Exercícios de Exame — Pontos, Retas e Planos | 10.º ano

Ferramentas úteis.

Equação reduzida da reta no plano: $y = mx + b$, em que $m$ é o declive e $b$ a ordenada na origem. Retas paralelas têm o mesmo declive; $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Retas paralelas aos eixos (no espaço): fixam-se as duas coordenadas que não variam — por exemplo, $x = a \wedge z = c$ define uma reta paralela ao eixo $Oy$.
Planos paralelos aos planos coordenados: $x = a$ define um plano perpendicular a $Ox$ (paralelo a $Oyz$); analogamente para $y = b$ e $z = c$.
Simetrias: o simétrico de um ponto em relação a um plano coordenado obtém-se trocando o sinal da coordenada "que falta" nesse plano (por exemplo, em relação a $Oxy$ troca-se o sinal da cota).
Ponto médio: $M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$. Distância entre pontos: $\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

As resoluções seguem as propostas oficiais e as Aprendizagens Essenciais (AE2023).

1. Cubo: reta paralela e superfície esférica

Exame 2024, 2.ª FaseEscolha múltiplaResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[ABCDEFGH]$.

Figura 1 - cubo [ABCDEFGH] num referencial Oxyz

Sabe-se que:

o plano $ABC$ é definido pela equação $x = 0$;
o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Oy$, e $\overline{OA} = 4$;
o ponto $F$ pertence ao plano $Oxy$;
a reta $FC$ é definida pela equação vetorial $(x,y,z) = (-5,2,14) + k(-5,-1,7),\ k \in \mathbb{R}$.

1.1. Qual das seguintes equações vetoriais define a reta que passa no ponto $A$ e é paralela à reta $FC$?

(A) $(x,y,z)=(-5,1,7)+k(1,-5,0),\ k \in \mathbb{R}$

(B) $(x,y,z)=(5,1,-7)+k(-1,5,0),\ k \in \mathbb{R}$

(C) $(x,y,z)=(-10,2,14)+k(5,1,-7),\ k \in \mathbb{R}$

(D) $(x,y,z)=(10,2,-14)+k(5,1,-7),\ k \in \mathbb{R}$

1.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo $[ABCDEFGH]$.

Como interpretar. Como $A$ pertence ao semieixo positivo $Oy$ e $\overline{OA}=4$, tem-se $A(0,4,0)$. Em 1.1 procura-se uma reta com vetor diretor colinear com $(-5,-1,7)$ que passe em $A$. Em 1.2, a superfície esférica que contém os oito vértices tem centro no centro do cubo e $[FC]$, que une dois vértices opostos, é um diâmetro.

1.1 — Analisar as opções

As opções (A) e (B) excluem-se, porque os vetores $(1,-5,0)$ e $(-1,5,0)$ não são colineares com $(-5,-1,7)$. Nas opções (C) e (D), o vetor $(5,1,-7) = -1\times(-5,-1,7)$ é colinear com o vetor diretor de $FC$.

Verifica-se se $A(0,4,0)$ pertence à reta da opção (C):

(0,4,0) = (-10,2,14) + k(5,1,-7) \Leftrightarrow \begin{cases}0 = -10+5k \\ 4 = 2+k \\ 0 = 14-7k\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}k = 2 \\ k = 2 \\ k = 2\end{cases}

Como existe um valor de $k$ que verifica as três equações, $A$ pertence a esta reta, que tem a mesma direção de $FC$.

Opção correta: (C)

1.2 — Coordenadas de F e de C

Qualquer ponto da reta $FC$ é do tipo $(-5-5k,\ 2-k,\ 14+7k),\ k \in \mathbb{R}$.

Como $F$ pertence ao plano $Oxy$, a sua cota é nula:

14 + 7k = 0 \Leftrightarrow k = -2 \quad\Rightarrow\quad F(-5+10,\ 2+2,\ 0) = (5,4,0)

Como $C$ pertence ao plano $ABC$, de equação $x=0$, a sua abcissa é nula:

-5 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = -1 \quad\Rightarrow\quad C(0,\ 2+1,\ 14-7) = (0,3,7)

Centro e raio da superfície esférica

$F$ e $C$ são vértices opostos do cubo, pelo que o centro da superfície esférica é o ponto médio de $[FC]$ e $\overline{FC}$ é um diâmetro:

M_{[FC]} = \left(\frac{5+0}{2}, \frac{4+3}{2}, \frac{0+7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)

\overline{FC} = \sqrt{(5-0)^2+(4-3)^2+(0-7)^2} = \sqrt{25+1+49} = \sqrt{75} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{75}}{2},\ \ r^2 = \frac{75}{4}

A equação cartesiana reduzida da superfície esférica é $\left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{7}{2}\right)^2 + \left(z-\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{75}{4}$.

2. Ponto médio de um segmento

Exame 2019, 2.ª FaseEscolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. $Oxy$, a reta $AB$.

Figura 2 - reta AB num referencial Oxy, com A no semieixo negativo Ox e B no semieixo positivo Oy

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence ao semieixo negativo $Ox$ e o ponto $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;
a reta $AB$ tem equação $y = 2x + 4$.

Seja $M$ o ponto médio do segmento de reta $[AB]$.

Quais são as coordenadas do ponto $M$?

(A) $\left(-\frac{1}{2},2\right)$

(B) $(-1,2)$

(C) $\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

(D) $(-2,4)$

Como interpretar. Os pontos $A$ e $B$ são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados. Determinam-se as suas coordenadas e aplica-se a fórmula do ponto médio.

1.º — Coordenadas de A e de B

Como $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$ e à reta $y = 2x+4$, tem-se $B(0,4)$.

Como $A$ pertence ao eixo $Ox$ e à reta:

2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \quad\Rightarrow\quad A(-2,0)

2.º — Ponto médio

M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{-2+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (-1,2)

Opção correta: (B)

3. Secção num cilindro

Exame 2017, Ép. especialResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cilindro de revolução de altura $3$.

Figura 3 - cilindro de revolução num referencial Oxyz, com centros A e C e ponto B na base inferior

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(1,2,0)$ e é o centro da base inferior do cilindro, a qual está contida no plano $Oxy$;
o ponto $B$ tem coordenadas $(1,3,0)$ e pertence à circunferência que delimita a base inferior do cilindro;
o ponto $C$ é o centro da base superior do cilindro.

Determine a área da secção produzida no cilindro pelo plano de equação $x = 1$.

Como interpretar. Os pontos $A$, $B$ e $C$ têm todos abcissa $1$, logo pertencem ao plano $x=1$. Esse plano contém o eixo do cilindro, pelo que a secção é um retângulo cujos lados são o diâmetro da base e a altura do cilindro.

1.º — Raio da base

O raio da base é a distância de $A$ a $B$:

r = \overline{AB} = y_B - y_A = 3 - 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \text{diâmetro} = 2

2.º — Área da secção

A secção é um retângulo com lados iguais ao diâmetro da base ($2$) e à altura do cilindro ($3$):

A = \underbrace{2(y_B - y_A)}_{\text{diâmetro}} \times \underbrace{3}_{\text{altura}} = 2 \times 3 = 6

A área da secção é $6$.

4. Reta paralela à reta AB

Exame 2016, Ép. especialEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxy$, os pontos $A(-1,3)$ e $B(2,4)$.

Qual das seguintes equações define uma reta paralela à reta $AB$?

(A) $y=-\frac{1}{3}x$

(B) $y=\frac{1}{3}x$

(C) $y=3x$

(D) $y=-3x$

Como interpretar. Retas paralelas têm o mesmo declive, pelo que basta calcular o declive da reta $AB$.

Procedimento de Resolução

m_{AB} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{3-4}{-1-2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}

A reta paralela a $AB$ é a que tem declive $\frac{1}{3}$: $y = \frac{1}{3}x$.

Opção correta: (B)

5. Ponto numa aresta de um cubo

Teste Intermédio 10.º ano · março 2012Escolha múltipla

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[OPQRSTUV]$ de aresta $2$.

Figura 5 - cubo [OPQRSTUV] de aresta 2 num referencial Oxyz

Os pontos $P$, $R$ e $T$ pertencem aos semieixos positivos.

Numa das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto pertencente a uma das arestas do cubo. Em qual?

(A) $(1,1,2)$

(B) $(1,2,0)$

(C) $(0,1,1)$

(D) $(1,1,1)$

Como interpretar. Como a aresta do cubo é $2$, identifica-se a posição de cada ponto em relação ao cubo: um ponto de uma aresta tem de ter duas coordenadas iguais a $0$ ou a $2$.

Análise das opções

(A) $(1,1,2)$ — é o centro da face superior do cubo;
(B) $(1,2,0)$ — é o ponto médio da aresta $[QR]$;
(C) $(0,1,1)$ — é o centro da face contida no plano $Oyz$;
(D) $(1,1,1)$ — é o centro do cubo $[OPQRSTUV]$.

Opção correta: (B)

6. Equação reduzida de uma reta paralela

Teste Intermédio 10.º ano · março 2012Resposta aberta

Considere, num referencial o.n. $Oxy$:

a reta $r$, definida pela equação $y = 2x - 1$;
o ponto $A$ de coordenadas $(0,-2)$.

Figura 6 - reta r e circunferência de centro A num referencial Oxy

Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta $r$ que passa no ponto $A$.

Como interpretar. Uma reta paralela a $r$ tem o mesmo declive de $r$. Falta apenas determinar a ordenada na origem, usando o ponto $A$.

Procedimento de Resolução

Como a reta é paralela a $r$, tem declive $m = 2$.

Como deve conter $A(0,-2)$:

-2 = 2\times 0 + b \Leftrightarrow b = -2

A equação reduzida da reta é $y = 2x - 2$.

7. Reta paralela ao eixo Oy

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2011Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o prisma quadrangular regular $[ABCDEFGH]$.

Figura 7 - prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] num referencial Oxyz

As coordenadas dos pontos $A$, $B$ e $G$ são $(11,-1,2)$, $(8,5,0)$ e $(6,9,15)$, respetivamente.

Escreva uma condição que defina a reta que passa no ponto $G$ e que é paralela ao eixo $Oy$.

Como interpretar. Numa reta paralela ao eixo $Oy$ só a ordenada varia: a abcissa e a cota ficam fixas, iguais às do ponto por onde a reta passa.

Procedimento de Resolução

Como a reta é paralela ao eixo $Oy$ e passa em $G(6,9,15)$, fixam-se a abcissa e a cota de $G$:

x = 6\ \wedge\ z = 15

A reta é definida pela condição $x = 6 \wedge z = 15$.

8. Plano perpendicular a uma reta

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2011Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o poliedro $[VNOPQURST]$, que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Figura 8 - poliedro [VNOPQURST] decomposto num cubo e numa pirâmide, num referencial Oxyz

Sabe-se que:

a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano $Oxy$;
o ponto $P$ pertence ao eixo $Ox$;
o ponto $U$ tem coordenadas $(4,-4,-4)$.

Escreva uma condição cartesiana que defina o plano perpendicular à reta $QN$ e que passa no ponto $V$.

Como interpretar. Um plano perpendicular a uma reta paralela ao eixo $Ox$ é um plano de equação $x = k$. Falta identificar a abcissa do ponto $V$, vértice da pirâmide.

1.º — Direção da reta QN

Como se pode observar na figura, a reta $QN$ é paralela ao eixo $Ox$. Um plano perpendicular à reta $QN$ é, portanto, também perpendicular ao eixo $Ox$, ou seja, é definido por uma equação do tipo $x = k$, com $k \in \mathbb{R}$.

2.º — Abcissa de V

Como $U(4,-4,-4)$, a aresta do cubo é $4$, e a face superior do cubo (base da pirâmide) tem vértices $O(0,0,0)$, $P(4,0,0)$, $Q(4,-4,0)$ e $N(0,-4,0)$. O vértice $V$ da pirâmide está na vertical do centro dessa base, pelo que $V(2,-2,z_V)$.

Como o plano passa em $V$, a sua equação é $x = 2$.

9. Equação reduzida a partir dos intercetos

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2010Escolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxy$, a reta $r$ que interseta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $2$ e que interseta o eixo $Oy$ no ponto de ordenada $8$.

Qual é a equação reduzida da reta $r$?

(A) $y=-4x+8$

(B) $y=4x+8$

(C) $y=-2x+4$

(D) $y=2x+4$

Como interpretar. O interceto no eixo $Oy$ dá diretamente a ordenada na origem $b$; o ponto de interseção com $Ox$ permite calcular o declive.

Procedimento de Resolução

Como a reta interseta $Oy$ no ponto de ordenada $8$, a equação é do tipo $y = mx + 8$.

Como a reta passa no ponto $(2,0)$:

0 = m\times 2 + 8 \Leftrightarrow m = -4 \quad\Rightarrow\quad y = -4x + 8

Opção correta: (A)

10. Vértice de uma pirâmide e volume

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2010Resposta aberta

Na figura, estão representados, num referencial o.n. $Oxyz$, um prisma quadrangular regular e uma pirâmide.

Figura 10 - prisma quadrangular regular com pirâmide de vértice W, num referencial Oxyz

A base da pirâmide, $[OPQR]$, está contida no plano $Oxy$ e coincide com a base inferior do prisma.

O ponto $W$, vértice da pirâmide, coincide com o centro da base superior, $[STUV]$, do prisma.

O ponto $P$ tem coordenadas $(5,0,0)$.

Sabe-se que o volume da pirâmide é igual a $75$.

Determine as coordenadas do ponto $W$, vértice da pirâmide.

Como interpretar. A base $[OPQR]$ é um quadrado de lado $5$. Do volume da pirâmide obtém-se a cota de $W$; a abcissa e a ordenada são as do centro da base.

1.º — Cota de W

A altura da pirâmide é a cota de $W$:

V_{[OPQRW]} = 75 \Leftrightarrow \frac{1}{3}\times A_{[OPQR]}\times z_W = 75 \Leftrightarrow \frac{1}{3}\times 5^2\times z_W = 75 \Leftrightarrow z_W = \frac{225}{25} = 9

2.º — Coordenadas de W

Como $W$ está na vertical do centro do quadrado $[OPQR]$, tem abcissa e ordenada iguais a $\frac{5}{2}$:

W\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 9\right)

O ponto $W$ tem coordenadas $\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 9\right)$.

11. Equação reduzida de uma reta

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2010Escolha múltipla

Na figura, está representada, num referencial o.n. $Oxy$, a reta $r$, que interseta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $2$ e o eixo $Oy$ no ponto de ordenada $2$.

Figura 11 - reta r decrescente que interseta os eixos nos pontos de abcissa 2 e ordenada 2

Qual é a equação reduzida da reta $r$?

(A) $y=2x+2$

(B) $y=-2x+2$

(C) $y=-x+2$

(D) $y=x+2$

Como interpretar. Conhecem-se dois pontos da reta: $(2,0)$ e $(0,2)$. Calcula-se o declive e usa-se a ordenada na origem.

Procedimento de Resolução

m_r = \frac{0-2}{2-0} = -1

Como a ordenada na origem é $2$:

$$y = -x + 2$$

Opção correta: (C)

12. Posições relativas de retas e planos

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2010Resposta aberta

Na figura, estão representados, num referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide quadrangular regular $[VOPQR]$ e o prisma quadrangular regular $[ABCDEFGH]$.

Figura 12 - pirâmide quadrangular regular [VOPQR] com o prisma [ABCDEFGH] inscrito

Sabe-se que:

os vértices $P$ e $R$ da pirâmide pertencem aos eixos coordenados $Ox$ e $Oy$, respetivamente;
uma das bases do prisma está contida na base da pirâmide e cada vértice da outra base pertence a uma aresta da pirâmide.

Preencha cada um dos espaços seguintes, de modo a obter afirmações verdadeiras quanto à posição relativa das retas e/ou planos.

As retas $DQ$ e $VF$ são ……………………
As retas $EH$ e …………………… são complanares.
A reta $PQ$ e o plano $HGB$ são ……………………
A reta $FQ$ e o plano $ADH$ são ……………………
Os planos $BQV$ e …………………… são perpendiculares.

Como interpretar. Analisa-se a posição relativa recorrendo à figura: retas complanares são paralelas ou concorrentes; uma reta é paralela a um plano se não o intersetar; é concorrente se o intersetar num só ponto.

Afirmações completadas

As retas $DQ$ e $VF$ são concorrentes.
As retas $EH$ e $AB$ são complanares.
A reta $PQ$ e o plano $HGB$ são paralelos.
A reta $FQ$ e o plano $ADH$ são concorrentes.
Os planos $BQV$ e $PQR$ são perpendiculares.

Concorrentes; $AB$; paralelos; concorrentes; $PQR$.

13. Área lateral de um prisma

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2009Resposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, o prisma triangular não regular $[ABCDEF]$.

Figura 13 - prisma triangular [ABCDEF] num referencial Oxyz

Sabe-se que:

as bases são triângulos isósceles $\left(\overline{AB} = \overline{AC}\ \text{e}\ \overline{DE} = \overline{DF}\right)$;
a base $[ABC]$ está contida no plano $Oxy$;
as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases;
o ponto $A$ tem coordenadas $(4,0,0)$;
o ponto $E$ tem coordenadas $(0,3,8)$;
o ponto $F$ é o simétrico do ponto $E$, relativamente ao plano $Oxz$.

Determine a área lateral do prisma.

Como interpretar. As faces laterais do prisma são retângulos com altura igual ao comprimento das arestas laterais ($8$, a cota de $E$). Faltam os comprimentos dos lados da base $[ABC]$.

1.º — Vértices da base

Como $E(0,3,8)$ está na vertical de $B$, tem-se $B(0,3,0)$. Como $F$ é o simétrico de $E$ relativamente ao plano $Oxz$, tem-se $F(0,-3,8)$ e, portanto, $C(0,-3,0)$.

2.º — Lados da base

\overline{AB} = \sqrt{(0-4)^2+(3-0)^2} = \sqrt{25} = 5 \qquad \overline{AC} = \overline{AB} = 5 \qquad \overline{BC} = 3+3 = 6

3.º — Área lateral

Somam-se as áreas dos três retângulos (as arestas laterais medem $8$):

A_{\text{lateral}} = A_{[ABED]} + A_{[ACFD]} + A_{[BCFE]} = (2\times 5\times 8) + 6\times 8 = 80 + 48 = 128

A área lateral do prisma é $128$.

14. Simetria e segmento de reta [VW]

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2009Resposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cone de revolução.

Figura 14 - cone de revolução num referencial Oxyz, com vértice V e centro da base C

Sabe-se que:

o vértice $V$ do cone tem coordenadas $(1,2,6)$;
o ponto $C$ é o centro da base do cone.

Seja $W$ o ponto simétrico do ponto $V$, em relação ao plano $Oxy$.

Indique as coordenadas do ponto $W$ e escreva uma condição que defina o segmento de reta $[VW]$.

Como interpretar. O simétrico de um ponto em relação ao plano $Oxy$ mantém a abcissa e a ordenada e troca o sinal da cota. O segmento $[VW]$ é vertical, pelo que se define fixando $x$ e $y$ e limitando a cota.

1.º — Coordenadas de W

$$W(x_V, y_V, -z_V) = (1,2,-6)$$

2.º — Condição que define [VW]

A reta $VW$ é paralela ao eixo $Oz$, sendo definida por $x = 1 \wedge y = 2$. No segmento $[VW]$, as cotas estão compreendidas entre $-6$ e $6$:

[VW]:\ x = 1\ \wedge\ y = 2\ \wedge\ -6 \le z \le 6

$W(1,2,-6)$; o segmento $[VW]$ é definido por $x=1 \wedge y=2 \wedge -6 \le z \le 6$.

15. Cota do vértice de uma pirâmide

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2009Resposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Figura 15 - sólido decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular, num referencial Oxyz

A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice $P$ pertence ao eixo $Ox$ e o vértice $R$ pertence ao eixo $Oy$.

Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado $[OPQR]$.

O ponto $Q$ tem coordenadas $(2,2,0)$.

O volume do sólido é igual a $10$.

Determine a cota do ponto $E$.

Como interpretar. O volume do sólido é a soma dos volumes do cubo e da pirâmide. Do volume da pirâmide, cuja base tem por vértices os pontos médios dos lados de $[OPQR]$, tira-se a cota do vértice $E$.

1.º — Volume do cubo

Como $Q(2,2,0)$, a aresta do cubo é $2$:

V_{\text{cubo}} = 2^3 = 8

2.º — Lado da base da pirâmide

Dois vértices consecutivos da base da pirâmide são, por exemplo, $A(1,0,0)$ e $B(2,1,0)$ (pontos médios de lados consecutivos de $[OPQR]$):

\overline{AB} = \sqrt{(1-2)^2+(0-1)^2+(0-0)^2} = \sqrt{2}

3.º — Cota de E

V_{\text{pirâmide}} = V_{\text{sólido}} - V_{\text{cubo}} \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(\sqrt{2}\right)^2 z_E = 10 - 8 \Leftrightarrow \frac{2}{3}z_E = 2 \Leftrightarrow z_E = 3

A cota do ponto $E$ é $3$.

16. Equação reduzida a partir dos intercetos

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2008Escolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxy$, a reta $r$ que interseta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $2$ e que interseta o eixo $Oy$ no ponto de ordenada $6$.

Qual é a equação reduzida da reta $r$?

(A) $y=-3x+6$

(B) $y=3x+6$

(C) $y=-2x+3$

(D) $y=2x+3$

Como interpretar. A reta passa nos pontos $(2,0)$ e $(0,6)$; a ordenada na origem é $6$.

Procedimento de Resolução

m_r = \frac{0-6}{2-0} = -3 \quad\Rightarrow\quad r:\ y = -3x + 6

Opção correta: (A)

17. Condição que define uma aresta de um cubo

Teste Intermédio 10.º ano · maio 2008Resposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cubo $[OPQRSTUV]$.

Figura 17 - cubo [OPQRSTUV] num referencial Oxyz

A aresta $[OP]$ está contida no semieixo positivo $Ox$, a aresta $[OR]$ está contida no semieixo positivo $Oy$ e a aresta $[OS]$ está contida no semieixo positivo $Oz$.

O ponto $U$ tem coordenadas $(2,2,2)$.

Defina, por meio de uma condição, a aresta $[UQ]$.

Como interpretar. A reta $UQ$ é vertical e pode obter-se como interseção de dois planos perpendiculares aos eixos $Ox$ e $Oy$. Para restringir a aresta, limita-se a cota.

1.º — Reta UQ

A reta $UQ$ é a interseção do plano $UQR$, perpendicular a $Oy$ (definido por $y=2$), com o plano $UPQ$, perpendicular a $Ox$ (definido por $x=2$). Assim, a reta $UQ$ é definida por $x = 2 \wedge y = 2$.

2.º — Restringir à aresta

Como é pretendido o segmento de reta $[UQ]$, a cota fica compreendida entre $0$ e $2$:

[UQ]:\ x = 2\ \wedge\ y = 2\ \wedge\ 0 \le z \le 2

A aresta $[UQ]$ é definida por $x=2 \wedge y=2 \wedge 0 \le z \le 2$.

18. Reta e circunferência

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2008Resposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxy$, uma reta $AB$ e uma circunferência com centro na origem e raio igual a $5$.

Figura 18 - reta AB e circunferência de centro na origem e raio 5, num referencial Oxy

Os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência. O ponto $A$ também pertence ao eixo das abcissas.

Admitindo que o declive da reta é igual a $\frac{1}{2}$, resolva as duas alíneas seguintes.

18.1. Mostre que uma equação da reta $AB$ é $x - 2y + 5 = 0$.

18.2. Mostre que o ponto $B$ tem coordenadas $(3,4)$.

Como interpretar. Em 18.1 usa-se o declive e o ponto $A$ (interseção da circunferência com o semieixo negativo $Ox$). Em 18.2 interseta-se a reta com a circunferência $x^2+y^2=25$.

18.1 — Equação da reta AB

Como o declive da reta é $\frac{1}{2}$, a reta é do tipo $y = \frac{1}{2}x + b$.

O ponto $A$ pertence ao semieixo negativo $Ox$ e à circunferência de raio $5$, logo $A(-5,0)$:

0 = \frac{1}{2}\times(-5) + b \Leftrightarrow b = \frac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}

y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2y = x + 5 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0 \quad \text{c.q.m.}

18.2 — Coordenadas de B

$B$ pertence à reta $AB$ e à circunferência de equação $x^2+y^2=25$. Da equação da reta, $x = 2y-5$:

(2y-5)^2 + y^2 = 25 \Leftrightarrow 4y^2 - 20y + 25 + y^2 = 25 \Leftrightarrow 5y^2 - 20y = 0 \Leftrightarrow 5y(y-4) = 0

y = 0\ (\text{ponto } A) \quad\vee\quad y = 4 \ \Rightarrow\ x = 2\times 4 - 5 = 3

O ponto $B$ tem coordenadas $(3,4)$, como queríamos mostrar.

19. Reta TU num sólido

Exame 2001, Ép. especialResposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxyz$, um prisma e uma pirâmide quadrangulares regulares, com a mesma altura.

Figura 19 - prisma quadrangular regular com pirâmide inscrita, num referencial Oxyz

A base do prisma, que coincide com a base da pirâmide, está contida no plano $Oxy$.

O vértice $P$ pertence ao eixo $Ox$.
O vértice $R$ pertence ao eixo $Oy$.
O vértice $S$ pertence ao eixo $Oz$.
O vértice $U$ tem coordenadas $(2,2,4)$.

Escreva uma condição que defina a reta $TU$.

Como interpretar. $T$ e $U$ são vértices da face superior do prisma, à cota $4$. A reta $TU$ é paralela ao eixo $Oy$, pelo que se define fixando a abcissa e a cota.

Procedimento de Resolução

Da figura, $U(2,2,4)$ e $T(2,0,4)$ — só a ordenada varia de $T$ para $U$.

TU:\ x = 2\ \wedge\ z = 4

A reta $TU$ é definida pela condição $x = 2 \wedge z = 4$.

20. Reta perpendicular ao plano Oyz

Exame 2000, Prova de reservaEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxyz$, uma reta $r$, perpendicular ao plano $Oyz$.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) A reta $r$ é perpendicular ao plano $Oxy$.

(B) A reta $r$ está contida no plano $Oxy$.

(C) A reta $r$ é perpendicular ao eixo $Ox$.

(D) A reta $r$ é paralela ao eixo $Ox$.

Como interpretar. Uma reta perpendicular ao plano $Oyz$ tem a direção do eixo $Ox$. Analisam-se as quatro afirmações.

Análise das opções

(A) É falsa, porque a reta $r$ é paralela ao plano $Oxy$ (ou está nele contida), nunca perpendicular.
(B) Não é necessariamente verdadeira: a reta $r$ pode ter cota não nula.
(C) É falsa, porque a reta $r$ é paralela ao eixo $Ox$.
(D) Como a reta é perpendicular ao plano $Oyz$, é perpendicular a todas as retas desse plano (em particular aos eixos $Oy$ e $Oz$) e, portanto, é paralela ao eixo $Ox$.

Opção correta: (D)

21. Perímetro de uma face lateral de uma pirâmide

Exame 2000, Ép. especialResposta aberta

Na figura está representada, num referencial o.n. $Oxyz$, uma pirâmide quadrangular regular.

Figura 21 - pirâmide quadrangular regular invertida, com base [ABCD] paralela ao plano Oxy e vértice V

A base da pirâmide é paralela ao plano $Oxy$.
O ponto $A$ tem coordenadas $(8,8,7)$.
O ponto $B$ pertence ao plano $Oyz$.
O ponto $C$ pertence ao eixo $Oz$.
O ponto $D$ pertence ao plano $Oxz$.
O ponto $E$ é o centro da base da pirâmide.
O vértice $V$ da pirâmide pertence ao plano $Oxy$.

Determine o perímetro de uma face lateral da pirâmide.

Como interpretar. Da posição da base (paralela a $Oxy$, com $C$ no eixo $Oz$) deduzem-se as coordenadas dos vértices. Como a pirâmide é regular, as faces laterais são triângulos isósceles iguais — basta calcular o perímetro de uma, por exemplo $[ABV]$.

1.º — Coordenadas dos pontos

Como $A(8,8,7)$ e a base é um quadrado paralelo a $Oxy$ com $C$ em $Oz$: $B(0,8,7)$ e $D(8,0,7)$. O centro da base é $E(4,4,7)$ e o vértice, na vertical de $E$ e no plano $Oxy$, é $V(4,4,0)$.

2.º — Comprimentos dos lados da face [ABV]

\overline{AB} = \sqrt{(8-0)^2+(8-8)^2+(7-7)^2} = 8

\overline{AV} = \sqrt{(8-4)^2+(8-4)^2+(7-0)^2} = \sqrt{16+16+49} = \sqrt{81} = 9

Como a pirâmide é regular, $\overline{BV} = \overline{AV} = 9$.

3.º — Perímetro

P = \overline{AB} + \overline{AV} + \overline{BV} = 8 + 9 + 9 = 26

O perímetro de uma face lateral da pirâmide é $26$.

22. Prisma triangular regular: coordenadas de S

Exame 2000, 1.ª fase 2.ª chamadaResposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um prisma triangular regular.

Figura 22 - prisma triangular regular num referencial Oxyz, com vértices O, P, Q, R, S e T

Sabe-se que:

o vértice $O$ coincide com a origem do referencial;
o vértice $P$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;
o vértice $R$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;
o segmento de reta $[QR]$ tem comprimento $6$.

Sabendo que a área lateral do prisma é $72$, determine as coordenadas do ponto $S$.

Como interpretar. A área lateral é a soma das áreas de três retângulos iguais. De cada retângulo conhece-se um lado ($\overline{QR} = 6$); daí obtém-se a aresta da base e, com o Teorema de Pitágoras, a cota de $S$.

1.º — Aresta da base

Considerando a face retangular $[QRST]$:

A_{[QRST]} = \frac{72}{3} = 24 \quad\Rightarrow\quad \overline{QR}\times\overline{QS} = 24 \Leftrightarrow 6\times\overline{QS} = 24 \Leftrightarrow \overline{QS} = 4

2.º — Altura do triângulo da base

Como o prisma é regular, as bases são triângulos equiláteros de lado $4$. Seja $M$ o ponto médio de $[PQ]$; então $\overline{PM} = 2$ e, pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{PM}^{\,2} + \overline{SM}^{\,2} = \overline{PS}^{\,2} \Leftrightarrow 2^2 + \overline{SM}^{\,2} = 4^2 \Leftrightarrow \overline{SM}^{\,2} = 12 \underset{\overline{SM}>0}{\Rightarrow} \overline{SM} = \sqrt{12}

3.º — Coordenadas de S

O ponto $S$ tem a mesma abcissa do ponto $P$, a mesma ordenada de $M$ e cota igual a $\overline{SM}$:

S\left(6,\ 2,\ \sqrt{12}\right)

O ponto $S$ tem coordenadas $\left(6, 2, \sqrt{12}\right)$.

23. Conjunto definido por uma condição

Exame 1999, Ép. especialEscolha múltipla

Num referencial o.n. $Oxyz$, a condição $\begin{cases}x = 0 \\ z = 3\end{cases}$ define:

(A) o conjunto vazio

(B) um ponto

(C) uma reta

(D) um plano

Como interpretar. Cada equação define um plano; a conjunção de duas equações de planos não paralelos define a reta de interseção.

Procedimento de Resolução

A equação $x=0$ define o plano $Oyz$ e a equação $z=3$ define um plano paralelo a $Oxy$. Estes planos não são paralelos entre si, pelo que a sua interseção é uma reta — a reta dos pontos da forma $(0,y,3)$, paralela ao eixo $Oy$.

Opção correta: (C)

24. Volume de um cubo

Exame 1999, Ép. especialResposta aberta

Na figura, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cubo.

Figura 24 - cubo num referencial Oxyz, com a face [ABCD] e a face oposta [EFGH] (H não representado)

Sabe-se que:

$[ABCD]$ é uma face do cubo;
$[EFGH]$ é a face oposta à face $[ABCD]$ (o ponto $H$ não está representado na figura);
$[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ e $[DH]$ são quatro arestas do cubo;
o ponto $A$ tem coordenadas $(3,5,3)$;
o ponto $D$ tem coordenadas $(-3,3,6)$;
o ponto $E$ tem coordenadas $(1,2,-3)$.

Determine o volume do cubo.

Como interpretar. Para determinar o volume do cubo, basta calcular o comprimento de uma das arestas — por exemplo, $[AD]$.

1.º — Comprimento da aresta

\overline{AD} = \sqrt{(3+3)^2+(5-3)^2+(3-6)^2} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7

2.º — Volume

V_{\text{cubo}} = 7^3 = 343\ \text{u.v.}

O volume do cubo é $343$ unidades de volume.

25. Reta paralela ao eixo Oy

Exame 1998, Prova para militaresEscolha múltipla

Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. $Oxyz$, uma reta paralela ao eixo $Oy$?

(A) $x=1 \wedge y=2 \wedge z=3$

(B) $x=2 \wedge z=1$

(C) $x=y=z$

(D) $y=1$

Como interpretar. Uma reta paralela a um dos eixos define-se fixando as duas coordenadas que não são a do eixo.

Análise das opções

A condição (A) define um ponto; a condição (C) define uma reta que não é paralela a nenhum dos eixos; a condição (D) define um plano.

A condição $x=2 \wedge z=1$ fixa a abcissa e a cota, deixando a ordenada livre — define uma reta paralela ao eixo $Oy$.

Opção correta: (B)

26. Justificação de medidas num sólido

Exame 1998, 1.ª fase 1.ª chamadaResposta aberta

Na figura está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular.

Figura 26 - sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, num referencial Oxyz

A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo.
O vértice $O$ coincide com a origem do referencial.
O vértice $N$ pertence ao semieixo positivo $Ox$.
O vértice $P$ pertence ao semieixo positivo $Oy$.
O vértice $S$ pertence ao semieixo positivo $Oz$.
A altura da pirâmide, $\overline{VM}$, é igual ao comprimento da aresta do cubo.
O vértice $V$ tem coordenadas $(3,3,12)$.

Justifique que $\overline{UQ} = 6$ e que $\overline{UV} = 3\sqrt{6}$.

Como interpretar. A cota de $V$ é a soma da altura do cubo com a altura da pirâmide. Como estas são iguais ($\overline{VM} = \overline{UQ}$), obtém-se a aresta do cubo; depois calcula-se $\overline{UV}$ com a fórmula da distância.

1.º — Justificar que $\overline{UQ} = 6$

Como $\overline{VM} = \overline{UQ}$ e $V(3,3,12)$:

\overline{VM} + \overline{UQ} = 12 \Leftrightarrow \overline{UQ} + \overline{UQ} = 12 \Leftrightarrow 2\,\overline{UQ} = 12 \Leftrightarrow \overline{UQ} = 6 \quad \text{c.q.m.}

2.º — Justificar que $\overline{UV} = 3\sqrt{6}$

O vértice $U$ da face superior do cubo tem coordenadas $(6,6,6)$ e $V(3,3,12)$:

\overline{UV} = \sqrt{(6-3)^2+(6-3)^2+(6-12)^2} = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54} = \sqrt{9\times 6} = 3\sqrt{6} \quad \text{c.q.m.}

$\overline{UQ} = 6$ e $\overline{UV} = 3\sqrt{6}$, como queríamos mostrar.

27. Coordenadas do vértice de uma pirâmide

Exame 1997, Prova para militaresResposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxyz$, um prisma quadrangular regular e uma pirâmide cuja base $[OEFG]$ coincide com a do prisma e está assente no plano $Oxy$.

Figura 27 - prisma quadrangular regular com pirâmide de base [OEFG] e vértice H, num referencial Oxyz

O vértice da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma.

O ponto $G$ tem coordenadas $(4,4,0)$.

Sabendo que, na unidade considerada, o volume do prisma é igual a $96$, mostre que o ponto $H$ tem coordenadas $(2,2,6)$.

Como interpretar. Da base quadrada obtém-se a área; do volume do prisma tira-se a altura. O ponto $H$ é o centro da base superior do prisma.

1.º — Área da base

Como o prisma é quadrangular regular e $G(4,4,0)$, a aresta da base é $4$:

A_{[OEFG]} = 4\times 4 = 16

2.º — Altura do prisma

V = 96 \Leftrightarrow A_{[OEFG]}\times\text{altura} = 96 \Leftrightarrow 16\times\text{altura} = 96 \Leftrightarrow \text{altura} = \frac{96}{16} = 6

3.º — Coordenadas de H

Como $H$ coincide com o centro da base superior do prisma:

H\left(\frac{x_G}{2}, \frac{y_G}{2}, \text{altura}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}, 6\right) = (2,2,6) \quad \text{c.q.m.}

O ponto $H$ tem coordenadas $(2,2,6)$, como queríamos mostrar.