Exercícios de Exame — Lugares Geométricos

Na figura, apresenta-se parte de um mapa de uma cidade, no qual estão assinalados:

• o ponto $C$, que representa a câmara municipal;
• o ponto $H$, que representa o hospital;
• o ponto $J$, que representa o jardim municipal.

A câmara municipal pretende instalar postos públicos para carregamento de carros elétricos em dois locais diferentes. Estes dois locais têm de cumprir as seguintes condições:

• estar a uma distância de 500 metros do jardim municipal;
• estar à mesma distância da câmara municipal e do hospital.

Considerando a escala apresentada, na figura, foi desenhada a circunferência de centro no ponto $J$, de raio igual a 500 metros, e a mediatriz do segmento de reta $[CH]$, para determinar estes locais. Assinalaram-se no mapa os dois locais com os pontos $P_1$ e $P_2$.

Nem o ponto $P_1$ nem o ponto $P_2$ cumprem as condições definidas pela câmara municipal.

Apresenta uma razão que justifique que o ponto $P_1$ não está corretamente assinalado no mapa e outra razão que justifique que o ponto $P_2$ também não está corretamente assinalado no mapa.

Na figura, estão representadas duas circunferências, $c_1$ e $c_2$, tangentes no ponto $P$.

Sabe-se que:

• as circunferências $c_1$ e $c_2$ têm centro, respetivamente, no ponto $O_1$ e no ponto $O_2$;
• os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência $c_1$;
• os pontos $C$ e $D$ pertencem à circunferência $c_2$;
• os pontos $A$, $C$ e $P$ pertencem à reta $O_1O_2$;
• as retas $AB$ e $CD$ são paralelas.

A figura não está desenhada à escala.

Admite que:

• $\overline{AB}=2$ cm
• $\overline{CD}=6$ cm
• $\overline{PA}=3{,}5$ cm

Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam $3{,}5$ cm do ponto $P$?

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto $C$ e os pontos $T$, $P$, $A$, $M$ e $B$.

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

• os pontos $T$, $A$ e $B$ pertencem à circunferência;
• $M$ é o ponto médio da corda $[AB]$
• a reta tangente à circunferência no ponto $T$ intersecta a reta $AB$ no ponto $P$
• $\overline{PB}=8$
• $\overline{PA}=2$
• $\overline{PT}=4$
• $\overline{CT}=9{,}2$

Indica, recorrendo a letras da figura, um ponto pertencente à mediatriz do segmento de reta $[AT]$.

Como a mediatriz de qualquer corda de uma circunferência contém o centro da circunferência, podemos afirmar que o ponto pertencente à mediatriz do segmento de reta $[AT]$ é o ponto $C$.

Resposta: O ponto $C$.

Na figura, está representada uma circunferência com centro no ponto $O$.

Os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência.

O ponto $P$ pertence à corda $[AC]$.

Sabe-se que:

• os segmentos de reta $[AC]$ e $[PB]$ são perpendiculares
• $B\hat{A}C=65^\circ$
• $\overline{AP}=1{,}6$ cm

A figura não está desenhada à escala.

Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam $1{,}6$ cm do ponto $A$?

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Estão também representados o triângulo $[AEF]$ e o quadrado $[ABCD]$, cujos vértices pertencem à circunferência.

Identifica, usando as letras da figura, dois pontos pertencentes à mediatriz do segmento de reta $[BD]$.

A mediatriz do segmento de reta $[BD]$ é a reta perpendicular que contém o ponto médio do segmento de reta.

Assim, dois dos pontos assinalados na figura que pertencem à mediatriz de $[BD]$ são, por exemplo:

• o ponto $A$
• o ponto $C$
• o ponto $O$

Resposta: Por exemplo, os pontos $A$ e $O$ (ou $C$).

Na figura, estão representados um retângulo $[ABCD]$ e uma circunferência de centro no ponto $O$ e raio $r$.

Sabe-se que:

• o ponto $E$ pertence à circunferência e é exterior ao retângulo $[ABCD]$
• $[AD]$ e $[EF]$ são diâmetros da circunferência
• o lado $[BC]$ do retângulo é tangente à circunferência
• $D\hat{E}F=10^\circ$

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Traçando a mediatriz do segmento de reta $[CD]$ (como na figura), podemos observar que nem o ponto $B$, nem o ponto $O$ pertencem a esta reta.

Por outro lado, sabemos que a mediatriz de qualquer corda de uma circunferência contém o centro dessa circunferência, pelo que, como $[ED]$ é uma corda da circunferência, o ponto $O$ pertence à mediatriz do segmento de reta $[ED]$.

Resposta: Opção B.

Relativamente à figura, sabe-se que:

• o triângulo $[OCD]$ é retângulo em $O$
• o ponto $A$ pertence ao segmento $[OC]$
• o ponto $B$ pertence ao segmento $[OD]$
• os segmentos $[AB]$ e $[CD]$ são paralelos;
• $\overline{OA}=5$
• $\overline{OB}=12$
• $\overline{OD}=18$

A figura não está desenhada à escala.

Justifica que a seguinte afirmação é verdadeira.

«O ponto $B$ não pertence à circunferência de centro no ponto $O$ e que passa no ponto $A$».

A figura seguinte representa o mapa de uma zona onde vai ser instalada uma estação de recolha de lixo.

Na figura, os pontos $A$ e $B$ representam duas localidades que distam $5$ km uma da outra.

A referida estação vai ser instalada num local que deve obedecer às seguintes condições:

• ficar à mesma distância das duas localidades;
• ficar a mais de $10$ km de cada uma das localidades.

Desenha a lápis, no mapa da figura anterior, uma construção geométrica rigorosa que te permita assinalar o conjunto dos pontos correspondentes aos locais onde pode ser instalada a estação de recolha de lixo.

Assinala no mapa, a caneta ou a esferográfica, esse conjunto de pontos.

Nota — Não apagues as linhas auxiliares.

Os pontos que estão à mesma distância das duas localidades pertencem à mediatriz do segmento de reta $[AB]$; os pontos que estão a mais de $10$ km de cada localidade são exteriores às circunferências de centros $A$ e $B$ e raio $10$ km (de acordo com a escala do mapa).

Assim, o conjunto pedido é a parte da mediatriz de $[AB]$ exterior às duas circunferências, como se mostra na construção:

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ pertencem à circunferência
• $[AD]$ é um diâmetro da circunferência
• o ponto $P$ é a interseção dos segmentos de reta $[AC]$ e $[BD]$
• $C\hat{A}D=40^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A figura representa um mapa de um jardim zoológico onde estão assinalados os locais de residência de alguns animais.

O jardim zoológico vai receber um casal de coalas.

O local de residência dos coalas, no jardim zoológico, verifica as duas condições seguintes:

• fica à mesma distância da Árvore das Aves Exóticas e do Lago das Focas;
• a sua distância à Aldeia dos Macacos é igual à distância entre o Reptilário e a Encosta dos Felinos.

Desenha a lápis, no mapa da figura, uma construção geométrica que te permita assinalar o ponto correspondente ao local de residência dos coalas.

Assinala esse ponto com a letra $C$.

Nota — Não apagues as linhas auxiliares.

Os pontos à mesma distância da Árvore das Aves Exóticas e do Lago das Focas pertencem à mediatriz do segmento de reta definido por estes dois locais; os pontos cuja distância à Aldeia dos Macacos é igual à distância entre o Reptilário e a Encosta dos Felinos pertencem à circunferência de centro na Aldeia dos Macacos e raio igual a essa distância.

O ponto $C$ é a interseção destes dois lugares geométricos, como se mostra na construção:

Na figura seguinte, está um esquema de uma zona de um arraial, no qual se assinalam:

• um ponto $C$, que representa o centro de um coreto;
• um ponto $T$, que representa uma torneira para fornecimento de água;
• um ponto $P$, que representa um poste de iluminação.

A Catarina e o João vão trabalhar nesse arraial, em duas bancas diferentes.

O centro de cada uma dessas bancas verifica as duas condições seguintes:

• situa-se a $6$ metros do centro do coreto;
• está a igual distância da torneira e do poste.

Desenha a lápis, na figura anterior, uma construção geométrica rigorosa que te permita assinalar, no esquema, os pontos correspondentes às localizações dos centros das bancas onde vão trabalhar a Catarina e o João.

Assinala esses pontos com as letras $A$ e $B$.

Nota — Não apagues as linhas auxiliares.

Os pontos a $6$ metros do centro do coreto pertencem à circunferência de centro no ponto $C$ e raio $6$ m (de acordo com a escala); os pontos a igual distância da torneira e do poste pertencem à mediatriz do segmento de reta $[TP]$.

Os pontos $A$ e $B$ são as duas interseções destes dois lugares geométricos, como se mostra na construção:

A figura seguinte representa um mapa da zona onde vai ser instalado um conjunto de painéis solares.

O local da instalação deve obedecer às seguintes condições:

• ficar dentro da zona representada no mapa;
• estar a mais de $9$ km e a menos de $12$ km da localidade $C$.

Desenha a lápis, na figura anterior, uma construção geométrica rigorosa que te permita obter a parte do mapa correspondente à zona onde, de acordo com as condições anteriores, é possível instalar o conjunto de painéis.

Sombreia essa zona.

Os pontos a mais de $9$ km e a menos de $12$ km da localidade $C$ formam uma coroa circular de centro em $C$, delimitada pelas circunferências de raios $9$ km e $12$ km (de acordo com a escala do mapa).

A zona pedida é a parte dessa coroa circular que fica dentro da zona representada no mapa, como se mostra na construção:

Pretende-se construir um parque eólico, como o representado na figura.

A figura seguinte é o mapa da zona onde estão a ser colocadas as colunas aerogeradoras.

Os pontos $A$, $B$ e $C$ representam a localização de três colunas. A localização da quarta coluna deve obedecer às seguintes condições:

• a coluna deve ficar dentro da zona delimitada pelo traço grosso;
• a coluna deve estar à mesma distância das colunas $B$ e $C$;
• a coluna deve ficar a $12$ km da coluna $A$.

Desenha a lápis, na figura anterior, uma construção geométrica rigorosa que represente, no mapa, o ponto correspondente à localização da quarta coluna.

Assinala esse ponto com a letra $D$.

Nota — Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

Os pontos à mesma distância das colunas $B$ e $C$ pertencem à mediatriz do segmento de reta $[BC]$; os pontos a $12$ km da coluna $A$ pertencem à circunferência de centro em $A$ e raio $12$ km (de acordo com a escala).

O ponto $D$ é a interseção destes dois lugares geométricos que fica dentro da zona delimitada pelo traço grosso, como se mostra na construção:

A família Coelho pretende instalar, no jardim da sua casa, um sistema de rega, utilizando aspersores.

O alcance dos aspersores é a distância que a água atinge, medida a partir do aspersor.

A família Coelho comprou dois aspersores de $5$ m de alcance: um com «bico 90º» e um com «bico 270º»; colocou-os no jardim, nos pontos assinalados com X, de forma a regar a maior área possível.

Sombreia a lápis, na planta, a área do jardim que vai ser regada, simultaneamente, pelos dois aspersores.

Utiliza material de desenho e de medição.

A área regada por cada aspersor é um setor circular de centro no respetivo ponto X e raio $5$ m (de acordo com a escala): um setor de $90^\circ$ e um setor de $270^\circ$.

A área regada simultaneamente pelos dois aspersores é a interseção dos dois setores, como se mostra na construção:

O mapa da figura seguinte representa o distrito do Porto, que o Rui vai visitar com os pais.

Os pais do Rui vão visitar o Porto e Paredes. Pretendem ficar alojados num local que se situe a menos de vinte quilómetros de Paredes e que seja mais próximo do Porto do que de Paredes.

Sombreia a lápis a porção do mapa relativa à zona onde os pais do Rui deverão ficar alojados.

Utiliza material de desenho e de medição.

Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

Os pontos a menos de $20$ km de Paredes pertencem ao círculo de centro em Paredes e raio $20$ km (de acordo com a escala); os pontos mais próximos do Porto do que de Paredes pertencem ao semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta que une o Porto a Paredes, do lado do Porto.

A zona pedida é a interseção destes dois lugares geométricos, como se mostra na construção:

A Marta vai dançar na festa de encerramento das aulas de ballet.

O esquema da figura seguinte representa a planta do palco.

A Marta marcou no chão do palco a zona onde vai executar a sua coreografia, que obedece às seguintes condições:

• A distância ao vértice $A$ é superior ou igual a $8$ metros.
• A distância ao vértice $C$ é superior ou igual a $6$ metros.

Sombreia a lápis, na figura anterior, a zona onde a Marta vai executar a sua coreografia.

Utiliza material de desenho e de medição.

Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

Os pontos cuja distância ao vértice $A$ é superior ou igual a $8$ metros são exteriores (ou pertencem) à circunferência de centro em $A$ e raio $8$ m; os pontos cuja distância ao vértice $C$ é superior ou igual a $6$ metros são exteriores (ou pertencem) à circunferência de centro em $C$ e raio $6$ m (de acordo com a escala).

A zona pedida é a parte do palco exterior às duas circunferências, como se mostra na construção:

O esquema da figura seguinte representa um campo de futebol. Supõe que, num determinado momento de um jogo, o João, o Miguel e o Francisco, jogadores de Os Vencedores, se encontram, respetivamente, nas posições $J$, $M$ e $F$.

O árbitro encontra-se a igual distância dos três jogadores.

Assinala a lápis, na figura anterior, com a letra «A», o ponto onde está o árbitro.

Utiliza material de desenho e de medição.

Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

O ponto a igual distância dos três jogadores é o ponto de interseção das mediatrizes dos segmentos de reta definidos pelas posições dos jogadores (por exemplo, as mediatrizes de $[JM]$ e de $[MF]$), ou seja, o circuncentro do triângulo $[JMF]$.

O ponto $A$ é a interseção das duas mediatrizes, como se mostra na construção:

Na figura seguinte, podes observar um mapa do concelho de Torre de Moncorvo.

A torre de vigia de incêndios da Serra do Reboredo está localizada

• a $9$ km de distância de Peredo Castelhanos;
• a $12$ km de distância de Adeganha;
• mais perto de Felgueiras do que de Cabeça Boa.

Utilizando um compasso, efectua, a lápis, uma construção que permita encontrar, no mapa, o ponto em que se localiza a torre de vigia. Assinala esse ponto com a letra $T$.

Não apagues a construção.

Os pontos a $9$ km de Peredo Castelhanos pertencem à circunferência de centro em Peredo Castelhanos e raio $9$ km; os pontos a $12$ km de Adeganha pertencem à circunferência de centro em Adeganha e raio $12$ km (de acordo com a escala).

Das duas interseções destas circunferências, o ponto $T$ é a que está mais perto de Felgueiras do que de Cabeça Boa, como se mostra na construção:

Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, a circunferência cujo centro é um ponto da reta e que passa pelos pontos $A$ e $B$.

Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres a circunferência.

Como o centro da circunferência está a igual distância dos pontos $A$ e $B$, pertence à mediatriz do segmento de reta $[AB]$.

Assim, o centro é o ponto de interseção da mediatriz de $[AB]$ com a reta dada, e a circunferência passa pelos pontos $A$ e $B$, como se mostra na construção:

O Miguel vê televisão, na sala de estar, sentado a $3$ m do televisor.

Na figura seguinte, está desenhada a planta dessa sala, à escala de $1:50$.

O ponto $A$ representa o local onde o Miguel se senta para ver televisão.

Recorrendo a material de desenho e de medição, assinala a lápis, na planta, todos os pontos da sala em que o televisor pode estar.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

(Se traçares linhas auxiliares, apaga-as.)

Como a planta está desenhada à escala de $1:50$ e o Miguel está sentado a $3$ m do televisor, ou seja, $300$ cm, então a distância, em centímetros, do Miguel ao televisor ($d$), na planta da sala, é dada por:

$$\frac{1}{50}=\frac{d}{300} \Leftrightarrow d=\frac{300}{50} \Leftrightarrow d=6 \text{ cm}$$

Assim, todos os pontos da sala em que o televisor pode estar correspondem à interseção do interior da sala com a circunferência de centro no ponto $A$ e raio $6$ cm:

A TAGARELA é uma nova empresa de comunicações que opera em Portugal.

O preço, $P$, em cêntimos, de uma chamada telefónica feita através desta empresa é calculado da seguinte forma:

Nesta fórmula, $8$ é um valor fixo, em cêntimos, para pagar o início de qualquer chamada. Até ao fim do primeiro minuto de conversação, não há qualquer acréscimo de preço.

Para além do primeiro minuto, o preço por segundo, em cêntimos, é calculado de acordo com o seguinte tarifário:

Sabendo que a Marta vive em Vila Nova de Paiva e é cliente da TAGARELA, usando material de desenho e de medição e de acordo com a escala dada, assinala, pintando a lápis no mapa, a zona correspondente às chamadas regionais que a Marta pode efetuar de Vila Nova de Paiva.

(Esta questão deve ser resolvida a lápis e não a tinta.)

As chamadas regionais correspondem às distâncias $d$ tais que $15\leq d\leq 35$ (em km). Assim, a zona pedida é a coroa circular de centro em Vila Nova de Paiva, delimitada pelas circunferências de raios $15$ km e $35$ km (de acordo com a escala do mapa), como se mostra na construção:

Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência abaixo desenhada, um triângulo equilátero.

O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro.

Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.

Devem ser percorridos, sucessivamente, os seguintes passos:

• Traçar uma reta que contenha um diâmetro da circunferência.
• Traçar um arco de circunferência com centro numa extremidade do diâmetro e raio igual ao raio da circunferência.
• Traçar o triângulo com os vértices nas duas interseções do arco com a circunferência e na outra extremidade do diâmetro.