Exercícios de Exame — Superfícies Esféricas e Esferas

Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma hexagonal reto \([ABCDEFGHIJKL]\), de bases \([ABCDEF]\) e \([GHIJKL]\). Sabe-se que:

• as coordenadas dos vértices \(A\) e \(G\) do prisma são, respetivamente, \((4,0,0)\) e \(\left(12,\tfrac{13}{2},2\right)\);
• a reta \(EL\) é definida pela equação vetorial \((x,y,z)=(-2,-8,4)+k(3,4,0)\), \(k\in\mathbb{R}\).

Qual das seguintes equações define a superfície esférica de diâmetro \([AG]\)?

Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), um trapézio \([PQRS]\), de bases \([PQ]\) e \([RS]\), em que o lado \([PS]\) é perpendicular às bases. Tem-se \(P(1,-1,2)\), \(Q(-2,1,1)\) e \(R(-5,5,-3)\).

Qual das condições seguintes define a superfície esférica de centro no ponto \(R\) e que passa no ponto \(Q\)?

Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o cubo \([ABCDEFGH]\) (o ponto \(H\) não está representado). Sabe-se que \(A(7,1,4)\) e \(G(5,3,6)\).

Resolva o item seguinte sem recorrer à calculadora. Determine a equação reduzida da superfície esférica que passa nos oito vértices do cubo.

Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma quadrangular regular \([OPQRSTUV]\). Sabe-se que:

• a face \([OPQR]\) está contida no plano \(xOy\);
• o vértice \(Q\) pertence ao eixo \(Oy\) e o vértice \(T\) pertence ao eixo \(Oz\);
• o plano \(STU\) tem equação \(z=3\).

Seja \(T'\) o simétrico do ponto \(T\), relativamente à origem do referencial.

Escreva uma equação da superfície esférica de diâmetro \([TT']\).

Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. \(Oxyz\), uma pirâmide quadrangular regular \(ABCDV\). Sabe-se que:

• a base \([ABCD]\) da pirâmide é paralela ao plano \(xOy\);
• \(A(-1,1,1)\) e \(C(-3,3,1)\).

Escreva uma condição que defina a superfície esférica de centro no ponto \(A\) e que é tangente ao plano \(xOy\).

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), os pontos \(A(0,0,2)\) e \(B(4,0,0)\).

Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta \([AB]\) é um diâmetro.

Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\). As coordenadas dos pontos \(A\), \(B\) e \(G\) são \((11,-1,2)\), \((8,5,0)\) e \((6,9,15)\), respetivamente.

Escreva uma equação que defina a superfície esférica com centro no ponto \(A\) e que passa no ponto \(B\).

Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), o poliedro \([VNOPQURST]\), que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que:

• a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano \(xOy\);
• o ponto \(P\) pertence ao eixo \(Ox\);
• \(U(4,-4,-4)\).

Escreva uma condição cartesiana que defina a superfície esférica de centro em \(U\) e que passa no ponto \(T\).

Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. \(Oxyz\), um prisma quadrangular regular e uma pirâmide. A base da pirâmide, \([OPQR]\), está contida no plano \(xOy\) e coincide com a base inferior do prisma. O ponto \(W\), vértice da pirâmide, coincide com o centro da base superior \([STUV]\) do prisma. O ponto \(P\) tem coordenadas \((5,0,0)\).

Defina, por uma condição, a superfície esférica de centro no ponto \(Q\) e que passa no ponto \(O\).

Considere, num referencial o.n. \(xOy\), a circunferência de equação \((x-1)^{2}+(y-3)^{2}=16\).

Qual das equações seguintes define uma reta tangente a esta circunferência?

Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. \(Oxyz\), a pirâmide quadrangular regular \([VOPQR]\) e o prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\). Sabe-se que:

• os vértices \(P\) e \(R\) da pirâmide pertencem aos eixos \(Ox\) e \(Oy\), respetivamente;
• uma das bases do prisma está contida na base da pirâmide e cada vértice da outra base pertence a uma aresta da pirâmide;
• \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y-8z=0\) é uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto \(V\) e que contém os quatro vértices da base da pirâmide.

Calcule o volume da pirâmide \([VOPQR]\).

Num referencial o.n. \(Oxyz\), a condição \(x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}\le 4\) define uma esfera.

Qual das equações seguintes define um plano que divide essa esfera em dois sólidos com o mesmo volume?

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), a superfície esférica de equação \(x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4\).

A interseção desta superfície com o plano \(xOy\) é

Na figura está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem é um dos vértices do cubo, o vértice \(P\) pertence ao eixo \(Ox\) e o vértice \(R\) pertence ao eixo \(Oy\). Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado \([OPQR]\). O ponto \(Q\) tem coordenadas \((2,2,0)\) e o volume do sólido é igual a \(10\).

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto \(T\) e que contém o ponto \(C\).

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), as superfícies esféricas definidas pelas equações

A interseção destas superfícies esféricas é ...

Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), um sólido formado por um paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\) e uma pirâmide \([ABCDV]\). A base \([EFGH]\) está contida no plano \(xOy\) e a base da pirâmide \([ABCD]\) coincide com a face superior do paralelepípedo. A aresta \([GF]\) está contida no eixo \(Oy\). Uma equação da superfície esférica com centro \(A(1,1,1)\) e que contém \(G\) é \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=11\).

Verifique que o ponto \(H\) tem coordenadas \((1,-2,0)\).

Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), um octaedro \([ABCDEFGH]\). Sabe-se que:

• \(B(1,0,1)\), \(E(0,1,1)\) e \(A(1,1,2)\);
• o vértice \(F\) pertence ao plano \(xOy\).

Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro.

Considere, em referencial o.n. \(Oxyz\), a superfície esférica centrada na origem e cuja interseção com o plano de equação \(z=3\) é uma circunferência de perímetro \(8\pi\).

Qual das seguintes é uma equação desta superfície esférica?

Qual das seguintes equações define, num referencial o.n. \(Oxyz\), uma superfície esférica tangente aos planos de equações \(x=4\) e \(y=0\)?

Num referencial o.n. \(Oxyz\), considere os planos definidos pelas equações \(z=1\) e \(z=5\).

Qual das equações seguintes define uma superfície esférica tangente aos dois planos?

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), a superfície esférica \(S\), de equação \((x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=2\).

Qual das equações seguintes define um plano cuja interseção com a superfície esférica não é vazia?

Num referencial o.n. \(Oxyz\), qual das seguintes equações define uma superfície esférica tangente ao plano \(yOz\)?

Na figura ao lado está representado um poliedro num referencial o.n. \(Oxyz\). Sabe-se que:

• o vértice \(O\) é a origem do referencial;
• \(E(2,2,2)\);
• a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo.

Justifique que o ponto \(F\) não pertence à superfície esférica de diâmetro \([PQ]\).

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), as superfícies esféricas de equações

A interseção das duas superfícies esféricas é

Considere, num referencial o.n. \(Oxyz\), a esfera \(\varepsilon\) definida pela condição \(x^{2}+(y-7)^{2}+z^{2}\le 9\).

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Na figura seguinte estão representados três pontos, em referencial o.n. \(Oxyz\). Sabe-se que:

• \(A(0,5,2)\);
• \(B\) pertence ao plano \(xOz\) e \(C\) pertence ao plano \(xOy\);
• a reta \(BC\) tem equação vetorial \((x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\), \(k\in\mathbb{R}\).

Considere a superfície esférica de centro em \(A\), cuja interseção com o plano \(xOy\) é uma circunferência de raio \(3\). Determine uma equação dessa superfície esférica.

Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. \(Oxyz\). Sabe-se que:

• a face \([OPQR]\) está contida no plano \(xOy\), a face \([OSVR]\) no plano \(xOz\) e a face \([OSTP]\) no plano \(yOz\);
• o volume do cubo é \(27\).

Determine uma equação da superfície esférica tal que o centro é o simétrico do ponto \(U\), em relação ao plano \(xOy\), e o ponto \(Q\) pertence a essa superfície esférica.

Na figura seguinte está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), um cone de revolução. Sabe-se que:

• a base do cone está contida no plano \(xOy\) e tem o centro na origem;
• \([AC]\) e \([BD]\) são diâmetros da base; \(A\) e \(B\) pertencem aos semieixos positivos \(Ox\) e \(Oy\); \(V\) pertence ao semieixo positivo \(Oz\);
• o raio da base é \(3\) e a altura do cone é \(4\).

Determine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto \(V\) e cuja interseção com o plano \(xOy\) é a base do cone.

Num referencial o.n. \(Oxyz\), considere a esfera definida por \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 25\) e o plano de equação \(z=4\).

Qual é a área da interseção da esfera com o plano?

Num referencial o.n. \(Oxyz\), considere o plano \(\alpha\), de equação \(y=4\), e a superfície esférica \(E\) de equação \(x^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=4\).

A interseção da superfície esférica \(E\) com o plano \(\alpha\) é

Na figura abaixo está representada, em referencial o.n. \(Oxyz\), uma caixa cilíndrica que contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa. Sabe-se que:

• o cilindro tem uma das bases no plano \(xOz\), com centro em \((3,0,3)\);
• a outra base está contida no plano \(y=12\);
• as bolas são esferas de raio \(3\) e os diâmetros das esferas e das bases são iguais.

Justifique que a superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano \(xOz\) tem centro no ponto \((3,9,3)\) e que o ponto \((1,8,1)\) pertence a essa superfície esférica.

Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. \(Oxyz\). O vértice \(O\) coincide com a origem; \(R\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\), \(P\) ao semieixo positivo \(Oy\) e \(S\) ao semieixo positivo \(Oz\). A abcissa do ponto \(R\) é \(2\).

Mostre que o raio da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo é \(\sqrt3\) e determine uma equação dessa superfície esférica.

Num referencial o.n. \(Oxyz\), uma esfera tem centro no ponto \(C(2,3,4)\) e é tangente ao plano \(xOy\).

Uma condição que define a esfera é:

Num referencial o.n. \(Oxyz\), a interseção das superfícies esféricas definidas pelas equações

é