Exercícios de Exame — Proporcionalidade Inversa

Como a função $f$ é uma função afim, e o ponto de coordenadas $(0,7)$ pertence ao seu gráfico, temos que a função pode ser representada por uma expressão algébrica da forma $f(x)=mx+7$.

Como o ponto $B$ também pertence ao gráfico de $f$, substituindo as coordenadas na expressão anterior, podemos determinar o valor do declive da reta:

Desta forma, uma expressão algébrica da função $f$ é $f(x)=\frac{1}{2}x+7$, pelo que podemos calcular a ordenada do ponto $C$:

Como a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa, a sua expressão algébrica é da forma $g(x)=\frac{k}{x}$, com $k\in\mathbb{R}$. Como o ponto $C(2,8)$ pertence ao gráfico de $g$, podemos determinar o valor de $k$:

Pelo que a expressão algébrica da função $g$ é $g(x)=\frac{16}{x}$.

Como o ponto $P$ tem abcissa $4$ e pertence ao gráfico de $g$, a sua ordenada é:

Como o ponto $P$ também pertence ao gráfico de $f$, substituindo as suas coordenadas na expressão algébrica da função, podemos determinar o valor de $a$:

Como o ponto $A$ tem abcissa $4$ e pertence ao gráfico de $g$, a sua ordenada é:

Como o ponto de coordenadas $(-2,0)$ também pertence à reta que é o gráfico de $f$, o respetivo declive é:

Logo, a expressão algébrica da função $f$ é da forma $f(x)=\frac{2}{3}x+b$, pelo que, substituindo as coordenadas de um dos pontos nesta expressão, por exemplo $(-2,0)$, podemos determinar o valor de $b$:

Como a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa, a sua expressão algébrica é da forma $g(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Assim, substituindo as coordenadas do ponto $P$ (que pertence ao gráfico da função), podemos calcular o valor de $k$:

Pelo que uma expressão que define a função $g$ é $g(x)=\frac{36}{x}$.

Determinando a ordenada do ponto $A$, recorrendo à expressão algébrica da função $f$, temos:

Como a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa, então $g(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, e como $g(3)=12$ (porque o ponto $A$ também pertence ao gráfico de $g$), o valor da constante de proporcionalidade ($k$) pode ser calculado, substituindo as coordenadas do ponto na expressão algébrica da função $g$:

Desta forma, como a função $g$ é definida por $g(x)=\frac{36}{x}$, temos que:

Como um grupo de 4 amigos deveria contribuir com 12 euros cada um, e o contributo de cada participante na compra é inversamente proporcional ao número de participantes, o valor total do cheque é:

Assim, quando se juntaram mais dois amigos ao grupo, o total de participantes passou a ser de $4+2=6$, pelo que a quantia, em euros, com que cada amigo contribuiu para a compra do cheque é:

Como as grandezas $x$ e $y$ são inversamente proporcionais, sabemos que $x\times y$ é um valor constante. Então, temos que:

Como a função $f$ é uma função de proporcionalidade inversa, então $f(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Como $f(3)=9$, o valor da constante de proporcionalidade ($k$) pode ser calculado, substituindo as coordenadas do ponto na expressão algébrica da função $f$:

Pelo que uma expressão que define a função $f$ é $f(x)=\frac{27}{x}$.

Como a função $f$ é uma função de proporcionalidade inversa, então $f(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Como o ponto $(3,6)$ pertence ao gráfico de $f$, então $f(3)=6$, e assim o valor da constante de proporcionalidade ($k$) pode ser calculado, substituindo as coordenadas do ponto na expressão algébrica da função $f$:

Como se trata de uma função de proporcionalidade inversa, a sua expressão algébrica é da forma $y=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Assim, substituindo as coordenadas do ponto $(4,8\,;\,30)$ (que pertence ao gráfico da função), podemos calcular o valor de $k$:

Como o ponto $(a,a)$ também pertence ao gráfico da função, temos que:

Como a função representada graficamente é uma função de proporcionalidade inversa, a sua expressão algébrica é da forma $y=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Substituindo as coordenadas do ponto $P$ (que pertence ao gráfico da função), podemos calcular o valor de $k$:

Ou seja, $y=\frac{105}{x}$, e assim, calculando as imagens dos objetos $17$, $19$, $33$ e $35$, temos:

• $y=\frac{105}{17}$ e como $\frac{105}{17}\neq 9$, o ponto $(17,9)$ não pertence ao gráfico;
• $y=\frac{105}{19}$ e como $\frac{105}{19}\neq 7$, o ponto $(19,7)$ não pertence ao gráfico;
• $y=\frac{105}{33}$ e como $\frac{105}{33}\neq 5$, o ponto $(33,5)$ não pertence ao gráfico;
• $y=\frac{105}{35}$ e como $\frac{105}{35}=3$, o ponto $(35,3)$ pertence ao gráfico, logo pode ser o ponto $Q$.

Como a função $f$ é uma função de proporcionalidade inversa, então $f(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Como o ponto $(2\,;\,5)$ pertence ao gráfico de $f$, então $f(2)=5$, e assim:

E assim, podemos calcular:

Ou seja, o ponto $(3,2\,;\,3,125)$ pertence ao gráfico de $f$.

Como o ponto de coordenadas $(2,4)$ pertence ao gráfico de $f$, então $f(2)=4$.

Como a função $f$ é uma função de proporcionalidade inversa, então $f(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Como $f(2)=4$, temos que:

E assim, podemos calcular $f(5)=\frac{8}{5}$, ou seja, o ponto $C$ tem de coordenadas $\left(5\,;\,\frac{8}{5}\right)$.

Desta forma, temos que $\overline{OD}=5$ e $\overline{DC}=\frac{8}{5}$, pelo que o perímetro do retângulo $[OBCD]$ é dado por:

Como as grandezas $x$ e $y$ são inversamente proporcionais, sabemos que $x\times y$ é um valor constante. Então temos que:

Como a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa, a sua expressão algébrica é da forma $g(x)=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Como o ponto $B(2,6)$ pertence ao gráfico da função, substituindo as coordenadas na expressão anterior, para determinar o valor de $k$, vem:

Assim temos que $g(x)=\frac{12}{x}$ e podemos determinar $c$, sabendo que $g(c)=1,2$:

Podemos calcular as imagens dos objetos $50$ e $20$ pela função $f$ para averiguar qual dos pontos pertence ao gráfico da função:

• $f(50)=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$, pelo que nem o ponto $(50,2)$, nem o ponto $\left(50\,;\,\frac{1}{2}\right)$ pertencem ao gráfico de $f$;
• $f(20)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$, pelo que o ponto $(20,2)$ não pertence ao gráfico de $f$, mas o ponto $\left(20\,;\,\frac{1}{2}\right)$ sim.

Resposta: Opção D.

Como o ponto $B(x_B,y_B)$ pertence ao gráfico da função $f$, sabemos que $y_B=\frac{10}{x_B}$.

Como $[OABC]$ é um quadrado, então $x_B=\overline{OA}=\overline{OC}=y_B$, ou seja, $x_B=y_B$, pelo que, substituindo na igualdade anterior, vem:

Ou seja, o lado do quadrado $[OABC]$ tem $\sqrt{10}$ unidades de comprimento.

De acordo com o enunciado, sabemos que a máquina A demora 12 horas a fabricar todos os tapetes encomendados, e que produz 6 tapetes por hora, pelo que podemos afirmar que a empresa encomendou:

Como a máquina B produz $x$ tapetes por hora, a produção de 72 tapetes irá demorar $\frac{72}{x}$ horas.

Como o gráfico da função $f$ é uma reta que passa na origem, sabemos que a sua expressão algébrica é da forma $f(x)=mx$, com $m\in\mathbb{R}$. Como o ponto $A(8,6)$ pertence ao gráfico de $f$, podemos determinar o valor de $m$:

Assim, a expressão algébrica da função $f$ é $f(x)=\frac{3}{4}x$ e podemos calcular $y_B$, a ordenada do ponto $B$:

Como a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa, a sua expressão é da forma $g(x)=\frac{k}{x}$, com $k\in\mathbb{R}$. Como o ponto $B(4,3)$ pertence ao gráfico de $g$, podemos determinar o valor de $k$:

Pelo que a expressão algébrica da função $g$ é $g(x)=\frac{12}{x}$.

Como $y=\frac{k}{x} \Leftrightarrow x\times y=k$, o produto das variáveis é constante, ou seja, a relação entre as variáveis $x$ e $y$ é de proporcionalidade inversa e a constante de proporcionalidade é $k$.

Como o gráfico representa uma função de proporcionalidade inversa, sabemos que $y=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Como o ponto $(8,4)$ pertence ao gráfico da função, vem que:

Assim, substituindo $k$ por $32$ e $x$ por $2$ na expressão $y=\frac{k}{x}$, podemos calcular a ordenada ($y_2$) do ponto do gráfico de abcissa $2$:

Como a função $f$ é definida por $y=\frac{10}{x}$ ($x>0$), o ponto $P$ que pertence ao gráfico de $f$ tem coordenadas $P\left(x_P\,,\,\frac{10}{x_P}\right)$.

As medidas dos lados do retângulo $[OAPC]$ coincidem com as coordenadas do ponto $P$ ($\overline{OA}=x_P$ e $\overline{AP}=y_P$), pelo que a área do retângulo $[OAPC]$ é:

Resposta: Opção B.

Como $O$ é a origem do referencial, o ponto $B$ pertence ao eixo das abcissas e $\overline{OB}=4$, a abcissa do ponto $B$ é $4$. Como o ponto $Q$ tem a mesma abcissa do ponto $B$ e pertence ao gráfico da função $f$, as coordenadas do ponto $Q$ são $Q(4,f(4))$.

Como $f(4)=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5$, vem que $\overline{BQ}=2,5$.

Como o triângulo $[OBQ]$ é retângulo em $B$, o lado $[OQ]$ é a hipotenusa, e assim podemos determinar $\overline{OQ}$ recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

Assim, calculando o perímetro do triângulo $[OBQ]$, e arredondando o resultado às décimas, temos:

As grandezas $a$ e $b$ são inversamente proporcionais se $a\times b=k$, $k\in\mathbb{R}$. Assim, as tabelas A, B e D não traduzem relações de proporcionalidade inversa:

• Tabela A: $5\times 10=50$ e $10\times 20=200$, logo $a\times b$ não é constante;
• Tabela B: $5\times 25=125$ e $10\times 20=200$, logo $a\times b$ não é constante;
• Tabela D: $5\times 10=50$ e $10\times 10=100$, logo $a\times b$ não é constante.

Relativamente à Tabela C, podemos observar que $a\times b$ é constante, ou seja, traduz uma relação de proporcionalidade inversa:

Como as grandezas $C$ (caudal da torneira) e $t$ (tempo que demora a encher o tanque) são inversamente proporcionais, sabemos que $C\times t$ é o valor constante. Então, calculando o valor de $a$, temos:

Como as grandezas $C$ e $t$ são inversamente proporcionais, o gráfico que representa a relação entre as duas grandezas é parte de uma hipérbole e não uma reta, pelo que podemos excluir as opções (C) e (D).

Como a capacidade do tanque é de 60 m³, a um caudal de 60 m³ por hora corresponde um tempo de enchimento de 1 hora, pelo que o ponto de coordenadas $(60,1)$ pertence ao gráfico da função, o que só é observado no gráfico da opção (A).

Como as grandezas $x$ e $y$ são inversamente proporcionais, sabemos que $x\times y$ é um valor constante. Então, temos que:

Identificando o ponto relativo ao tempo $1,5$ horas, verificamos a massa correspondente: $40$ mg.

Como a massa de medicamento ($m$) e o tempo ($t$) são grandezas inversamente proporcionais, o produto das variáveis é a constante de proporcionalidade ($k$), ou seja, $t\times m=k$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Logo, multiplicando quaisquer dois valores correspondentes de $m$ e $t$:

Pelo que a constante de proporcionalidade é $60$.

Como as variáveis $m$ e $t$ são inversamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é $60$, temos que:

Como a massa ($p$) de cada uma das fatias é inversamente proporcional ao número de fatias ($n$), ou seja, $p\times n=k$, podemos calcular o valor da constante de proporcionalidade inversa, $k$, pelo produto de valores correspondentes de $n$ e $p$:

Desta forma, o valor da constante de proporcionalidade inversa é obtido multiplicando o número de fatias pela massa de cada fatia, o que corresponde à massa total do bolo, que é $3,6$ kg.

Como as variáveis $p$ e $n$ são inversamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é $3,6$, temos que:

A velocidade de condução ($v$) não é inversamente proporcional ao ângulo de visão ($a$) porque o produto dos valores correspondentes não é constante, ou seja, não se verifica $a\times v=k$, $k\in\mathbb{R}$.

Por exemplo, verificando para os dois primeiros pares de valores correspondentes, temos:

Como $4000\neq 5250$, podemos afirmar que as grandezas não são inversamente proporcionais.

Como cada uma das 4 amigas pagará 400 euros pelo apartamento, o custo total do apartamento é:

Assim, se o custo total for dividido por mais uma rapariga, ou seja em 5 partes iguais, cada uma irá pagar:

Como o custo total do apartamento é $4\times 400=1600$ euros, se este valor for dividido por $n$ raparigas, ou seja, em $n$ partes iguais, o valor a pagar, $p$, em euros, por cada uma delas é:

Como se pretende que a receita total da venda das rifas seja de 180 euros, designando por $k$ o número de rifas que deveriam ser vendidas para que o preço de cada uma fosse $1,5$ euros, vem que:

Como o número de rifas ($n$) é inversamente proporcional ao preço ($p$), o produto das variáveis é a constante de proporcionalidade ($c$), ou seja, $n\times p=c$. Multiplicando quaisquer dois valores correspondentes de $n$ e $p$:

Pelo que a constante de proporcionalidade é $180$.

Como o número de rifas ($n$) é inversamente proporcional ao preço ($p$) e a constante de proporcionalidade é $180$, temos que:

Como a representação gráfica da função é uma hipérbole, ou seja, é uma função de proporcionalidade inversa, sabemos que $y=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Identificando as coordenadas de um ponto do gráfico, por exemplo o ponto $(1,40)$, e substituindo na expressão anterior, podemos determinar o valor da constante $k$:

Assim, substituindo o valor de $k$ na expressão inicial, obtemos a representação analítica da função: $y=\frac{40}{x}$.

Considerando a função definida por $y=x+2$ e, por exemplo, $x=1$, obtemos $y=1+2=3$. Assim, a representação gráfica correspondente é parte de uma reta que contém o ponto $(1,3)$, pelo que os gráficos das opções (B) e (D) não verificam esta condição.

Considerando a função definida por $y=\frac{3}{x}$ e, por exemplo, $x=1$, obtemos $y=\frac{3}{1}=3$. Assim, a representação gráfica correspondente é parte de uma hipérbole que também contém o ponto $(1,3)$, pelo que os gráficos das opções (C) e (D) não verificam esta condição.

Desta forma, apenas no referencial da opção (A) podem estar os gráficos das duas funções.

Como a pressão exercida pelo tijolo ($P$) é inversamente proporcional à área da face que está assente na areia ($A$), sabemos que $P\times A$ é o valor constante de proporcionalidade ($k$). Assim, temos que:

Como os convites têm a forma de um retângulo com 100 cm² de área, sabemos que a relação entre a base e a altura destes retângulos é:

Como o produto das duas grandezas é constante, temos uma relação de proporcionalidade inversa, pelo que a representação gráfica desta relação é parte de uma hipérbole.

Desta forma, o único gráfico que pode representar a relação entre a base e a altura de retângulos com 100 cm² de área é o gráfico da opção (A).

Como 3 pessoas contribuíam com 20 euros cada, o custo total da prenda é $3\times 20=60$ euros.

Como o número de pessoas a contribuir duplicou, passou a ser de 6 pessoas, então a parte de cada uma será de $\frac{60}{6}=10$ euros.

Ou seja, com o aumento do número de pessoas para o dobro, o valor com que cada um irá contribuir diminuiu para metade.

Resposta: Opção C.

Como o custo total da prenda é $3\times 20=60$ euros, e como cada um dos participantes contribuiu com 7 euros e 50 cêntimos, o número de pessoas que participaram na compra da prenda ($n$) pode ser calculado como:

Se duas grandezas são inversamente proporcionais, então à variação de uma delas corresponde uma variação inversa na mesma proporção, ou seja, se $x$ aumenta para o dobro, para o triplo, ou para o quádruplo, então $y$ diminui para metade, para a terça parte ou para a quarta parte, respetivamente.

Como $c$ representa a distância, em quilómetros, entre duas cabinas consecutivas, então $n\times c$ é o comprimento total do circuito do teleférico, porque existem $n$ cabinas em utilização, e por isso o comprimento total do circuito pode ser dividido em $n$ partes, separadas por duas cabinas consecutivas. Desta forma, o comprimento total do circuito é de 3 quilómetros.

O maior número de voltas completas que uma cabina pode dar numa hora acontece se a cabina viajar à velocidade máxima, ou seja, a 17 km/h.

Como o comprimento total do circuito é de 3 km, a uma velocidade de 17 km/h, o número de voltas é:

Pelo que se conclui que numa hora, à velocidade máxima, cada cabina dá 5 voltas completas.

Identificando o ponto do gráfico correspondente ao índice 5 de radiação solar ultravioleta e observando o tempo correspondente, podemos verificar que a Ana pode ter a pele diretamente exposta ao sol, sem ficar com eritema, durante 40 minutos.

Considerando a relação $t=\frac{D}{i}$, no caso da Ana, e considerando, por exemplo, o índice 5 e o tempo correspondente (40), podemos determinar o valor da constante $D$:

Assim, recorrendo à tabela, a cor do cabelo da Ana, ou seja, a cor do cabelo correspondente ao valor 200 para a constante $D$, é "Ruivo".

Como a área dos retângulos é 18 cm², o produto do comprimento ($c$) pela largura ($l$), ambos em centímetros, é 18, ou seja: $c\times l=18$. Assim, para cada um dos retângulos A e B, temos:

• Retângulo A: $4\times l=18 \Leftrightarrow l=\frac{18}{4} \Leftrightarrow l=4,5$;
• Retângulo B: $c\times 0,5=18 \Leftrightarrow c=\frac{18}{0,5} \Leftrightarrow c=36$.

Relativamente ao retângulo C, podemos observar, por exemplo, que $18\times 1=18$, pelo que podemos considerar $c=18$ e $l=1$.

Como $c\times l=18 \Leftrightarrow l=\frac{18}{c}$, as grandezas $c$ e $l$ são inversamente proporcionais, pelo que o gráfico que representa a relação entre as variáveis é uma hipérbole. Desta forma podemos excluir as opções (A) e (B).

Podemos ainda verificar que na opção (D) a imagem do objeto 1 é um valor superior a 18, ou seja, $c\times l\neq 18$, pelo que este gráfico também não representa a relação entre as variáveis.

Assim, o gráfico da opção (C) é parte de uma hipérbole, traduzindo uma relação de proporcionalidade inversa, em que o produto das coordenadas de todos os pontos do gráfico é 18.

Como as grandezas $t$ e $d$ são inversamente proporcionais, podemos determinar a constante de proporcionalidade inversa, multiplicando dois valores correspondentes, por exemplo:

Assim, substituindo $t$ por 5, 10 e 20, calculamos os valores de $d$ correspondentes:

• Se $t=5$, então $5\times d=100 \Leftrightarrow d=\frac{100}{5} \Leftrightarrow d=20$;
• Se $t=10$, então $10\times d=100 \Leftrightarrow d=\frac{100}{10} \Leftrightarrow d=10$;
• Se $t=20$, então $20\times d=100 \Leftrightarrow d=\frac{100}{20} \Leftrightarrow d=5$.

E assim, assinalam-se no gráfico os pontos $(5,20)$, $(10,10)$ e $(20,5)$.

Como as grandezas $t$ e $d$ são inversamente proporcionais, o produto das variáveis é constante: $t\times d=100\times 1 \Leftrightarrow t\times d=100$.