- Regra de Laplace: \(P(A)=\dfrac{\text{n.º de casos favoráveis}}{\text{n.º de casos possíveis}}\), válida quando os casos são equiprováveis.
- \(0\le P(A)\le 1\); acontecimento certo tem probabilidade 1 e impossível tem 0.
- Acontecimento contrário: \(P(\overline{A})=1-P(A)\) — muito útil nos casos pelo menos um.
- Acontecimentos incompatíveis (não podem ocorrer ao mesmo tempo): \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
- Experiências compostas: usar tabela de dupla entrada ou diagrama em árvore e multiplicar ao longo dos ramos.
- A frequência relativa aproxima-se da probabilidade quando o número de repetições é grande.
Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
O professor de Cidadania e Desenvolvimento propôs a realização de um trabalho sobre possíveis medidas a adotar para combater as alterações climáticas. A turma, constituída por 28 alunos, foi dividida em cinco grupos, tendo sido atribuídos temas diferentes a cada um.
- Grupo A: Redução do consumo energético
- Grupo B: Redução do desperdício alimentar
- Grupo C: Utilização de transportes públicos
- Grupo D: Utilização de energias renováveis
- Grupo E: Aplicação dos 3 Rs: reduzir, reutilizar, reciclar
Na tabela, apresenta-se o número de raparigas e de rapazes em cada um dos grupos.
| Grupo A | Grupo B | Grupo C | Grupo D | Grupo E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Número de raparigas | 5 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| Número de rapazes | 2 | 3 | 4 | 2 | 3 |
1.1. Seleciona-se, ao acaso, um aluno desta turma. Assinala a opção que apresenta a probabilidade de esse aluno ser uma rapariga do Grupo C.
(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{7}$ (D) $\frac{1}{14}$
1.2. Para participarem num debate sobre energia e alterações climáticas, vão ser sorteados dois alunos, um do Grupo A e outro do Grupo D.
Qual é a probabilidade de serem sorteados dois rapazes, um do Grupo A e outro do Grupo D? Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o valor pedido na forma de fração irredutível.
Resolução de 1.1:
Como a turma tem 28 alunos e existem 2 raparigas no Grupo C, calculando a probabilidade, com recurso à Regra de Laplace, de selecionar ao acaso um aluno desta turma e esse aluno ser uma rapariga do Grupo C, é:
Resolução de 1.2:
Como é escolhido um aluno do Grupo A e um aluno do Grupo D, podemos organizar todas os pares de alunos escolhidos com recurso a uma tabela de dupla entrada. O Grupo A tem 5 Raparigas e 2 Rapazes, e o Grupo D tem 2 Raparigas e 2 Rapazes:
| Grupo D \ Grupo A | Rapariga (5) | Rapaz (2) |
|---|---|---|
| Rapariga (2) | (Rap., Rap.) - $5 \times 2 = 10$ pares | (Rap., Rapaz) - $2 \times 2 = 4$ pares |
| Rapaz (2) | (Rapaz, Rap.) - $5 \times 2 = 10$ pares | (Rapaz, Rapaz) - $2 \times 2 = 4$ pares |
Assim, podemos observar que existem $7 \times 4 = 28$ pares diferentes que podem ser escolhidos, dos quais 4 são compostos por dois rapazes.
Calculando a probabilidade pela Regra de Laplace de que os dois alunos selecionados sejam rapazes, e apresentando o resultado na forma de fração irredutível, temos:
Os 400 alunos de uma escola participaram em algumas atividades, durante a semana dedicada à comemoração dos 50 anos da Revolução de 25 de Abril de 1974.
Na tabela, apresenta-se o número de alunos que participaram em cada uma dessas atividades. Cada aluno participou em apenas uma das atividades.
| Atividades | Exposição «25 de Abril» | Palestra «50 Anos de Democracia» | Filme «Capitães de Abril» | Peça de teatro «A Revolução» |
|---|---|---|---|---|
| Número de alunos | 70 | 125 | 95 | 110 |
Seleciona-se, ao acaso, um aluno desta escola. Assinala a opção que apresenta a probabilidade de esse aluno ter participado na palestra «50 Anos de Democracia».
(A) $\frac{1}{125}$ (B) $\frac{5}{16}$ (C) $\frac{5}{11}$ (D) $\frac{11}{16}$
Como o número total de alunos desta escola é 400 (casos possíveis) e, destes, apenas 125 participaram na palestra «50 Anos de Democracia» (casos favoráveis), calculamos a probabilidade com recurso à Regra de Laplace:
Um professor de História fez um inquérito aos seus 120 alunos do 9.º ano sobre que museus gostariam de visitar, no âmbito da comemoração dos 50 anos da Revolução de 25 de Abril de 1974.
De acordo com as respostas dos alunos ao inquérito, registou-se que:
- 50 gostariam de visitar o Museu do Aljube Resistência e Liberdade, em Lisboa;
- 80 gostariam de visitar o Museu Nacional Resistência e Liberdade, em Peniche;
- 10 não manifestaram interesse em visitar nenhum dos dois museus.
Seleciona-se, ao acaso, um desses alunos. Qual é a probabilidade de o aluno selecionado ter respondido que gostaria de visitar ambos os museus?
Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o valor pedido na forma de fração irredutível.
Organizando todas as preferências dos alunos, como são 120 alunos e 10 não manifestaram interesse, então:
Ou seja, 110 alunos gostariam de visitar pelo menos um dos museus.
A soma das preferências registadas (visitantes do Aljube e visitantes de Peniche) é:
Logo, o número de alunos que gostaria de visitar os dois museus (interseção) é a diferença entre a soma das preferências e o número de alunos interessados:
Assim, para a probabilidade solicitada temos 120 casos possíveis e equiprováveis e 20 casos favoráveis. Pela Regra de Laplace:
Os 20 alunos de uma turma do 9.º ano vão participar numa visita de estudo ao Parque Arqueológico do Vale do Côa. Os alunos organizaram-se em equipas, de acordo com a tabela seguinte.
| Equipa Arte do Côa | Equipa Vale do Côa | Equipa Museu do Côa | Equipa Parque do Côa | |
|---|---|---|---|---|
| Número de rapazes | 3 | 4 | 1 | 2 |
| Número de raparigas | 2 | 1 | 4 | 3 |
4.1. A Maria faz parte de uma destas equipas. Selecionando, ao acaso, um aluno da equipa da Maria, a probabilidade de ele ser rapaz é $\frac{4}{5}$. Assinala a opção que identifica a equipa da Maria.
(A) Equipa Arte do Côa (B) Equipa Vale do Côa (C) Equipa Museu do Côa (D) Equipa Parque do Côa
4.2. Vão ser selecionados, ao acaso, para percorrerem o Rio Côa em caiaque, dois alunos da turma, um da equipa Arte do Côa e outro da equipa Museu do Côa. Qual é a probabilidade de os dois alunos selecionados serem raparigas? Apresenta o valor pedido na forma de fração.
Resolução de 4.1:
Como todas as equipas têm 5 elementos (casos possíveis = 5), e a probabilidade de selecionar um rapaz é $\frac{4}{5}$, a equipa tem de ter 4 rapazes. A única equipa com 4 rapazes é a Equipa Vale do Côa.
Resolução de 4.2:
Como é escolhido um aluno da Equipa Arte do Côa (5 alunos no total: 3 rapazes, 2 raparigas) e um aluno da Equipa Museu do Côa (5 alunos no total: 1 rapaz, 4 raparigas), o número total de pares (casos possíveis) é:
Para que os dois alunos selecionados sejam raparigas, temos de multiplicar o número de raparigas da primeira equipa pelo número de raparigas da segunda equipa:
Calculando a probabilidade pela Regra de Laplace:
Um agrupamento de escolas tem 1350 alunos. Destes alunos, estão inscritos no Desporto Escolar 615 alunos.
Seleciona-se, ao acaso, um aluno deste agrupamento.
Assinala a opção que apresenta a probabilidade de esse aluno estar inscrito no Desporto Escolar.
(A) $\frac{1}{615}$ (B) $\frac{41}{90}$ (C) $\frac{49}{90}$ (D) $\frac{41}{49}$
Como o agrupamento tem 1350 alunos e estão inscritos no Desporto Escolar 615, a probabilidade, com recurso à Regra de Laplace, de selecionar ao acaso um aluno deste agrupamento e ele estar inscrito é:
O clube desportivo Boa Forma tem 145 sócios. Entre outras modalidades, os sócios podem praticar basquetebol e voleibol no clube. Relativamente à totalidade dos sócios deste clube, sabe-se que:
- 50 sócios praticam basquetebol;
- 85 sócios praticam voleibol;
- 40 sócios não praticam nenhuma dessas duas modalidades.
Seleciona-se, ao acaso, um dos sócios. Qual é a probabilidade de o sócio selecionado praticar basquetebol e voleibol?
Apresenta o valor pedido na forma de fração irredutível.
Como o clube tem 145 sócios e 40 não praticam nenhuma modalidade, os que praticam pelo menos uma são:
A soma dos que praticam as modalidades individualmente é $50 + 85 = 135$. Logo, o número de sócios que praticam basquetebol e voleibol (a interseção) é:
Assim, para a probabilidade solicitada temos 145 casos possíveis e equiprováveis e 30 casos favoráveis, pelo que, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace:
7.1. Um grupo de seis amigos escolheu Portugal para fazer turismo náutico. Quatro dos amigos preferem fazer atividades no mar e os restantes preferem atividades em rios.
Pretende-se selecionar, ao acaso, um dos seis amigos para ser o organizador das atividades náuticas. Assinala a opção que apresenta a probabilidade de a pessoa selecionada preferir fazer atividades em rios.
(A) $\frac{1}{6}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{2}{3}$
7.2. Num dia dedicado a atividades náuticas, um grupo de turistas tem à sua escolha: quatro atividades em que se utiliza prancha (surf, bodyboard, windsurf e paddle) e duas atividades em que não se utiliza prancha (mergulho e canoagem).
O grupo pode escolher duas dessas atividades, mas estas têm de ser diferentes. A seleção será feita por sorteio. Qual é a probabilidade de as duas atividades sorteadas serem realizadas com prancha?
Resolução de 7.1:
Como são 6 amigos e 4 preferem o mar, os restantes $6 - 4 = 2$ preferem atividades em rios. A probabilidade de escolher um que prefere rios, pela Regra de Laplace, é:
Resolução de 7.2:
Existem no total $4 + 2 = 6$ atividades diferentes. O número total de pares de atividades diferentes (casos possíveis) é:
Queremos a probabilidade de ambas serem com prancha. Temos 4 atividades com prancha. O número de pares formados apenas por atividades com prancha (casos favoráveis) é:
A probabilidade pela Regra de Laplace é:
Com o objetivo de promover a sustentabilidade ambiental, um agrupamento de escolas está envolvido num projeto sobre energias renováveis. No agrupamento há 24 turmas, distribuídas da seguinte forma:
- 5.º ano: A, B, C, D, E, F (6 turmas)
- 6.º ano: A, B, C, D, E (5 turmas)
- 7.º ano: A, B, C, D, E, F (6 turmas)
- 8.º ano: A, B, C, D (4 turmas)
- 9.º ano: A, B, C (3 turmas)
8.1. Escolhe-se, ao acaso, uma turma do agrupamento. Qual das opções seguintes apresenta a probabilidade de a turma escolhida ser do 6.º ano?
(A) $\frac{5}{19}$ (B) $\frac{5}{24}$ (C) $\frac{1}{24}$ (D) $\frac{1}{5}$
8.2. Para participarem numa outra atividade, vão ser escolhidas, ao acaso, duas turmas: uma do 6.º ano e uma do 9.º ano. Qual é a probabilidade de as duas turmas escolhidas serem designadas pela mesma letra?
Resolução de 8.1:
No agrupamento existem 24 turmas no total (casos possíveis) e 5 turmas do 6.º ano (casos favoráveis). A probabilidade é $p = \frac{5}{24}$.
Resolução de 8.2:
O número total de pares formados por 1 turma do 6.º ano (que tem 5 turmas) e 1 turma do 9.º ano (que tem 3 turmas) é:
Os pares em que ambas são designadas pela mesma letra são apenas os das turmas A, B e C, ou seja: (6.º A e 9.º A), (6.º B e 9.º B), e (6.º C e 9.º C). Portanto, há 3 casos favoráveis.
A probabilidade pedida é:
9.1. A turma do João tem 23 alunos, dos quais 14 são raparigas. A diretora de turma vai escolher, ao acaso, um aluno da turma para receber as famílias. Qual é a probabilidade de o aluno escolhido ser um rapaz?
(A) $\frac{9}{23}$ (B) $\frac{1}{23}$ (C) $\frac{9}{14}$ (D) $\frac{1}{9}$
9.2. A turma do João vai preparar três atividades ao ar livre (L1, L2, L3) e duas atividades em sala de aula (S1, S2), todas diferentes. A Catarina, aluna da escola, vai participar apenas em duas dessas atividades, escolhidas ao acaso. Qual é a probabilidade de ela participar em duas atividades ao ar livre?
Apresenta o valor pedido na forma de fração irredutível.
Resolução de 9.1:
Como a turma do João tem 23 alunos, dos quais 14 são raparigas, o número de rapazes é $23 - 14 = 9$. Calculando a probabilidade, com recurso à Regra de Laplace, de ser selecionado um rapaz:
Resolução de 9.2:
No total existem 5 atividades. O número total de pares de atividades diferentes que a Catarina pode escolher é:
Para que ambas sejam ao ar livre, as duas atividades têm de ser escolhidas do grupo das 3 atividades ao ar livre. O número de pares possíveis formados apenas por atividades ao ar livre (L1+L2, L1+L3, L2+L3) é 3 (casos favoráveis).
Logo, a probabilidade é:
Uma agência de viagens organizou uma visita ao Centro Histórico de Guimarães, na qual participaram cinco famílias.
10.1. O dono da agência decidiu oferecer, por sorteio, um prémio de uma estada a uma das cinco famílias. A família da Beatriz é uma delas. Qual é a probabilidade de a família da Beatriz vir a ser premiada?
(A) $\frac{1}{3}$ (B) $\frac{1}{5}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{5}$
10.2. Nesta viagem participaram três raparigas (Ana, Bruna, Clara) e três rapazes (Daniel, Eduardo, Francisco). Vão ser sorteadas, ao acaso, duas entradas entre estes seis participantes. Qual é a probabilidade de o par contemplado ser constituído por uma rapariga e um rapaz?
Resolução de 10.1:
Recorrendo à Regra de Laplace, e verificando que o número de famílias que podem ganhar a oferta é 5 (casos possíveis), e que a Beatriz apenas pertence a uma delas (1 caso favorável), temos que a probabilidade é:
Resolução de 10.2:
Como são sorteados dois dos seis participantes, o número total de pares de pessoas (casos possíveis) é:
Para o par contemplado ser misto (uma rapariga e um rapaz), escolhe-se 1 das 3 raparigas e 1 dos 3 rapazes:
A probabilidade pela Regra de Laplace, na forma de fração irredutível, é:
O João tem dois dados cúbicos equilibrados, um azul e um vermelho, cada um com as faces numeradas de 1 a 6.
11.1. O João lança o dado azul. Qual é a probabilidade de obter a face com o número 5 voltada para cima?
11.2. O João lança os dois dados e regista os números obtidos nas duas faces voltadas para cima. Com estes dois números, o João forma um número de dois algarismos, em que o algarismo das dezenas é o número obtido no dado azul e o algarismo das unidades é o número obtido no dado vermelho. Qual é a probabilidade de o número formado ser um número ímpar inferior a 20?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Resolução de 11.1:
Recorrendo à Regra de Laplace, e verificando que o dado tem 6 faces (6 casos possíveis) e apenas uma tem o número 5 (1 caso favorável), temos que a probabilidade, escrita na forma de fração, é:
Resolução de 11.2:
O lançamento dos dois dados gera $6 \times 6 = 36$ resultados possíveis (36 números diferentes de dois algarismos, de 11 a 66).
Para que o número formado (onde a Dezena = Azul, e a Unidade = Vermelho) seja inferior a 20, o dado azul (dezena) tem obrigatoriamente de ser o número 1. Os números possíveis seriam: 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Para que o número seja simultaneamente ímpar, o dado vermelho (unidade) tem de ser um algarismo ímpar (1, 3 ou 5).
Os números formados que cumprem ambas as condições são: 11, 13 e 15 (existem 3 casos favoráveis).
Assim, recorrendo à Regra de Laplace, temos que a probabilidade é:
Na escola da Joana e do José, comemora-se o Dia Mundial da Árvore plantando árvores. As árvores a plantar são sorteadas ao acaso, estando disponíveis para cada turma 6 árvores: 3 sobreiros, 2 carvalhos e 1 azinheira.
12.1. A turma da Joana vai plantar uma árvore. Qual é a probabilidade de a turma da Joana plantar uma azinheira?
12.2. A turma do José vai plantar duas árvores. Qual é a probabilidade de a turma do José plantar dois sobreiros?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Resolução de 12.1:
Recorrendo à Regra de Laplace, e verificando que estão 6 árvores disponíveis (6 casos possíveis) e que há apenas 1 azinheira (1 caso favorável), temos que a probabilidade é:
Resolução de 12.2:
Como a turma do José vai plantar duas árvores tiradas do conjunto de 6, o número total de pares de árvores que podem ser escolhidos é:
Como existem 3 sobreiros, o número de maneiras de escolher 2 sobreiros (casos favoráveis) é:
A probabilidade pedida, escrita na forma de uma fração irredutível, é:
Cinco amigos, a Ana, o Bruno, a Carla, o David e a Elsa, foram à praia.
13.1. A certa altura, decidiram jogar voleibol de praia. Como as equipas são de pares, vão sortear, ao acaso, um dos cinco amigos para ser o árbitro. Qual é a probabilidade de a Ana ser selecionada?
13.2. Depois do jogo, para irem tomar banho de mar, vão sortear, ao acaso, dois dos cinco amigos para vigiarem os pertences de todos. Qual é a probabilidade de serem selecionados um rapaz e uma rapariga?
Resolução de 13.1:
Recorrendo à Regra de Laplace, e verificando que são 5 amigos (5 casos possíveis), e a Ana é apenas uma deles (1 caso favorável), a probabilidade é:
Resolução de 13.2:
Como são escolhidos 2 dos 5 amigos, o número total de pares possíveis é:
O grupo tem 2 rapazes (Bruno e David) e 3 raparigas (Ana, Carla e Elsa). Para o par ser composto por um rapaz e uma rapariga, o número de pares favoráveis é:
A probabilidade pedida, na forma de fração irredutível, é:
Numa certa atividade, participaram dez alunos, rapazes e raparigas, distribuídos por três equipas, A, B e C, de acordo com a tabela seguinte.
| Equipa A | Equipa B | Equipa C | |
|---|---|---|---|
| Rapazes | 2 | 2 | 1 |
| Raparigas | 1 | 2 | 2 |
14.1. Sabe-se que, numa destas equipas, ao selecionar ao acaso um dos seus elementos, a probabilidade de o elemento selecionado ser rapariga é 50%. Identifica essa equipa.
14.2. Vão ser selecionados, ao acaso, para capitães de equipa, um elemento da equipa A e um elemento da equipa B. Qual é a probabilidade de os dois capitães serem ambos rapazes?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Resolução de 14.1:
Para que a probabilidade de escolher uma rapariga seja 50%, a equipa tem de ter o mesmo número de rapazes e raparigas. Observando a tabela, a única equipa com esta característica é a Equipa B (que tem 2 rapazes e 2 raparigas).
Resolução de 14.2:
A Equipa A tem no total $2 + 1 = 3$ elementos. A Equipa B tem no total $2 + 2 = 4$ elementos. O número total de pares de capitães (um de cada equipa) é:
Para que os dois capitães sejam rapazes, temos de escolher um rapaz da Equipa A (há 2 disponíveis) e um rapaz da Equipa B (também há 2 disponíveis). O número de combinações de rapazes é:
Calculando a probabilidade pela Regra de Laplace:
A Carolina colocou numa caixa os sete cartões com os dias da semana (2.ª feira, 3.ª feira, 4.ª feira, 5.ª feira, 6.ª feira, sábado, domingo), todos indistinguíveis ao tato.
15.1. A Carolina vai extrair, ao acaso, um dos cartões. Qual é a probabilidade de extrair o cartão com a palavra «sábado»?
15.2. A Carolina pretende visitar, em dias da semana distintos, o Oceanário e o Planetário. Para selecionar esses dias, vai extrair, ao acaso e em simultâneo, dois dos sete cartões que estão na caixa.
Qual é a probabilidade de os cartões extraídos não conterem a palavra «sábado» nem a palavra «domingo»?
Resolução de 15.1:
A caixa tem 7 cartões no total (casos possíveis) e apenas 1 contém a palavra «sábado». Pela Regra de Laplace, a probabilidade é:
Resolução de 15.2:
Como são extraídos dois cartões simultaneamente de um grupo de 7, a ordem não importa. O número total de pares que podem sair (casos possíveis) é:
A Carolina quer que nenhum dos cartões extraídos contenha as palavras «sábado» ou «domingo». Ou seja, os dois cartões extraídos têm de ser dias úteis (da 2.ª à 6.ª feira).
Como existem 5 dias úteis, o número de pares que se podem formar apenas com esses dias (casos favoráveis) é:
A probabilidade pedida, na forma de fração irredutível, é:
Na aula de Educação Física, a professora dividiu os alunos da turma do Daniel em seis grupos.
16.1. Para praticar atletismo, a professora vai sortear, ao acaso, um desses grupos. Qual é a probabilidade de o grupo do Daniel ser selecionado?
Apresenta o resultado na forma de fração.
16.2. Depois do sorteio, sobraram cinco grupos, que foram numerados de 1 a 5. A professora vai sortear, ao acaso, dois destes cinco grupos para jogarem futebol.
Qual é a probabilidade de o grupo com o número 1 ser um dos grupos selecionados? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Resolução de 16.1:
Recorrendo à Regra de Laplace, e verificando que existem 6 grupos (6 casos possíveis) e o grupo do Daniel é apenas 1 (1 caso favorável), temos:
Resolução de 16.2:
Como dois grupos são sorteados simultaneamente de um conjunto de 5, podemos organizar todos os pares de grupos possíveis numa tabela:
| Grupo 1 | Grupo 2 | Grupo 3 | Grupo 4 | Grupo 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Grupo 1 | - | (1 e 2) | (1 e 3) | (1 e 4) | (1 e 5) |
| Grupo 2 | - | - | (2 e 3) | (2 e 4) | (2 e 5) |
| Grupo 3 | - | - | - | (3 e 4) | (3 e 5) |
| Grupo 4 | - | - | - | - | (4 e 5) |
Existem 10 pares diferentes que podem ser sorteados. Destes 10 pares, 4 incluem o Grupo 1. Assim, pela Regra de Laplace:
A turma da Ana tem 29 alunos, distribuídos por género e por idade, de acordo com a tabela seguinte.
| 15 anos | 16 anos | 17 anos | |
|---|---|---|---|
| Raparigas | 8 | 5 | 3 |
| Rapazes | 3 | 8 | 2 |
Um bilhete para uma peça de teatro vai ser sorteado entre todos os alunos desta turma. Qual é a probabilidade de o aluno contemplado com o bilhete ser um rapaz?
Apresenta a probabilidade pedida na forma de fração.
Observando a tabela, o número total de rapazes na turma da Ana é $3 + 8 + 2 = 13$ (casos favoráveis).
Como existem 29 alunos no total (casos possíveis), calculando a probabilidade com recurso à Regra de Laplace, temos:
Estão representadas duas circunferências, $c_1$ e $c_2$, e três pontos A, B e C, tais que:
- o ponto A pertence à circunferência $c_1$;
- o ponto B pertence à circunferência $c_2$;
- o ponto C pertence às circunferências $c_1$ e $c_2$.
A Diana vai escolher, ao acaso, um dos três pontos, e o Eduardo também vai escolher, ao acaso, um dos três pontos.
Qual é a probabilidade de os pontos escolhidos pertencerem à mesma circunferência? Apresenta a probabilidade na forma de fração e mostra como chegaste à resposta.
Podemos organizar todos os pares de escolhas possíveis entre a Diana e o Eduardo numa tabela de dupla entrada:
| Diana \ Eduardo | Ponto A | Ponto B | Ponto C |
|---|---|---|---|
| Ponto A | (A, A) | (A, B) | (A, C) |
| Ponto B | (B, A) | (B, B) | (B, C) |
| Ponto C | (C, A) | (C, B) | (C, C) |
No total existem $3 \times 3 = 9$ pares possíveis.
Para que os pontos escolhidos pertençam à mesma circunferência, eles devem ser:
- Ambos na $c_1$ (A e C): (A,A), (A,C), (C,A), (C,C)
- Ambos na $c_2$ (B e C): (B,B), (B,C), (C,B), (C,C)
Contando os pares sem repetições (nota: o par (C,C) é contabilizado apenas uma vez no total de casos), os pares favoráveis são: (A,A), (B,B), (C,C), (A,C), (C,A), (B,C), (C,B). Temos assim 7 casos favoráveis.
Calculando a probabilidade pela Regra de Laplace:
Um histograma representa a distribuição da massa corporal de um grupo de alunos. As classes e as frequências relativas (em percentagem) são as seguintes:
- [40, 45[ : $k$ %
- [45, 50[ : 17 %
- [50, 55[ : 24 %
- [55, 60[ : 29 %
- [60, 65[ : 22 %
Seleciona-se, ao acaso, um dos alunos do grupo. Qual é a probabilidade de a sua massa corporal ser inferior a 45 kg?
(A) 6% (B) 7% (C) 8% (D) 9%
A probabilidade de um aluno ter massa corporal inferior a 45 kg (ou seja, pertencer à classe [40, 45[) corresponde exatamente à frequência relativa $k$ dessa classe.
A soma de todas as frequências relativas tem de ser 100%. Assim, resolvemos a equação para $k$:
Logo, a probabilidade é de 8%.
Um grupo de quatro alunos, constituído por duas raparigas e dois rapazes, realizou um trabalho na disciplina de Matemática.
A professora vai sortear dois dos elementos do grupo para fazerem a apresentação do trabalho à turma.
Qual é a probabilidade de o par escolhido ser constituído por uma rapariga e um rapaz? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível e mostra como chegaste à resposta.
Como dois alunos são sorteados em simultâneo (a ordem não interessa), podemos organizar todos os pares possíveis numa tabela. Vamos identificar os alunos como $M_1, M_2$ (raparigas) e $H_1, H_2$ (rapazes).
| Rapariga 1 ($M_1$) | Rapariga 2 ($M_2$) | Rapaz 1 ($H_1$) | Rapaz 2 ($H_2$) | |
|---|---|---|---|---|
| Rapariga 1 ($M_1$) | - | ($M_1, M_2$) | ($M_1, H_1$) | ($M_1, H_2$) |
| Rapariga 2 ($M_2$) | - | - | ($M_2, H_1$) | ($M_2, H_2$) |
| Rapaz 1 ($H_1$) | - | - | - | ($H_1, H_2$) |
Existem 6 pares possíveis no total. Destes, os pares mistos (uma rapariga e um rapaz) são: ($M_1, H_1$), ($M_1, H_2$), ($M_2, H_1$) e ($M_2, H_2$), totalizando 4 pares.
Calculando a probabilidade pela Regra de Laplace:
Na escola da Eduarda e do Daniel, vão ser realizadas sessões de divulgação de cursos de Espanhol e de Alemão. Essas sessões distribuem-se de acordo com o horário seguinte.
| Sala 3 | Sala 4 | Sala 5 | |
|---|---|---|---|
| 15h30 - 16h30 | Espanhol | Espanhol | Espanhol |
| 17h00 - 18h00 | Alemão | Alemão |
21.1. A Eduarda pretende assistir a uma sessão de divulgação do curso de Espanhol e vai escolher, ao acaso, uma sala. Qual é a probabilidade de a Eduarda escolher uma sala com número par?
21.2. O Daniel pretende assistir a uma sessão de divulgação de cada um dos cursos e vai escolher, ao acaso, uma sala para assistir à sessão de Espanhol e uma sala para assistir à sessão de Alemão. Qual é a probabilidade de o Daniel escolher salas com números diferentes?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível e mostra como chegaste à resposta.
Resolução de 21.1:
Para o curso de Espanhol existem 3 salas (salas 3, 4 e 5), ou seja, 3 casos possíveis. Apenas uma destas salas tem um número par (a sala 4), o que corresponde a 1 caso favorável.
Resolução de 21.2:
O Daniel tem de escolher uma sala para Espanhol (Salas 3, 4 ou 5) e uma sala para Alemão (Salas 3 ou 4). Podemos organizar as combinações numa tabela:
| Espanhol \ Alemão | Sala 3 | Sala 4 |
|---|---|---|
| Sala 3 | (3, 3) | (3, 4) |
| Sala 4 | (4, 3) | (4, 4) |
| Sala 5 | (5, 3) | (5, 4) |
Existem 6 combinações possíveis. Destas, as combinações em que as salas são iguais são (3, 3) e (4, 4). Portanto, existem $6 - 2 = 4$ combinações com salas diferentes.
A probabilidade pedida é:
A Luísa tem um saco que contém três bolas numeradas: uma com 2, outra com 3 e outra com 5.
O Pedro tem outro saco que contém três bolas numeradas: uma com 15, outra com 20 e outra com 30.
22.1. A Luísa retira, ao acaso, uma bola do seu saco. Qual é a probabilidade de retirar uma bola com número par?
22.2. Considera que o saco da Luísa contém novamente as três bolas. A Luísa retira duas bolas do seu saco, multiplica os números e verifica que obteve um produto ímpar.
Em seguida, o Pedro retira, ao acaso, uma bola do seu saco. Qual é a probabilidade de a bola retirada pelo Pedro ter um número superior ao produto obtido pela Luísa?
Resolução de 22.1:
O saco da Luísa tem 3 bolas. O único número par é o 2. Logo, existe 1 caso favorável em 3 casos possíveis.
Resolução de 22.2:
A Luísa retirou duas bolas e o produto foi ímpar. Como o saco tem os números {2, 3, 5}, o único par cujo produto é ímpar é (3, 5), uma vez que qualquer produto envolvendo o 2 seria par. O produto que a Luísa obteve é $3 \times 5 = 15$.
O Pedro vai retirar uma bola do seu saco {15, 20, 30}. Queremos a probabilidade do número ser superior a 15. As bolas superiores a 15 são a 20 e a 30 (2 casos favoráveis em 3 casos possíveis).
A probabilidade pedida é:
Num saco, A, estão três bolas numeradas de 1 a 3, indistinguíveis ao tato.
23.1. Retira-se, ao acaso, uma bola do saco A. Qual é a probabilidade de retirar a bola com o número 2?
23.2. Num outro saco, B, estão duas bolas: uma com a palavra «adição» e a outra com a palavra «multiplicação».
Retiram-se, simultaneamente, duas bolas do saco A e uma bola do saco B. Em seguida, efetua-se a operação indicada no saco B entre os dois números do saco A. Qual é a probabilidade de o valor obtido ser igual a 4?
(A) $\frac{1}{8}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $\frac{1}{2}$
Resolução de 23.1:
Existem 3 bolas no saco A (casos possíveis) e apenas 1 bola com o número 2 (caso favorável). Logo, a probabilidade é $\frac{1}{3}$.
Resolução de 23.2:
Retirar duas bolas do Saco A (com números 1, 2, 3) gera as seguintes combinações: (1, 2), (1, 3) ou (2, 3).
Associando cada um destes 3 pares às 2 operações possíveis do saco B, obtemos 6 resultados no total:
- (1, 2) e adição $\rightarrow 1 + 2 = 3$
- (1, 2) e multiplicação $\rightarrow 1 \times 2 = 2$
- (1, 3) e adição $\rightarrow 1 + 3 = 4$ (Caso Favorável!)
- (1, 3) e multiplicação $\rightarrow 1 \times 3 = 3$
- (2, 3) e adição $\rightarrow 2 + 3 = 5$
- (2, 3) e multiplicação $\rightarrow 2 \times 3 = 6$
Verificamos que o valor 4 apenas se obtém em 1 das 6 alternativas. A probabilidade é $\frac{1}{6}$.
O António e a Beatriz estão a jogar um jogo de dados. Em cada jogada, cada um lança um dado numerado de 1 a 6. Vence aquele cujo dado apresente o maior número. Se apresentarem o mesmo número, é empate.
24.1. O António lançou o dado e obteve o número 5. Qual é a probabilidade de a Beatriz vencer esta jogada?
24.2. O António e a Beatriz lançam novamente os dados. Qual é a probabilidade de o António vencer esta nova jogada? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Resolução de 24.1:
Para a Beatriz vencer contra o 5 do António, ela tem de tirar um número superior. O único número possível é o 6. A probabilidade de sair 6 é $\frac{1}{6}$.
Resolução de 24.2:
Organizando todos os lançamentos possíveis numa tabela de dupla entrada, existem $6 \times 6 = 36$ resultados totais.
| Beatriz \ António | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Empate | António | António | António | António | António |
| 2 | Beatriz | Empate | António | António | António | António |
| 3 | Beatriz | Beatriz | Empate | António | António | António |
| 4 | Beatriz | Beatriz | Beatriz | Empate | António | António |
| 5 | Beatriz | Beatriz | Beatriz | Beatriz | Empate | António |
| 6 | Beatriz | Beatriz | Beatriz | Beatriz | Beatriz | Empate |
Contando os casos em que o António vence (células marcadas como António), temos: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 casos favoráveis.
Pela Regra de Laplace:
Na festa de anos do Miguel, perguntou-se aos 16 convidados se gostavam de mousse de chocolate e se gostavam de gelatina.
O diagrama de Venn revelou o seguinte:
- Gostam apenas de mousse: Inês, João, Pedro, Dulce (4 pessoas)
- Gostam de ambas as sobremesas: Ana, Paulo, Rui (3 pessoas)
- Gostam apenas de gelatina: Maria, Rosa, José, Tomé, Tiago (5 pessoas)
- Não gostam de nenhuma: Carla, Jorge, Eduardo, André (4 pessoas)
Escolhe-se, ao acaso, um dos convidados que gostam de gelatina. Qual é a probabilidade de esse convidado também gostar de mousse de chocolate?
(A) 25% (B) 37,5% (C) 50% (D) 62,5%
O total de convidados que gosta de gelatina (casos possíveis) engloba os que gostam apenas de gelatina (5) e os que gostam de ambas (3), num total de 8 pessoas.
Destes 8, os que também gostam de mousse (casos favoráveis) são os que estão na interseção (Ana, Paulo, Rui), ou seja, 3 pessoas.
A probabilidade é:
Num saco, estão quatro cartões numerados: 2, 5, 7 e 8.
26.1. Retira-se, ao acaso, um cartão e observa-se o número. Considera o acontecimento A: «sair o número oito». Qual é a probabilidade do acontecimento contrário de A?
26.2. A Maria retira, simultaneamente e ao acaso, dois cartões e multiplica os seus números. Qual é a probabilidade de o produto ser ímpar?
Resolução de 26.1:
O acontecimento contrário é $\overline{A}$: «não sair o número oito». Existem 4 cartões (casos possíveis) e 3 deles não têm o número 8 (casos favoráveis). A probabilidade é $\frac{3}{4}$.
Resolução de 26.2:
O número de combinações possíveis ao tirar dois cartões de um total de 4 é:
Os produtos são: (2,5), (2,7), (2,8), (5,7), (5,8) e (7,8).
Um produto é ímpar apenas se ambos os números forem ímpares. No saco os ímpares são o 5 e o 7. Apenas a combinação (5,7) gera um produto ímpar ($35$). Temos 1 caso favorável.
A probabilidade é:
Na tabela, apresenta-se a distribuição das alturas de 25 alunos do 9.º ano. Existem quatro alunos cujas alturas são $a$, sendo $a > 160$.
| Altura (cm) | 150 | 154 | 156 | 160 | $a$ |
|---|---|---|---|---|---|
| N.º de alunos | 6 | 3 | 2 | 10 | 4 |
Escolhe-se, ao acaso, um dos 25 alunos. Qual é a probabilidade de o aluno escolhido ter altura inferior a 155 cm? Apresenta o resultado na forma de percentagem.
Os alunos que medem menos de 155 cm são os que medem 150 cm e 154 cm. O número de alunos com essas alturas é:
O total de alunos é 25 (casos possíveis). A probabilidade pedida é:
Na escola, há duas turmas do 2.º ciclo: uma do 5.º ano e outra do 6.º ano. A turma do 5.º ano tem 20 alunos e a do 6.º ano tem 30 alunos.
Vai ser sorteada uma assinatura de uma revista. Cada aluno do 5.º ano recebe uma rifa e cada aluno do 6.º ano recebe duas rifas. Qual é a probabilidade de a rifa premiada pertencer a um aluno do 6.º ano?
O número de rifas distribuídas aos alunos do 5.º ano é $20 \times 1 = 20$.
O número de rifas distribuídas aos alunos do 6.º ano é $30 \times 2 = 60$.
O número total de rifas (casos possíveis) é $20 + 60 = 80$.
A probabilidade de a rifa premiada pertencer a um aluno do 6.º ano (60 casos favoráveis) é:
Num gráfico que representa a distribuição das cores dos olhos de uma turma, observamos:
- 10 alunos com olhos castanhos
- 5 alunos com olhos azuis
- 7 alunos com olhos verdes
Escolhe-se, ao acaso, um aluno. Qual é a probabilidade de ele ter olhos azuis?
O número total de alunos (casos possíveis) é $10 + 5 + 7 = 22$.
O número de alunos com olhos azuis (casos favoráveis) é 5.
A probabilidade de escolher um aluno com olhos azuis é:
O casal Silva tem três filhos: duas raparigas e um rapaz. Os três vão dispor-se lado a lado, ao acaso, para uma fotografia. Qual é a probabilidade de as duas raparigas ficarem juntas?
(A) $\frac{1}{3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{4}$
Designando as raparigas por $M_1$ e $M_2$ e o rapaz por $H$, podemos organizar uma lista com todas as ordens possíveis para a fotografia (permutações):
- $H, M_1, M_2$ (raparigas juntas)
- $H, M_2, M_1$ (raparigas juntas)
- $M_1, H, M_2$
- $M_2, H, M_1$
- $M_1, M_2, H$ (raparigas juntas)
- $M_2, M_1, H$ (raparigas juntas)
O número de casos possíveis é 6. Em 4 destas posições as raparigas estão lado a lado (casos favoráveis).
Calculando a probabilidade:
Num saco estão três bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 3.
O João retira, ao acaso, uma bola do saco, regista o número da bola e repõe a bola no saco. Em seguida, retira novamente, ao acaso, uma bola do saco e regista o respetivo número.
Qual é a probabilidade de a soma dos dois números registados ser um número par? Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o resultado na forma de fração.
Como a primeira bola é reposta no saco, na segunda extração as bolas disponíveis são as mesmas (1, 2 e 3). Podemos organizar as somas possíveis numa tabela de dupla entrada:
| Soma (+) | 1.ª Tiragem: 1 | 1.ª Tiragem: 2 | 1.ª Tiragem: 3 |
|---|---|---|---|
| 2.ª Tiragem: 1 | 1 + 1 = 2 | 2 + 1 = 3 | 3 + 1 = 4 |
| 2.ª Tiragem: 2 | 1 + 2 = 3 | 2 + 2 = 4 | 3 + 2 = 5 |
| 2.ª Tiragem: 3 | 1 + 3 = 4 | 2 + 3 = 5 | 3 + 3 = 6 |
Observando a tabela, o número total de resultados possíveis é $3 \times 3 = 9$.
Os casos favoráveis (em que a soma é um número par) são os resultados: 2, 4, 4, 4, 6. Ou seja, existem 5 casos favoráveis.
Calculando a probabilidade com recurso à Regra de Laplace:
O Carlos tem uma roleta dividida em quatro setores circulares iguais, numerados de 1 a 4.
O Carlos roda a roleta duas vezes consecutivas e regista os números obtidos.
Qual é a probabilidade de a soma dos dois números registados ser igual a 5?
Apresenta a probabilidade na forma de fração irredutível.
A roleta é rodada duas vezes, podendo sair os números 1, 2, 3 ou 4 em cada vez. Organizamos as somas numa tabela:
| Soma (+) | Roda 1 | Roda 2 | Roda 3 | Roda 4 |
|---|---|---|---|---|
| Roda 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Roda 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Roda 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Roda 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
O número total de resultados possíveis é $4 \times 4 = 16$.
Os casos em que a soma é 5 são as combinações (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1). Existem 4 casos favoráveis.
Numa turma de 9.º ano, existem 30 alunos. Sabe-se que 20 são raparigas e os restantes são rapazes.
O diretor de turma vai escolher, ao acaso, um aluno para ser o delegado de turma. Qual é a probabilidade de o aluno escolhido ser um rapaz?
(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{1}{30}$
O número total de alunos (casos possíveis) é 30.
O número de raparigas é 20. Logo, o número de rapazes (casos favoráveis) é $30 - 20 = 10$.
Aplicando a Regra de Laplace, a probabilidade de o delegado escolhido ser rapaz é:
Escreveu-se a palavra MATEMATICA em 10 cartões, colocando-se uma letra em cada cartão.
Os cartões foram colocados dentro de um saco. A Maria vai retirar, ao acaso, um cartão do saco.
Qual é a probabilidade de a Maria retirar um cartão com uma vogal?
A palavra M-A-T-E-M-A-T-I-C-A tem um total de 10 letras (10 casos possíveis).
As vogais presentes na palavra são: A, E, A, I, A. Existem 5 vogais (5 casos favoráveis).
Calculando a probabilidade com a Regra de Laplace:
O saco A contém 10 bolas: 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. As bolas são indistinguíveis ao tato.
Retira-se, ao acaso, uma bola do saco.
Qual é a probabilidade de a bola retirada ser azul?
Apresenta a probabilidade na forma de fração.
O número total de bolas no saco é 10 (casos possíveis).
O número de bolas azuis é 6 (casos favoráveis).
A probabilidade de retirar uma bola azul, na forma de fração irredutível, é:
Um casal planeia ter três filhos. Admitindo que a probabilidade de nascer rapaz é igual à probabilidade de nascer rapariga, qual é a probabilidade de o casal vir a ter exatamente duas raparigas e um rapaz?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Podemos representar todos os resultados possíveis através de um diagrama de árvore ou listando os casos. Designando Rapaz por $H$ e Rapariga por $M$:
- (H, H, H)
- (H, H, M)
- (H, M, H)
- (H, M, M) - Exatamente 2 raparigas
- (M, H, H)
- (M, H, M) - Exatamente 2 raparigas
- (M, M, H) - Exatamente 2 raparigas
- (M, M, M)
Existem $2 \times 2 \times 2 = 8$ casos possíveis no total.
Os casos favoráveis (duas raparigas e um rapaz) são 3.
A probabilidade pedida é:
Numa caixa, estão 10 cartões numerados de 1 a 10. Baralham-se os cartões e tira-se um ao acaso.
Qual é a probabilidade de o número do cartão retirado ser um múltiplo de 3?
Os números possíveis (casos possíveis) são 10: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Dentro deste conjunto, os múltiplos de 3 (casos favoráveis) são: 3, 6 e 9. Existem 3 casos favoráveis.
Pela Regra de Laplace, a probabilidade é:
Na prateleira do quarto da Inês há 5 CD de música rock e 3 CD de música pop. A Inês vai escolher, ao acaso, um CD.
Qual é a probabilidade de o CD escolhido ser de música pop?
O número total de CD na prateleira (casos possíveis) é $5 + 3 = 8$.
O número de CD de música pop (casos favoráveis) é 3.
A probabilidade pedida é:
O Tiago lança em simultâneo duas moedas equilibradas (uma de 1 euro e outra de 2 euros).
Qual é a probabilidade de obter faces diferentes nas duas moedas?
Numa moeda pode sair Cara (C) ou Coroa (X). Lançando duas moedas, os resultados possíveis são:
- (C, C)
- (C, X) - Faces diferentes
- (X, C) - Faces diferentes
- (X, X)
Temos 4 casos possíveis e 2 casos favoráveis.
Uma caixa tem três bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 3. Retiram-se da caixa, simultaneamente e ao acaso, duas bolas.
Qual é a probabilidade de a soma dos números das duas bolas retiradas ser igual a 5?
Como as duas bolas são retiradas em simultâneo, a ordem não importa e não há reposição. As bolas numeradas são {1, 2, 3}.
Os pares de bolas que se podem formar são:
- Bolas (1 e 2) $\rightarrow$ Soma = 3
- Bolas (1 e 3) $\rightarrow$ Soma = 4
- Bolas (2 e 3) $\rightarrow$ Soma = 5 (Caso Favorável)
Existem 3 pares possíveis no total. Apenas 1 par dá soma 5.
A probabilidade é:
Escolhe-se, ao acaso, um número natural de 1 a 20. Qual é a probabilidade de o número escolhido ser um divisor de 20?
(A) $\frac{1}{5}$ (B) $\frac{3}{10}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $\frac{7}{20}$
Existem 20 números naturais possíveis de 1 a 20 (casos possíveis).
Os divisores de 20 compreendidos entre 1 e 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Existem 6 casos favoráveis.
A probabilidade é:
Num saco estão 10 cartões, numerados de 1 a 10. Tira-se, ao acaso, um cartão do saco.
Qual é a probabilidade de o número do cartão retirado ser um número primo?
Existem 10 cartões no saco (casos possíveis).
Os números primos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. O número 1 não é primo. Logo, existem 4 casos favoráveis.
Calculando a probabilidade, temos:
Num jogo, roda-se um pião numerado de 1 a 5 e regista-se o número que a base do pião indica quando para.
Qual é a probabilidade de, numa jogada, o pião parar num número par?
O pião tem 5 números possíveis: {1, 2, 3, 4, 5} (5 casos possíveis).
Os números pares neste conjunto são o 2 e o 4 (2 casos favoráveis).
A probabilidade pedida é:
Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, distribuídas por 4 naipes diferentes. Em cada naipe há um Rei.
Tira-se uma carta ao acaso. Qual é a probabilidade de a carta retirada ser um Rei?
O baralho tem um total de 52 cartas (casos possíveis).
Sendo que há 4 naipes e 1 Rei por naipe, existem no total 4 Reis no baralho (casos favoráveis).
A probabilidade é:
Na turma do Paulo, há 15 alunos cujas idades estão distribuídas da seguinte forma:
- 5 alunos têm 14 anos
- 10 alunos têm 15 anos
Escolhendo um aluno da turma ao acaso, qual é a probabilidade de esse aluno ter 15 anos?
O número total de alunos na turma (casos possíveis) é $5 + 10 = 15$.
O número de alunos com 15 anos (casos favoráveis) é 10.
A probabilidade pedida, simplificada, é:
O João tem num saco várias bolas indistinguíveis ao tato. O saco contém apenas bolas azuis, vermelhas e verdes.
Sabe-se que a probabilidade de tirar ao acaso uma bola azul é $\frac{1}{2}$ e a probabilidade de tirar uma bola vermelha é $\frac{1}{3}$.
Qual é a probabilidade de, tirando uma bola ao acaso, sair uma bola verde?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
A soma das probabilidades de todos os acontecimentos elementares possíveis de uma experiência aleatória é igual a 1 (ou 100%).
Como o saco apenas contém bolas azuis, vermelhas e verdes, a probabilidade de sair bola verde é a diferença entre 1 e a soma das probabilidades das outras cores:
Reduzindo as frações ao mesmo denominador:
Num jogo, o André lança simultaneamente dois dados cúbicos perfeitos e numerados de 1 a 6. Em seguida, soma os pontos obtidos nas faces viradas para cima.
Qual é a probabilidade de a soma obtida pelo André ser igual a 7?
Ao lançar dois dados, o número total de combinações possíveis é $6 \times 6 = 36$ (casos possíveis).
Para a soma ser igual a 7, os pares de resultados (Dado 1, Dado 2) devem ser:
- (1, 6) e (6, 1)
- (2, 5) e (5, 2)
- (3, 4) e (4, 3)
Existem 6 casos favoráveis.
Calculando a probabilidade, com a Regra de Laplace:
Numa caixa estão 5 bolas brancas e algumas bolas pretas, todas do mesmo tamanho e material.
Sabe-se que, ao retirar uma bola ao acaso da caixa, a probabilidade de ela ser branca é $\frac{1}{4}$.
Quantas bolas pretas estão na caixa?
Pela Regra de Laplace, a probabilidade é igual a $\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$.
Os casos favoráveis para sair bola branca correspondem ao número de bolas brancas: 5.
Temos então a equação em que $T$ é o número Total de bolas:
Resolvendo a proporção, obtemos $T = 5 \times 4 = 20$ bolas no total.
Se há 20 bolas no total e 5 são brancas, o número de bolas pretas é:
Considera a palavra PROBABILIDADE. Escreve-se cada uma das letras da palavra num cartão e colocam-se todos os cartões dentro de um saco.
A Rita retira um cartão ao acaso. Qual é a probabilidade de retirar um cartão com uma vogal?
A palavra P-R-O-B-A-B-I-L-I-D-A-D-E tem um total de 13 letras (13 casos possíveis).
As vogais presentes na palavra são: O, A, I, I, A, E. Contamos um total de 6 vogais (6 casos favoráveis).
Aplicando a Regra de Laplace, a probabilidade pedida é:
Numa urna existem várias bolas com as cores primárias: amarela, magenta e ciano. Retirando uma bola ao acaso, sabe-se que a probabilidade de sair amarela é 50% e de sair magenta é 20%.
Sabendo que existem 6 bolas de cor ciano na urna, qual é o número total de bolas na urna?
A soma das probabilidades de todas as cores tem de ser 100%. Assim, a probabilidade de retirar uma bola ciano é:
Sabe-se que 30% do total de bolas corresponde às 6 bolas de cor ciano. Podemos usar uma regra de três simples para achar o Total ($T$):
Um saco opaco contém rebuçados de morango, limão e laranja, todos com o mesmo aspeto exterior e tamanho. Retira-se um rebuçado ao acaso.
A probabilidade de sair um rebuçado de morango é de $\frac{1}{5}$ e a de sair limão é de $\frac{3}{10}$. Qual é a probabilidade de sair um rebuçado de laranja?
Apresenta o resultado em percentagem.
A probabilidade total é 1 (ou 100%). Primeiro, podemos converter as frações dadas para percentagem, para facilitar os cálculos:
Como só existem estas três opções, a probabilidade de sair um rebuçado de laranja é o valor remanescente:
O João lança três moedas perfeitas ao mesmo tempo. Cada moeda tem as faces "Cara" e "Coroa".
Qual é a probabilidade de o João obter exatamente duas "Caras"?
Lançar 3 moedas origina os seguintes casos possíveis (representando Cara por C e Coroa por X):
- (C, C, C)
- (C, C, X) - (2 Caras)
- (C, X, C) - (2 Caras)
- (C, X, X)
- (X, C, C) - (2 Caras)
- (X, C, X)
- (X, X, C)
- (X, X, X)
O número total de resultados possíveis é $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Existem 3 casos em que saem exatamente duas Caras (casos favoráveis).
Pela Regra de Laplace, a probabilidade é:
Numa turma de 25 alunos, fez-se um levantamento dos animais de estimação que cada um possui em casa. Verificou-se que:
- 15 alunos têm um cão;
- 12 alunos têm um gato;
- 5 alunos têm cão e gato.
Escolhendo um aluno ao acaso desta turma, qual é a probabilidade de ele não possuir nenhum destes dois animais?
Podemos recorrer a um Diagrama de Venn ou à lógica dos conjuntos para resolver este problema.
O número de alunos que têm pelo menos um destes animais é dado pela soma dos que têm cão com os que têm gato, subtraindo os que têm ambos (pois foram contados duas vezes):
Como a turma tem 25 alunos no total, os alunos que não possuem nenhum dos animais são:
Calculando a probabilidade:
O Diogo tem um baralho de cartas completo (52 cartas, 4 naipes de 13 cartas). Ele baralha as cartas e tira uma ao acaso.
Qual é a probabilidade de o Diogo retirar uma "Figura" (Rei, Dama ou Valete)?
Um baralho tem 52 cartas (casos possíveis).
As figuras de um baralho são o Rei, a Dama e o Valete. Como existem 4 naipes e 3 figuras por naipe, o número total de figuras no baralho é:
Aplicando a Regra de Laplace e simplificando a fração, obtemos:
Num saco estão 20 bolas numeradas de 1 a 20. O Rui tira uma bola ao acaso.
Qual é a probabilidade de sair um número que seja, simultaneamente, par e primo?
O saco tem 20 bolas numeradas (20 casos possíveis).
Analisando os números de 1 a 20 que satisfazem as condições:
- Números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
- Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
A única bola que possui um número simultaneamente par e primo é a bola com o número 2. Existe apenas 1 caso favorável.
A probabilidade é:
Uma mesa tem 4 cadeiras dispostas em linha, numeradas de 1 a 4. O Manuel e a Sara chegam e escolhem, ao acaso, cada um a sua cadeira.
Qual é a probabilidade de eles ficarem sentados em cadeiras adjacentes (lado a lado)?
O número de cadeiras é 4. Para sentar 2 pessoas, podemos pensar simplesmente no número de pares diferentes de cadeiras que podem ser escolhidos:
Os 6 pares de cadeiras são: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) e (3,4).
Para o Manuel e a Sara ficarem sentados lado a lado, as cadeiras têm de ter números consecutivos. Os pares de cadeiras adjacentes são: (1,2), (2,3) e (3,4). Existem 3 casos favoráveis.
Pela Regra de Laplace:
O João tem no bolso três moedas indistinguíveis ao tato: duas de 1 € e uma de 2 €. Ele retira, simultaneamente, duas moedas do bolso.
Qual é a probabilidade de a quantia retirada perfazer o valor exato de 2 euros?
Designando as três moedas por: M1 (1€), M2 (1€) e M3 (2€). O João vai retirar 2 moedas, originando as seguintes combinações de pares (casos possíveis):
- (M1, M2) $\rightarrow$ Valor: 1€ + 1€ = 2€
- (M1, M3) $\rightarrow$ Valor: 1€ + 2€ = 3€
- (M2, M3) $\rightarrow$ Valor: 1€ + 2€ = 3€
Temos um total de 3 pares possíveis. Destes, apenas 1 par (M1 com M2) perfaz o valor exato de 2 euros.
A probabilidade pedida é:
Num saco há 5 bolas: 2 são pretas e 3 são brancas. Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco.
Qual é a probabilidade de saírem duas bolas pretas?
Como o saco tem 5 bolas (casos possíveis iniciais) e pretendemos tirar duas bolas sucessivas, as probabilidades multiplicam-se ao longo dos acontecimentos sucessivos:
- 1.ª bola: A probabilidade de a 1.ª bola ser preta é de $\frac{2}{5}$ (existem 2 pretas em 5 bolas).
- 2.ª bola: Se a 1.ª bola tirada foi preta (e não foi reposta), fica no saco apenas 1 bola preta num total de 4 bolas. A probabilidade de a 2.ª bola também ser preta é de $\frac{1}{4}$.
Multiplicando as probabilidades, obtemos a probabilidade de os dois eventos ocorrerem consecutivamente:
Simplificando a fração:
O Vítor e a Rita estão a jogar um jogo com um dado de 6 faces, numeradas com os seguintes valores: -3, -2, -1, 0, 2, 3.
O Vítor sugeriu as seguintes regras para o jogo:
«Lançamos o dado ao ar e, se sair número negativo, ganho eu, se sair número positivo, ganhas tu.»
A Rita protestou, porque assim o jogo não era justo. Concordas com a Rita? Explica a tua resposta.
Para avaliar se o jogo é justo, temos de analisar as probabilidades de vitória de cada jogador.
- Vítor: Ganha se sair número negativo. Os números negativos no dado são: -3, -2 e -1 (3 casos favoráveis). A sua probabilidade de ganhar é $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (ou 50%).
- Rita: Ganha se sair número positivo. Os números positivos no dado são: 2 e 3 (2 casos favoráveis). O 0 não é positivo nem negativo. A sua probabilidade de ganhar é $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (ou $\approx$ 33,3%).
Sim, concordo com a Rita. O jogo é injusto porque o Vítor tem uma probabilidade superior à da Rita de ganhar a partida.
O Vítor e o Hugo lançam dois dados clássicos, equilibrados e numerados de 1 a 6. Em seguida, adicionam os números das duas faces que ficam voltadas para cima.
Qual é a probabilidade de a soma obtida ser 8?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
Ao lançar dois dados, o número total de resultados possíveis é $6 \times 6 = 36$ casos possíveis.
Analisando os pares de números (Dado 1, Dado 2) cuja soma totaliza 8, encontramos os seguintes casos favoráveis:
- (2, 6)
- (3, 5)
- (4, 4)
- (5, 3)
- (6, 2)
Existem 5 casos favoráveis.
Aplicando a Regra de Laplace, a probabilidade é:
Numa caixa estão 4 bolas numeradas de 1 a 4, indistinguíveis ao tato. A Maria tira duas bolas da caixa, em simultâneo.
Qual é a probabilidade de a soma dos números das duas bolas ser igual a 5?
Ao tirar duas bolas em simultâneo de um conjunto de 4, a ordem não importa. O número total de pares (casos possíveis) é:
Os pares possíveis e as respetivas somas são:
- (1, 2) $\rightarrow$ Soma = 3
- (1, 3) $\rightarrow$ Soma = 4
- (1, 4) $\rightarrow$ Soma = 5 (Favorável)
- (2, 3) $\rightarrow$ Soma = 5 (Favorável)
- (2, 4) $\rightarrow$ Soma = 6
- (3, 4) $\rightarrow$ Soma = 7
Existem 2 pares que somam 5. Logo, temos 2 casos favoráveis em 6 possíveis.
Lançam-se dois dados cúbicos perfeitos e numerados de 1 a 6. Adicionam-se os números que saem nas faces viradas para cima.
Qual é a probabilidade de a soma obtida ser 12?
Ao lançar dois dados, há $6 \times 6 = 36$ resultados possíveis.
Para a soma ser 12, a única combinação possível é sair 6 no primeiro dado e 6 no segundo dado, ou seja, o par (6, 6).
Existe apenas 1 caso favorável.
Calculando a probabilidade, temos:
Numa roda da sorte, o círculo está dividido em 8 setores circulares iguais, numerados de 1 a 8.
Rodando a roda uma vez, qual é a probabilidade de o ponteiro parar num número que seja múltiplo de 3?
A roda tem 8 números (8 casos possíveis): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Os múltiplos de 3 presentes neste conjunto são o 3 e o 6. Portanto, há 2 casos favoráveis.
A probabilidade pedida, na forma de fração irredutível, é:
Um baralho de cartas tradicional português é constituído por 40 cartas, distribuídas por 4 naipes diferentes. Tira-se uma carta ao acaso.
Qual é a probabilidade de a carta retirada ser um Ás?
O baralho tem um total de 40 cartas (casos possíveis).
Existem 4 naipes e cada naipe tem um Ás. Logo, o baralho contém 4 Ases (casos favoráveis).
Aplicando a Regra de Laplace:
Escreveu-se a palavra MATEMATICA num papel, cortou-se o papel letra a letra e colocaram-se todos os bocados num saco.
A probabilidade de, tirando um papel ao acaso, sair a letra M é $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Qual é a probabilidade de sair a letra A?
A palavra M-A-T-E-M-A-T-I-C-A tem 10 letras (10 casos possíveis).
Contando a letra A, vemos que ela aparece 3 vezes na palavra (3 casos favoráveis).
Pela Regra de Laplace, a probabilidade é:
Lança-se uma moeda equilibrada, com face nacional (N) e face comum (C), três vezes consecutivas.
Qual é a probabilidade de saírem exatamente duas faces nacionais?
Como a moeda é lançada 3 vezes, os resultados possíveis são $2 \times 2 \times 2 = 8$:
- (N, N, N)
- (N, N, C) - (2 Faces Nacionais)
- (N, C, N) - (2 Faces Nacionais)
- (N, C, C)
- (C, N, N) - (2 Faces Nacionais)
- (C, N, C)
- (C, C, N)
- (C, C, C)
Existem 3 casos favoráveis.
A probabilidade é:
Um saco contém 10 bolas: 2 brancas, 3 vermelhas e 5 azuis. Retira-se uma bola ao acaso.
Qual é a probabilidade de a bola retirada não ser azul?
O número total de bolas é 10 (casos possíveis).
Queremos que a bola não seja azul. Isso significa que deve ser branca ou vermelha. O número de bolas brancas e vermelhas juntas é $2 + 3 = 5$ (casos favoráveis).
Pela Regra de Laplace:
Um dado de 6 faces, numeradas de 1 a 6, está viciado. Sabe-se que a probabilidade de sair a face 6 é de 50% e que as restantes faces têm todas igual probabilidade de sair.
Lançando o dado uma vez, qual é a probabilidade de sair o número 1?
A soma das probabilidades de todas as faces é 1 (ou 100%).
Como a probabilidade de sair 6 é $\frac{1}{2}$ (50%), sobra $\frac{1}{2}$ de probabilidade para ser distribuída pelas outras 5 faces (1, 2, 3, 4, 5).
Como estas 5 faces têm igual probabilidade de sair, dividimos o valor sobrante por 5:
Extrai-se uma carta de um baralho de 52 cartas.
Qual é a probabilidade de a carta extraída ser de Copas ou de Espadas?
O baralho tem 52 cartas no total (casos possíveis). Destas, existem 4 naipes, cada um com 13 cartas.
O número de cartas de Copas é 13 e o número de cartas de Espadas é 13. Juntas, somam $13 + 13 = 26$ cartas (casos favoráveis).
A probabilidade pedida é:
Três rapazes e duas raparigas vão dispor-se lado a lado para uma fotografia. Eles decidem que os lugares vão ser sorteados ao acaso.
Sabendo que as duas raparigas ficaram nos dois primeiros lugares da esquerda, qual é a probabilidade de as raparigas ficarem juntas?
Se as raparigas ficaram posicionadas nos dois primeiros lugares da esquerda (por exemplo: Rapariga 1, Rapariga 2, Rapaz, Rapaz, Rapaz), elas estão, por definição, uma ao lado da outra (juntas).
Sendo um dado adquirido pelo enunciado ("Sabendo que..."), trata-se de um acontecimento certo nas condições dadas.
A probabilidade de um acontecimento certo é 1 (ou 100%).
Um saco contém 5 cartões, cada um com uma vogal: A, E, I, O, U. Retiram-se, em simultâneo, dois cartões.
Qual é a probabilidade de saírem as letras A e E?
Ao tirar dois cartões de 5, o número de pares possíveis é:
O par constituído pela letra A e pela letra E é apenas 1 (um caso favorável).
Pela Regra de Laplace, a probabilidade é:
O jogo do "Par ou Ímpar" decide-se colocando, em simultâneo, 1 ou 2 dedos da mão. O João pede "Par" e o Miguel fica com "Ímpar".
Admitindo que a escolha de jogar 1 ou 2 dedos é feita ao acaso, qual a probabilidade de o João ganhar?
Cada jogador pode jogar 1 dedo ou 2 dedos. As somas possíveis na mesa são:
| Soma | João: 1 | João: 2 |
|---|---|---|
| Miguel: 1 | 1+1 = 2 (Par) | 2+1 = 3 (Ímpar) |
| Miguel: 2 | 1+2 = 3 (Ímpar) | 2+2 = 4 (Par) |
Existem 4 resultados possíveis. Destes, a soma é Par em 2 ocasiões (1+1 e 2+2).
Como o João escolheu "Par", a probabilidade de o João ganhar é:
O dado da figura tem a forma de um octaedro regular. As suas 8 faces triangulares estão numeradas de 1 a 8 e têm igual probabilidade de saírem, quando se lança o dado.
73.1. Qual é a probabilidade de se obter um número divisor de 8, quando se lança o dado uma vez?
73.2. Lançou-se o dado 8 vezes, e das 8 vezes saiu um número ímpar. O dado vai ser lançado de novo. Qual das seguintes afirmações é correta?
(A) É mais provável que saia agora um número par.
(B) É tão provável que saia um número par como um ímpar.
(C) É mais provável que continue a sair um número ímpar.
(D) Não pode sair outra vez um número ímpar.
Resolução de 73.1:
Quando se lança o dado uma vez, existem oito números possíveis (casos possíveis = 8). Dos oito casos, os divisores de 8 são: 1, 2, 4 e 8. Logo, existem 4 casos favoráveis.
A probabilidade de se obter um divisor de 8 é:
Resolução de 73.2:
Cada lançamento de um dado é um acontecimento independente dos lançamentos anteriores. O dado não tem memória. Como em cada lançamento a probabilidade de sair um número par (2, 4, 6, 8) é de 50% e a de sair ímpar (1, 3, 5, 7) também é de 50%, no nono lançamento a probabilidade continua a ser igual para ambos.
A Associação de Estudantes de uma escola é constituída por 5 alunos: 3 rapazes e 2 raparigas. Estes alunos, como elementos da Associação de Estudantes, têm de realizar várias tarefas e desempenhar alguns cargos.
Assim, decidiram sortear as tarefas a atribuir a cada um. Qual é a probabilidade de o elemento encarregado de uma qualquer dessas tarefas ser um rapaz?
Como a Associação de Estudantes é constituída por 5 alunos no total, existem 5 casos possíveis para o responsável de uma tarefa.
Sendo que existem 3 rapazes no grupo, existem apenas 3 casos favoráveis ao facto da responsabilidade da tarefa ficar a cargo de um rapaz.
Pela Regra de Laplace, a probabilidade pedida é: