Exercícios de Exame — Circunferência

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ pertencem à circunferência;
• o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$ e está inscrito na circunferência;
• a amplitude do arco $CD$ é $120^\circ$;
• $\overline{OC}=\overline{BC}=10$;
• as cordas $[AB]$ e $[CD]$ são paralelas e iguais.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula a amplitude, em graus, do ângulo $CAB$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $F$ pertencem à circunferência;
• o ponto $F$ pertence à reta $CE$;
• $[CF]$ é um diâmetro da circunferência;
• o triângulo $[ODE]$ é retângulo em $D$;
• $O\hat{E}D=30^\circ$;
• $B\hat{A}D=80^\circ$;
• $\overline{OD}=6$;
• $\overline{OE}=12$.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula a amplitude, em graus, do arco $BC$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, estão representados uma circunferência de centro $O$, o triângulo $[ABC]$, inscrito na circunferência, e o triângulo $[OAC]$.

Os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência.

A amplitude do ângulo $OAC$ é $28^\circ$.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula a amplitude, em graus, do ângulo $CBA$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$.

Os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

• a amplitude do ângulo $AOB$ é $50^\circ$;
• $\overline{CD}=\overline{CE}$;
• $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$;
• a amplitude do ângulo $DCE$ é $70^\circ$.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula a amplitude, em graus, do arco $BD$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$ e o triângulo $[ABC]$.

Os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência, e o ponto $D$ é exterior à circunferência e pertence à semirreta $\dot{A}C$.

A amplitude do ângulo $BCD$ é $100^\circ$.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula a amplitude, em graus, do arco $BCA$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$.

Os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

• o ponto $E$ é o ponto de intersecção das cordas $[AC]$ e $[BD]$;
• o triângulo $[CEB]$ é retângulo em $E$;
• $\overline{BE}=5$ cm e $\overline{BC}=10$ cm;
• $\overset{\frown}{AB}=60^\circ$.

A figura não está desenhada à escala.

Qual das seguintes opções apresenta a amplitude do arco $CD$?

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$. Os pontos $B$, $C$ e $D$ pertencem à circunferência e o ponto $A$ é exterior à circunferência.

Sabe-se que:

• o segmento de reta $[BD]$ é um diâmetro da circunferência;
• o triângulo $[ABO]$ é retângulo em $B$;
• $\overset{\frown}{CD}=110^\circ$;
• $\overline{AB}=6$ cm e $\overline{BO}=4$ cm.

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a amplitude do ângulo $BDC$?

A figura seguinte é uma fotografia do painel Começar do artista português Almada Negreiros, onde é possível observar uma sobreposição de traçados geométricos.

Na figura, está representada a estrela de cinco pontas inscrita numa circunferência, que se encontra na parte central do painel.

Sabe-se que:

• a circunferência tem centro no ponto $O$;
• os vértices $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ da estrela pertencem à circunferência;
• os arcos $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ e $EA$ são iguais.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $AJC$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Temos que:

• Como os arcos $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ e $EA$ são iguais, cada um deles tem $\frac{360}{5}=72^\circ$ de amplitude;
• como o ângulo $ECA$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $EA$, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja: $$E\hat{C}A=\frac{\overset{\frown}{EA}}{2}=\frac{72}{2}=36^\circ$$
• e como o ângulo $CAD$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $CD$, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja: $$C\hat{A}D=\frac{\overset{\frown}{CD}}{2}=\frac{72}{2}=36^\circ$$

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, vem que:

$$A\hat{J}C+E\hat{C}A+C\hat{A}D=180 \Leftrightarrow A\hat{J}C+36+36=180 \Leftrightarrow A\hat{J}C=180-36-36 \Leftrightarrow A\hat{J}C=108^\circ$$

Resposta: $A\hat{J}C=108^\circ$.

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[CA]$ e centro no ponto $B$.

Os pontos $D$ e $E$ pertencem à semicircunferência e o ponto $E$ pertence ao arco $AD$.

A amplitude do ângulo $ABD$ é $130^\circ$.

Determina, em graus, $D\hat{E}C$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, estão representados um círculo de centro no ponto $O$ e os pontos $A$, $B$ e $C$, que pertencem à circunferência que delimita o círculo.

O comprimento do arco $AB$ é $5$ cm, e a amplitude do ângulo inscrito $ACB$ é $30^\circ$. Determina o perímetro do círculo.

Apresenta o resultado em centímetros.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto $O$ e o papagaio $[ABCD]$ inscrito na circunferência.

A amplitude do arco $CD$ é $110^\circ$ e $\overline{AB}=\overline{BC}$.

Determina, em graus, $A\hat{D}C$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura seguinte, está representado o triângulo $[ABC]$, inscrito numa circunferência de centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• os pontos $D$ e $E$ pertencem aos segmentos de reta $[AC]$ e $[BC]$, respetivamente;
• as retas $AB$ e $DE$ são paralelas;
• a amplitude do arco $AB$ é $110^\circ$;
• $C\hat{B}A=85^\circ$.

Determina, em graus, $B\hat{A}C$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[CD]$ e centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• o ponto $A$ pertence à semicircunferência;
• o ponto $B$ pertence ao segmento de reta $[CD]$;
• a amplitude do arco $AC$ é $110^\circ$;
• $B\hat{A}C=25^\circ$.

Determina, em graus, $C\hat{B}A$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[AB]$ e centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• os pontos $C$ e $D$ pertencem à semicircunferência;
• a amplitude do arco $AD$ é $56^\circ$;
• os segmentos de reta $[BD]$ e $[OC]$ intersectam-se no ponto $E$;
• $B\hat{E}C=72^\circ$.

Determina, em graus, $B\hat{O}E$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto $O$ e diâmetro $[CD]$ e o trapézio isósceles $[ABCD]$, inscrito na circunferência.

Sabe-se que a amplitude do arco $AB$ é $80^\circ$.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $DAB$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, estão representados dois triângulos, $[ABC]$ e $[ABD]$, inscritos numa circunferência.

Sabe-se que:

• o triângulo $[ABD]$ é isósceles, sendo $\overline{AD}=\overline{BD}$;
• a amplitude do arco $AB$ é $60^\circ$;
• o ponto $C$ pertence ao arco $BD$;
• $C\hat{B}D=20^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $ABC$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o ângulo $BDA$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $AB$, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja:

$$B\hat{D}A=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}=\frac{60}{2}=30^\circ$$

Como, num triângulo, a lados iguais se opõem ângulos com a mesma amplitude e $\overline{AD}=\overline{BD}$, então $D\hat{B}A=B\hat{A}D$, e como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, vem que:

$$D\hat{B}A+B\hat{A}D+B\hat{D}A=180 \Leftrightarrow D\hat{B}A+D\hat{B}A+30=180 \Leftrightarrow 2\,D\hat{B}A=180-30 \Leftrightarrow D\hat{B}A=\frac{150}{2} \Leftrightarrow D\hat{B}A=75^\circ$$

Desta forma, como $C\hat{B}D=20^\circ$, vem que:

$$A\hat{B}C=D\hat{B}A+C\hat{B}D=75+20=95^\circ$$

Resposta: $A\hat{B}C=95^\circ$.

Na figura, está representado um triângulo $[ABC]$, inscrito numa circunferência.

Sabe-se que:

• $B\hat{A}C=40^\circ$;
• a amplitude do arco $AB$ é $120^\circ$;
• o ponto $C$ pertence ao arco maior $AB$.

A figura não está desenhada à escala.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $ABC$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[AB]$.

Sabe-se que:

• os pontos $C$ e $D$ pertencem à semicircunferência;
• o ponto $E$ é o ponto de intersecção dos segmentos de reta $[AC]$ e $[BD]$;
• $A\hat{E}D=70^\circ$.

Determina a amplitude do arco $DC$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências, $c_1$ e $c_2$, tangentes no ponto $P$.

Sabe-se que:

• as circunferências $c_1$ e $c_2$ têm centro, respetivamente, no ponto $O_1$ e no ponto $O_2$;
• os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência $c_1$;
• os pontos $C$ e $D$ pertencem à circunferência $c_2$;
• os pontos $A$, $C$ e $P$ pertencem à reta $O_1O_2$;
• as retas $AB$ e $CD$ são paralelas.

A figura não está desenhada à escala.

Admite que a amplitude do arco $PD$ é igual a $110^\circ$.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $APB$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, estão representados o triângulo escaleno $[LMN]$, as semirretas $\dot{M}O$ e $\dot{N}O$, bissetrizes dos ângulos $LMN$ e $MNL$, respetivamente, e a circunferência inscrita no triângulo $[LMN]$.

Sabe-se que:

• a reta $MN$ é tangente à circunferência no ponto $P$;
• o ponto $Q$ é a intersecção do segmento de reta $[MO]$ com a circunferência.

Sabe-se também que $O\hat{M}N=15^\circ$.

Qual é a amplitude do arco $QP$?

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de centro no ponto $O$ e diâmetro $[AD]$.

Sabe-se que:

• o ponto $C$ pertence à semicircunferência;
• o ponto $B$ pertence à corda $[AC]$
• o triângulo $[ABO]$ é retângulo em $B$
• $\overline{OB}=1$ cm
• $B\hat{A}O=25^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a amplitude, em graus, do arco $AC$?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto $O$ e um triângulo isósceles $[ABC]$.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência
• $\overline{AB}=\overline{BC}$
• $[BD]$ é a altura do triângulo $[ABC]$ relativa à base $[AC]$
• a amplitude do arco $AC$ é igual a $100^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $CAB$?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, estão representadas as retas $AD$ e $CD$ e a circunferência de diâmetro $[AC]$.

O ponto $B$ pertence à circunferência e à reta $AD$.

Sabe-se que:

• a reta $CD$ é tangente à circunferência no ponto $C$
• $C\hat{D}A=50^\circ$
• $\overline{CD}=8$ cm

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a amplitude, em graus, do arco $CB$?

Na figura seguinte, está representada uma circunferência com centro no ponto $O$.

Os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência.

O ponto $P$ pertence à corda $[AC]$.

Sabe-se que:

• os segmentos de reta $[AC]$ e $[PB]$ são perpendiculares
• $B\hat{A}C=65^\circ$
• $\overline{AP}=1{,}6$ cm

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $BOC$?

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Estão também representados o triângulo $[AEF]$ e o quadrado $[ABCD]$, cujos vértices pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

• a amplitude do ângulo $EAF$ é $60^\circ$
• a amplitude do arco $FD$ é $20^\circ$

Determina a amplitude, em graus, do arco $BE$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência
• $\overline{BA}=\overline{BC}$
• o segmento de reta $[BD]$ é a altura do triângulo $[ABC]$ relativa à base $[AC]$
• $A\hat{O}C=72^\circ$
• $\overline{OA}=2$ cm

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $ABC$?

Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto $O$ e os triângulos $[ABC]$ e $[CDE]$.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência
• $[BC]$ é um diâmetro da circunferência
• o triângulo $[CDE]$ é retângulo em $E$
• os triângulos $[ABC]$ e $[CDE]$ são semelhantes

A figura não está desenhada à escala.

Admite que a amplitude do ângulo $ACB$ é igual a $36^\circ$.

Qual é a amplitude do arco $AB$?

A figura é uma fotografia de parte de uma tapeçaria feita com base num desenho de Almada Negreiros.

A figura seguinte, à esquerda, é uma representação dos dois pentágonos regulares que se podem observar nesta fotografia.

Na figura da direita, está representada uma circunferência, na qual estão inscritos os dois pentágonos.

Os vértices dos dois pentágonos são vértices de um decágono regular.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $\alpha$ assinalado na figura da direita.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, em cima, está representado um dos envelopes que a Beatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversário.

Na figura seguinte, em baixo, está um modelo geométrico do mesmo envelope.

Sabe-se que:

• $[ABCD]$ é um trapézio isósceles
• o ponto $F$ é o ponto de interseção das diagonais do trapézio
• os pontos $E$ e $G$ são os pontos médios das bases do trapézio
• o ponto $H$ pertence ao segmento de reta $[AF]$ e o ponto $I$ pertence ao segmento de reta $[DF]$
• $HFI$ é um arco de circunferência
• $\overline{EF}=3{,}75$ cm
• $\overline{FG}=2{,}5$ cm
• $\overline{BC}=8$ cm

Admite que o arco $HFI$ tem $128^\circ$ de amplitude.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $ADF$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Sugestão: Começa por determinar a amplitude do ângulo $AFD$.

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência
• as retas $AD$ e $CD$ são tangentes à circunferência nos pontos $A$ e $C$, respetivamente
• o ponto $E$ pertence à reta $CD$

Admite que $A\hat{O}C=140^\circ$.

30.1.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $ABC$?

30.2.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $ADE$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Relativamente à figura, sabe-se que:

• o triângulo $[ABC]$ é escaleno e é retângulo em $B$
• os pontos $E$ e $P$ pertencem ao segmento de reta $[AC]$
• o ponto $D$ pertence ao segmento de reta $[AB]$
• o triângulo $[ADE]$ é retângulo em $D$
• o ponto $Q$ pertence ao segmento de reta $[BC]$
• $PCQ$ é um arco de circunferência

A figura não está desenhada à escala.

Admite que a amplitude do ângulo $DAE$ é $37^\circ$.

Determina a amplitude, em graus, do arco $PCQ$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura, estão representados um retângulo $[ABCD]$ e uma circunferência de centro no ponto $O$ e raio $r$.

Sabe-se que:

• o ponto $E$ pertence à circunferência e é exterior ao retângulo $[ABCD]$
• $[AD]$ e $[EF]$ são diâmetros da circunferência
• o lado $[BC]$ do retângulo é tangente à circunferência
• $D\hat{E}F=10^\circ$

32.1.

Admite que o perímetro do retângulo $[ABCD]$ é igual a $30$ cm.

Determina o comprimento da circunferência.

Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota — Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

32.2.

Determina a amplitude de uma rotação de centro em $O$ que transforme o ponto $F$ no ponto $A$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura, está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal.

Este modelo não está desenhado à escala.

Sabe-se que:

• $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ são pontos da circunferência de centro no ponto $O$
• $F$ e $G$ são pontos da corda $[BE]$
• $\overline{AF}=\overline{AG}=16$ cm
• $C\hat{A}D=36^\circ$

Qual é a amplitude do arco $CD$?

Na figura, está representada uma circunferência.

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ pertencem à circunferência;
• o ponto $P$ é o ponto de interseção das cordas $[AC]$ e $[BD]$
• a amplitude do arco $BC$ é $80^\circ$
• a amplitude do ângulo $DPC$ é $85^\circ$

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $DBA$.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Sabe-se que:

• os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ pertencem à circunferência
• $[AD]$ é um diâmetro da circunferência
• o ponto $P$ é a interseção dos segmentos de reta $[AC]$ e $[BD]$
• $C\hat{A}D=40^\circ$

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a amplitude, em graus, do arco $AC$?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$.

Os pontos $A$, $B$, $C$, $P$ e $R$ pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

• a circunferência tem raio $8$
• $\overline{BA}=\overline{BC}$
• $[PR]$ é um diâmetro da circunferência;
• o ponto $Q$ é o ponto de intersecção dos segmentos $[BA]$ e $[PR]$
• o ponto $S$ é o ponto de intersecção dos segmentos $[BC]$ e $[PR]$
• $A\hat{B}O=36^\circ$

Qual é a amplitude, em graus, do arco $AB$?

Relativamente à figura, sabe-se que:

• $[ACEG]$ é um quadrado de lado $4$ e centro $O$;
• os pontos $B$, $D$, $F$ e $H$ são os pontos médios dos lados do quadrado $[ACEG]$;
• os vértices do quadrado $[ACEG]$ são os centros das circunferências representadas na figura;
• o raio de cada uma das circunferências é $2$;
• o ponto $I$ pertence à circunferência de centro no ponto $A$;
• o ponto $A$ pertence ao segmento de reta $[IO]$.

37.1.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $BIH$?

37.2.

Determina a área da região sombreada.

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota — Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$, na qual está inscrito um retângulo $[ABCD]$.

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

• $B\hat{D}A=70^\circ$
• $\overline{AB}=4{,}35$ cm

Qual é a amplitude, em graus, do arco $AB$?

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$, na qual está inscrito um hexágono regular $[ABCDEF]$.

39.1.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $DOC$?

39.2.

Relativamente à figura, sabe-se ainda que:

• a circunferência tem raio $4$;
• o triângulo $[DOC]$ tem área $4\sqrt{3}$

Determina a área da região sombreada.

Escreve o resultado arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Na figura, sabe-se que:

• o diâmetro $[BD]$ é perpendicular ao diâmetro $[AC]$;
• $[OHDE]$ e $[OFBG]$ são quadrados geometricamente iguais;
• o ponto $O$ é o centro do círculo;
• $\overline{OC}=2$ cm.

Escreve, em graus, a amplitude do ângulo $ACB$.

Na figura, sabe-se que:

• $O$ é o centro da circunferência;
• $[AB]$ e $[BC]$ são cordas geometricamente iguais;
• $D$ é o ponto de interseção do diâmetro $[EB]$ com a corda $[AC]$.

Nota: A figura não está construída à escala.

Qual é, em graus, a amplitude do arco $AC$, supondo que $A\hat{B}C=28^\circ$?

Na figura, está representada uma circunferência.

Sabe-se que:

• $[AC]$ é um diâmetro de comprimento $15$.
• $B$ é um ponto da circunferência.
• $\overline{AB}=12$

Justifica que o triângulo $[ABC]$ é rectângulo em $B$.

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$ e diâmetro $[AB]$.

O ponto $C$ pertence à circunferência.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $\alpha$.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Num círculo de raio $r$, sejam $d$ o diâmetro, $P$ o perímetro e $A$ a área.

Qual das seguintes igualdades não é verdadeira?

Na figura está representada uma circunferência de centro $O$, em que está inscrito um pentágono regular $[PQRST]$.

45.1.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $TPQ$?

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

45.2.

Sabe-se que:

• a circunferência tem raio $5$;
• o triângulo $[SOR]$ tem área $12$.

Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura.

Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas.

Sejam $A$, $B$ e $C$ três pontos distintos de uma circunferência em que o arco $AB$ tem $180^\circ$ de amplitude.

Justifica a seguinte afirmação:

«O triângulo $[ABC]$ não é equilátero.»

Na figura, está representada uma circunferência, de centro $O$, em que:

• $A$, $B$, $C$ e $D$ são pontos da circunferência;
• o segmento de reta $[BD]$ é um diâmetro;
• $E$ é o ponto de interseção das retas $BD$ e $AC$;
• o triângulo $[ADE]$ é retângulo em $E$;
• $C\hat{A}D=30^\circ$.

47.1.

Qual é a amplitude, em graus, do arco $CD$ (assinalado na figura a traço mais grosso)?

47.2.

Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira.

«Os triângulos $[ADE]$ e $[CDE]$ são geometricamente iguais.»

Na figura, está representada uma circunferência, de centro $O$, em que:

• $A$, $B$, $C$ e $D$ são pontos da circunferência;
• $D\hat{A}B=50^\circ$;
• $D\hat{O}C=60^\circ$.

Qual é, em graus, a amplitude do arco $CB$?

Na figura seguinte, está representada uma circunferência, de centro $O$, em que:

• $A$, $B$ e $C$ são pontos da circunferência;
• o segmento de reta $[AC]$ é um diâmetro;
• $O\hat{A}B=30^\circ$.

49.1.

Qual é a amplitude do arco $AB$ (em graus)?

49.2.

Considera uma reta tangente à circunferência no ponto $A$. Seja $D$ um ponto pertencente a essa reta.

Sabendo que o ângulo $BAD$ é agudo, determina a sua amplitude (em graus).

Justifica a tua resposta.

Na figura, está representado um octógono regular $[ABCDEFGH]$, inscrito numa circunferência de centro $O$.

Ao observar a figura, e sem efetuar medições, a Ana afirmou:

«O quadrilátero $[BDFH]$ é um quadrado.»

Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão?

Justifica a tua resposta.

Como os segmentos $[BF]$ e $[DH]$ são ambos diâmetros da circunferência, temos que:

$$\overline{BF}=\overline{DH}$$

Como o octógono é regular, os arcos definidos por dois vértices consecutivos têm a mesma amplitude. Calculando a amplitude do arco $BC$ (por exemplo), temos que:

$$\overset{\frown}{BC}=\frac{360}{8}=45^\circ$$

E assim, os arcos definidos por vértices consecutivos do quadrilátero também têm a mesma amplitude. Calculando a amplitude do arco $BD$ (por exemplo), temos que:

$$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=2\times\overset{\frown}{BC}=2\times 45=90^\circ$$

Desta forma, temos que o ângulo $BOD$, que é o ângulo ao centro relativo ao arco $BD$ (e por isso tem a mesma amplitude), é um ângulo reto.

Assim, os segmentos $[BF]$ e $[DH]$, que são as diagonais do quadrilátero $[BDFH]$, são perpendiculares e têm o mesmo comprimento, pelo que o quadrilátero é um quadrado.

Na figura está representado um decágono regular $[ABCDEFGHIJ]$, inscrito numa circunferência de centro $O$.

Os segmentos de reta $[ID]$ e $[HC]$ são diâmetros desta circunferência.

Ao observar a figura, a Rita afirmou:

«A amplitude do ângulo $CDI$ é igual à amplitude do ângulo $CHI$.»

Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão?

Justifica a tua resposta.

Como os ângulos $CDI$ e $CHI$ são ângulos inscritos relativos ao mesmo arco de circunferência (arco $CI$), então têm a mesma amplitude.

Quatro amigos encontraram-se para resolver um problema de Matemática que envolvia o cálculo do perímetro de um círculo com $10$ cm de diâmetro.

Na tabela que se segue, está indicado o valor que cada um obteve para o perímetro do círculo.

Qual dos quatro amigos obteve uma melhor aproximação do perímetro daquele círculo?

A roda gigante de uma feira de diversões tem $12$ cadeiras, espaçadas igualmente ao longo do seu perímetro. O diâmetro da roda é de $10$ m, e a roda move-se no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

53.1.

Uma viagem na roda gigante consta de $6$ voltas (rotações) completas.

Determina o comprimento total do percurso efetuado pela cadeira da roda onde ia sentada a Rita, ao fim das $6$ voltas completas.

Apresenta o resultado arredondado aos metros.

53.2.

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $DOF$?