- Em exercícios de leitura gráfica, começa por identificar domínio, contradomínio, zeros, máximos, mínimos e intervalos onde a função está acima ou abaixo de uma reta.
- Em transformações, separa o efeito horizontal do vertical: \(f(x-a)\) desloca o gráfico \(a\) unidades para a direita; \(f(x)+b\) desloca o gráfico \(b\) unidades na vertical.
- Nas situações de modelação, traduz primeiro a pergunta: percentagem, volume, altura, distância ou número de soluções.
- As caixas "Como interpretar" não substituem a resolução: ajudam a perceber a ideia antes dos cálculos.
- Estudo de uma função: domínio, contradomínio, zeros, sinal, monotonia, extremos e simetrias.
- Transformações do gráfico: \(y=f(x)+a\) translação vertical; \(y=f(x+a)\) translação horizontal de \(-a\); \(y=af(x)\) e \(y=f(ax)\) dilatações/contrações.
- Reflexões: \(y=-f(x)\) no eixo \(Ox\); \(y=f(-x)\) no eixo \(Oy\); \(y=\left|f(x)\right|\) rebate para cima a parte negativa.
- Paridade: \(f\) é par se \(f(-x)=f(x)\) (gráfico simétrico em relação a \(Oy\)) e ímpar se \(f(-x)=-f(x)\) (simétrico em relação à origem).
- Injetiva se objetos diferentes têm imagens diferentes; só as injetivas têm inversa, e os gráficos de \(f\) e \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta \(y=x\).
- Composta: \((f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)\); no domínio só entram os \(x\) do domínio de \(g\) cuja imagem pertence ao domínio de \(f\).
1. Contradomínio após translação
Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\) e contradomínio \([-1,3]\).
Qual é o contradomínio da função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=f(x-2)+1\)?
Como \(D'_f=[-1,3]\), isto é, \(-1\leq f(x)\leq 3\), então \(0\leq f(x-2)+1\leq 4\).
2. Mínimo em \(x=0\)
Em qual das opções seguintes está representada graficamente, num referencial o.n. \(Oxy\), uma função que tem um mínimo em \(x=0\)?
O único gráfico em que existe um mínimo para \(x=0\) é o gráfico da opção C.
3. Satélite e percentagem de área coberta
Os satélites artificiais são utilizados para diversos afins e a altitude a que são colocados depende do fim a que se destinam.
Admita que a terra é uma esfera.
A figura apresenta um esquema em que se pode observar a superfície terrestre coberta por um satélite, quando este se encontra numa certa posição.
Nesta figura:
- \(R\) é o raio, em quilómetros, da Terra;
- \(h\) é a altitude, em quilómetros, do satélite \((h\gt 0)\);
- \(r\) é o raio, em quilómetros, da base da calote esférica cuja superfície é coberta pelo satélite \((0\lt r\lt R)\).
Sabe-se que, para cada posição do satélite, a percentagem da área da superfície terrestre coberta pelo satélite é dada por
Qual é a percentagem da área da superfície terrestre coberta por um satélite se o raio da base da calote esférica for igual a \(\dfrac{3}{5}\) do raio da Terra?
4. Zeros, extremos, paridade e monotonia
Na figura, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico de uma função \(f\), de domínio \(]-2,2[\).
Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função \(f\)?
tem três zeros;
não tem máximos nem mínimo;
não é par.
tem exatamente dois zeros;
não tem máximos nem mínimo;
é crescente no seu domínio.
tem máximo e tem mínimo;
é crescente no seu domínio;
o contradomínio é \(]-1,1[\).
é par;
tem exatamente dois zeros;
o contradomínio é \(]-1,1[\).
Por observação do gráfico, verificamos que:
- tem três zeros;
- o contradomínio é \(]-1,1[\);
- não tem máximos nem mínimos;
- a função não é par, uma vez que, por exemplo, \(f\left(\frac12\right)\lt 0\) e \(f\left(-\frac12\right)\gt 0\), logo \(f\left(\frac12\right)\ne f\left(-\frac12\right)\).
5. Contradomínios por transformações
Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte da parábola que é o gráfico de uma função \(f\).
Sabe-se que:
- a parábola interseta o eixo \(Oy\) no ponto de coordenadas \((0,1)\);
- o ponto \(V\), vértice da parábola, tem coordenadas \((2,-1)\).
Sejam \(g\), \(h\) e \(j\) as funções, de domínio \(\mathbb{R}\), definidas, respetivamente, por
Indique os contradomínios das funções \(f\), \(g\), \(h\) e \(j\).
Nota - Não necessita de apresentar cálculos.
O gráfico da parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice de \(f\) é \((2,-1)\). Então,
Como \(g(x)=-f(x)\), o contradomínio fica invertido:
Como \(h(x)=f(x)+3\), o contradomínio sobe três unidades:
O gráfico de \(j\) é uma translação do gráfico de \(f\) associada ao vetor \((1,0)\); desta forma, as funções têm o mesmo contradomínio.
6. Comprimento de segmento num quadrado
Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), a sombreado, o quadrado \([OABC]\).
Os pontos \(A\) e \(C\) pertencem aos semieixos positivos \(Oy\) e \(Ox\), respetivamente.
Considere que um ponto \(P\) se desloca sobre o semieixo positivo \(Ox\), iniciando o seu movimento na origem do referencial e percorrendo todos os pontos desse semieixo.
Para cada posição do ponto \(P\), considere o segmento de reta que é a interseção da reta \(AP\) com o quadrado \([OABC]\).
Seja \(f\) a função que, à abcissa \(x\) do ponto \(P\), faz corresponder o comprimento do referido segmento.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o gráfico da função \(f\)?
Por observação da figura, quando \(x\) está próximo de zero, o valor de \(AP\) é ligeiramente superior a \(OA\), e vai aumentando até \(x\) coincidir com a abcissa do ponto \(C\). Como a diagonal do quadrado é o maior segmento de reta, verificamos que \(AP=AC\) é o máximo absoluto da função \(f\).
Depois, à medida que o ponto \(P\) se desloca para o infinito, o segmento de reta aproxima-se do valor de \(AB\), que é igual a \(OA\).
Assim, o valor de \(AP\) nunca poderá ser zero, logo (A) e (C) estão excluídos. Como o valor de \(AP\) tende a ficar próximo de \(OA\), à medida que \(P\) vai para o infinito, o gráfico correto é o (D).
7. Roda gigante
Na figura ao lado, está representada uma roda gigante de um parque de diversões.
Um grupo de amigos foi andar nessa roda. Depois de todos estarem sentados nas cadeiras, a roda começou a girar.
Uma das raparigas, a Beatriz, ficou sentada na cadeira número 1, que estava na posição indicada na figura, quando a roda começou a girar.
A roda gira no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e demora um minuto a dar uma volta completa.
Seja \(d\) a função que dá a distância da cadeira 1 ao solo, \(t\) segundos após a roda ter começado a girar.
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \(d\)?
Quando a roda começa a girar, a distância da cadeira 1 até esta atingir a posição 3, o que demora 15 segundos, vai aumentando, o que exclui (A), atingindo um máximo nessa posição.
Depois, entre os 15 segundos e os 45 segundos, a cadeira vai descendo, o que exclui (D), nunca atingindo o solo, o que exclui (C). Aos 30 segundos, a distância ao solo é igual à do momento de partida.
8. Piscina e volume de água
Uma piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Essa piscina tem 10 m de comprimento e 6 m de largura.
Num certo dia, às 9 horas da manhã, Começou a encher-se a piscina, que estava vazia.
A altura, \(h\), em metros, da água na piscina, \(t\) horas depois das 9 horas desse dia, é dada por \(h(t)=0,3t\).
A piscina esteve encher ininterruptamente até às 14 horas desse dia.
Quantos litros de água havia na piscina às 14 horas?
A piscina esteve a encher durante \(14-9=5\) horas.
9. Leitura de gráfico: contradomínio e inequação
Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico de uma função \(f\) de domínio \([-5,6]\).
![Gráfico da função f de domínio [-5,6]](img-funcoes-generalidades/page05_img02.png)
9.1. Qual é o contradomínio de \(f\)?
9.2. Indique todos os números reais cujas imagens, por meio de \(f\), são iguais a \(-1\).
9.3. Indique o conjunto solução da condição \(f(x)\gt 2\). Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais.
9.1. \(D'_f=[-2,3]\)
9.2. \(\{-4,-2,0\}\)
9.3. Por observação do gráfico,
10. Contradomínio de uma função contínua
Seja \(g\) uma função contínua, de domínio \(\mathbb{R}\).
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função \(g\)?
(A) A função pode, por exemplo, ser periódica, ser crescente ou decrescente entre \(]0,2[\).
(B) Por exemplo, \(y=x\), bissetriz dos quadrantes ímpares, tem domínio e contradomínio \(\mathbb{R}\).
(C) A função pode ser crescente ou decrescente em \(\mathbb{R}^{-}\) e, no infinito, aproximar-se de zero sem nunca chegar a zero.
(D) Esta opção não é possível, porque a função é contínua em \(\mathbb{R}\) e, se o contradomínio fosse \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), a função teria de evitar o valor 0 criando uma descontinuidade.
11. Distância percorrida por duas irmãs
A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas caminha a uma velocidade constante.
Seja \(f\) a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, \(t\) minutos depois de ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina quando ela chega à escola).
Seja \(g\) a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, \(t\) minutos depois de ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e termina quando ela chega a casa).
Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções \(f\) e \(g\).
Numa pequena composição, apresente, para cada uma das outras duas opções uma razão pela qual a rejeita.
A opção (A) é a única em que podem estar representadas graficamente as funções \(f\) e \(g\), porque representam duas deslocações de distâncias iguais (as irmãs moram na mesma casa e, como só existe um caminho, a distância é igual para as duas). As velocidades de ambas são constantes, mas não necessariamente iguais; logo, o declive das retas é diferente, e assim o tempo despendido também é diferente.
Em relação à opção (B), os gráficos \(f\) e \(g\) mostram que o tempo despendido é igual, mas a distância não, o que contraria a descrição do enunciado.
Em relação à opção (C), o gráfico \(f\), que representa a distância percorrida pela Fernanda, em vez de aumentar diminui, logo não pode representar a situação descrita.
12. Translação do gráfico de uma função
Seja \(f\) a função cujo gráfico está representado na figura ao lado.
Seja \(h\) a função definida por \(h(x)=f(x-1)+1\).
Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função \(h\)?
O gráfico de \(h(x)=f(x-1)+1\) é uma translação horizontal associada ao vetor \((1,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \((0,1)\).
13. Distância de um ponto a \(A(1,1)\)
Considere o ponto \(A(1,1)\), representado na figura ao lado.
Admita que um ponto, \(P\), parte da origem \(O\) do referencial e se desloca ao longo do semieixo positivo.
Para cada posição do ponto \(P\), seja \(x\) a abcissa de \(P\).
Seja \(f\) a função que, a cada valor de \(x\), faz corresponder a distância do ponto \(P\) ao ponto \(A\).
Apenas um dos seguintes gráficos pode representar a função \(f\).
Numa pequena composição, explique por que razão cada um dos outros três gráficos não pode representar a função \(f\).
O ponto vai estar à mesma distância do ponto \(A\) quando \(x=0\) e \(x=2\), logo \(f(0)=f(2)\).
O gráfico 1 não pode representar a função porque \(f(0)=1\).
O gráfico 2 também não corresponde à função \(f\), porque a distância vai aumentando à medida que o ponto \(P\) se vai afastando da origem, não tendo o mínimo em \(x=1\).
O gráfico 3 não corresponde porque \(f(0)=f(2)\), e no gráfico 3 observa-se que \(f(0)\ne f(2)\).
14. Duas parábolas geometricamente iguais
Na figura ao lado estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, \(f\) e \(g\).
Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa.
A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4.
Qual das expressões seguintes define a função \(g\)?
O gráfico de \(g\) é simétrico de \(f\) relativamente ao eixo \(Ox\). Como a ordenada do vértice de \(f\) é 3, a ordenada do vértice de \(-f\) é \(-3\).
Como a ordenada do vértice de \(g\) é 4, se associarmos uma translação vertical de vetor \((0,7)\), ficamos com \(-3+7=4\).
15. Distância ao centro de uma circunferência
Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro \(O\) e que contém os pontos \(R\), \(S\) e \(T\).
Um ponto \(P\) desloca se ao longo do trajeto que a figura sugere: \(P\) inicia o percurso em \(R\) e termina-o em \(T\), percorrendo, sucessivamente e sem parar, a corda \([RS]\) e o arco \(ST\). Para cada posição do ponto \(P\), seja \(t\) o tempo decorrido desde o início do percurso e seja \(d\) a distância do ponto \(P\) ao ponto \(O\).
Apenas um dos gráficos a seguir representados pode relacionar corretamente as variáveis \(t\) e \(d\).
Numa pequena composição, indique gráfico que pode relacionar corretamente as variáveis \(t\) e \(d\) e apresente, para cada um dos gráficos rejeitados, uma razão pela qual o considerou incorreto.
Como se pode observar pela figura, à medida que o tempo vai decorrendo, o ponto \(P\) começa por deslocar-se na corda \([RS]\), atingindo a sua distância mínima quando a projeção ortogonal de \(O\) coincide com \(P\), voltando a aumentar até ao ponto \(S\). Além disso, \(OR=OS\), e até ao ponto \(T\) a distância é constante (igual ao raio).
Portanto, o gráfico que verifica as condições enunciadas é o (C).
(A) Não pode ser, porque no início da corda a distância deve diminuir antes de aumentar.
(B) Não pode ser, porque o ponto \(P\) nunca coincide com o ponto \(O\).
(D) Não pode ser, porque \(R\) e \(S\) estão à mesma distância de \(O\), mas o gráfico não traduz essa igualdade.
16. Trajeto de um ponto e distância a \(E\)
Na figura ao lado está representado o trajeto de um ponto \(P\).
O ponto iniciou o seu percurso em \(A\) e só parou em \(D\), tendo passado por \(B\) e por \(C\).
Para cada posição do ponto \(P\), seja \(t\) o tempo decorrido desde o início do percurso e seja \(d\) a distância do ponto \(P\) ao ponto \(E\).
Qual dos gráficos seguintes pode relacionar corretamente as variáveis \(t\) e \(d\)?
Observando a figura, o percurso do ponto \(P\) começa em \(A\) e vai aumentando até atingir um máximo no ponto \(B\). Depois diminui até atingir um mínimo quando o ponto \(P\) coincide com a projeção ortogonal do ponto \(E\) no segmento de reta \([BC]\), voltando depois a aumentar até voltar a atingir um máximo quando coincide com \(C\), e voltando a diminuir até chegar a \(D\).
17. Conjunto solução de \(f(x)\lt 2\)
Na figura está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico de uma função \(f\), de domínio \([-2,7]\).
![Gráfico da função f de domínio [-2,7]](img-funcoes-generalidades/page10_img06.png)
Indique o conjunto solução da condição \(f(x)\lt 2\). Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais.
Por observação do gráfico,
18. Zero de \(f\) e ponto do gráfico de \(g\)
Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\).
Sabe-se que 3 é um zero da função \(f\).
Seja \(g\) a função definida por \(g(x)=f(x-1)+4\), para qualquer número real de \(x\).
Qual dos seguintes pontos pertence garantidamente ao gráfico da função \(g\)?
19. Transformação entre gráficos de \(f\) e \(g\)
Na figura da esquerda está representada graficamente a função \(f\).
Na figura da direita está representada graficamente a função \(g\).
Qual das igualdades seguintes é verdadeira?
Por observação dos gráficos, verificamos que \(g\) é simétrico de \(f\) relativamente ao eixo das abcissas \(Ox\), isto é, \(-f\), associado a uma translação horizontal de vetor \((1,0)\), ficando \(-f(x-1)\), e depois associado a uma translação vertical de vetor \((0,-1)\).
20. Transformação de gráfico
Considere a função \(f\) de domínio \([-5,5]\) e contradomínio \([-5,5]\) representada graficamente na figura ao lado.
Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função \(g\) representada por \(g(x)=f(x+1)+1\)?
\(g(x)=f(x+1)+1\) é uma translação horizontal associada ao vetor \((-1,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \((0,1)\).
21. Enchimento de depósito cilíndrico
A figura ao lado representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de um combustível.
Admita agora que o depósito está vazio e que, num certo instante, se começa a introduzir combustível a uma taxa constante, até ficar cheio, o que acontece ao fim de cinco horas.
Seja \(h(t)\) a altura do combustível no depósito, \(t\) horas após o instante em que começa a ser introduzido.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função \(h\)?
Numa pequena composição, indique as razões que o levam a rejeitar os restantes gráficos (indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado).
O combustível é colocado no depósito e não é retirado, logo a altura aumenta com o tempo, pelo que o gráfico (C) não representa a função \(h\).
Apesar de a taxa de introdução do combustível no depósito ser constante, a variação da altura não é constante; logo, o gráfico (D) não representa a função \(h\).
Observando a figura, constatamos que o enchimento do depósito é mais rápido no início e no fim, e mais lento quando está perto do centro das bases do cilindro, o que não se verifica no gráfico (A).
22. Número de zeros por continuidade e monotonia
De uma função \(f\), de domínio \([-4,5]\), e contínua em todo o domínio, sabe-se que:
- \(f(-4)=6;\quad f(2)=-1;\quad f(5)=1;\)
- \(f\) é estritamente decrescente no intervalo \([-4,2]\);
- \(f\) é estritamente crescente no intervalo \([2,5]\).
Quantas soluções tem a equação \(f(x)=0\)?
A função é contínua em \([-4,5]\).
Como \(f(-4)=6\), \(f(2)=-1\) e \(f\) é estritamente decrescente em \([-4,2]\), então \(f\) tem que, necessariamente, passar pelo eixo das abcissas uma única vez nesse intervalo.
Como \(f(2)=-1\), \(f(5)=1\) e \(f\) é estritamente crescente em \([2,5]\), então \(f\) tem que, necessariamente, passar pelo eixo das abcissas uma única vez nesse intervalo.
23. Zeros de \(g(x)=f(x)-2\)
Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função \(f\), polinomial do terceiro grau.
2 é um máximo relativo da função \(f\).
Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=f(x)-2\).
Quantos zeros tem a função \(g\)?
Sabemos que o gráfico de \(g\) é uma translação vertical do gráfico de \(f\) associada ao vetor \((0,-2)\).
Assim, \(g(4)=f(4)-2=2-2=0\). Como \(2\) é máximo relativo da função \(f\), o gráfico toca a reta \(y=2\) no máximo relativo e volta a cruzá-la noutro ponto.
24. Simetria e translação vertical
Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma certa função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\).
Em qual das figuras seguintes está parte da representação gráfica da função \(h\), definida em \(\mathbb{R}\) por \(h(x)=-g(x)+1\)?
\(-g(x)\) é simétrico ao gráfico de \(g\) em relação ao eixo das abcissas, o que exclui (B) e (C).
\(h(x)=-g(x)+1\) é uma translação vertical de \(-g(x)\) associada ao vetor \((0,1)\).
25. Altura da água num tanque
Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com 7 m de comprimento, 5 m de largura e 4 m de altura.
Admita que o tanque está vazio.
Num certo instante, é aberta uma torneira que verte água para o tanque, a taxa de \(2\text{ m}^3\) por hora, até este ficar cheio.
Qual é a função que dá a altura, em metros, da água no tanque, \(t\) horas após a abertura da torneira?
Como o tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo, o seu volume é
Como a torneira verte água a uma taxa de \(2\text{ m}^3\) por hora, o tanque vai demorar
Logo, as opções (C) e (D) não respeitam o intervalo de tempo \([0,70]\).
No instante 0, o tanque não tem água nenhuma, isto é, \(h(0)=0\). Das opções (A) e (B), a única que verifica esta condição é a (B).