Exercícios de Exame — Trigonometria | 9.º ano

Ferramentas úteis.

Fórmula fundamental: $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ e $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Valores exatos: $\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan 45^{\circ}=1$.
Ângulos complementares: $\sin\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)$.
Confirmar que a calculadora está em graus (DEG).
Ângulo de elevação mede-se a partir da horizontal para cima; de depressão, para baixo.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Num triângulo retângulo, fixado um dos ângulos agudos, $\alpha$, definem-se as razões trigonométricas: $$\operatorname{sen} \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$$

Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 2.ª fase

A figura é uma fotografia do WindFloat Atlantic, o primeiro parque eólico marítimo flutuante em Portugal. Está instalado a 20 km de Viana do Castelo e fornece energia limpa à rede elétrica de Portugal. É constituído por três torres eólicas assentes em plataformas flutuantes.

Na figura, em baixo, está representado um esquema de uma das torres eólicas, no momento em que uma das pás forma um ângulo reto com a torre.

Fotografia do WindFloat Atlantic e esquema do triângulo [ABC] retângulo em B

Relativamente ao esquema representado na figura em baixo, sabe-se que:

o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$;
$\overline{AB}=100$ m;
a amplitude do ângulo $CAB$ é $39^\circ$.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula $\overline{BC}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado em metros, arredondado às unidades.

Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

Como o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$ e como, relativamente ao ângulo $CAB$, o lado $[AB]$ é o cateto adjacente e o lado $[BC]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} 39^\circ=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 39^\circ=\frac{\overline{BC}}{100} \Leftrightarrow 100\times\operatorname{tg} 39^\circ=\overline{BC}

Assim, recorrendo à calculadora e arredondando o valor às unidades, vem que:

\overline{BC}=100\operatorname{tg} 39^\circ\approx 81 \text{ m}

Resposta: $\overline{BC}\approx 81$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 1.ª fase

Para comemorar os 46 anos da Revolução de 25 de Abril de 1974, os alunos de 46 escolas e jardins de infância de várias zonas do país pintaram 46 painéis de azulejos para criar um mural intitulado «O 25 de Abril nas Escolas», na cidade de Peniche.

Este mural é formado por mais dois painéis, que incluem uma descrição do mural e o nome das escolas que participaram. A figura seguinte é uma fotografia desse mural.

Fotografia do mural O 25 de Abril nas Escolas

Na figura seguinte, está representado um esquema desse mural, que não está desenhado à escala.

Esquema do retângulo [ABCD] com ângulo de 11 graus e lado BC de 960 cm

Em relação ao esquema representado na figura, sabe-se que:

$[ABCD]$ é um retângulo;
$\overline{BC}=960$ cm;
$A\hat{C}B=11^\circ$

Calcula $\overline{AC}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado em centímetros, arredondado às unidades.

Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Como o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$, e, relativamente ao ângulo $ACB$, o lado $[BC]$ é o cateto adjacente e o lado $[AC]$ é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:

\cos A\hat{C}B=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \Leftrightarrow \cos 11^\circ=\frac{960}{\overline{AC}} \Leftrightarrow \overline{AC}=\frac{960}{\cos 11^\circ}

Assim, o valor de $\overline{AC}$, em centímetros, arredondado às unidades, é:

\frac{960}{\cos 11^\circ}\approx 978 \text{ cm}

Resposta: $\overline{AC}\approx 978$ centímetros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · Época especial

A figura, à esquerda, é uma fotografia do monumento comemorativo dos 120 anos do nascimento de Almada Negreiros, situado na Avenida Ribeira das Naus, em Lisboa.

A figura da direita é um esquema que representa parte desse monumento, no qual estão assinalados o quadrado $[ABCD]$ e o triângulo $[CDE]$, retângulo em $D$.

Fotografia do monumento e esquema com o quadrado [ABCD] e o triângulo [CDE]

Sabe-se que:

o quadrado representado por $[ABCD]$ tem $1{,}7$ m de lado;
$E\hat{C}D=77^\circ$.

O esquema não está desenhado à escala.

Calcula a altura do monumento, ou seja, $\overline{AE}$.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como $[ABCD]$ é um quadrado com $1{,}7$ m de lado, temos que:

\overline{AD}=\overline{DC}=1{,}7 \text{ m}

Como $[DCE]$ é um triângulo retângulo em $D$, relativamente ao ângulo $DCE$, o lado $[DC]$ é o cateto adjacente e o lado $[DE]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} D\hat{C}E=\frac{\overline{DE}}{\overline{DC}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 77^\circ=\frac{\overline{DE}}{1{,}7} \Leftrightarrow \overline{DE}=1{,}7\times\operatorname{tg} 77^\circ \text{ m}

Assim, a altura do monumento, arredondada às unidades, é:

\overline{AE}=\overline{AD}+\overline{DE}=1{,}7+1{,}7\times\operatorname{tg} 77^\circ\approx 9 \text{ m}

Resposta: A altura do monumento é, aproximadamente, $9$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 2.ª fase

A Rita quer comprar uma bicicleta de montanha para praticar desporto ao ar livre.

Na figura, estão representados uma bicicleta e o triângulo $[ABC]$.

Bicicleta e triângulo [ABC] retângulo em B

Sabe-se que:

o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$;
$\overline{BC}=432$ mm e $\overline{AB}=565$ mm.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula a amplitude do ângulo $BAC$.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, quatro casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como, relativamente ao ângulo $BAC$, o lado $[BC]$ é o cateto oposto e o lado $[AB]$ é o cateto adjacente, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

\operatorname{tg}\left(B\hat{A}C\right)=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \operatorname{tg}\left(B\hat{A}C\right)=\frac{432}{565}

Assim, recorrendo à calculadora (ou verificando que $\frac{432}{565}\approx 0{,}7646$ e procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas), e arredondando a amplitude do ângulo $BAC$ às unidades, temos:

B\hat{A}C=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{432}{565}\right)\approx 37^\circ

Resposta: $B\hat{A}C\approx 37^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 1.ª fase

Na figura, está representado um modelo de uma tenda de campismo, montada numa superfície plana, com os cabos de suporte que a fixam a essa superfície.

Modelo da tenda de campismo com o prisma triangular reto [ABCDEF] e o cabo [CP]

No modelo, o prisma triangular reto $[ABCDEF]$ representa a tenda, o triângulo $[ABC]$ representa a entrada da tenda, o segmento de reta $[CP]$ representa um dos cabos de suporte, e o ponto $P$ representa o local da superfície onde a estaca fixa esse cabo.

Relativamente ao modelo, sabe-se que:

o triângulo $[ABC]$ é isósceles e $\overline{AC}=\overline{BC}$;
$M$ é o ponto médio de $[AB]$ e $P$ pertence à reta $AB$;
$\overline{AB}=2{,}2$ m e $\overline{CM}=1{,}8$ m;
$C\hat{P}M=42^\circ$.

O modelo não está desenhado à escala.

Calcula a distância entre os pontos $P$ e $B$.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas.

Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, quatro casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo $[PMC]$ é retângulo em $M$, então o lado $[MP]$ é o cateto adjacente ao ângulo $CPM$ e o lado $[CM]$ é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, e como $\overline{CM}=1{,}8$, temos:

\operatorname{tg}\left(C\hat{P}M\right)=\frac{\overline{CM}}{\overline{PM}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 42^\circ=\frac{1{,}8}{\overline{PM}} \Leftrightarrow \overline{PM}=\frac{1{,}8}{\operatorname{tg} 42^\circ}

Assim, como $\overline{MB}=\frac{2{,}2}{2}=1{,}1$, calculando a distância de $P$ a $B$, em metros, e arredondando o resultado às décimas, temos:

\overline{PB}=\overline{PM}-\overline{MB}=\frac{1{,}8}{\operatorname{tg} 42^\circ}-1{,}1\approx 0{,}9 \text{ m}

Resposta: $\overline{PB}\approx 0{,}9$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 2.ª fase

A figura é uma fotografia da Central Fotovoltaica do Alto Rabagão, em Montalegre. Esta central produz energia elétrica solar a partir de painéis fotovoltaicos assentes numa plataforma flutuante.

Na figura seguinte (em baixo), está representado um modelo geométrico de um painel fotovoltaico e do respetivo flutuador.

O modelo é constituído pelo paralelepípedo retângulo $[ABCDEFGH]$, que representa o flutuador, pelo retângulo $[GHIJ]$, que representa o painel fotovoltaico, e pelos segmentos de reta $[FJ]$ e $[EI]$, que representam as hastes que suportam o painel fotovoltaico.

Modelo geométrico do painel fotovoltaico e do flutuador

Relativamente à figura, sabe-se que:

o triângulo $[JFG]$ é retângulo em $F$;
$\overline{FG}=10$ dm;
$\overline{IJ}=16$ dm;
$J\hat{G}F=26^\circ$.

O modelo não está desenhado à escala.

Determina a área do painel fotovoltaico, representado na figura de baixo pelo retângulo $[GHIJ]$.

Apresenta o resultado em decímetros quadrados, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo $[JFG]$ é retângulo em $F$, e, relativamente ao ângulo $JGF$, o lado $[FG]$ é o cateto adjacente e o lado $[JG]$ é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:

\cos J\hat{G}F=\frac{\overline{FG}}{\overline{JG}} \Leftrightarrow \cos 26^\circ=\frac{10}{\overline{JG}} \Leftrightarrow \overline{JG}=\frac{10}{\cos 26^\circ}

Assim, como $\overline{IJ}=16$ dm, a área do painel, ou seja a área do retângulo $[GHIJ]$ em decímetros quadrados, arredondada às unidades, é:

A_{[GHIJ]}=\overline{JG}\times\overline{IJ}=\frac{10}{\cos 26^\circ}\times 16\approx 178 \text{ dm}^2

Resposta: A área do painel fotovoltaico é, aproximadamente, $178$ dm².

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 1.ª fase

A figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia do elevador do Bom Jesus do Monte, em Braga. Atualmente, este é o funicular movido a energia hidráulica mais antigo do mundo, ainda em funcionamento.

Na figura, à direita, apresenta-se um prisma triangular reto $[ABCDEF]$, que é um modelo geométrico da rampa onde as cabinas do elevador se deslocam.

Fotografia do funicular do Bom Jesus e prisma triangular reto [ABCDEF]

Relativamente à figura da direita, sabe-se que:

$F\hat{B}A=25^\circ$;
$\overline{AF}=116$ m;
a base $[BAF]$ do prisma é um triângulo retângulo em $A$.

O modelo geométrico não está desenhado à escala.

Determina o comprimento da rampa, ou seja, $\overline{BF}$.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, quatro casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo $[BAF]$ é retângulo em $A$, e, relativamente ao ângulo $ABF$, o lado $[AF]$ é o cateto oposto e o lado $[BF]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen} A\hat{B}F=\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 25^\circ=\frac{116}{\overline{BF}} \Leftrightarrow \overline{BF}=\frac{116}{\operatorname{sen} 25^\circ}

Assim, como $\dfrac{116}{\operatorname{sen} 25^\circ}\approx 274{,}47$, o comprimento da rampa, em metros, arredondado às unidades, é $274$ metros.

Resposta: O comprimento da rampa é, aproximadamente, $274$ metros.

Prova de Matemática 9.º ano — 2021

A figura é uma fotografia da escultura Esforço, que se encontra em Vila Nova de Cerveira, do escultor português José Rodrigues. Esta escultura é constituída por um tripé no qual se suspende, por um fio, sobre um lago, uma peça de pedra.

A figura da direita apresenta um modelo geométrico que ilustra a escultura.

Fotografia da escultura Esforço e modelo geométrico com o triângulo [ABC]

Relativamente ao modelo geométrico, sabe-se que:

o ponto $A$ representa a ligação entre os elementos do tripé;
o ponto $C$ é o ponto de contacto de um desses elementos com o solo;
o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$;
$\overline{AC}=7$ m e $\overline{AB}=6$ m

O modelo geométrico não está desenhado à escala.

Determina a amplitude do ângulo $ACB$.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$, e, relativamente ao ângulo $ACB$, o lado $[AB]$ é o cateto oposto e o lado $[AC]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen} A\hat{C}B=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} A\hat{C}B=\frac{6}{7} \Rightarrow \operatorname{sen} A\hat{C}B\approx 0{,}857

Assim, procurando o valor mais próximo de $0{,}857$ na coluna dos valores do seno na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $ACB$ às unidades, temos que:

A\hat{C}B\approx\operatorname{sen}^{-1}(0{,}857)\approx 59^\circ

Resposta: $A\hat{C}B\approx 59^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · Época especial

A Central Solar Fotovoltaica de Amareleja, no Alentejo, é uma das maiores do mundo. É constituída por dispositivos mecânicos — seguidores solares — que suportam os painéis solares e os orientam para o Sol desde que este nasce até que se põe.

Na figura seguinte (em baixo), está representada, em esquema, uma vista lateral de um seguidor solar numa certa posição.

Nesse esquema, o painel solar está representado pelo segmento de reta $[AE]$.

Fotografia dos seguidores solares e esquema da vista lateral com o triângulo [ABE]

Relativamente ao esquema, que não está desenhado à escala, sabe-se que:

o triângulo $[ABE]$ é retângulo em $B$;
$\overline{AE}=10{,}9$ m;
$A\hat{E}B=\alpha$
$[BCDE]$ é um retângulo;
$\overline{DE}=0{,}16$ m;
$\overline{AC}=8$ m;

Determina $\alpha$, a amplitude do ângulo de inclinação do painel solar em relação à horizontal.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$, vem:

\overline{AB}=\overline{AC}-\overline{BC}=8-0{,}16=7{,}84 \text{ m}

Como o triângulo $[ABE]$ é retângulo em $B$, e, relativamente ao ângulo $AEB$, o lado $[AB]$ é o cateto oposto e o lado $[AE]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\alpha=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}} \Leftrightarrow \operatorname{sen}\alpha=\frac{7{,}84}{10{,}9} \Rightarrow \operatorname{sen}\alpha\approx 0{,}719

Assim, procurando o valor mais próximo de $0{,}719$ na coluna dos valores do seno na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $AEB$ às unidades, temos que:

\alpha\approx\operatorname{sen}^{-1}(0{,}719)\approx 46^\circ

Resposta: $\alpha\approx 46^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 2.ª fase

A figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia de uma torre de vigia florestal.

Na figura da direita, apresenta-se um esquema dessa torre.

Fotografia da torre de vigia e esquema do prisma com a escada [KM]

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

o prisma reto $[ABCDEFGH]$, de bases quadradas, representa a torre;
os vértices do polígono $[IJKL]$ pertencem às arestas laterais do prisma;
os planos $JKL$ e $EFG$ são paralelos, sendo a distância entre eles $2$ m;
$\overline{KM}=5$ m (comprimento da escada);
$A\hat{M}K=66^\circ$ e $K\hat{A}M=90^\circ$.

O esquema não está desenhado à escala.

Determina a altura da torre, ou seja, a distância entre os planos $ABC$ e $FGH$.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como $K\hat{A}M=90^\circ$, então o triângulo $[KAM]$ é retângulo em $A$, sendo o lado $[KM]$ a hipotenusa e o lado $[AK]$ o cateto oposto relativamente ao ângulo $AMK$.

Desta forma, como $A\hat{M}K=66^\circ$ e $\overline{KM}=5$, usando a definição de seno, temos que:

\operatorname{sen} A\hat{M}K=\frac{\overline{AK}}{\overline{KM}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 66^\circ=\frac{\overline{AK}}{5} \Leftrightarrow 5\times\operatorname{sen} 66^\circ=\overline{AK} \Rightarrow \overline{AK}\approx 4{,}568 \text{ m}

Como a distância entre os planos paralelos $JKL$ e $EFG$ é $2$ m, temos que $\overline{KF}=2$ m, e assim, a altura da torre, em metros, arredondada às décimas, é:

\overline{AF}=\overline{AK}+\overline{KF}\approx 4{,}568+2\approx 6{,}6 \text{ m}

Resposta: A altura da torre é, aproximadamente, $6{,}6$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 1.ª fase

O João pratica kitesurf, desporto aquático em que se usa uma prancha e uma asa (semelhante a um paraquedas) comandada através de cabos.

A figura é um esquema da situação em que o João se encontrava, num instante em que estava elevado em relação à superfície da água.

Esquema do kitesurf com o cabo [AB] e o ângulo de 42 graus

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

a reta $s$ representa a superfície da água;
o segmento de reta $[AB]$ representa um dos cabos que liga a asa ao João;
as retas $BC$ e $s$ são paralelas;
a distância do ponto $B$ à reta $s$ é $2{,}8$ m;
$\overline{AB}=18$ m;
$A\hat{B}C=42^\circ$ e $B\hat{C}A=90^\circ$.

O esquema não está desenhado à escala.

Determina a distância da asa à superfície da água, na situação representada na figura, ou seja, a distância do ponto $A$ à reta $s$.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o ângulo $BCA$ é reto, então o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $C$ e, relativamente ao ângulo $ABC$, o lado $[AC]$ é o cateto oposto e o lado $[AB]$ é a hipotenusa, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen} A\hat{B}C=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 42^\circ=\frac{\overline{AC}}{18} \Leftrightarrow 18\times\operatorname{sen} 42^\circ=\overline{AC} \Rightarrow \overline{AC}\approx 12{,}044 \text{ m}

Desta forma, temos que a distância da asa à superfície da água, ou seja, a distância do ponto $A$ à reta $s$, em metros, arredondada às décimas, é a soma de $\overline{AC}$ com a distância do ponto $B$ à reta $s$, ou seja:

12{,}044+2{,}8=14{,}844\approx 14{,}8 \text{ m}

Resposta: A distância da asa à superfície da água é, aproximadamente, $14{,}8$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · Época especial

No Porto de Leixões, existe uma das maiores pontes basculantes do mundo.

No esquema da figura seguinte (à direita), está representada a posição, em relação à horizontal, que as duas secções móveis da ponte tinham num certo instante. Nesse esquema, as secções móveis estão representadas pelos segmentos de reta $[AC]$ e $[ED]$.

Fotografia da ponte do Porto de Leixões e esquema com os triângulos [ABC] e [EFD]

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

os triângulos $[ABC]$ e $[EFD]$ são retângulos nos vértices $B$ e $F$, respetivamente;
$\overline{AC}=\overline{ED}=46$ m;
$B\hat{A}C=D\hat{E}F=35^\circ$;
$\overline{AE}=\overline{AC}+\overline{ED}$.

Determina a distância entre os pontos $C$ e $D$, na posição representada no esquema da figura da direita.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{AB}$ ou $\overline{EF}$.

Como o ângulo $ABC$ é reto, então o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$ e, relativamente ao ângulo $BAC$, o lado $[AB]$ é o cateto adjacente e o lado $[AC]$ é a hipotenusa, pelo que, usando a definição de cosseno, temos:

\cos B\hat{A}C=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \Leftrightarrow \cos 35^\circ=\frac{\overline{AB}}{46} \Leftrightarrow \overline{AB}=46\times\cos 35^\circ

Como $\cos 35^\circ\approx 0{,}82$, vem que:

\overline{AB}\approx 46\times 0{,}82\approx 37{,}72 \text{ m}

Assim, como $\overline{AB}=\overline{EF}$ (porque os triângulos $[ABC]$ e $[EFD]$ são iguais pelo critério LAL), e $\overline{BF}=\overline{CD}$, temos que:

\overline{AE}=\overline{AB}+\underbrace{\overline{BF}}_{\overline{CD}}+\underbrace{\overline{EF}}_{\overline{AB}} \Leftrightarrow \overline{AE}=2\times\overline{AB}+\overline{CD} \Leftrightarrow \overline{AE}-2\times\overline{AB}=\overline{CD}

Logo, como $\overline{AE}=\overline{AC}+\overline{ED}=46+46=92$ metros e $\overline{AB}\approx 37{,}72$ metros, temos que a distância entre os pontos $C$ e $D$, em metros, arredondada às unidades, é:

\overline{CD}\approx 92-2\times 37{,}72\approx 16{,}56\approx 17 \text{ m}

Resposta: A distância entre os pontos $C$ e $D$ é, aproximadamente, $17$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 2.ª fase

As casas típicas de Santana, localidade da costa norte da ilha da Madeira, parecem prismas triangulares.

Na figura seguinte, à direita, representa-se, em esquema, a fachada principal de uma dessas casas.

No esquema, os segmentos de reta $[AC]$ e $[BC]$ representam o telhado da casa.

Fotografia de uma casa de Santana e esquema do triângulo isósceles [ABC]

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

o triângulo $[ABC]$ é isósceles, com $\overline{AC}=\overline{BC}$;
$M$ é o ponto médio do segmento de reta $[AB]$;
$\overline{AB}=4{,}62$ m e $\overline{CM}=4{,}35$ m.

Determina, em graus, $A\hat{C}B$.

Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sugestão: Começa por determinar $A\hat{C}M$.

Sabemos que $[ACM]$ é um triângulo retângulo em $M$ (porque o triângulo $[ABC]$ é isósceles, com $\overline{AC}=\overline{BC}$, e $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[AB]$).

Temos ainda que, como $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[AB]$, então:

\overline{AM}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{4{,}62}{2}=2{,}31 \text{ m}

Como relativamente ao ângulo $ACM$, o lado $[AM]$ é o cateto oposto e o lado $[MC]$ é o cateto adjacente, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, e substituindo as medidas dos lados, temos que:

\operatorname{tg} A\hat{C}M=\frac{\overline{AM}}{\overline{MC}}=\frac{2{,}31}{4{,}35}

Como $\frac{2{,}31}{4{,}35}\approx 0{,}531$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), temos que a amplitude do ângulo $ACM$ é:

A\hat{C}M=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{2{,}31}{4{,}35}\right)\approx 28^\circ

Como o segmento $[CM]$ é a bissetriz do ângulo $ACB$, temos que:

A\hat{C}B=2\times A\hat{C}M\approx 2\times 28=56^\circ

Resposta: $A\hat{C}B\approx 56^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 1.ª fase

Algumas camas são articuladas, ou seja, têm uma secção que pode ser inclinada.

No esquema da figura seguinte, está representada a vista lateral de uma cama articulada, com o topo encostado a uma das paredes de um quarto. Nesse esquema, o trapézio $[ABCD]$ representa a secção inclinada da cama e o retângulo $[FGHI]$ representa a base da cama.

Esquema da cama articulada com o triângulo [ADE] e o ângulo de 32 graus

Relativamente ao esquema, que não está à escala, sabe-se que:

os pontos $A$ e $E$ pertencem ao segmento de reta $[FI]$;
o triângulo $[ADE]$ é retângulo no vértice $E$;
$\overline{AD}=0{,}9$ m e $\overline{AF}=1{,}05$ m;
$D\hat{A}E=32^\circ$

Determina a distância do vértice $D$ à parede do quarto, na posição representada no esquema da figura.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{AE}$.

Como o triângulo $[ADE]$ é retângulo no vértice $E$ e, relativamente ao ângulo $DAE$, o lado $[AE]$ é o cateto adjacente e o lado $[AD]$ é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:

\cos D\hat{A}E=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}} \Leftrightarrow \cos 32^\circ=\frac{\overline{AE}}{0{,}90} \Leftrightarrow \overline{AE}=0{,}9\times\cos 32^\circ

Como $\cos 32^\circ\approx 0{,}848$, vem que:

\overline{AE}\approx 0{,}9\times 0{,}848\approx 0{,}763 \text{ m}

Como $\overline{EF}+\overline{AE}=\overline{AF} \Leftrightarrow \overline{EF}=\overline{AF}-\overline{AE}$, temos que a distância, em metros, do vértice $D$ à parede do quarto, arredondada às centésimas, é:

\overline{EF}=\overline{AF}-\overline{AE}\approx 1{,}05-0{,}763\approx 0{,}29 \text{ m}

Resposta: A distância do vértice $D$ à parede é, aproximadamente, $0{,}29$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · Época especial

Na figura seguinte, está representado um esquema de um baloiço num instante em que a cadeira do baloiço se encontra na posição assinalada com o ponto $M$.

No esquema, o segmento de reta $[OM]$ representa o cabo do baloiço e a reta $s$ representa o solo.

Esquema do baloiço com o ângulo MON de 56 graus

Sabe-se que:

o ponto $P$ é o pé da perpendicular traçada do ponto $O$ para a reta $s$;
o ponto $N$ é o pé da perpendicular traçada do ponto $M$ para a reta $OP$;
$M\hat{O}N=56^\circ$;
$\overline{OM}=2$ m;
$\overline{OP}=2{,}5$ m.

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{NP}$, ou seja, determina a distância da cadeira ao solo quando esta se encontra no ponto $M$.

Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sugestão: começa por determinar $\overline{ON}$.

Como o ponto $N$ é o pé da perpendicular traçada do ponto $M$ para a reta $OP$, então o triângulo $[MNO]$ é retângulo em $N$ e, relativamente ao ângulo $MON$, o lado $[ON]$ é o cateto adjacente e o lado $[OM]$ é a hipotenusa, pelo que, usando a definição de cosseno, temos:

\cos M\hat{O}N=\frac{\overline{ON}}{\overline{OM}} \Leftrightarrow \cos 56^\circ=\frac{\overline{ON}}{2} \Leftrightarrow \overline{ON}=2\cos 56^\circ

Como $\cos 56^\circ\approx 0{,}559$, vem que:

\overline{ON}\approx 2\times 0{,}559\approx 1{,}118 \text{ m}

Assim, a distância da cadeira ao solo pode ser calculada como a diferença das distâncias dos pontos $O$ e $N$ ao solo, ou seja, ao ponto $P$, e o seu valor em metros, arredondado às centésimas, é:

\overline{NP}=\overline{OP}-\overline{ON}\approx 2{,}5-1{,}118\approx 1{,}38 \text{ m}

Resposta: $\overline{NP}\approx 1{,}38$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 2.ª fase

Na figura seguinte, apresenta-se o esquema de uma estrutura de três pisos onde serão montadas duas escadas rolantes, uma entre o rés do chão e o 1.º andar e outra entre o 1.º andar e o 2.º andar.

Esquema das escadas rolantes entre os três pisos com ângulos de 30 graus

Sabe-se que:

$\overline{AD}=23$ m
$\overline{BC}=12$ m
$\overline{AB}=\overline{CD}$
$B\hat{A}H=E\hat{G}F=30^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{DF}$, ou seja, determina a distância da superfície do rés do chão à superfície do 2.º andar.

Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como os triângulos $[ABH]$ e $[GEF]$ são ambos retângulos, $\overline{AB}=\overline{CD}$ e $B\hat{A}H=E\hat{G}F$, pelo critério ALA os triângulos são congruentes e, por isso, $\overline{BH}=\overline{EF}$.

Temos ainda que:

\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}=\overline{AD} \Leftrightarrow 2\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AD} \Leftrightarrow \overline{AB}=\frac{\overline{AD}-\overline{BC}}{2}

Assim, como $\overline{AB}=\overline{GE}$, temos que:

\overline{GE}=\overline{AB}=\frac{23-12}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5 \text{ m}

Como, relativamente ao ângulo $EGF$, o lado $[GE]$ é o cateto adjacente e o lado $[FE]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} E\hat{G}F=\frac{\overline{FE}}{\overline{GE}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 30^\circ=\frac{\overline{FE}}{5{,}5} \Leftrightarrow \overline{FE}=\operatorname{tg} 30^\circ\times 5{,}5

Como $\operatorname{tg} 30^\circ\approx 0{,}577$, vem que:

\overline{FE}\approx 0{,}577\times 5{,}5\approx 3{,}174 \text{ m}

Como $\overline{FD}=\overline{FE}+\overline{ED}=2\overline{FE}$, então a distância da superfície do rés do chão à superfície do 2.º andar, arredondada às centésimas, é:

\overline{FD}\approx 2\times 3{,}174\approx 6{,}35 \text{ m}

Resposta: $\overline{DF}\approx 6{,}35$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 1.ª fase

Em algumas pontes, os candeeiros de iluminação pública estão inclinados em relação ao plano do tabuleiro da ponte, para reduzir a luz projetada sobre os rios. Na ponte Vasco da Gama, os candeeiros foram instalados desse modo, conforme se pode observar na figura seguinte, à direita.

Na figura, à esquerda, apresenta-se, em esquema, um candeeiro desse tipo, instalado numa outra ponte. Este candeeiro é constituído por duas peças, representadas na figura pelos segmentos de reta $[AD]$ e $[CD]$.

Fotografia dos candeeiros da ponte e esquema do candeeiro com o ângulo de 10 graus

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

a reta $t$ representa o tabuleiro da ponte;
o ponto $A$ representa a lâmpada, e o ponto $B$ é o pé da perpendicular traçada do ponto $A$ para a reta $t$;
o segmento de reta $[AD]$ é perpendicular ao segmento de reta $[AB]$;
o poste do candeeiro é representado pelo segmento de reta $[CD]$ e tem $4{,}1$ m de comprimento;
$D\hat{C}E=10^\circ$, sendo a reta $CE$ perpendicular à reta $t$;
a distância do ponto $C$ à reta $t$ é igual a $20$ cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{AB}$, ou seja, determina a distância da lâmpada do candeeiro ao tabuleiro da ponte.

Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às décimas.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo $[CDE]$ é retângulo em $E$. Como, relativamente ao ângulo $DCE$, o lado $[CE]$ é o cateto adjacente e o lado $[CD]$ é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:

\cos 10^\circ=\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}} \Leftrightarrow \cos 10^\circ=\frac{\overline{CE}}{4{,}1} \Leftrightarrow \overline{CE}=4{,}1\times\cos 10^\circ

Como $\cos 10^\circ\approx 0{,}985$, vem que:

\overline{CE}\approx 4{,}1\times 0{,}985\approx 4{,}039 \text{ m}

Assim, como a distância ($d$) da reta $t$ ao ponto $C$ é $20$ centímetros, ou seja, $0{,}2$ metros e como $\overline{AB}=\overline{CE}+d$, vem que a distância do candeeiro ao tabuleiro da ponte, em metros, arredondada às décimas, é:

\overline{AB}\approx 4{,}039+0{,}2\approx 4{,}2 \text{ m}

Resposta: $\overline{AB}\approx 4{,}2$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · Época especial

Em São Torpes, no concelho de Sines, encontra-se uma central termoelétrica com duas chaminés.

A figura da esquerda é uma fotografia dessa central termoelétrica e a figura da direita é uma representação das duas chaminés.

A figura da direita não está desenhada à escala.

Fotografia da central termoelétrica e esquema das duas chaminés com o ângulo de 55 graus

Na figura da direita, os segmentos de reta $[AP]$ e $[BR]$ correspondem às duas chaminés. O ponto $O$ corresponde a uma posição a partir da qual se observa o topo da chaminé representada por $[AP]$ segundo um ângulo com $55^\circ$ de amplitude.

Ambas as chaminés têm $225$ metros de altura e a distância entre elas é igual a $132$ metros.

Assim, relativamente à figura da direita, sabe-se que:

o ponto $P$ pertence ao segmento de reta $[OR]$
$A\hat{O}P=55^\circ$
$\overline{AP}=\overline{BR}=225$ m
$\overline{PR}=132$ m

Determina a amplitude do ângulo $BOR$.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{OP}$.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo $[AOP]$ é retângulo em $P$. Como, relativamente ao ângulo $AOP$, o lado $[OP]$ é o cateto adjacente e o lado $[AP]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} A\hat{O}P=\frac{\overline{AP}}{\overline{OP}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 55^\circ=\frac{225}{\overline{OP}} \Leftrightarrow \overline{OP}=\frac{225}{\operatorname{tg} 55^\circ}

Como $\operatorname{tg} 55^\circ\approx 1{,}43$, vem que:

\overline{OP}\approx\frac{225}{1{,}43}\approx 157{,}34 \text{ m}

Como $\overline{OR}=\overline{OP}+\overline{PR}$, vem:

\overline{OR}\approx 157{,}34+132\approx 289{,}34 \text{ m}

O triângulo $[BOR]$ é retângulo em $R$. Como, relativamente ao ângulo $BOR$, o lado $[OR]$ é o cateto adjacente e o lado $[BR]$ é o cateto oposto, voltando a usar a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} B\hat{O}R=\frac{\overline{BR}}{\overline{OR}} \Rightarrow \operatorname{tg} B\hat{O}R\approx\frac{225}{289{,}34} \Rightarrow \operatorname{tg} B\hat{O}R\approx 0{,}78

Assim, procurando o valor mais próximo de $0{,}78$ na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $BOR$ às unidades, temos que:

B\hat{O}R\approx\operatorname{tg}^{-1}(0{,}78)\approx 38^\circ

Resposta: $B\hat{O}R\approx 38^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 2.ª fase

Na figura seguinte, está representado um esquema do modelo de avião A380, um dos maiores aviões de transporte de passageiros do mundo.

Na figura, estão também representados o triângulo isósceles $[ABD]$ e o segmento de reta $[AC]$, que é a altura do triângulo relativa à base $[BD]$.

Esquema do avião A380 com o triângulo isósceles [ABD]

O esquema não está desenhado à escala.

Sabe-se que:

$\overline{AB}=\overline{AD}$
$\overline{AC}=51$ m
$B\hat{A}D=76^\circ$

Determina $\overline{BD}$, ou seja, determina a envergadura do A380.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o triângulo $[ABD]$ é isósceles e o segmento de reta $[AC]$ é a altura relativa à base $[BD]$, o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $C$.

No triângulo $[ABC]$, relativamente ao ângulo $BAC$, o lado $[BC]$ é o cateto oposto e o lado $[AC]$ é o cateto adjacente, e como $B\hat{A}C=\frac{B\hat{A}D}{2}=\frac{76}{2}=38^\circ$, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} B\hat{A}C=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 38^\circ=\frac{\overline{BC}}{51} \Leftrightarrow 51\times\operatorname{tg} 38^\circ=\overline{BC}

Como $\operatorname{tg} 38^\circ\approx 0{,}78$, vem que:

\overline{BC}\approx 51\times 0{,}78\approx 39{,}78 \text{ m}

Como o triângulo $[ABD]$ é isósceles e o segmento de reta $[AC]$ é a altura relativa à base $[BD]$, temos que $\overline{BC}=\overline{CD}$, e assim, determinando a envergadura do A380, ou seja, o valor de $\overline{BD}$, em metros, e arredondando o resultado às unidades, vem que:

\overline{BD}=\overline{BC}+\overline{CD}\approx 39{,}78+39{,}78\approx 80 \text{ m}

Resposta: A envergadura do A380 é, aproximadamente, $80$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 1.ª fase

A figura é uma fotografia do farol do Cabo de Santa Maria, situado na Ria Formosa, na Ilha da Culatra.

A Marta e o Rui estão a fazer um trabalho de trigonometria.

A Marta colocou-se num ponto a partir do qual podia observar o topo do farol segundo um ângulo de amplitude $60^\circ$. Fez algumas medições e esboçou um esquema idêntico ao que se apresenta na figura seguinte.

Nesse esquema, o ponto $T$ corresponde ao topo do farol, o ponto $M$ corresponde ao ponto de observação da Marta, e o ponto $R$ corresponde ao ponto de observação do Rui.

Esquema do triângulo [MCT] com os ângulos de 60 e 45 graus

O esquema não está desenhado à escala.

Relativamente ao esquema da figura, sabe-se que:

$[MCT]$ é um triângulo retângulo;
o ponto $R$ pertence à semirreta $\dot{M}C$;
$T\hat{M}C=60^\circ$ e $T\hat{R}C=45^\circ$;
$\overline{MC}=25{,}6$ m

Determina $\overline{MR}$, ou seja, determina a distância entre a Marta e o Rui.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{TC}$.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo $[CMT]$ é retângulo em $C$. Como, relativamente ao ângulo $CMT$, o lado $[MC]$ é o cateto adjacente e o lado $[TC]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} 60^\circ=\frac{\overline{TC}}{\overline{MC}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 60^\circ=\frac{\overline{TC}}{25{,}6} \Leftrightarrow 25{,}6\times\operatorname{tg} 60^\circ=\overline{TC}

Como $\operatorname{tg} 60^\circ\approx 1{,}73$, vem que:

\overline{TC}\approx 25{,}6\times 1{,}73\approx 44{,}29

O triângulo $[CRT]$ é retângulo em $C$. Como, relativamente ao ângulo $CRT$, o lado $[CR]$ é o cateto adjacente e o lado $[TC]$ é o cateto oposto, voltando a usar a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} 45^\circ=\frac{\overline{TC}}{\overline{CR}} \Leftrightarrow \overline{CR}=\frac{\overline{TC}}{\operatorname{tg} 45^\circ}

Como $\operatorname{tg} 45^\circ=1$, vem que:

\overline{CR}\approx\frac{44{,}29}{1}\approx 44{,}29

Assim, determinando o valor de $\overline{MR}$, em metros, e arredondando o resultado às unidades, vem que:

\overline{MR}=\overline{MC}+\overline{CR}\approx 25{,}6+44{,}29\approx 70 \text{ m}

Resposta: $\overline{MR}\approx 70$ metros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · Época especial

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto $C$ e os pontos $T$, $P$, $A$, $M$ e $B$.

Circunferência de centro C com a reta tangente em T e a corda [AB]

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

os pontos $T$, $A$ e $B$ pertencem à circunferência;
$M$ é o ponto médio da corda $[AB]$
a reta tangente à circunferência no ponto $T$ intersecta a reta $AB$ no ponto $P$
$\overline{PB}=8$
$\overline{PA}=2$
$\overline{PT}=4$
$\overline{CT}=9{,}2$

Determina a amplitude do ângulo $BCM$.

Na tua resposta, deves:

obter $\overline{BM}$
indicar o valor de $\overline{CB}$
apresentar a amplitude do ângulo $BCM$ em graus, arredondada às unidades.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Como $M$ é o ponto médio da corda $[AB]$, temos que $\overline{AM}=\overline{MB}$, e assim:

\overline{PB}=\overline{PA}+\overline{AM}+\overline{MB}=\overline{PA}+2\times\overline{MB}

Logo, substituindo os valores conhecidos, vem:

8=2+2\times\overline{MB} \Leftrightarrow 8-2=2\times\overline{MB} \Leftrightarrow \frac{6}{2}=\overline{MB} \Leftrightarrow 3=\overline{MB}

Como $[CB]$ e $[CT]$ são raios da circunferência, vem que:

\overline{CB}=\overline{CT}=9{,}2

Como o triângulo $[BCA]$ é isósceles, e o ponto $M$ é o ponto médio do lado menor $[AB]$, então $[CM]$ é a altura relativamente ao lado $[AB]$, e por isso o lado $[CM]$ é perpendicular ao lado $[AB]$, ou seja, o triângulo $[BCM]$ é retângulo em $M$.

Como, relativamente ao ângulo $BCM$, o lado $[MB]$ é o cateto oposto e o lado $[CB]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\left(B\hat{C}M\right)=\frac{\overline{MB}}{\overline{CB}} \Leftrightarrow \operatorname{sen}\left(B\hat{C}M\right)=\frac{3}{9{,}2}

Como $\frac{3}{9{,}2}\approx 0{,}326$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores do seno na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $BCM$ às unidades, temos que:

B\hat{C}M=\operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{3}{9{,}2}\right)\approx 19^\circ

Resposta: $B\hat{C}M\approx 19^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 2.ª fase

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de centro no ponto $O$ e diâmetro $[AD]$.

Semicircunferência de centro O e diâmetro [AD] com o triângulo [ABO]

Sabe-se que:

o ponto $C$ pertence à semicircunferência;
o ponto $B$ pertence à corda $[AC]$
o triângulo $[ABO]$ é retângulo em $B$
$\overline{OB}=1$ cm
$B\hat{A}O=25^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Determina a área do semicírculo de diâmetro $[AD]$.

Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo $[ABO]$ é retângulo em $B$. Como, relativamente ao ângulo $BAO$, o lado $[OB]$ é o cateto oposto e o lado $[OA]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen} 25^\circ=\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 25^\circ=\frac{1}{\overline{OA}} \Leftrightarrow \overline{OA}=\frac{1}{\operatorname{sen} 25^\circ}

Como $\operatorname{sen} 25^\circ\approx 0{,}423$, vem que:

\overline{OA}\approx\frac{1}{0{,}423}\approx 2{,}364

Assim, a medida $r$ do raio do semicírculo de diâmetro $[AD]$ é:

r=\overline{OA}\approx 2{,}364

Pelo que, calculando a área $A_S$ do semicírculo de diâmetro $[AD]$ em centímetros quadrados, arredondada às décimas, vem:

A_S=\frac{\pi r^2}{2}\approx\frac{\pi\times 2{,}364^2}{2}\approx 8{,}8 \text{ cm}^2

Resposta: A área do semicírculo é, aproximadamente, $8{,}8$ cm².

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto $O$ e um triângulo isósceles $[ABC]$.

Circunferência de centro O com o triângulo isósceles [ABC] e a altura [BD]

Sabe-se que:

os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência
$\overline{AB}=\overline{BC}$
$[BD]$ é a altura do triângulo $[ABC]$ relativa à base $[AC]$
a amplitude do arco $AC$ é igual a $100^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Seja $\alpha$ a amplitude de um dos ângulos internos do triângulo $[ABD]$.

Sabe-se que $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}}$

Identifica esse ângulo, usando letras da figura.

O triângulo $[ABD]$ é retângulo e $[AD]$ e $[BD]$ são os catetos.

Assim, como $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}}$, temos que $[AD]$ é o cateto oposto ao ângulo $\alpha$, e $[BD]$ é o cateto adjacente, pelo que o ângulo $\alpha$ é o ângulo $ABD$.

Resposta: O ângulo $ABD$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 2.ª chamada

Na figura seguinte, estão representadas as retas $AD$ e $CD$ e a circunferência de diâmetro $[AC]$.

O ponto $B$ pertence à circunferência e à reta $AD$.

Circunferência de diâmetro [AC] com a reta tangente CD e o ângulo de 50 graus

Sabe-se que:

a reta $CD$ é tangente à circunferência no ponto $C$
$C\hat{D}A=50^\circ$
$\overline{CD}=8$ cm

Determina $\overline{CA}$.

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo $[ACD]$ é retângulo em $C$ (porque a reta $CD$ é tangente à circunferência no ponto $C$). Como, relativamente ao ângulo $CDA$, o lado $[CD]$ é o cateto adjacente e o lado $[CA]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} 50^\circ=\frac{\overline{CA}}{\overline{CD}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 50^\circ=\frac{\overline{CA}}{8} \Leftrightarrow 8\times\operatorname{tg} 50^\circ=\overline{CA}

Como $\operatorname{tg} 50^\circ\approx 1{,}19$, vem que:

\overline{CA}\approx 8\times 1{,}19\approx 9{,}52

Assim, arredondando o resultado às décimas, vem que $\overline{CA}\approx 9{,}5$ cm.

Resposta: $\overline{CA}\approx 9{,}5$ centímetros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 1.ª chamada

Na figura, está representada uma circunferência com centro no ponto $O$.

Os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência.

O ponto $P$ pertence à corda $[AC]$.

Circunferência de centro O com a corda [AC] e o segmento perpendicular [PB]

Sabe-se que:

os segmentos de reta $[AC]$ e $[PB]$ são perpendiculares
$B\hat{A}C=65^\circ$
$\overline{AP}=1{,}6$ cm

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{BP}$.

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo $[APB]$ é retângulo em $P$ (porque os segmentos de reta $[AC]$ e $[PB]$ são perpendiculares). Como, relativamente ao ângulo $BAP$, o lado $[AP]$ é o cateto adjacente e o lado $[BP]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} 65^\circ=\frac{\overline{BP}}{\overline{AP}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 65^\circ=\frac{\overline{BP}}{1{,}6} \Leftrightarrow 1{,}6\times\operatorname{tg} 65^\circ=\overline{BP}

Como $\operatorname{tg} 65^\circ\approx 2{,}14$, vem que:

\overline{BP}\approx 1{,}6\times 2{,}14\approx 3{,}42

Assim, arredondando o resultado às décimas, vem que $\overline{BP}\approx 3{,}4$ cm.

Resposta: $\overline{BP}\approx 3{,}4$ centímetros.

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 2.ª chamada

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Circunferência de centro O com o triângulo [ABC] e a altura [BD]

Sabe-se que:

os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência
$\overline{BA}=\overline{BC}$
o segmento de reta $[BD]$ é a altura do triângulo $[ABC]$ relativa à base $[AC]$
$A\hat{O}C=72^\circ$
$\overline{OA}=2$ cm

Determina a área do triângulo $[ABC]$.

Apresenta o resultado em cm², arredondado às décimas.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

O triângulo $[ADO]$ é retângulo em $D$, porque $[BD]$ é perpendicular a $[AC]$. Como o triângulo $[ABC]$ é isósceles, também o triângulo $[AOC]$ o é, porque têm a base em comum, e o vértice oposto à base está sobre a altura. Assim, o ângulo $AOC$ tem o dobro da amplitude do ângulo $AOD$, logo:

A\hat{O}D=\frac{A\hat{O}C}{2}=\frac{72}{2}=36^\circ

Desta forma, o lado $[OA]$ é a hipotenusa do triângulo $[AOD]$, e relativamente ao ângulo $AOD$, $[AD]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen} 36^\circ=\frac{\overline{AD}}{\overline{OA}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 36^\circ=\frac{\overline{AD}}{2} \Leftrightarrow 2\times\operatorname{sen} 36^\circ=\overline{AD}

Como $\operatorname{sen} 36^\circ\approx 0{,}588$, vem que: $\overline{AD}\approx 2\times 0{,}588\approx 1{,}176$

Como o ângulo $ABD$ é o ângulo inscrito relativo ao mesmo arco que o ângulo ao centro $AOD$, tem metade da amplitude do ângulo $AOD$, logo:

A\hat{B}D=\frac{A\hat{O}D}{2}=\frac{36}{2}=18^\circ

Desta forma, como o triângulo $[ABD]$ é retângulo em $D$, relativamente ao ângulo $ABD$, $[AD]$ é o cateto oposto e $[BD]$ é o cateto adjacente, pelo que, usando a definição de tangente, temos:

\operatorname{tg} 18^\circ=\frac{\overline{AD}}{\overline{BD}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 18^\circ\times\overline{BD}=\overline{AD} \Leftrightarrow \overline{BD}=\frac{\overline{AD}}{\operatorname{tg} 18^\circ}

Como $\overline{AD}\approx 1{,}176$ e $\operatorname{tg} 18^\circ\approx 0{,}325$, vem que: $\overline{BD}\approx\frac{1{,}176}{0{,}325}\approx 3{,}618$

Como a medida da altura do triângulo $[ABC]$ é $\overline{BD}\approx 3{,}618$ e a medida da base é $\overline{AC}=2\times\overline{AD}\approx 2\times 1{,}176\approx 2{,}352$, calculando a área do triângulo $[ABC]$, vem:

A_{[ABC]}=\frac{\overline{AC}\times\overline{BD}}{2}\approx\frac{2{,}352\times 3{,}618}{2}\approx 4{,}255

Desta forma, o valor aproximado às décimas da área do triângulo $[ABC]$ é de $4{,}3$ cm².

Resposta: $A_{[ABC]}\approx 4{,}3$ cm².

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 1.ª chamada

Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto $[ABCDEF]$.

Prisma triangular reto [ABCDEF] com o triângulo [ABC] retângulo em A

Sabe-se que:

o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $A$
$\overline{AC}=2$ cm
$\overline{AE}=6$ cm
o volume do prisma é $42$ cm³

Determina a amplitude do ângulo $ABC$.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Sabemos que o volume ($V$) de um prisma é o produto da área da base ($A_b$) pela altura ($h$):

V=A_b\times h

Considerando a base do prisma o triângulo $[ABC]$, a altura a aresta $[AE]$, e a medida do volume $42$, e substituindo as medidas conhecidas, vem:

V=A_{[ABC]}\times\overline{AE} \Leftrightarrow 42=\frac{\overline{AB}\times\overline{AC}}{2}\times\overline{AE} \Leftrightarrow 42=\frac{\overline{AB}\times 2}{2}\times 6 \Leftrightarrow \frac{42}{6}=\overline{AB} \Leftrightarrow 7=\overline{AB}

Assim, como, relativamente ao ângulo $ABC$, o lado $[AC]$ é o cateto oposto e o lado $[AB]$ é o cateto adjacente, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

\operatorname{tg}\left(A\hat{B}C\right)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \operatorname{tg}\left(A\hat{B}C\right)=\frac{2}{7}

Como $\frac{2}{7}\approx 0{,}2857$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $ABC$ às unidades, temos que:

A\hat{B}C=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{2}{7}\right)\approx 16^\circ

Resposta: $A\hat{B}C\approx 16^\circ$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2012 · 2.ª chamada

A figura seguinte representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala.

Este modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo $[ABCDEFIJ]$ e nos prismas triangulares retos $[BHIFAG]$ e $[CKJEDL]$, geometricamente iguais. As bases dos prismas são triângulos retângulos.

Modelo geométrico da rampa de skate decomposto num cubo e dois prismas

Sabe-se ainda que:

$\overline{HI}=5$ m
$I\hat{H}B=32^\circ$

Determina o volume do sólido representado na figura.

Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

O triângulo $[IHB]$ é retângulo em $I$, porque é uma base de um dos prismas, e o lado $[HB]$ é a hipotenusa. Temos que, relativamente ao ângulo $IHB$, $[BI]$ é o cateto oposto, e o lado $[HI]$ é o cateto adjacente, pelo que, usando a definição de tangente, e substituindo as medidas conhecidas, temos:

\operatorname{tg}\left(I\hat{H}B\right)=\frac{\overline{BI}}{\overline{HI}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 32^\circ=\frac{\overline{BI}}{5} \Leftrightarrow 5\times\operatorname{tg} 32^\circ=\overline{BI}

Como $\operatorname{tg} 32^\circ\approx 0{,}625$, vem que: $\overline{BI}\approx 5\times 0{,}625\approx 3{,}125$

Como $[ABCDEFIJ]$ é um cubo, então o seu volume, $V_C$, é:

V_C=\overline{BI}^{\,3}\approx 3{,}125^3\approx 30{,}518 \text{ m}^3

Temos ainda que $\overline{AB}=\overline{BI}$, e como $[BHIFAG]$ é um prisma triangular reto, em que o triângulo $[IHB]$ é a base e $[AB]$ é a altura, então o volume do prisma, $V_P$, é:

V_P=A_{[IHB]}\times\overline{AB}=\frac{\overline{HI}\times\overline{BI}}{2}\times\overline{AB}\approx\frac{5\times 3{,}125}{2}\times 3{,}125\approx 24{,}414 \text{ m}^3

Como os prismas $[BHIFAG]$ e $[CKJEDL]$ são geometricamente iguais, têm o mesmo volume, pelo que, calculando o volume do sólido, $V_S$, como a soma dos três volumes, e arredondando o resultado às unidades, temos:

V_S=V_P+V_C+V_P=2\times V_P+V_C\approx 2\times 24{,}414+30{,}518\approx 79 \text{ m}^3

Resposta: O volume do sólido é, aproximadamente, $79$ m³.

Prova Final 3.º Ciclo — 2012 · 1.ª chamada

Relativamente à figura, sabe-se que:

o triângulo $[ABC]$ é escaleno e é retângulo em $B$
os pontos $E$ e $P$ pertencem ao segmento de reta $[AC]$
o ponto $D$ pertence ao segmento de reta $[AB]$
o triângulo $[ADE]$ é retângulo em $D$
o ponto $Q$ pertence ao segmento de reta $[BC]$
$PCQ$ é um arco de circunferência

Triângulo [ABC] retângulo em B com o triângulo [ADE] e o arco PCQ

A figura não está desenhada à escala.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) $\operatorname{sen} A\hat{C}B=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$

(B) $\operatorname{sen} A\hat{C}B=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$

(D) $\cos A\hat{C}B=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$

Como $[ACB]$ é um triângulo retângulo em $B$, e relativamente ao ângulo $ACB$, temos que $[AC]$ é a hipotenusa, $[BC]$ é o cateto adjacente e $[AB]$ é o cateto oposto, pela definição das razões trigonométricas, temos que:

\operatorname{sen} A\hat{C}B=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \qquad \text{e} \qquad \cos A\hat{C}B=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}

Resposta: Opção C.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · Época especial

Na figura, está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal.

Este modelo não está desenhado à escala.

Circunferência de centro O com a estrela e os pontos A, B, C, D, E, F e G

Sabe-se que:

$A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ são pontos da circunferência de centro no ponto $O$
$F$ e $G$ são pontos da corda $[BE]$
$\overline{AF}=\overline{AG}=16$ cm
$C\hat{A}D=36^\circ$

Determina $\overline{FG}$.

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Como $\overline{AF}=\overline{AG}$, o triângulo $[AFG]$ é isósceles, pelo que, considerando $M$ o ponto médio do lado $[FG]$, podemos considerar o triângulo $[AMF]$, retângulo em $M$.

Temos ainda que o lado $[AM]$ bisseta o ângulo $FAG$ (que coincide com o ângulo $CAD$), pelo que $F\hat{A}M=\frac{36}{2}=18^\circ$.

Desta forma, o lado $[AF]$ é a hipotenusa do triângulo $[AMF]$, e relativamente ao ângulo $FAM$, $[FM]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\left(F\hat{A}M\right)=\frac{\overline{FM}}{\overline{AF}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 18^\circ=\frac{\overline{FM}}{16} \Leftrightarrow 16\times\operatorname{sen} 18^\circ=\overline{FM}

Como $\operatorname{sen} 18^\circ\approx 0{,}31$, vem que: $\overline{FM}\approx 16\times 0{,}31\approx 4{,}94$ cm

Como $M$ é o ponto médio de $[FG]$, calculando $\overline{FG}$ e arredondando o resultado às décimas, temos:

\overline{FG}=2\times\overline{FM}\approx 2\times 4{,}94\approx 9{,}9 \text{ cm}

Resposta: $\overline{FG}\approx 9{,}9$ centímetros.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · 2.ª chamada

Na figura, está representado o prisma triangular $[ABCDEF]$.

Prisma triangular [ABCDEF] com o quadrado [BCDE]

Sabe-se que:

o quadrilátero $[BCDE]$ é um quadrado;
o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $A$
$C\hat{B}A=30^\circ$
$\overline{AC}=8$ cm

Determina a área do triângulo $[ABC]$.

Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Como o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $A$, então o lado $[AC]$ é o cateto oposto ao ângulo $CBA$ e o lado $[AB]$ é o cateto adjacente ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, temos:

\operatorname{tg}\left(C\hat{B}A\right)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 30^\circ=\frac{8}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \overline{AB}=\frac{8}{\operatorname{tg} 30^\circ}

Como $\operatorname{tg} 30^\circ\approx 0{,}58$, vem que: $\overline{AB}\approx\frac{8}{0{,}58}\approx 13{,}79$

Definindo o lado $[AB]$ como a base e o lado $[AC]$ como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo $[ABC]$, em cm², arredondada às unidades, é:

A_{[ABC]}=\frac{\overline{AB}\times\overline{AC}}{2}\approx\frac{13{,}79\times 8}{2}\approx 55 \text{ cm}^2

Resposta: $A_{[ABC]}\approx 55$ cm².

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · 1.ª chamada

Na figura, estão representados um paralelepípedo $[ABCDEFGH]$ e uma pirâmide $[HDPC]$, sendo $P$ um ponto de $[AB]$.

Paralelepípedo [ABCDEFGH] com a pirâmide [HDPC]

Admite que:

$\overline{DP}=5$ cm
$D\hat{P}H=32^\circ$

Determina a área do triângulo $DPH$.

Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Como o triângulo $[DPH]$ é retângulo em $D$, então o lado $[DP]$ é o cateto adjacente ao ângulo $DPH$ e o lado $[DH]$ é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, temos:

\operatorname{tg}\left(D\hat{P}H\right)=\frac{\overline{DH}}{\overline{DP}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 32^\circ=\frac{\overline{DH}}{5} \Leftrightarrow 5\operatorname{tg} 32^\circ=\overline{DH}

Como $\operatorname{tg} 32^\circ\approx 0{,}625$, vem que: $\overline{DH}\approx 5\times 0{,}625\approx 3{,}125$

Definindo o lado $[DP]$ como a base e o lado $[DH]$ como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo $[DPH]$, em cm², arredondada às unidades, é:

A_{[DPH]}=\frac{\overline{DP}\times\overline{DH}}{2}\approx\frac{5\times 3{,}125}{2}\approx 8 \text{ cm}^2

Resposta: $A_{[DPH]}\approx 8$ cm².

Teste Intermédio 9.º ano — 17.05.2011

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Os pontos $A$, $B$, $C$, $P$ e $R$ pertencem à circunferência.

Circunferência de centro O e raio 8 com a região sombreada

Sabe-se que:

a circunferência tem raio $8$
$\overline{BA}=\overline{BC}$
$[PR]$ é um diâmetro da circunferência;
o ponto $Q$ é o ponto de intersecção dos segmentos $[BA]$ e $[PR]$
o ponto $S$ é o ponto de intersecção dos segmentos $[BC]$ e $[PR]$
$A\hat{B}O=36^\circ$

Determina a área da região representada a sombreado.

Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Como o triângulo $[OQB]$ é retângulo em $O$, então o lado $[BO]$ é o cateto adjacente ao ângulo $OBQ$ e o lado $[OQ]$ é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, e como $\overline{BO}=8$, temos:

\operatorname{tg}\left(O\hat{B}Q\right)=\frac{\overline{OQ}}{\overline{BO}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 36^\circ=\frac{\overline{OQ}}{8} \Leftrightarrow 8\operatorname{tg} 36^\circ=\overline{OQ}

Como $\operatorname{tg} 36^\circ\approx 0{,}73$, vem que: $\overline{OQ}\approx 8\times 0{,}73\approx 5{,}84$

Definindo o lado $[OQ]$ como a base e o lado $[BO]$ como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo $[BOQ]$ é:

A_{[BOQ]}=\frac{\overline{OQ}\times\overline{BO}}{2}\approx\frac{5{,}84\times 8}{2}\approx 23{,}36

E assim, a área do triângulo $[BSQ]$ é:

A_{[BSQ]}=2\times A_{[BOQ]}\approx 2\times 23{,}36\approx 46{,}72

Determinando a área $A$ do semicírculo, parcialmente sombreado, cujo raio ($r$) é $8$, temos:

A=\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi\times 8^2}{2}=\frac{64\pi}{2}=32\pi

Finalmente, podemos obter o valor da área sombreada ($A_S$), arredondada às unidades, como a diferença da área do semicírculo e a área do triângulo $[BSQ]$:

A_S=A-A_{[BSQ]}\approx 32\pi-46{,}72\approx 54

Resposta: A área da região sombreada é, aproximadamente, $54$.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2010 · 2.ª chamada

Na figura seguinte, à esquerda e ao centro, podes observar um comedouro de um camelo.

Imaginou-se um triângulo retângulo $[ABC]$, em que o cateto $[AB]$ representa o suporte do comedouro e o cateto $[BC]$ representa a sombra desse suporte.

A figura da direita é um esquema desse triângulo.

Fotografias do comedouro do camelo e esquema do triângulo [ABC]

O esquema não está desenhado à escala.

Sabe-se que: $\overline{AB}=1{,}26$ m e $\overline{BC}=0{,}6$ m

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $ACB$?

Escreve o resultado arredondado às unidades.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$, relativamente ao ângulo $ACB$, o lado $[AB]$ é o cateto oposto e o lado $[BC]$ é o cateto adjacente, e assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo e substituindo os valores conhecidos, temos que:

\operatorname{tg}\left(A\hat{C}B\right)=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \Leftrightarrow \operatorname{tg}\left(A\hat{C}B\right)=\frac{1{,}26}{0{,}6} \Leftrightarrow \operatorname{tg}\left(A\hat{C}B\right)=2{,}1

Assim, procurando o valor mais próximo de $2{,}1$ na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $ACB$ às unidades, temos que:

A\hat{C}B=\operatorname{tg}^{-1}(2{,}1)\approx 65^\circ

Resposta: $A\hat{C}B\approx 65^\circ$.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2010 · 1.ª chamada

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$, na qual está inscrito um retângulo $[ABCD]$.

Circunferência de centro O com o retângulo [ABCD] inscrito

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

$B\hat{D}A=70^\circ$
$\overline{AB}=4{,}35$ cm

Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro $[BD]$ da circunferência?

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Escreve o resultado arredondado às centésimas.

Nota — Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Como o triângulo $[ABD]$ é retângulo em $A$, o lado $[BD]$ é a hipotenusa, e relativamente ao ângulo $BDA$, $[AB]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\left(B\hat{D}A\right)=\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 70^\circ=\frac{4{,}35}{\overline{BD}} \Leftrightarrow \overline{BD}=\frac{4{,}35}{\operatorname{sen} 70^\circ}

Como $\operatorname{sen} 70^\circ\approx 0{,}940$, vem que:

\overline{BD}\approx\frac{4{,}35}{0{,}940}\approx 4{,}63 \text{ cm}

Resposta: $\overline{BD}\approx 4{,}63$ centímetros.

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2010

A figura, em cima, mostra um conjunto de painéis solares.

Numa das estruturas de apoio de um desses painéis, imaginou-se um triângulo retângulo.

Em baixo está um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala.

Fotografia dos painéis solares e esquema do triângulo retângulo [ABC]

Relativamente ao triângulo retângulo $[ABC]$, sabe-se que:

$\overline{AB}=2{,}5$ m
$\overline{BC}=1{,}7$ m

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $CAB$?

Escreve o resultado arredondado às unidades.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais.

Como o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $C$, o lado $[AB]$ é a hipotenusa, e relativamente ao ângulo $CAB$, $[BC]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\left(C\hat{A}B\right)=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \Leftrightarrow \operatorname{sen}\left(C\hat{A}B\right)=\frac{1{,}7}{2{,}5} \Leftrightarrow \operatorname{sen}\left(C\hat{A}B\right)=0{,}68

Assim, procurando o valor mais próximo de $0{,}68$ na coluna dos valores do seno na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $CAB$ às unidades, temos que:

C\hat{A}B=\operatorname{sen}^{-1}(0{,}68)\approx 43^\circ

Resposta: $C\hat{A}B\approx 43^\circ$.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2009 · 2.ª chamada

No jardim da família Coelho, encontra-se um balancé, com uma trave de $2{,}8$ m de comprimento, como o representado na figura seguinte.

Quando uma das cadeiras está em baixo, a trave do balancé forma um ângulo de $40^\circ$ com o solo, tal como mostra a figura.

Esquema do balancé com a trave de 2,8 m e o ângulo de 40 graus

A figura não está desenhada à escala.

Determina, em metros, a altura máxima, $a$, a que a outra cadeira pode estar.

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais.

Como a altura é medida na perpendicular ao solo, o triângulo formado pela trave, pela altura e pela parte do solo situada por debaixo da trave, é um triângulo retângulo em que a trave é a hipotenusa, e relativamente ao ângulo assinalado, a altura é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen} 40^\circ=\frac{a}{2{,}8} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 40^\circ\times 2{,}8=a

Como $\operatorname{sen} 40^\circ\approx 0{,}64$, calculando, em metros, a altura máxima a que a cadeira pode estar, e arredondando o resultado às décimas, vem:

a\approx 0{,}64\times 2{,}8\approx 1{,}79\approx 1{,}8 \text{ m}

Resposta: $a\approx 1{,}8$ metros.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2009 · 1.ª chamada

A figura, à esquerda, é a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. A figura da direita representa o modelo geométrico de um dos blocos do mesmo monumento.

Fotografia do monumento e modelo geométrico de um bloco

Na figura da direita, sabe-se que $\overline{AB}=2$ m e que $A\hat{E}B=35^\circ$.

Qual é, em metros, a medida do comprimento de $[EB]$?

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.

Como os blocos deste monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto, as arestas laterais são perpendiculares às arestas da base, pelo que os segmentos $[AB]$ e $[AE]$ são perpendiculares e, assim, o triângulo $[ABE]$ é retângulo em $A$.

Logo, o lado $[EB]$ é a hipotenusa do triângulo e, relativamente ao ângulo $AEB$, o lado $[AB]$ é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\left(A\hat{E}B\right)=\frac{\overline{AB}}{\overline{BE}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 35^\circ=\frac{2}{\overline{BE}} \Leftrightarrow \overline{BE}=\frac{2}{\operatorname{sen} 35^\circ}

Como $\operatorname{sen} 35^\circ\approx 0{,}5736$, calculando, em metros, a medida do comprimento de $[EB]$ e arredondando o resultado às unidades, vem:

\overline{BE}\approx\frac{2}{0{,}5736}\approx 3 \text{ m}

Resposta: $\overline{EB}\approx 3$ metros.

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2009

A mãe da Marta vai colocar no jardim um escorrega como o representado, na figura seguinte, à esquerda.

A figura da direita representa um esquema do escorrega da figura da esquerda.

Fotografia do escorrega e esquema com o ângulo alfa, 2 m e 1,8 m

Qual é, em graus, a amplitude do ângulo $\alpha$?

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.

Como a altura é medida na perpendicular à base, $\alpha$ é um ângulo de um triângulo retângulo em que, relativamente ao ângulo $\alpha$, o lado cujo comprimento é $1{,}8$ m é o cateto oposto e o lado cujo comprimento é $2$ m é o cateto adjacente.

Assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

\operatorname{tg}\alpha=\frac{1{,}8}{2}

Como $\frac{1{,}8}{2}=0{,}9$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $\alpha$ às unidades, temos que:

\alpha=\operatorname{tg}^{-1}(0{,}9)\approx 42^\circ

Resposta: $\alpha\approx 42^\circ$.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008 · 2.ª chamada

Prisma triangular que representa a rampa de pedra com o ângulo beta

Na figura, em cima, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geométrico é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos; esse prisma encontra-se representado na figura de baixo.

Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares: $\overline{AB}=300$ cm, $\overline{BC}=250$ cm e $\overline{BE}=42$ cm

Calcula a amplitude, em graus, do ângulo $\beta$.

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.

Sabemos que $[ABE]$ é um triângulo retângulo em $B$ e, relativamente ao ângulo $BAE$, ou seja, ao ângulo $\beta$, o lado $[BE]$ é o cateto oposto e o lado $[AB]$ é o cateto adjacente.

Assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, e substituindo as medidas dos lados, temos que:

\operatorname{tg}\beta=\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{42}{300}

Como $\frac{42}{300}=0{,}14$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $\beta$ às unidades, temos que:

\beta=\operatorname{tg}^{-1}(0{,}14)\approx 8^\circ

Resposta: $\beta\approx 8^\circ$.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008 · 1.ª chamada

A figura representa uma sala de cinema. O João sentou-se no último lugar da última fila, assinalado, na figura, pelo ponto $A$. O ângulo de vértice $A$ é o seu ângulo de visão para o ecrã.

Esquema da sala de cinema com o ecrã de 15 m e a distância de 30 m

No cinema, as pessoas que se sentam no lugar em que o João está sentado devem ter um ângulo de visão de, pelo menos, $26^\circ$, sendo o ideal $36^\circ$, para que possam ter uma visão clara do filme.

Tendo em atenção as medidas indicadas na figura, determina a amplitude do ângulo de visão do lugar do João.

Na tua resposta, apresenta os cálculos que efetuares e explica se a amplitude obtida permite uma visão clara do filme.

Como o triângulo assinalado na figura é retângulo, o lado com comprimento $30$ m é a hipotenusa, e relativamente ao ângulo $\alpha$ (o ângulo de visão), o lado definido pelo ecrã é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\alpha=\frac{15}{30} \Leftrightarrow \operatorname{sen}\alpha=0{,}5

Assim, procurando o valor $0{,}5$ na coluna dos valores do seno na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), temos que:

\alpha=\operatorname{sen}^{-1}(0{,}5)=30^\circ

Como a amplitude do ângulo de visão do João é superior a $26^\circ$ e inferior a $36^\circ$, então podemos afirmar que o lugar do João permite uma visão clara do filme.

Resposta: O ângulo de visão é $30^\circ$, pelo que o lugar do João permite uma visão clara do filme.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007 · 2.ª chamada

Para determinar a altura ($h$) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena.

No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de $43^\circ$, parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com $1{,}8$ m de altura, estava a $14$ m de distância da antena.

Na figura seguinte, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita.

Esquema da antena, da vara de 1,8 m e do ângulo de 43 graus

Qual é a altura ($h$) da antena?

Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Começamos por determinar o comprimento da sombra da vara. Como a vara foi colocada perpendicularmente ao solo, a vara e a sua sombra definem um ângulo reto (e um triângulo retângulo), pelo que, relativamente ao ângulo de amplitude $43^\circ$, a vara (de comprimento $1{,}8$ m) é o cateto oposto e a sombra da vara é o cateto adjacente.

Assim, designando por $v$ o comprimento da sombra da vara, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

\operatorname{tg} 43^\circ=\frac{1{,}8}{v} \Leftrightarrow v=\frac{1{,}8}{\operatorname{tg} 43^\circ}

Como $\operatorname{tg} 43^\circ\approx 0{,}93$, vem que: $v\approx\frac{1{,}8}{0{,}93}\approx 1{,}94$ e assim, a sombra da antena é $14+1{,}94\approx 15{,}94$ m.

Como os dois triângulos (um formado pela antena e a respetiva sombra e o outro formado pela vara e pela respetiva sombra) são semelhantes, porque têm dois ângulos iguais — o ângulo de amplitude $43^\circ$ que é comum e os ângulos retos —, então os lados correspondentes são proporcionais, ou seja:

\frac{h}{15{,}94}=\frac{1{,}8}{1{,}94} \Leftrightarrow h=\frac{1{,}8\times 15{,}94}{1{,}94} \Leftrightarrow h\approx 14{,}79

Pelo que a altura da antena é de, aproximadamente, $15$ m.

Resposta: A altura da antena é, aproximadamente, $15$ metros.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007 · 1.ª chamada

Na figura, está representada uma circunferência, de centro $O$, em que:

$A$, $B$, $C$ e $D$ são pontos da circunferência;
o segmento de reta $[BD]$ é um diâmetro;
$E$ é o ponto de interseção das retas $BD$ e $AC$;
o triângulo $[ADE]$ é retângulo em $E$;
$C\hat{A}D=30^\circ$.

Circunferência de centro O com o diâmetro [BD] e o triângulo [ADE]

Sabendo que $\overline{AD}=5$, determina $\overline{ED}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo $[ADE]$ é retângulo em $E$, relativamente ao ângulo $EAD$, o lado $[ED]$ é o cateto oposto e o lado $[AD]$ é a hipotenusa, pelo que, usando a definição de seno, temos:

\operatorname{sen}\left(E\hat{A}D\right)=\frac{\overline{ED}}{\overline{AD}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} 30^\circ=\frac{\overline{ED}}{5} \Leftrightarrow 5\times\operatorname{sen} 30^\circ=\overline{ED}

Como $\operatorname{sen} 30^\circ=0{,}5$, determinando $\overline{ED}$, vem:

\overline{ED}=5\times 0{,}5=2{,}5

Resposta: $\overline{ED}=2{,}5$.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 2.ª chamada

A altura, $h$, do Sol é a amplitude, medida em graus, do ângulo que os raios solares fazem com o plano do horizonte.

O gráfico dá a altura do Sol às horas do dia 21 de junho de 2006, solstício de Verão, na região de Lisboa, de acordo com os dados do Observatório Astronómico de Lisboa.

Gráfico da altura do Sol ao longo do dia 21 de junho de 2006

A fotografia é a do monumento da praça dos Restauradores, em Lisboa.

Fotografia do monumento da praça dos Restauradores

A altura desse monumento é de $30$ metros.

No dia 21 de junho de 2006, às 15 horas e 38 minutos, qual foi, em metros, o comprimento da sombra projetada no chão pelo monumento?

Começa por fazer um esboço que ilustre a situação.

Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares.

Pela observação do gráfico, podemos verificar que às 15 horas e 38 minutos do dia 21 de junho de 2006, a altura, $h$, do Sol, ou seja, o ângulo que os raios solares faziam com o plano do horizonte, era $50^\circ$.

Fazendo um esboço para ilustrar a situação descrita, consideramos um triângulo retângulo em que um dos ângulos tem amplitude $50^\circ$, e relativamente a esse ângulo sabemos que a medida do cateto oposto é $30$ (a altura do monumento) e queremos determinar a medida do cateto adjacente (a sombra).

Assim, designando por $s$ o comprimento da sombra, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

\operatorname{tg} 50^\circ=\frac{30}{s} \Leftrightarrow s=\frac{30}{\operatorname{tg} 50^\circ}

Como $\operatorname{tg} 50^\circ\approx 1{,}19$, vem que: $s\approx\frac{30}{1{,}19}\approx 25{,}21$ e assim, arredondando o resultado às unidades, temos que a sombra do monumento é, aproximadamente, $25$ metros.

Resposta: A sombra do monumento media, aproximadamente, $25$ metros.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 1.ª chamada

Na figura, está representado um triângulo retângulo em que:

$a$, $b$ e $c$ são as medidas de comprimento dos seus lados, em centímetros;
$x$ é a medida da amplitude de um dos seus ângulos agudos, em graus.

Triângulo retângulo com os lados a, b, c e o ângulo x

Apresentam-se a seguir quatro igualdades. Apenas uma está correta. Qual?

(A) $\operatorname{sen} x=\dfrac{b}{a}$

(B) $\operatorname{sen} x=\dfrac{a}{b}$

(D) $\operatorname{sen} x=\dfrac{c}{a}$

Como, de acordo com a figura, o cateto oposto ao ângulo $x$ é o lado $b$, e a hipotenusa do triângulo é o lado $a$, pela definição de seno de um ângulo, vem que:

\operatorname{sen} x=\frac{b}{a}

Resposta: Opção A.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2005 · 2.ª chamada

Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo.

Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num degrau, para que o espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia (na figura seguinte, à esquerda).

A figura da direita é um esquema do espigueiro da fotografia. Neste esquema, estão também representados os seis pés do espigueiro, bem como o degrau no qual eles assentam. O esquema não está desenhado à escala. As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros. A questão seguinte refere-se a este esquema.

Fotografia do espigueiro e esquema com o degrau e o ângulo de 17 graus

O degrau onde assentam os pés do espigueiro é um prisma triangular reto.

As duas bases deste prisma são triângulos retângulos.

Determina (em metros) a altura, $a$, do degrau.

Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado, arredondado às décimas.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.

Como o degrau é um prisma triangular reto, podemos considerar o triângulo retângulo em que um ângulo agudo tem amplitude $17^\circ$, e relativamente a este ângulo a medida do cateto oposto é a altura, $a$, do degrau, e ainda a medida do cateto adjacente é $5$.

Assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:

\operatorname{tg} 17^\circ=\frac{a}{5} \Leftrightarrow 5\times\operatorname{tg} 17^\circ=a

Como $\operatorname{tg} 17^\circ\approx 0{,}3057$, arredondando o resultado às décimas, a altura do degrau é:

a\approx 5\times 0{,}3057\approx 1{,}5 \text{ m}

Resposta: $a\approx 1{,}5$ metros.

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2005 · 1.ª chamada

O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com $10$ cm de altura.

Fotografia da entrada da escola com a escada

Com o objectivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa.

Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de $3^\circ$, como se pode ver no esquema da figura seguinte (o esquema não está à escala).

Esquema da rampa com os dois degraus de 10 cm e o ângulo de 3 graus

Determina, em metros, o comprimento, $c$, da rampa.

Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.

Como os dois triângulos retângulos formados pelos degraus e pela rampa são congruentes (porque têm os ângulos correspondentes com a mesma amplitude e um lado com a mesma medida), então a medida da hipotenusa de cada um deles é $\frac{c}{2}$. Podemos ainda verificar que, relativamente ao ângulo de amplitude $3^\circ$, a altura do degrau é o cateto oposto do triângulo.

Assim, recorrendo à definição de seno de um ângulo, temos que:

\operatorname{sen} 3^\circ=\frac{10}{\frac{c}{2}} \Leftrightarrow \frac{c}{2}=\frac{10}{\operatorname{sen} 3^\circ} \Leftrightarrow c=\frac{10}{\operatorname{sen} 3^\circ}\times 2

Como $\operatorname{sen} 3^\circ\approx 0{,}0523$, o comprimento da rampa, em centímetros, é:

c\approx\frac{10}{0{,}0523}\times 2\approx 382{,}4092 \text{ cm}

Pelo que o comprimento da rampa, em metros, arredondado às décimas, é $3{,}8$ m.

Resposta: $c\approx 3{,}8$ metros.