Exercícios de Exame — Conjuntos de Pontos e Condições

Círculos e Circunferências · Semiplanos · Regiões do Plano · Perímetros e Áreas

Matemática A · 10.º ano · matematicaparatodos.pt

Ferramentas úteis. As resoluções seguem as propostas oficiais e as Aprendizagens Essenciais (AE2023).

1. Círculo e semiplanos

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Exame 2018, 1.ª FaseEscolha múltipla

Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n. $Oxy$, uma circunferência de centro na origem e que passa nos pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$.

Figura 1 - circunferência de centro na origem com regiões sombreadas laterais

Sabe-se que:

  • o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$ e tem abcissa igual a $2$;
  • os pontos $B$ e $F$ têm ambos abcissa igual a $1$;
  • os pontos $C$, $D$ e $E$ são, respetivamente, os simétricos dos pontos $B$, $A$ e $F$ relativamente ao eixo $Oy$.

Qual das condições seguintes define o domínio plano apresentado a sombreado?

(A) $x^2+y^2 \le 2\ \wedge\ x \le 1$
(B) $x^2+y^2 \le 4\ \wedge\ x \le 1$
(C) $x^2+y^2 \le 4\ \wedge\ |x| \ge 1$
(D) $x^2+y^2 \le 2\ \wedge\ |x| \ge 1$
Como interpretar. A região sombreada está dentro da circunferência (de raio $2$) e é formada por duas "fatias" laterais: os pontos com abcissa maior ou igual a $1$ ou menor ou igual a $-1$.
1.º — Interior da circunferência

A circunferência tem centro na origem e raio $2$ (a abcissa de $A$), logo o círculo é definido por:

$$x^2+y^2 \le 4$$
2.º — As duas faixas laterais

Os pontos sombreados têm abcissa inferior ou igual a $-1$ ou superior ou igual a $1$:

$$x \le -1\ \vee\ x \ge 1 \quad\Leftrightarrow\quad |x| \ge 1$$
3.º — Conclusão
$$x^2+y^2 \le 4\ \wedge\ |x| \ge 1$$
Opção correta: (C)

2. Perímetro de uma região

2
Exame 2017, 2.ª FaseEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxy$, a região definida pela condição:

$$(x+1)^2+(y+1)^2 \le 1\ \wedge\ x+y+2 \ge 0$$

Qual é o perímetro dessa região?

(A) $\pi + 1$
(B) $\frac{\pi}{2} + 1$
(C) $\pi + 2$
(D) $\frac{\pi}{2} + 2$
Como interpretar. A primeira condição define um círculo de centro $(-1,-1)$ e raio $1$. A segunda, $x+y+2 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge -x-2$, define o semiplano superior limitado por uma reta de declive $-1$ que passa no centro do círculo.
1.º — Identificar a região

Como a reta $y = -x-2$ passa no centro $(-1,-1)$ do círculo, a região é um semicírculo de raio $1$.

2.º — Perímetro

O perímetro é a soma de metade do perímetro da circunferência com o diâmetro:

$$P = \frac{2\pi r}{2} + d = \pi\times 1 + 2 = \pi + 2$$
Opção correta: (C)

3. Circunferência inscrita num quadrado

3
Exame 2016, 2.ª FaseEscolha múltipla

Considere, num referencial o.n. $Oxy$, o quadrado definido pela condição:

$$0 \le x \le 4\ \wedge\ 1 \le y \le 5$$

Qual das condições seguintes define a circunferência inscrita neste quadrado?

(A) $(x-4)^2+(y-5)^2 = 16$
(B) $(x-4)^2+(y-5)^2 = 4$
(C) $(x-2)^2+(y-3)^2 = 4$
(D) $(x-2)^2+(y-3)^2 = 16$
Como interpretar. O centro da circunferência inscrita é o centro do quadrado (ponto médio de uma diagonal) e o raio é metade do comprimento do lado.
1.º — Centro e raio

Sejam $A(0,1)$ e $B(4,5)$ os extremos de uma das diagonais do quadrado. O centro $C$ é o ponto médio:

$$C\left(\frac{0+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (2,3) \qquad\qquad r = \frac{4}{2} = 2$$
2.º — Equação
$$(x-2)^2+(y-3)^2 = 4$$
Opção correta: (C)

4. Região definida por circunferência e reta

4
Teste Intermédio 10.º ano · março 2012Resposta aberta

Considere, num referencial o.n. $Oxy$:

  • a reta $r$, definida pela equação $y = 2x - 1$;
  • o ponto $A$ de coordenadas $(0,-2)$.

Na figura, estão representados a reta $r$, o ponto $A$ e a circunferência que tem centro em $A$ e que passa em $O$.

Figura 4 - reta r e circunferência de centro A que passa na origem, com região sombreada

Defina, por uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a sua fronteira.

Como interpretar. A região sombreada é limitada por três linhas: a circunferência de centro $A$, a reta $r$ e o eixo $Oy$. Escreve-se a condição correspondente a cada uma e faz-se a conjunção.
1.º — Interior da circunferência

A circunferência tem centro $A(0,-2)$ e passa na origem, logo o raio é $\overline{AO} = 2$:

$$x^2+(y+2)^2 \le 4$$
2.º — Semiplanos

A região está abaixo da reta $r$ (semiplano inferior limitado por $y = 2x-1$):

$$y \le 2x - 1$$

E à direita do eixo $Oy$ (abcissa não negativa):

$$x \ge 0$$
3.º — Conclusão
A região sombreada, incluindo a fronteira, é definida por $x^2+(y+2)^2 \le 4\ \wedge\ y \le 2x-1\ \wedge\ x \ge 0$.

5. Representação de uma condição

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Teste Intermédio 10.º ano · maio 2011Escolha múltipla

Considere a condição $(x+1)^2+(y-1)^2 \le 2\ \wedge\ x \ge 0$.

Em qual das opções seguintes está representado, num referencial o.n. $Oxy$, o conjunto de pontos definido por esta condição?

(A)
Opção A - região em forma de lúnula junto ao eixo Oy, que se estende abaixo da origem
(B)
Opção B - círculo sombreado no segundo quadrante, tangente aos eixos
(C)
Opção C - região em forma de lúnula junto ao eixo Oy, com extremo inferior na origem
(D)
Opção D - círculo sombreado no primeiro quadrante, junto à origem
Como interpretar. A condição define a parte do círculo de centro $(-1,1)$ e raio $\sqrt{2}$ que está no semiplano $x \ge 0$ — uma pequena "lúnula" encostada ao eixo $Oy$. Resta decidir se a origem pertence ou não à fronteira.
1.º — Identificar as regiões possíveis

$(x+1)^2+(y-1)^2 \le 2$ é o círculo de centro $(-1,1)$ e raio $\sqrt{2}$; $x \ge 0$ retém apenas os pontos de abcissa não negativa. As representações compatíveis são as das opções (A) e (C).

2.º — Testar a origem

Na opção (A) a origem não pertence à circunferência; na opção (C) pertence. Verifica-se com $O(0,0)$:

$$(0+1)^2+(0-1)^2 = 2 \le 2 \quad\Rightarrow\quad O \text{ pertence à circunferência}$$
Opção correta: (C)

6. Região limitada por uma circunferência

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Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2010Resposta aberta

Na figura, está representada, num referencial o.n. $Oxy$, a circunferência que tem centro no ponto $A(4,7)$ e que contém o ponto $D(8,10)$.

Figura 6 - circunferência de centro A(4,7) com o trapézio [ABCD] e região sombreada

Sabe-se que:

  • $[CF]$ é a corda da circunferência contida no eixo $Oy$;
  • $[CD]$ é uma corda da circunferência, paralela ao eixo $Ox$;
  • $[AE]$ é um raio da circunferência, paralelo ao eixo $Oy$;
  • $[ABCD]$ é um trapézio retângulo.

Defina, por uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.

Como interpretar. A região sombreada está dentro do círculo de centro $A$, abaixo da reta horizontal que passa em $A$ (e em $B$) e entre o eixo $Oy$ e a reta vertical $AE$.
1.º — Raio da circunferência
$$r = \overline{AD} = \sqrt{(4-8)^2+(7-10)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$$

O círculo é definido por $(x-4)^2+(y-7)^2 \le 25$.

2.º — Semiplanos

Região em que a ordenada é inferior ou igual a $7$ (abaixo da reta $BA$):

$$y \le 7$$

Região em que a abcissa está compreendida entre $0$ e $4$ (entre o eixo $Oy$ e a reta $AE$):

$$0 \le x \le 4$$
3.º — Conclusão
A região sombreada é definida por $(x-4)^2+(y-7)^2 \le 25\ \wedge\ y \le 7\ \wedge\ 0 \le x \le 4$.

7. Círculo e semiplano

7
Teste Intermédio 10.º ano · maio 2009Escolha múltipla

Na figura está representada, num referencial o.n. $Oxy$, uma circunferência de centro no ponto $P(2,-1)$.

Figura 7 - circunferência de centro P(2,-1) com região sombreada acima do eixo Ox

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) $(x-2)^2+(y+1)^2 \le 4\ \wedge\ x \ge 0$
(B) $(x-2)^2+(y+1)^2 \le 4\ \wedge\ y \ge 0$
(C) $(x+2)^2+(y-1)^2 \le 4\ \wedge\ y \ge 0$
(D) $(x+2)^2+(y-1)^2 \le 4\ \wedge\ x \ge 0$
Como interpretar. A região sombreada é a parte do círculo que fica acima do eixo $Ox$, ou seja, a interseção do círculo com o semiplano $y \ge 0$.
Procedimento de Resolução

A circunferência tem centro $P(2,-1)$ e raio $2$ (da figura), logo o círculo é definido por:

$$(x-2)^2+(y+1)^2 \le 4$$

A região sombreada é a parte do círculo com ordenada não negativa: $y \ge 0$.

$$(x-2)^2+(y+1)^2 \le 4\ \wedge\ y \ge 0$$
Opção correta: (B)

8. Regiões, condições e áreas

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Teste Intermédio 10.º ano · janeiro 2009Resposta aberta

Na figura estão representados, num referencial o.n. $Oxy$:

Figura 8 - circunferência de raio 3 centrada na origem, reta BD e regiões ponteada e sombreada
  • os pontos $A$ e $D$, pertencentes ao eixo $Oy$;
  • o ponto $C$, pertencente ao eixo $Ox$;
  • a circunferência de centro na origem do referencial e raio $3$, que contém os pontos $A$, $C$ e $D$;
  • a reta $BD$, que contém o ponto $C$;
  • a reta $AB$, paralela ao eixo $Ox$.

O ponto $B$ tem coordenadas $(6,3)$.

Estão assinaladas na figura duas regiões:

  • uma, ponteada, no primeiro quadrante;
  • outra, sombreada, no quarto quadrante.

8.1. Defina, por meio de uma condição, a região a sombreado, incluindo a fronteira.

8.2. Determine a área da região ponteada. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Como interpretar. A região sombreada é o segmento circular entre a corda $[CD]$ e o arco da circunferência, no 4.º quadrante. A região ponteada obtém-se retirando ao trapézio $[ABCO]$ um quarto do círculo.
8.1 — Condição da região sombreada

Interior da circunferência de centro na origem e raio $3$:

$$x^2+y^2 \le 9$$

Reta $CD$, que passa em $C(3,0)$ e $D(0,-3)$:

$$m_{CD} = \frac{0-(-3)}{3-0} = 1,\qquad b = -3 \quad\Rightarrow\quad y = x - 3$$

A região sombreada fica entre a corda e o arco, abaixo da reta $CD$:

$$x^2+y^2 \le 9\ \wedge\ y \le x-3$$
8.2 — Área da região ponteada

A área da região ponteada é a diferença entre a área do trapézio $[ABCO]$ — com $A(0,3)$, $B(6,3)$, $C(3,0)$ e $O(0,0)$ — e a área de um quarto do círculo:

$$A_{[ABCO]} = \frac{\overline{AB}+\overline{OC}}{2}\times\overline{OA} = \frac{6+3}{2}\times 3 = \frac{27}{2}$$
$$A_{\frac{1}{4}\text{círculo}} = \frac{1}{4}\times\pi\times 3^2 = \frac{9\pi}{4}$$
$$A_{\text{ponteada}} = \frac{27}{2} - \frac{9\pi}{4} \approx 6{,}43$$
8.1: $x^2+y^2 \le 9 \wedge y \le x-3$; 8.2: a área da região ponteada é aproximadamente $6{,}43$.

9. Semicírculo e semiplano

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Teste Intermédio 10.º ano · maio 2008Escolha múltipla

Na figura está representada, num referencial o.n. $Oxy$, uma semicircunferência de centro na origem e que passa nos pontos $P$ e $Q$.

Figura 9 - semicircunferência de centro na origem com os pontos P(-3,4) e Q(3,4) e o segmento [PQ]

O ponto $P$ tem coordenadas $(-3,4)$ e o ponto $Q$ tem coordenadas $(3,4)$.

Na figura está também representado o segmento de reta $[PQ]$.

Qual das condições seguintes define o domínio plano sombreado?

(A) $x^2+y^2 \le 25\ \wedge\ -3 \le x \le 3$
(B) $x^2+y^2 \le 25\ \wedge\ y \ge 4$
(C) $x^2+y^2 \le 16\ \wedge\ -3 \le x \le 3$
(D) $x^2+y^2 \le 16\ \wedge\ y \ge 4$
Como interpretar. A região sombreada é o conjunto dos pontos do interior do círculo que estão acima da reta $PQ$ (horizontal, de equação $y = 4$).
1.º — Raio da circunferência
$$r = \overline{OP} = \sqrt{(-3)^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2 \le 25$$
2.º — Semiplano superior da reta PQ

A reta $PQ$ é horizontal, com ordenada $4$, e a região sombreada está acima dela:

$$y \ge 4$$
Opção correta: (B)