Exercícios de Exame — Função Quadrática | 9.º ano

Ferramentas úteis.

$y=ax^{2}$: parábola com vértice na origem e eixo $Oy$; $a\gt 0$ concavidade voltada para cima, $a\lt 0$ para baixo.
Fórmula resolvente: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
Binómio discriminante $\Delta=b^{2}-4ac$: $\Delta\gt 0$ dois zeros, $\Delta=0$ um zero, $\Delta\lt 0$ nenhum zero.
Eixo de simetria: $x=-\dfrac{b}{2a}$; a abcissa do vértice é a média dos zeros, quando existem.
Se a equação estiver na forma de produto, é mais rápido usar a lei do anulamento do produto do que a resolvente.
Nos problemas de área ou de trajetória, o valor máximo (ou mínimo) está no vértice.

Função quadrática. Uma função quadrática é uma função real de variável real definida por uma expressão da forma $f(x)=ax^2$, com $a \neq 0$. O seu gráfico é uma parábola com vértice na origem do referencial e eixo de simetria coincidente com o eixo $Oy$. Se $a>0$, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se $a<0$, tem a concavidade voltada para baixo.

Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · Época especial

Na figura, estão representados, em referencial cartesiano, de origem no ponto $O$, parte do gráfico de uma função quadrática, $f$, e o triângulo $[AOB]$.

Parábola f(x)=x² e triângulo [AOB] com o ponto B de abcissa 3

Sabe-se que:

a função $f$ é definida pela expressão $f(x)=x^2$;
o ponto $A$ e o ponto $B$ pertencem ao gráfico da função $f$ e têm a mesma ordenada;
o ponto $B$ tem abcissa igual a $3$.

Assinala a opção que apresenta a área do triângulo $[AOB]$.

(A) $9$

(B) $18$

(D) $54$

Como a abcissa do ponto $B$ é $3$, temos que a base do triângulo é $\overline{AB}=2\times 3=6$.

Podemos calcular a altura do triângulo, como a ordenada do ponto $B$, ou seja, $f(3)$:

$$f(3)=3^2=9$$

Logo a área do triângulo é:

A_{[AOB]}=\frac{\overline{AB}\times f(3)}{2}=\frac{6\times 9}{2}=3\times 9=27

Resposta: Opção C.

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 2.ª fase

Na figura, estão representados, em referencial cartesiano, parte do gráfico da função $f$ e o triângulo $[OAB]$.

Parábola f(x)=ax² e triângulo [OAB] com o ponto A de abcissa -4

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por uma expressão da forma $f(x)=ax^2$, $a>0$;
o ponto $A$ e o ponto $B$ pertencem ao gráfico da função $f$ e têm a mesma ordenada;
o ponto $A$ tem abcissa $-4$;
a área do triângulo $[OAB]$ é $96$.

Assinala a opção que apresenta o valor de $a$.

(A) $\frac{2}{3}$

(B) $\frac{3}{2}$

(D) $\frac{8}{3}$

Como a abcissa do ponto $A$ é $-4$, temos que a base do triângulo é $\overline{AB}=2\times 4=8$.

Assim, podemos calcular a altura do triângulo, $f(-4)$:

A_{[OAB]}=\frac{\overline{AB}\times f(-4)}{2} \Leftrightarrow 96=\frac{8\times f(-4)}{2} \Leftrightarrow \frac{96\times 2}{8}=f(-4) \Leftrightarrow f(-4)=24

Como a função $f$ é definida por $f(x)=ax^2$, então calculando o valor de $a$, temos:

f(-4)=a\times (-4)^2 \Leftrightarrow 24=a\times 16 \Leftrightarrow \frac{24}{16}=a \Leftrightarrow \frac{3}{2}=a

Resposta: Opção B.

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 2.ª fase

Na figura, estão representados, em referencial cartesiano, de origem no ponto $O$, parte do gráfico de uma função quadrática, $f$, e o trapézio $[AOBC]$.

Parábola f(x)=x² e trapézio [AOBC] com A e C de ordenada 9

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por $f(x)=x^2$;
o ponto $A$ e o ponto $C$ pertencem ao gráfico da função $f$ e têm ordenada $9$;
o ponto $B$ pertence ao eixo das abcissas e tem a mesma abcissa que o ponto $C$.

Determina a área do trapézio $[AOBC]$.

Apresenta o resultado na forma de dízima.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o ponto $C$ pertence ao gráfico da função $f$ e tem ordenada $9$, designando por $a$ a abcissa dos pontos $C$ e $B$, temos que:

f(a)=9 \Leftrightarrow a^2=9 \underset{a>0}{\Rightarrow} a=\sqrt{9} \Leftrightarrow a=3

Como os pontos $A$ e $C$ têm a mesma ordenada e pertencem ao gráfico da função $f$ (simétrico relativamente ao eixo $Oy$), então têm abcissas simétricas, pelo que $\overline{AC}=2\times 3=6$. Assim, a área do trapézio $[AOBC]$, na forma de dízima, é:

A_{[AOBC]}=\frac{\overline{AC}+\overline{OB}}{2}\times \overline{BC}=\frac{2\times 3+3}{2}\times 9=\frac{9}{2}\times 9=\frac{81}{2}=40,5

Resposta: A área do trapézio $[AOBC]$ é $40,5$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 1.ª fase

Na figura, estão representados, em referencial cartesiano, de origem no ponto $O$, a função quadrática $f$ e o triângulo $[AOB]$.

Parábola f(x)=2x² e triângulo [AOB] com A e B de abcissa 3

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por $f(x)=2x^2$;
o ponto $A$ e o ponto $B$ têm abcissa igual a $3$;
o ponto $A$ pertence ao eixo das abcissas;
o ponto $B$ pertence ao gráfico da função $f$.

Qual é a área do triângulo $[OAB]$?

(A) $9$

(B) $18$

(D) $54$

Como o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa $3$, podemos determinar a sua ordenada:

y_B=\overline{AB}=f(3)=2\times 3^2=2\times 9=18

Assim, considerando a base do triângulo $[OAB]$, o lado $[OA]$ e a altura o lado $[AB]$, podemos calcular a área do triângulo:

A_{[OAB]}=\frac{\overline{OA}\times \overline{AB}}{2}=\frac{3\times 18}{2}=3\times 9=27

Resposta: Opção C.

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 2.ª fase

Um drone de vigilância florestal levantou voo verticalmente a partir de uma plataforma.

Na figura, está representado, em referencial cartesiano, o gráfico da função que traduz a correspondência entre o tempo, $t$, em segundos, e a distância, $d$, em metros, do drone à plataforma nos primeiros 20 segundos de voo.

Gráfico da distância d em função do tempo t, com os pontos (5,10), (10,40), (15,90) e (20,160)

5.1.

De acordo com o gráfico, qual era a distância, em metros, do drone à plataforma, 15 segundos depois de iniciar o voo?

5.2.

Considera que a distância $d$, em metros, em função do tempo $t$, em segundos, é dada por uma expressão do tipo $d(t)=at^2$, em que $a \neq 0$ e $0 \leq t \leq 20$.

Qual é o valor de $a$, sabendo-se que $d(10)=40$?

(A) $-\frac{4}{25}$

(B) $-\frac{2}{5}$

(D) $\frac{4}{25}$

5.1.

Da observação do gráfico podemos verificar que a imagem do objeto $15$ é $90$, ou seja:

$$d(15)=90$$

Pelo que 15 segundos depois de iniciar o voo a distância, em metros, do drone à plataforma era $90$.

5.2.

Como a expressão da função é dada por uma expressão do tipo $d(t)=at^2$, e sabemos que $d(10)=40$, substituindo os valores de $t$ e de $d$, podemos calcular o valor de $a$:

d(t)=at^2 \underset{t=10\,\wedge\,d=40}{\Leftrightarrow} 40=a\times 10^2 \Leftrightarrow 40=a\times 100 \Leftrightarrow \frac{40}{100}=a \Leftrightarrow \frac{4}{10}=a \Leftrightarrow \frac{2}{5}=a

Resposta: 5.1. $90$ metros · 5.2. Opção C.

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · Época especial

Na figura, estão representados, em referencial cartesiano, a função quadrática $f$ e o triângulo $[AOB]$.

Parábola f(x)=3x² e triângulo [AOB] com região sombreada

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
o ponto $A$ tem coordenadas $(10,0)$;
o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa $10$;
a função $f$ é definida por $f(x)=3x^2$;
a área da região sombreada do triângulo é $1000$.

Determina a área da região não sombreada do triângulo $[AOB]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa $10$, podemos determinar a ordenada:

y_B=\overline{AB}=f(10)=3\times 10^2=3\times 100=300

Assim, considerando a base do triângulo $[OAB]$, o lado $[OA]$ e a altura o lado $[AB]$, podemos calcular a área do triângulo:

A_{[OAB]}=\frac{\overline{OA}\times \overline{AB}}{2}=\frac{10\times 300}{2}=\frac{3000}{2}=1500

Desta forma, a área da região não sombreada ($A_{ns}$) do triângulo pode ser calculada como a diferença da área total ($A_{[OAB]}$) e da área da região sombreada ($A_s$):

A_{ns}=A_{[OAB]}-A_s=1500-1000=500

Resposta: A área da região não sombreada é $500$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 2.ª fase

Na figura seguinte, estão representados, em referencial cartesiano, uma função quadrática $f$ e o triângulo isósceles $[OAB]$.

Parábola f(x)=4x² e triângulo isósceles [OAB] com A de coordenadas (4,0)

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
o ponto $A$ tem coordenadas $(4,0)$;
o ponto $B$ é um ponto do gráfico de $f$;
$\overline{OB}=\overline{AB}$;
a função $f$ é definida por $f(x)=4x^2$.

Determina a área do triângulo $[OAB]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

A abcissa do ponto $B$ é $2$, a abcissa do ponto $A$ é $4$ e, como o triângulo $[OAB]$ é isósceles ($\overline{OB}=\overline{AB}$), então a altura relativamente ao lado $[OA]$ pertence à bissetriz deste lado.

Como o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa $2$, podemos calcular a sua ordenada ($y_B$), recorrendo à expressão algébrica da função $f$:

y_B=f(2)=4\times 2^2=4\times 4=16

Assim, temos que a área do triângulo $[OAB]$ é:

A_{[OAB]}=\frac{\overline{OA}\times f(2)}{2}=\frac{x_A\times y_B}{2}=\frac{4\times 16}{2}=\frac{64}{2}=32

Resposta: A área do triângulo $[OAB]$ é $32$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 1.ª fase

Na figura, estão representados, em referencial cartesiano, uma função quadrática $f$ e o trapézio retângulo $[OABC]$.

Parábola f(x)=2x² e trapézio retângulo [OABC]

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
o ponto $A$ tem coordenadas $(4,0)$;
o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa $2$;
o ponto $C$ pertence ao eixo das ordenadas;
a função $f$ é definida por $f(x)=2x^2$.

Determina a área do trapézio $[OABC]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o ponto $B$ é o ponto do gráfico de $f$ que tem abcissa $2$, podemos calcular a sua ordenada ($y_B$), recorrendo à expressão algébrica da função $f$:

y_B=f(2)=2\times 2^2=2\times 4=8

Identificando o segmento $[OA]$ como a base maior do trapézio, o segmento $[CB]$ como a base menor e o segmento $[OC]$ como a altura, temos que a área do trapézio $[OABC]$ é:

A_{[OABC]}=\frac{\overline{OA}+\overline{CB}}{2}\times \overline{OC}=\frac{x_A+x_B}{2}\times y_B=\frac{4+2}{2}\times 8=\frac{6}{2}\times 8=3\times 8=24

Resposta: A área do trapézio $[OABC]$ é $24$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 2.ª fase

Na figura, estão representadas, em referencial cartesiano, a reta $AB$ e parte do gráfico de uma função $f$.

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
os pontos $A$ e $B$ pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos $Ox$ e $Oy$;
o ponto $B$ tem ordenada $2$;
a função $f$ é definida por $f(x)=x^2$.

Seja $g$ a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função $f$ relativamente ao eixo $Ox$.

Calcula o número designado por $f\left(\sqrt{3}\right)+g(2)$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Calculado o valor de $f\left(\sqrt{3}\right)$ vem:

f\left(\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{3}\right)^2=3

Considerando o gráfico da função $g$ como o simétrico do gráfico da função $f$ relativamente ao eixo $Ox$, podemos observar que para o mesmo objeto, as imagens por $f$ e por $g$ são simétricas, ou seja:

g(2)=-f(2)=-\left(2^2\right)=-4

Pelo que:

f\left(\sqrt{3}\right)+g(2)=3+(-4)=-1

Resposta: $f\left(\sqrt{3}\right)+g(2)=-1$.

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 1.ª fase

Seja $f$ uma função de proporcionalidade direta tal que $f(2)=4$.

Seja $g$ a função definida por $g(x)=x^2$.

Considera, num referencial cartesiano de origem $O$, a reta que é o gráfico da função $f$, a parábola que é o gráfico da função $g$ e o ponto $A$ de coordenadas $(2,4)$.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) O ponto $A$ pertence à reta e à parábola.

(B) O ponto $A$ pertence à reta, mas não pertence à parábola.

(D) O ponto $A$ não pertence à reta nem à parábola.

Como $f(2)=4$, o ponto de coordenadas $(2,4)$ pertence ao gráfico da função $f$.

Como $g(2)=2^2=4$, o ponto de coordenadas $(2,4)$ também pertence ao gráfico da função $g$.

Assim, temos que o ponto $A$ pertence ao gráfico da função $f$ (a reta) e também ao gráfico da função $g$ (a parábola).

Resposta: Opção A.

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 2.ª chamada

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano, partes dos gráficos de duas funções, $f$ e $g$.

Parábola f(x)=-2x², reta g e ponto P de abcissa 2

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
o gráfico da função $g$ é uma reta que passa na origem do referencial;
a função $f$ é definida por $f(x)=-2x^2$;
o ponto $P$ pertence ao gráfico da função $f$ e ao gráfico da função $g$ e tem abcissa igual a $2$.

Qual das expressões seguintes é equivalente a $g(x)$?

(A) $-2x$

(B) $-4x$

(D) $-4x-2$

Podemos determinar a ordenada do ponto $P$, calculando a imagem de $2$ pela função $f$:

f(2)=-2\times 2^2=-2\times 4=-8

Assim o ponto $P$ tem de coordenadas $P(2,-8)$.

Como o gráfico da função $g$ é uma reta que passa na origem do referencial, a expressão algébrica da função $g$ é da forma $g(x)=kx$, $k\in\mathbb{R}$.

Como o ponto $P$ também pertence ao gráfico de $g$, substituindo as coordenadas de $P$ na expressão anterior, podemos determinar o valor de $k$:

-8=k\times 2 \Leftrightarrow \frac{-8}{2}=k \Leftrightarrow -4=k

Assim, temos que a função $g$ é definida algebricamente por $g(x)=-4x$.

Resposta: Opção B.

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 1.ª chamada

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano de origem $O$, partes dos gráficos de duas funções, $f$ e $g$, bem como o trapézio retângulo $[ABCD]$.

Gráficos de f(x)=½x e g(x)=2x² e trapézio retângulo [ABCD]

Sabe-se que:

os pontos $A$ e $D$ pertencem ao eixo das ordenadas;
a função $f$ é definida por $f(x)=\frac{1}{2}x$;
a função $g$ é definida por $g(x)=2x^2$;
o ponto $B$ pertence ao gráfico da função $g$ e tem abcissa $2$;
o ponto $C$ pertence ao gráfico da função $f$ e tem abcissa $4$.

12.1.

Identifica, usando letras da figura, dois pontos com a mesma ordenada.

12.2.

Determina a área do trapézio $[ABCD]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

12.1.

Dois pontos com a mesma ordenada pertencem à mesma reta horizontal. Assim, dois pontos com a mesma ordenada são (por exemplo) os pontos $A$ e $B$.

12.2.

A altura do trapézio ($\overline{AD}$) pode ser calculada como a diferença das ordenadas dos pontos $B$ e $C$.

Assim, calculando a ordenada do ponto $B$, recorrendo à função $g$, temos:

y_B=g(2)=2\times 2^2=2\times 4=8

Da mesma forma, podemos obter a ordenada do ponto $C$, com recurso à função $f$:

y_C=f(4)=\frac{1}{2}\times 4=\frac{4}{2}=2

Assim temos que $\overline{AD}=y_B-y_C=8-2=6$, $\overline{DC}=4$ e $\overline{AB}=2$.

Calculada a área do trapézio $[ABCD]$, vem:

A_{[ABCD]}=\frac{B+b}{2}\times h=\frac{\overline{DC}+\overline{AB}}{2}\times \overline{AD}=\frac{4+2}{2}\times 6=\frac{6}{2}\times 6=3\times 6=18

Resposta: 12.1. Os pontos $A$ e $B$ · 12.2. A área do trapézio $[ABCD]$ é $18$.

Teste Intermédio 9.º ano — 21.03.2014

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano, partes dos gráficos de duas funções, $f$ e $g$.

Parábola f(x)=ax² e hipérbole g, com B(2,6) e C(c;1,2)

Sabe-se que:

a função $f$ é uma função quadrática definida por $f(x)=ax^2$, sendo $a$ um número positivo;
a função $g$ é uma função de proporcionalidade inversa;
o ponto $B$ pertence ao gráfico da função $f$ e ao gráfico da função $g$ e tem coordenadas $(2,6)$;
o ponto $C$ pertence ao gráfico da função $g$ e tem coordenadas $(c;1,2)$, sendo $c$ um número positivo.

Qual é o valor de $f(-2)$?

(A) $-6$

(B) $6$

(D) $4$

Como o ponto $B(2,6)$ pertence ao gráfico da função, temos que:

f(2)=6 \Leftrightarrow a\times 2^2=6 \Leftrightarrow a\times 4=6

Assim, temos que:

f(-2)=a\times (-2)^2=a\times 4=6

Resposta: Opção B.

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 1.ª chamada

No referencial cartesiano da figura, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, $f$ e $g$, e um trapézio $[ABCE]$.

Gráficos de f(x)=x e g(x)=3x², retângulo [ABCD] e trapézio [ABCE]

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por $f(x)=x$;
a função $g$ é definida por $g(x)=3x^2$;
o quadrilátero $[ABCD]$ é um retângulo;
os pontos $A$ e $B$ pertencem ao eixo das abcissas;
o ponto $D$ pertence ao gráfico da função $g$;
os pontos $E$ e $C$ pertencem ao gráfico da função $f$;
os pontos $A$ e $E$ têm abcissa igual a $1$.

14.1.

Determina a medida da área do trapézio $[ABCE]$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

14.2.

Qual das expressões seguintes define a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função $g$ relativamente ao eixo das abcissas?

(A) $\frac{1}{3}x^2$

(B) $-\frac{1}{3}x^2$

(D) $-3x^2$

14.1.

Como a abcissa do ponto $A$ é $1$ ($x_A=1$), podemos calcular a ordenada do ponto $E$, $y_E$, com recurso à função $f$:

$$y_E=f(x_A)=f(1)=1$$

E assim, como o ponto $A$ tem de ordenada zero (porque pertence ao eixo das abcissas), vem que:

\overline{AE}=y_E-y_A=1-0=1

Analogamente, recorrendo à função $g$, podemos determinar a ordenada do ponto $D$, $y_D$:

y_D=g(x_A)=g(1)=3\times 1^2=3\times 1=3

Como os pontos $C$ e $D$ têm a mesma ordenada, temos que $y_C=y_D=3$, e assim, como o ponto $B$ tem de ordenada zero (porque pertence ao eixo das abcissas), vem que:

\overline{BC}=y_C-y_B=3-0=3

Finalmente, como o ponto $C$ está sobre a reta $y=x$, então a sua abcissa e a sua ordenada são iguais $x_C=y_C=3$, e o ponto $B$ tem a mesma abcissa que o ponto $C$, ou seja, $x_B=x_C=3$. Logo, temos que:

\overline{AB}=x_B-x_A=3-1=2

Assim, calculando a medida da área do trapézio, $A_T$, considerando $[BC]$ como a base maior, $[AE]$ como a base menor e $[AB]$ como a altura, vem:

A_T=\frac{\overline{BC}+\overline{AE}}{2}\times \overline{AB}=\frac{3+1}{2}\times 2=\frac{4}{2}\times 2=4

14.2.

Considerando o gráfico da função $h$ como o simétrico do gráfico da função $g$ relativamente ao eixo das abcissas, podemos observar que as duas parábolas têm a mesma abertura, ou seja o coeficiente de $x^2$ deve ter o mesmo valor absoluto nas duas funções, pelo que:

$$h(x)=-3x^2$$

Resposta: 14.1. A área do trapézio $[ABCE]$ é $4$ · 14.2. Opção D.

Teste Intermédio 9.º ano — 12.04.2013

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função quadrática $f$ e o triângulo $[OAB]$.

Parábola f(x)=ax² e triângulo [OAB] retângulo em B

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial;
o ponto $A$ pertence ao gráfico da função $f$ e tem abcissa igual a $2$;
o ponto $B$ pertence ao eixo das ordenadas;
o triângulo $[OAB]$ é retângulo em $B$;
a função $f$ é definida por $f(x)=ax^2$, sendo $a$ um número positivo.

Admite que a área do triângulo $[OAB]$ é igual a $32$.

Determina o valor de $a$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o triângulo $[OAB]$ é retângulo em $B$, a sua área é igual a $32$ e $\overline{BA}=2$, podemos calcular $\overline{BO}$:

A_{[OAB]}=\frac{\overline{BA}\times \overline{BO}}{2} \Leftrightarrow 32=\frac{\overline{BO}\times 2}{2} \Leftrightarrow 32=\overline{BO}

Como as ordenadas dos pontos $A$ e $B$ são iguais, temos que as coordenadas do ponto $A$ são $A(2,32)$.

Como o ponto $A$ pertence ao gráfico de $f$ e a função $f$ é definida por $f(x)=ax^2$, substituindo as coordenadas do ponto $A$ na expressão da função $f$, podemos determinar o valor de $a$:

32=a\times 2^2 \Leftrightarrow 32=a\times 4 \Leftrightarrow \frac{32}{4}=a \Leftrightarrow 8=a

Resposta: $a=8$.