $P$

(B) O ponto $T$

(C) O ponto $U$

(D) O ponto $V$

Como interpretar. Identifica-se o ponto do sólido que pertence à reta $r$ e usa-se a direção da reta para descobrir onde ela "fura" o plano $OUV$.

Procedimento de Resolução

O vértice que tem coordenadas $(2,0,2)$ é o ponto $T$, que pertence à reta $r$.

O vetor diretor da reta $r$ é $(0,0,1)$, logo $r$ é a reta vertical (paralela ao eixo $Oz$) que passa em $T$ — os seus pontos são da forma $(2,0,z)$.

Porquê. O plano $OUV$ contém o eixo $Ox$ (passa em $O$ e em $P$). O ponto da reta $r$ com cota nula é $(2,0,0)$, que é precisamente o ponto $P$.

Opção correta: (A)

21. Altura de um cone

Exame 2000, Ép. especialResposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cone cuja base está contida no plano $Oyz$ e cujo vértice pertence ao semieixo positivo $Ox$.

Figura 21 - cone com base no plano Oyz e vértice no semieixo positivo Ox, com a reta r que contém uma geratriz

A base tem raio $3$ e centro em $O$, origem do referencial.

A reta $r$, de equação $(x,y,z) = (0,3,0) + k(3,-1,0),\ k \in \mathbb{R}$, contém a geratriz do cone.

Mostre que a altura do cone é $9$.

Como interpretar. A base está no plano $Oyz$ com centro em $O$ e o vértice está no semieixo positivo $Ox$, logo a altura do cone é a abcissa do vértice $V$. O vértice é o ponto da reta $r$ com ordenada e cota nulas.

1.º — Ponto genérico da reta r

(x,y,z) = (0,3,0) + k(3,-1,0) = (3k,\ 3-k,\ 0),\ k \in \mathbb{R}

2.º — Determinar o vértice

No vértice, a ordenada é nula (a cota já é nula em todos os pontos da reta):

3 - k = 0 \Leftrightarrow k = 3 \quad\Rightarrow\quad x = 3\times 3 = 9

Conclusão. O vértice do cone é o ponto $V(9,0,0)$, pelo que a altura do cone é a distância de $V$ ao plano $Oyz$, ou seja, $9$.

A altura do cone é $9$, como queríamos mostrar.

22. Reta que interseta os três planos coordenados

Exame 2000, 1.ª fase 1.ª chamadaEscolha múltipla

Num referencial o.n. $Oxyz$, qual das seguintes retas interseta os três planos coordenados?

(A) $(x,y,z)=(1,1,1)+k(1,0,0),\ k \in \mathbb{R}$

(B) $(x,y,z)=(1,1,1)+k(0,2,0),\ k \in \mathbb{R}$

(C) $(x,y,z)=(1,1,1)+k(1,2,0),\ k \in \mathbb{R}$

(D) $(x,y,z)=(1,1,1)+k(1,2,3),\ k \in \mathbb{R}$

Como interpretar. Uma reta paralela a um eixo ou a um plano coordenado (e que não lhe pertença) nunca interseta os planos coordenados que lhe são paralelos. Analisam-se os vetores diretores.

Análise das opções

(A) $(1,0,0)$ tem a direção de $Ox$: os pontos da reta têm sempre $y=1$ e $z=1$, pelo que a reta não interseta os planos $Oxy$ e $Oxz$.
(B) $(0,2,0)$ tem a direção de $Oy$: os pontos têm sempre $x=1$ e $z=1$, pelo que a reta não interseta os planos $Oxy$ e $Oyz$.
(C) $(1,2,0)$ é paralelo ao plano $Oxy$; como a reta contém o ponto $(1,1,1)$ (cota $1 \neq 0$), a reta não interseta o plano $Oxy$.
(D) $(1,2,3)$ não é paralelo a nenhum dos eixos nem dos planos coordenados, logo a reta interseta os três planos.

Opção correta: (D)

23. Trajetória retilínea de um projétil

Exame 1999, Prova para militaresResposta aberta

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, os pontos $A(2,3,10)$ e $B(10,13,25)$.

Um tiro é disparado de $A$, de tal forma que o projétil passa pelo ponto $B$.

23.1. Pretende-se atingir um alvo situado no ponto $C(98,123,190)$. Mostre que, se o projétil seguir uma trajetória retilínea, o alvo é atingido.

23.2. A trajetória retilínea só é garantida se o alvo se encontrar a menos de $300$ unidades do local onde o projétil é disparado. Prove que, no caso presente, a trajetória retilínea está garantida.

Como interpretar. O alvo é atingido se $C$ pertencer à reta $AB$, ou seja, se os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ forem colineares. A distância do alvo ao ponto de disparo é $\|\overrightarrow{AC}\|$.

23.1 — Colinearidade dos vetores

\overrightarrow{AB} = B - A = (10,13,25) - (2,3,10) = (8,10,15)

\overrightarrow{AC} = C - A = (98,123,190) - (2,3,10) = (96,120,180)

Verifica-se se os vetores são colineares, comparando as razões entre coordenadas correspondentes:

\frac{96}{8} = \frac{120}{10} = \frac{180}{15} = 12

Conclusão. Como $\overrightarrow{AC} = 12\overrightarrow{AB}$, os vetores são colineares, pelo que $C$ pertence à reta $AB$ — se o projétil seguir uma trajetória retilínea, o alvo é atingido.

23.2 — Distância do alvo

\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{96^2+120^2+180^2} = \sqrt{9216+14400+32400} = \sqrt{56016} \approx 237

Como $\|\overrightarrow{AC}\| \approx 237 < 300$, o alvo está a menos de $300$ unidades do local de disparo, pelo que a trajetória retilínea está garantida.

24. Cubo: coordenadas do ponto H

Exame 1999, Ép. especialResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cubo.

Figura 24 - cubo num referencial Oxyz, com a face [ABCD] e a face oposta [EFGH] (H não representado)

Sabe-se que:

$[ABCD]$ é uma face do cubo;
$[EFGH]$ é a face oposta a $[ABCD]$ (o ponto $H$ não está representado na figura);
$[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ e $[DH]$ são quatro arestas do cubo;
o ponto $A$ tem coordenadas $(3,5,3)$;
o ponto $D$ tem coordenadas $(-3,3,6)$;
o ponto $E$ tem coordenadas $(1,2,-3)$.

Determine as coordenadas do ponto $H$ e comente a seguinte afirmação: «o ponto $H$ pertence a um dos eixos coordenados».

Como interpretar. As arestas $[AD]$ e $[EH]$ são paralelas e têm o mesmo comprimento, pelo que $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD}$ e, portanto, $H = E + \overrightarrow{AD}$.

1.º — Vetor $\overrightarrow{AD}$

\overrightarrow{AD} = D - A = (-3,3,6) - (3,5,3) = (-6,-2,3)

2.º — Coordenadas de H

H = E + \overrightarrow{AD} = (1,2,-3) + (-6,-2,3) = (-5,0,0)

3.º — Comentário à afirmação

Conclusão. Como duas das três coordenadas de $H$ são nulas (ordenada e cota), o ponto pertence ao eixo $Ox$.

$H(-5,0,0)$; a afirmação é verdadeira — o ponto $H$ pertence ao eixo das abcissas.

25. Pontos de uma reta nos planos coordenados

Exame 1999, 2.ª FaseResposta aberta

Na figura estão representados três pontos num referencial o.n. $Oxyz$.

Figura 25 - pontos A, B e C num referencial Oxyz

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(0,5,2)$;
o ponto $B$ pertence ao plano $Oxz$;
o ponto $C$ pertence ao plano $Oxy$;
a reta $BC$ tem equação vetorial $(x,y,z) = (5,4,-1) + k(1,2,-1),\ k \in \mathbb{R}$.

Mostre que o ponto $B$ tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto $C$ tem coordenadas $(4,2,0)$.

Como interpretar. Os pontos $B$ e $C$ pertencem à reta $BC$, logo são da forma $(5+k,\ 4+2k,\ -1-k)$. As condições «pertence ao plano $Oxz$» ($y=0$) e «pertence ao plano $Oxy$» ($z=0$) determinam o valor de $k$ em cada caso.

1.º — Ponto B (plano Oxz: y = 0)

4 + 2k = 0 \Leftrightarrow k = -2 \quad\Rightarrow\quad B(5-2,\ 0,\ -1+2) = (3,0,1)

2.º — Ponto C (plano Oxy: z = 0)

-1 - k = 0 \Leftrightarrow k = -1 \quad\Rightarrow\quad C(5-1,\ 4-2,\ 0) = (4,2,0)

$B(3,0,1)$ e $C(4,2,0)$, como queríamos mostrar.

26. Reta de interseção de dois planos

Exame 1999, 1.ª fase 1.ª chamadaEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, os planos $\alpha$ e $\beta$, definidos pelas seguintes equações:

\alpha: x = 1 \qquad\text{e}\qquad \beta: y = 2

Seja $r$ a reta de interseção de $\alpha$ e $\beta$.

Indique qual das expressões seguintes é uma equação vetorial da reta $r$.

(A) $(x,y,z)=(1,2,0)+k(0,0,2),\ k \in \mathbb{R}$

(B) $(x,y,z)=(1,1,0)+k(1,2,0),\ k \in \mathbb{R}$

(C) $(x,y,z)=(1,1,0)+k(0,0,2),\ k \in \mathbb{R}$

(D) $(x,y,z)=(1,2,0)+k(1,2,0),\ k \in \mathbb{R}$

Como interpretar. Os pontos da reta de interseção verificam simultaneamente $x=1$ e $y=2$, ou seja, são da forma $(1,2,z)$ — uma reta paralela ao eixo $Oz$.

Procedimento de Resolução

O plano $\alpha$ ($x=1$) é perpendicular a $Ox$ e o plano $\beta$ ($y=2$) é perpendicular a $Oy$. A interseção dos dois é uma reta com a direção do eixo $Oz$ — o que exclui as opções (B) e (D).

Qualquer ponto da reta tem coordenadas do tipo $(1,2,z)$. O ponto $(1,2,0)$ pertence à reta, mas o ponto $(1,1,0)$ não (a ordenada teria de ser $2$).

Opção correta: (A)

27. Extremo de um diâmetro de uma esfera

Exame 1998, 2.ª FaseEscolha múltipla

Considere a esfera definida pela condição $(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 \le 14$.

Sabendo que $[AB]$ é um diâmetro dessa esfera e que $A$ tem coordenadas $(1,1,1)$, indique as coordenadas de $B$.

(A) $(2,4,8)$

(B) $(3,5,7)$

(C) $(4,6,5)$

(D) $(5,3,6)$

Como interpretar. Se $[AB]$ é um diâmetro, o centro $C$ da esfera é o ponto médio de $[AB]$, pelo que $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$ e $B = C + \overrightarrow{AC}$.

1.º — Centro da esfera e vetor $\overrightarrow{AC}$

Da equação da esfera, o centro é $C(2,3,4)$.

\overrightarrow{AC} = C - A = (2,3,4) - (1,1,1) = (1,2,3)

2.º — Coordenadas de B

B = C + \overrightarrow{AC} = (2,3,4) + (1,2,3) = (3,5,7)

Opção correta: (B)

28. Condição que define a reta PQ

Exame 1999, 1.ª fase 2.ª chamadaEscolha múltipla

Na figura está representada, num referencial o.n. $Oxyz$, uma reta $PQ$.

Figura 28 - reta PQ num referencial Oxyz, com P no plano Oyz e Q no plano Oxy

O ponto $P$ pertence ao plano $Oyz$.
O ponto $Q$ pertence ao plano $Oxy$.

Indique qual das condições seguintes define a reta $PQ$.

(A) $3x + 5y + 4z = 0$

(B) $(x,y,z)=(3,0,-4)+k(3,5,0),\ k \in \mathbb{R}$

(C) $x=3 \wedge y=5 \wedge z=4$

(D) $(x,y,z)=(3,5,0)+k(3,0,-4),\ k \in \mathbb{R}$

Como interpretar. Da figura leem-se as coordenadas de $P$ e de $Q$: $P(0,5,4)$ (no plano $Oyz$) e $Q(3,5,0)$ (no plano $Oxy$). Com um ponto e o vetor $\overrightarrow{PQ}$ identifica-se a equação correta.

Procedimento de Resolução

A direção da reta é dada pelo vetor $\overrightarrow{PQ}$:

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (3,5,0) - (0,5,4) = (3,0,-4)

A opção (D) contém o ponto $Q(3,5,0)$ e tem vetor diretor $\overrightarrow{PQ}(3,0,-4)$, logo define a reta $PQ$.

Opção correta: (D)

29. Comprimento de uma corda

Exame 1998, 1.ª fase 1.ª chamadaEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$:

a esfera $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 \le 36$;
a reta $r$ de equação $(x,y,z) = (1,2,3) + k(-2,0,1),\ k \in \mathbb{R}$.

A interseção da reta $r$ com a esfera é um segmento de reta.

Qual é o comprimento desse segmento de reta?

(A) $8$

(B) $10$

(C) $12$

(D) $14$

Como interpretar. Repare-se que o ponto que aparece na equação vetorial da reta é exatamente o centro da esfera.

Procedimento de Resolução

O centro da esfera tem coordenadas $(1,2,3)$, que é um ponto da reta $r$.

Uma reta que passa pelo centro de uma esfera interseta-a segundo um diâmetro:

d = 2r = 2\sqrt{36} = 2\times 6 = 12

Opção correta: (C)

30. Interseção da reta UV com o plano x = 4

Exame 1998, 1.ª fase 1.ª chamadaResposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular.

Figura 30 - sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, num referencial Oxyz

A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo.
O vértice $O$ coincide com a origem do referencial.
O vértice $N$ pertence ao semieixo positivo $Ox$.
O vértice $P$ pertence ao semieixo positivo $Oy$.
O vértice $S$ pertence ao semieixo positivo $Oz$.
A altura da pirâmide, $\overline{VM}$, é igual ao comprimento da aresta do cubo.
O vértice $V$ tem coordenadas $(3,3,12)$.

Determine a interseção da reta que contém a aresta $[UV]$ com o plano de equação $x = 4$.

Como interpretar. Da cota de $V$ conclui-se o comprimento da aresta do cubo e, daí, as coordenadas de $U$. Escreve-se a equação vetorial da reta $UV$ e impõe-se $x = 4$.

1.º — Aresta do cubo e coordenadas de U

Sendo $a$ a aresta do cubo, a cota de $V$ é $a + a = 2a$ (altura do cubo mais altura da pirâmide). Como $z_V = 12$, tem-se $a = 6$. O vértice $U$ da face superior do cubo tem coordenadas $(6,6,6)$.

2.º — Equação vetorial da reta UV

\overrightarrow{UV} = V - U = (3,3,12) - (6,6,6) = (-3,-3,6)

UV:\ (x,y,z) = (6,6,6) + k(-3,-3,6),\ k \in \mathbb{R}

3.º — Impor x = 4

Qualquer ponto da reta é do tipo $(6-3k,\ 6-3k,\ 6+6k)$. O plano $x=4$ é perpendicular ao eixo $Ox$, logo na interseção:

6 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = \frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad \left(4,\ 6-3\times\tfrac{2}{3},\ 6+6\times\tfrac{2}{3}\right) = (4,4,10)

A interseção é o ponto de coordenadas $(4,4,10)$.

31. Reta paralela a um plano coordenado

Exame 1997, Prova para militaresEscolha múltipla

Num referencial o.n. $Oxyz$, considere a reta $r$ de equação vetorial

(x,y,z) = (1,2,0) + k(3,0,-1),\ k \in \mathbb{R}

A reta $r$

(A) é paralela ao plano $Oxy$

(B) é paralela ao plano $Oxz$

(C) é paralela ao plano $Oyz$

(D) não é paralela a nenhum dos planos coordenados

Como interpretar. Analisa-se o ponto genérico da reta: se alguma coordenada for constante, a reta está contida num plano paralelo a um plano coordenado.

Procedimento de Resolução

Qualquer ponto da reta tem coordenadas

(x,y,z) = (1+3k,\ 2,\ -k),\ k \in \mathbb{R}

Como todos os pontos têm ordenada igual a $2$, a reta está contida no plano $y=2$, que é paralelo ao plano $Oxz$.

Opção correta: (B)

32. Interseção de dois planos num sólido

Exame 1997, Prova para militaresResposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxyz$, um prisma quadrangular regular e uma pirâmide cuja base $[OFGE]$ coincide com a do prisma e está assente no plano $Oxy$.

Figura 32 - prisma quadrangular regular com pirâmide de base [OFGE] e vértice H, num referencial Oxyz

O vértice da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma, de altura $6$.

O ponto $G$ tem coordenadas $(4,4,0)$.

Indique, justificando, uma equação vetorial da reta que é a interseção do plano $OEH$ com o plano $ABC$.

Como interpretar. O plano $ABC$ é o plano da base superior do prisma ($z=6$) e o vértice $H$ da pirâmide pertence-lhe. A interseção dos dois planos é a reta que passa em $H$ e tem a direção comum aos dois planos — a direção de $\overrightarrow{OE}$.

1.º — Elementos necessários

Como $G(4,4,0)$, a base é um quadrado de lado $4$, com $E(4,0,0)$. Sendo a altura do prisma $6$, o vértice da pirâmide (centro da base superior) é $H(2,2,6)$.

2.º — Direção da reta de interseção

A interseção do plano $OEH$ com o plano $ABC$ é uma reta paralela ao eixo $Ox$, pois o plano $OEH$ contém a reta $OE$ (o eixo $Ox$) e o plano $ABC$ é horizontal. Assim, um vetor diretor da reta é:

\overrightarrow{OE} = E - O = (4,0,0) - (0,0,0) = (4,0,0)

A reta contém o ponto $H(2,2,6)$, que pertence aos dois planos.

3.º — Equação vetorial

(x,y,z) = (2,2,6) + k(4,0,0),\ k \in \mathbb{R}

Uma equação vetorial da reta é $(x,y,z) = (2,2,6) + k(4,0,0),\ k \in \mathbb{R}$.

33. Equação vetorial de uma reta num cilindro

Exame 1997, 1.ª FaseResposta aberta

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, um cilindro de revolução como o apresentado na figura.

Figura 33 - cilindro de revolução com base inferior centrada na origem, num referencial Oxyz

A base inferior do cilindro tem centro na origem $O$ do referencial e está contida no plano $Oxy$.

$[BC]$ é um diâmetro da base inferior, contido no eixo $Oy$, e o ponto $C$ tem coordenadas $(0,-5,0)$.
O ponto $A$ pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas $(4,3,0)$.
A reta $r$ passa no ponto $B$ e é paralela ao eixo $Oz$.
O ponto $D$ pertence à reta $r$ e à circunferência que limita a base superior do cilindro.

Escreva uma equação vetorial da reta $r$.

Como interpretar. Basta um ponto e um vetor diretor: $B$ é o simétrico de $C$ relativamente à origem (pois $[BC]$ é um diâmetro centrado em $O$) e a direção é a do eixo $Oz$.

1.º — Coordenadas de B e vetor diretor

Como $B$ e $C$ estão no eixo $Oy$ e $B$ é simétrico de $C(0,-5,0)$ relativamente a $O$, tem-se $B(0,5,0)$.

Como a reta $r$ é paralela ao eixo $Oz$, um vetor diretor é, por exemplo, $\vec{v}(0,0,1)$.

2.º — Equação vetorial

(x,y,z) = (0,5,0) + k(0,0,1),\ k \in \mathbb{R}

Uma equação vetorial da reta $r$ é $(x,y,z) = (0,5,0) + k(0,0,1),\ k \in \mathbb{R}$.