Exercícios de Exame - Funções Quadrática e Módulo | 10.º ano

Ferramentas úteis.

Forma do vértice: \(f(x)=a(x-k)^2+h\). O vértice é \((k,h)\).
Função módulo: \(|x-a|+b\) tem vértice em \((a,b)\). Se \(x-a\geq 0\), então \(|x-a|=x-a\); se \(x-a\lt 0\), então \(|x-a|=-(x-a)\).
Máximos e mínimos: numa parábola com \(a\gt 0\), o vértice é mínimo; com \(a\lt 0\), o vértice é máximo.
Inequações quadráticas: reduz a uma inequação do 2.º grau, determina as raízes e cruza sempre com o domínio do problema.

1. Expressão de uma parábola pelo vértice

Teste Intermédio 10.º ano - março 2012Resposta aberta

Na figura ao lado está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte da parábola que é o gráfico de uma função \(f\).

Sabe-se que:

a parábola interseta o eixo \(Oy\) no ponto de coordenadas \((0,1)\);
o ponto \(V\), vértice da parábola, tem coordenadas \((2,-1)\).

A função \(f\) pode ser definida por uma expressão do tipo \(f(x)=a(x-k)^2+h\), onde \(a\), \(h\) e \(k\) são números reais.

Indique o valor de \(h\) e o valor de \(k\), e determine o valor de \(a\).

Como interpretar. Na forma \(a(x-k)^2+h\), o vértice é \((k,h)\). Depois usa-se o ponto \((0,1)\) para determinar \(a\).

O vértice da parábola é \(V(2,-1)\), então

\(f(x)=a(x-2)^2-1\)

Como \((0,1)\) pertence à parábola, \(f(0)=1\).

1=a(0-2)^2-1 \Leftrightarrow 1=4a-1 \Leftrightarrow 4a=2 \Leftrightarrow a=\dfrac12

Logo, \(h=-1\), \(k=2\) e \(a=\dfrac12\).

2. Inequação \(x^2\lt |x|\)

Teste Intermédio 10.º ano - março 2012Escolha múltipla

Na figura, estão representadas graficamente as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas, respetivamente, por \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=|x|\).

Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto solução da inequação \(f(x)\lt g(x)\)?

(A) \(]-1,0[\cup]0,1[\)

(B) \(]-1,0[\cup]1,+\infty[\)

(C) \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)

(D) \(]-\infty,-1[\cup]0,1[\)

Como interpretar. Queremos saber onde a parábola \(y=x^2\) está abaixo do gráfico \(y=|x|\). Analiticamente, é preciso separar \(x\geq 0\) e \(x\lt 0\).

Se \(x\geq 0\), então \(|x|=x\):

x^2\lt x \Leftrightarrow x^2-x\lt 0 \Leftrightarrow x(x-1)\lt 0 \Leftrightarrow x\in]0,1[

Se \(x\lt 0\), então \(|x|=-x\):

x^2\lt -x \Leftrightarrow x^2+x\lt 0 \Leftrightarrow x(x+1)\lt 0 \Leftrightarrow x\in]-1,0[

Opção: (A) \(]-1,0[\cup]0,1[\)

3. Área de um trapézio

Teste Intermédio 10.º ano - março 2012Resposta aberta

Na figura ao lado, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), as retas \(r\) e \(t\).

Os pontos \(A\) e \(B\) são, respetivamente, os pontos de interseção das retas \(r\) e \(t\) com o eixo \(Ox\).

O ponto \(C\) é o ponto de interseção das retas \(r\) e \(t\).

Sabe-se que:

a reta \(r\) é definida pela equação \(x=-1\);
a reta \(t\) é definida pela equação \(y=-2x+8\).

Considere que um ponto \(P\) se desloca ao longo do segmento de reta \([BC]\), nunca coincidindo com o ponto \(B\), nem com o ponto \(C\), e que um ponto \(Q\) se desloca ao longo do segmento de reta \([AC]\), acompanhando o movimento do ponto \(P\), de forma que a ordenada do ponto \(Q\) seja sempre igual à ordenada do ponto \(P\).

Seja \(x\) a abcissa do ponto \(P\).

Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.

3.1. Mostre que a área do trapézio \([ABPQ]\), é dada em função de \(x\), por

S(x)=-x^2-2x+24,\quad x\in]-1,4[

3.2. Determine os valores de \(x\) para os quais a área do trapézio \([ABPQ]\) é superior a 21. Apresente a sua resposta na forma de um intervalo de números reais.

Nota: Tenha em conta que \(S(x)=-x^2-2x+24,\ x\in]-1,4[\).

Como interpretar. A área do trapézio usa as bases paralelas \(AB\) e \(QP\) e a altura \(QA\). Primeiro escrevemos esses comprimentos em função de \(x\).

3.1

Sabe-se que \(A=(-1,0)\). Como \(B\) pertence ao eixo das abcissas e à reta \(y=-2x+8\), temos \(0=-2x+8\), logo \(B=(4,0)\).

Temos \(P=(x,-2x+8)\) e \(Q=(-1,-2x+8)\), com \(x\in]-1,4[\).

AB=5,\quad QP=x+1,\quad QA=-2x+8

S(x)=\dfrac{AB+QP}{2}\cdot QA=\dfrac{5+x+1}{2}(-2x+8)=-x^2-2x+24

3.2

S(x)\gt 21 \Leftrightarrow -x^2-2x+24\gt 21 \Leftrightarrow -x^2-2x+3\gt 0

-x^2-2x+3=0 \Leftrightarrow x=-3\vee x=1

Assim, \(-x^2-2x+3\gt 0 \Leftrightarrow x\in]-3,1[\). Tendo em conta o domínio \(]-1,4[\), fica:

\(x\in]-1,1[\)

4. Função módulo definida por ramos

Teste Intermédio 10.º ano - março 2012Escolha múltipla

Na figura, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), duas semirretas de origem no ponto de coordenadas \((-1,0)\), cuja união é o gráfico de uma função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Gráfico de uma função módulo com vértice em (-1,0)

Qual das expressões seguintes pode definir a função \(h\)?

(A) \(h(x)=\begin{cases}-x-1,&x\lt 0\\x+1,&x\geq 0\end{cases}\)

(B) \(h(x)=\begin{cases}-x+1,&x\lt 0\\x-1,&x\geq 0\end{cases}\)

(C) \(h(x)=\begin{cases}-x+1,&x\lt -1\\x-1,&x\geq -1\end{cases}\)

(D) \(h(x)=\begin{cases}-x-1,&x\lt -1\\x+1,&x\geq -1\end{cases}\)

Como interpretar. O vértice está em \((-1,0)\), por isso a função é \(|x+1|\). Depois escreve-se o módulo por ramos, separando \(x+1\lt 0\) e \(x+1\geq 0\).

\(h(x)=|x+1|\)

h(x)=\begin{cases}-(x+1),&x\lt -1\\x+1,&x\geq -1\end{cases}=\begin{cases}-x-1,&x\lt -1\\x+1,&x\geq -1\end{cases}

Opção: (D)

5. Área de um retângulo

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2011Resposta aberta

Na figura ao lado, está representada num referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\), definida pela equação \(y=2x-2\).

Tal como a figura sugere, \(A\) e \(B\) são os pontos de coordenadas \((1,0)\) e \((6,0)\), respetivamente, e \(C\) é o ponto da reta \(r\) de abcissa 6.

Considere que um ponto \(P\) se desloca ao longo do segmento de reta \([AC]\), nunca coincidindo com o ponto \(A\), nem com o ponto \(C\).

A cada posição do ponto \(P\) corresponde um retângulo em que uma das diagonais é o segmento de reta \([BP]\) e em que um dos lados está contido no eixo \(Ox\).

Seja \(x\) a abcissa do ponto \(P\) \((x\in]1,6[)\).

Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.

Nota: A calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

5.1. Mostre que a área do retângulo é dada, em função de \(x\), por

\(S(x)=-2x^2+14x-12\)

5.2. Determine os valores de \(x\) para os quais a área do retângulo é inferior a 8. Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

Como interpretar. O ponto \(P\) pertence à reta \(y=2x-2\), logo a sua ordenada é \(2x-2\). A largura do retângulo é a distância horizontal de \(P\) a \(B\), isto é, \(6-x\).

5.1

As coordenadas do ponto \(P\) são \(P=(x,2x-2)\).

\(S(x)=(6-x)(2x-2)=-2x^2+14x-12\)

5.2

S(x)\lt 8 \Leftrightarrow -2x^2+14x-12\lt 8 \Leftrightarrow -2x^2+14x-20\lt 0

-2x^2+14x-20=0 \Leftrightarrow x=2\vee x=5

A inequação verifica-se em \(]-\infty,2[\cup]5,+\infty[\). Como \(x\in]1,6[\), conclui-se:

\(x\in]1,2[\cup]5,6[\)

6. Contradomínio de uma função quadrática

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2010Escolha múltipla

Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) três números reais.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Sabe-se que:

\(a\gt 0\);
a função tem um único zero, que é o número real 5.

Qual é o contradomínio de \(f\)?

(A) \(]-\infty,0]\)

(B) \([0,+\infty[\)

(C) \(]-\infty,5]\)

(D) \([5,+\infty[\)

Como interpretar. Como \(a\gt 0\), a parábola abre para cima. Se há um único zero, a parábola toca o eixo \(Ox\) no vértice; logo, o valor mínimo é 0.

Sabemos que a concavidade da parábola está voltada para cima porque \(a\gt 0\).

Como 5 é o único zero, então o valor mínimo da função é 0.

\(D'_f=[0,+\infty[\). Opção: (B)

7. Equações com \(|x|+3\)

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2010Escolha múltipla

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=|x|+3\).

Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas?

(A) \(g(x)=1\)

(B) \(g(x)=2\)

(C) \(g(x)=3\)

(D) \(g(x)=4\)

Como interpretar. A função \(|x|+3\) tem valor mínimo 3. Para valores abaixo de 3, não há soluções; para 3 há uma; para valores acima de 3 há duas.

(A) \(|x|+3=1 \Leftrightarrow |x|=-2\), impossível em \(\mathbb{R}\).

(B) \(|x|+3=2 \Leftrightarrow |x|=-1\), impossível em \(\mathbb{R}\).

(D) \(|x|+3=4 \Leftrightarrow |x|=1 \Leftrightarrow x=1\vee x=-1\), tem duas soluções distintas.

Opção: (D)

8. Canteiro triangular

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2010Resposta aberta

A figura representa o projeto de um canteiro com a forma de um triângulo isósceles \((AC=BC)\).

Canteiro triangular com zona relvada e zona retangular

Nesse triângulo a base \([AB]\) e a altura relativa à base medem ambas 12 metros.

O canteiro vai ter uma zona retangular, destinada à plantação de flores, e uma zona relvada, representada a sombreado na figura.

O lado \([DG]\) do retângulo está contido em \([AB]\) e os vértices \(E\) e \(F\) pertencem, respetivamente, a \([AC]\) e a \([BC]\).

Seja \(x\) a distância, em metros, do ponto \(A\) ao ponto \(D\) \((x\in]0,6[)\).

Resolva os três itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.

Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

8.1. Mostre que a área, em metros quadrados, da zona relvada é dada, em função de \(x\), por \(S(x)=4x^2-24x+72\).

8.2. Determine o valor de \(x\) para o qual a área da zona relvada é mínima e calcule essa área.

8.3. Determine o conjunto de valores de \(x\) para os quais a área da zona relvada é superior a \(40\text{ m}^2\). Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

Como interpretar. A zona relvada é a área do triângulo grande menos a área do retângulo. A semelhança de triângulos permite escrever a altura do retângulo como \(2x\).

8.1

A zona relvada é igual à diferença entre a área do triângulo \([ABC]\) e a área do retângulo \([DEFG]\).

Por semelhança de triângulos, \(ED=2AD=2x\). Além disso, \(DG=12-2x\).

A_{[DEFG]}=(12-2x)\cdot 2x=24x-4x^2

A_{[ABC]}=\dfrac{12\cdot 12}{2}=72

\(S(x)=72-(24x-4x^2)=4x^2-24x+72\)

8.2

\(S(x)=4x^2-24x+72=4(x-3)^2+36\)

A área mínima ocorre para \(x=3\) e é igual a \(36\text{ m}^2\).

8.3

4x^2-24x+72\gt 40 \Leftrightarrow x^2-6x+8\gt 0

x^2-6x+8=0 \Leftrightarrow x=2\vee x=4

A inequação verifica-se em \(]-\infty,2[\cup]4,+\infty[\). Cruzando com \(x\in]0,6[\), fica:

\(x\in]0,2[\cup]4,6[\)

9. Sinais de \(a\) e \(b\) numa função módulo

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2009Escolha múltipla

Na figura está o gráfico de uma função de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=|x-a|+b\), em que \(a\) e \(b\) designam dois números reais.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) \(a\gt 0\wedge b\gt 0\)

(B) \(a\gt 0\wedge b\lt 0\)

(C) \(a\lt 0\wedge b\gt 0\)

(D) \(a\lt 0\wedge b\lt 0\)

Como interpretar. Em \(f(x)=|x-a|+b\), o vértice do gráfico é \((a,b)\). Basta observar se o vértice está à direita/esquerda do eixo \(Oy\) e acima/abaixo do eixo \(Ox\).

O gráfico é uma translação horizontal da função \(|x|\) associada ao vetor \((a,0)\), com \(a\gt 0\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \((0,b)\), com \(b\lt 0\).

Opção: (B)

10. Equações com \(|x|+7\)

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2009Escolha múltipla

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=|x|+7\).

Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas?

(A) \(g(x)=3\)

(B) \(g(x)=5\)

(C) \(g(x)=7\)

(D) \(g(x)=9\)

Como interpretar. A função \(|x|+7\) tem valor mínimo 7. Só uma reta horizontal acima de 7 corta o gráfico em dois pontos.

(A) \(|x|+7=3 \Leftrightarrow |x|=-4\), impossível em \(\mathbb{R}\).

(B) \(|x|+7=5 \Leftrightarrow |x|=-2\), impossível em \(\mathbb{R}\).

(D) \(|x|+7=9 \Leftrightarrow |x|=2 \Leftrightarrow x=2\vee x=-2\), tem duas soluções distintas.

Opção: (D)

11. Placa decorativa

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2009Resposta aberta

Na figura está representado um retângulo \([ABCD]\).

Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 14 cm de comprimento por 10 cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco).

A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.

Cada triângulo tem no centro do retângulo \([ABCD]\).

Seja \(x\) o lado de cada quadrado, medido em cm \((x\in]0,5[)\).

Sem recorrer à calculadora, resolva os três itens seguintes.

11.1. Mostre que a área, em \(\text{cm}^2\), da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=6x^2-24x+70\).

11.2. Determine o valor de \(x\) para o qual a parte em metal é mínima e calcule essa área.

11.3. Determine o valor de \(x\) para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira.

Como interpretar. A parte metálica é a soma das áreas dos quatro quadrados e dos dois triângulos. Depois, para minimizar, completa-se o quadrado.

11.1

A área dos quatro quadrados é \(4x^2\).

Cada triângulo tem base \(14-2x\) e altura \(5-x\). Portanto, a área dos dois triângulos é:

2\cdot\dfrac{(14-2x)(5-x)}{2}=(14-2x)(5-x)=2x^2-24x+70

\(A(x)=4x^2+2x^2-24x+70=6x^2-24x+70\)

11.2

\(A(x)=6x^2-24x+70=6(x-2)^2+46\)

Logo, a área mínima ocorre para \(x=2\) e é igual a \(46\text{ cm}^2\).

11.3

Para que a área da parte em metal seja igual à área da parte em madeira, a área da parte em metal deve ser metade da área total da placa.

A_{[ABCD]}=14\cdot 10=140\text{ cm}^2

6x^2-24x+70=\dfrac{140}{2}\Leftrightarrow 6x^2-24x=0 \Leftrightarrow 6x(x-4)=0

Como \(x\gt 0\), fica:

\(x=4\)

12. Jardim junto a um lago

Teste Intermédio 10.º ano - maio 2008Resposta aberta

Pretende-se construir um jardim junto a um lago, conforme a figura ilustra.

Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos por uma rede.

Pretende-se que lados consecutivos do jardim sejam perpendiculares.

As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros.

Tal como a figura mostra, \(x\) é a medida, em metros, de um dos lados do jardim.

Vão ser utilizados, na sua totalidade, 100 metros de rede.

12.1. Mostre que a área, em \(\text{m}^2\), do jardim, é dada, em função de \(x\), por \(a(x)=-2x^2+40x+1400\).

12.2. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de \(x\) para o qual é máxima a área do jardim e determine essa área.

Como interpretar. A rede só aparece em três lados. Escrevemos o lado desconhecido em função de \(x\) usando os 100 metros de rede, e depois calculamos a área como área de um retângulo maior menos um retângulo pequeno.

12.1

Sabe-se que:

um dos lados tem \(x\) metros de comprimento;
o lado oposto tem \(x+20\) metros de comprimento;
o terceiro lado tem \(100-(x+(x+20))=80-2x\) metros de comprimento, pois a rede tem 100 metros.

Assim, a área do jardim é dada por:

a(x)=(80-2x)(x+20)-10\cdot 20=-2x^2+40x+1400

12.2

A função \(a\) define uma parábola com a concavidade voltada para baixo, logo o vértice é o máximo da função.

\(a(x)=-2x^2+40x+1400=-2(x-10)^2+1600\)

A área é máxima para \(x=10\), e a área máxima é \(1600\text{ m}^2\).