Exercícios de Exame — Mediatriz | 10.º ano

Ferramentas úteis.

Mediatriz de um segmento $[AB]$: é o conjunto dos pontos $P$ equidistantes de $A$ e de $B$, isto é, $d(P,A) = d(P,B)$.
Método algébrico: elevar ao quadrado a igualdade das distâncias, $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2 = (x-x_B)^2+(y-y_B)^2$, e simplificar até à equação reduzida.
Método geométrico: a mediatriz é a reta perpendicular a $AB$ que passa no ponto médio de $[AB]$; o seu declive é $-\frac{1}{m_{AB}}$.
Área do trapézio: $A = \frac{B+b}{2}\times h$, em que $B$ e $b$ são as bases e $h$ a altura.

As resoluções seguem as propostas oficiais e as Aprendizagens Essenciais (AE2023).

1. Trapézio e mediatriz de [AD]

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2010Resposta aberta

Na figura, está representada, num referencial o.n. $Oxy$, a circunferência que tem centro no ponto $A(4,7)$ e que contém o ponto $D(8,10)$.

Figura 1 - circunferência de centro A(4,7) com o trapézio [ABCD]

Sabe-se que:

$[CF]$ é a corda da circunferência contida no eixo $Oy$;
$[CD]$ é uma corda da circunferência, paralela ao eixo $Ox$;
$[AE]$ é um raio da circunferência, paralelo ao eixo $Oy$;
$[ABCD]$ é um trapézio retângulo.

1.1. Determine a área do trapézio $[ABCD]$.

1.2. Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta $[AD]$.

Como interpretar. Os vértices $B$ e $C$ do trapézio pertencem ao eixo $Oy$, com ordenadas iguais às dos pontos $A$ e $D$, respetivamente: $B(0,7)$ e $C(0,10)$. Para a mediatriz, usa-se a igualdade das distâncias a $A$ e a $D$.

1.1 — Área do trapézio

As bases e a altura do trapézio são:

\overline{BA} = x_A = 4\ \text{(base menor)} \qquad \overline{CD} = x_D = 8\ \text{(base maior)} \qquad \overline{BC} = y_C - y_B = 10-7 = 3\ \text{(altura)}

A_{[ABCD]} = \frac{\overline{BA}+\overline{CD}}{2}\times\overline{BC} = \frac{4+8}{2}\times 3 = 18

1.2 — Mediatriz de [AD]

Com $A(4,7)$ e $D(8,10)$, seja $P(x,y)$ um ponto da mediatriz de $[AD]$; então $d(P,A) = d(P,D)$:

$$(x-4)^2+(y-7)^2 = (x-8)^2+(y-10)^2$$

$$x^2-8x+16+y^2-14y+49 = x^2-16x+64+y^2-20y+100$$

-8x-14y+65 = -16x-20y+164 \Leftrightarrow 6y = -8x+99 \Leftrightarrow y = -\frac{4}{3}x+\frac{33}{2}

1.1: a área do trapézio é $18$; 1.2: a equação reduzida da mediatriz de $[AD]$ é $y = -\frac{4}{3}x+\frac{33}{2}$.

2. Mediatriz do segmento [BC]

Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2009Resposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxy$:

Figura 2 - circunferência de raio 3 centrada na origem, reta BD e reta AB

os pontos $A$ e $D$, pertencentes ao eixo $Oy$;
o ponto $C$, pertencente ao eixo $Ox$;
a circunferência de centro na origem do referencial e raio $3$, que contém os pontos $A$, $C$ e $D$;
a reta $BD$, que contém o ponto $C$;
a reta $AB$, paralela ao eixo $Ox$.

O ponto $B$ tem coordenadas $(6,3)$.

Mostre que uma equação da mediatriz do segmento $[BC]$ é $y = -x+6$.

Como interpretar. Como $C$ pertence ao semieixo positivo $Ox$ e à circunferência de raio $3$, tem-se $C(3,0)$. A mediatriz de $[BC]$ é o conjunto dos pontos equidistantes de $B$ e de $C$.

1.º — Coordenadas de C

$C$ pertence ao eixo $Ox$, logo é do tipo $(x_C, 0)$; como pertence à circunferência de raio $3$ e tem abcissa positiva, $C(3,0)$.

2.º — Equação da mediatriz

Seja $P(x,y)$ um ponto da mediatriz de $[BC]$; então $d(P,B) = d(P,C)$:

$$(x-6)^2+(y-3)^2 = (x-3)^2+y^2$$

$$x^2-12x+36+y^2-6y+9 = x^2-6x+9+y^2$$

-12x-6y+45 = -6x+9 \Leftrightarrow -6y = 6x-36 \Leftrightarrow y = -x+6 \quad \text{c.q.m.}

Uma equação da mediatriz de $[BC]$ é $y = -x+6$, como queríamos mostrar.