- Casos notáveis: \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\); \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\); \((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\).
- Fatorizar é escrever como produto: pôr o fator comum em evidência e reconhecer os casos notáveis lidos ao contrário.
- \(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\) — a diferença de quadrados é a fatorização mais usada nos exames.
- Simplificar frações algébricas: fatorizar numerador e denominador e só depois cortar fatores comuns (nunca parcelas).
- Depois de fatorizar, aplicar a lei do anulamento do produto para resolver equações.
- \((a+b)^{2}\neq a^{2}+b^{2}\) — o termo \(2ab\) nunca desaparece.
Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
Assinala a opção que apresenta uma expressão algébrica equivalente a \((x-1)^2-17\).
Fazendo o desenvolvimento do caso notável e reduzindo os termos semelhantes, vem:
Na figura, estão representados o quadrado [ABCD] e o retângulo [AEFG].
Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:
- \(\overline{AB}=x\), para um certo número real \(x\), com \(x>3\);
- \(\overline{BE}=\overline{DG}=3\).
Qual das seguintes opções apresenta uma expressão da área do retângulo [AEFG]?
Identificando uma expressão algébrica para os comprimentos dos lados do retângulo, temos:
- \(\overline{AE}=\overline{AB}+\overline{BE}=x+3\)
- \(\overline{AG}=\overline{AD}-\overline{GD}=x-3\)
Assim, determinando uma expressão algébrica para a área do retângulo [AEFG] e simplificando, temos que:
Considera a igualdade \((x-4)^2 = x^2+mx+n\), em que \(m\) e \(n\) são números reais.
Assinala a opção que apresenta os valores de \(m\) e de \(n\) para os quais a igualdade é verdadeira, qualquer que seja \(x\).
Fazendo o desenvolvimento do caso notável e escrevendo o resultado na forma \(x^2+mx+n\), vem:
Desta forma temos \(m=-8\) e \(n=16\).
Assinala a opção que apresenta a equação equivalente à equação \(x^2-16=0\).
Identificando a diferença de quadrados no primeiro membro da equação, temos:
E assim, a equação equivalente a \(x^2-16=0\) é:
Na figura, estão representados o quadrado [ABCD] e o retângulo [EFGH].
Para um certo número real \(x\), com \(x>1\), \(\overline{AB}=3x+2\), \(\overline{EF}=x+1\) e \(\overline{FG}=x-1\).
Qual é a expressão que representa a área da região sombreada da figura?
A área da região sombreada, \(A_S\), pode ser calculada como a diferença entre as áreas do quadrado [ABCD] e do retângulo [EFGH]. Assim, temos que:
Na figura, está representado o losango [ABCD].
Para um certo número real \(x\), com \(x>4\), \(\overline{AC}=x+4\) e \(\overline{BD}=x-4\).
Qual das expressões seguintes representa a área do losango [ABCD]?
Como [AC] e [BD] são, respetivamente, a diagonal maior e a diagonal menor do losango, identificando a diferença de quadrados, temos que a área é:
Na figura, estão representados os quadrados [ABCD] e [EFGH], sendo os vértices \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) os pontos médios dos lados do quadrado [ABCD].
Considera que \(\overline{AB}=x-5\), com \(x>5\).
Qual das seguintes expressões representa a área do quadrado [ABCD]?
Como \(\overline{AB}=x-5\) é a medida do lado do quadrado [ABCD], determinando a expressão da respetiva área, fazendo o desenvolvimento do caso notável, temos:
Qual dos seguintes polinómios é igual a \((x-3)^2-x^2\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável e reduzindo os termos semelhantes, vem:
Considera a igualdade \((x-3)^2 = x^2+mx+n\), em que \(m\) e \(n\) são números reais.
Para que valores de \(m\) e \(n\) a igualdade é verdadeira qualquer que seja \(x\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável vem:
Assim, como \((x-3)^2 = x^2+mx+n\), temos que \(m=-6\) e \(n=9\).
Qual dos seguintes polinómios é equivalente à expressão \((x-4)^2\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável vem:
Para cada polinómio, de (1) a (3), assinala com X a opção que apresenta uma expressão equivalente.
Opções:
Polinómios:
- (1) \(x^2-9\)
- (2) \(9x^2-6x+1\)
- (3) \(x^2-3x\)
Identificando a diferença de quadrados na expressão (1), o quadrado da diferença na expressão (2) e colocando o fator comum \(x\) em evidência na expressão (3), temos:
Considera o prisma hexagonal regular [ABCDEFGHIJKL] representado na figura seguinte.
Sabe-se que:
- as arestas do prisma são todas geometricamente iguais;
- \(\overline{BC}=x-3\), para um certo valor de \(x\) maior do que 3.
Qual das expressões seguintes representa a área de uma face lateral do prisma?
![Prisma hexagonal regular [ABCDEFGHIJKL]](fig_pol/ex12.png)
Como as arestas do prisma são todas geometricamente iguais, \(\overline{CJ}=\overline{BC}=x-3\), e assim, a área da face lateral [BCJI] é:
Fatoriza o polinómio \(x^2-4\).
Identificando o caso notável \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) e observando que \(4=2^2\), temos que:
Para um certo número real \(k\), a forma reduzida do polinómio \((x+k)^2\) é \(x^2-8x+16\).
Qual é o número \(k\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem:
Assim, podemos determinar o valor de \(k\):
Escreve a forma reduzida do polinómio \((x+2)^2\).
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem:
Na figura seguinte, estão representados dois quadrados de lados [OA] e [OB].
Sabe-se que:
- o ponto \(A\) pertence ao segmento de reta [OB]
- \(\overline{OA}=a\)
- \(\overline{AB}=b\)
Qual das expressões seguintes representa a área do quadrado de lado [OB]?
Como \(\overline{OB}=\overline{OA}+\overline{AB}=a+b\), temos que a área do quadrado de lado \(\overline{OB}\) é:
A tabela abaixo apresenta cinco pares de expressões, identificados pelas letras de A a E. Desses cinco pares, apenas dois são pares de expressões equivalentes.
- A: \((x-5)^2\) e \(x^2-25\)
- B: \((x-2)(x+2)\) e \(x^2-4\)
- C: \((x-2)(x-2)\) e \((x+2)^2\)
- D: \((x+5)(x-5)\) e \(x^2+25\)
- E: \((x+2)^2\) e \(x^2+4x+4\)
Escreve as duas letras que identificam os pares de expressões equivalentes.
Simplificando as expressões da direita na segunda coluna, temos que:
- A: \((x-5)^2 = x^2-2\times 5\times x+5^2 = x^2-10x+25\)
- B: \((x-2)(x+2) = x^2-2^2 = x^2-4\)
- C: \((x-2)(x-2) = (x-2)^2\)
- D: \((x+5)(x-5) = x^2-5^2 = x^2-25\)
- E: \((x+2)^2 = x^2+2\times 2\times x+2^2 = x^2+4x+4\)
Considera a expressão algébrica seguinte.
Escreve esta expressão na forma de um polinómio e apresenta esse polinómio na forma reduzida.
Fazendo o produto dos polinómios, o desenvolvimento do caso notável, e reduzindo os termos semelhantes, vem:
Qual das expressões seguintes é equivalente à expressão \((x-2)^2-x^2\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem:
Na figura, estão representados os quadrados [AEFG] e [ABCD].
O ponto \(E\) pertence ao segmento de reta [AB] e o ponto \(G\) pertence ao segmento de reta [AD].
Seja \(a\) um número real maior do que 1. Tomando para unidade de comprimento o centímetro, tem-se:
- \(\overline{AE}=a-1\)
- \(\overline{BC}=a+1\)
Mostra que a área da região sombreada é dada, em cm\(^2\), por \(4a\).
A área da região sombreada, \(A_S\), pode ser calculada como a diferença entre as áreas dos quadrados de lado [BC] e [AE]. Assim, temos que:
Seja [ABC] um triângulo retângulo cuja hipotenusa é [AB].
Seja \(a\) um número real maior do que 2. Sabe-se que:
- \(\overline{AB}=a-1\)
- \(\overline{AC}=\sqrt{7}\)
- \(\overline{BC}=a-2\)
Determina \(a\). Mostra como chegaste à tua resposta.
Como o triângulo [ABC] é um triângulo retângulo em \(C\), podemos recorrer ao Teorema de Pitágoras, e afirmar que
Logo, substituindo os valores dados, e resolvendo a equação, vem que:
Qual das expressões seguintes é equivalente à expressão \((x-1)^2-1\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem:
Na figura, estão representados dois quadrados de lados [OA] e [OB].
Sabe-se que:
- o ponto \(B\) pertence ao segmento de reta [OA]
- \(\overline{OA}=a\) com \(a>3\)
- \(\overline{BA}=3\)
Qual das expressões seguintes representa a área do quadrado de lado [OB]?
Pela observação da figura, temos que
Assim, a área do quadrado de lado \(\overline{OB}\) é
Relativamente à figura seguinte, sabe-se que:
- [ABCD] e [EFGH] são dois quadrados
- \(a\) é o comprimento, em metros, do lado do quadrado [ABCD]
- \(b\) é o comprimento, em metros, do lado do quadrado [EFGH]
- \(a>b\)
Qual das expressões seguintes dá a área, em metros quadrados, da região representada a sombreado?
A área da região a sombreado, \(A_S\), pode ser calculada como a diferença entre a área do quadrado [ABCD] \(\left(A_{[ABCD]}=a^2\right)\) e a área do quadrado [EFGH] \(\left(A_{[EFGH]}=b^2\right)\). Assim, temos que
Qual das expressões seguintes é equivalente a \((x-2)^2\)?
Simplificando o caso notável da multiplicação temos:
Podemos verificar que as opções (C) e (D) estão incorretas e que a opção (A) também não é correta porque na sua simplificação não existe qualquer subtração, e se simplificarmos a expressão da opção (B), vem:
Qual das expressões seguintes é equivalente a \((x-a)^2+2ax\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem
Na figura seguinte, à esquerda, está representada a maqueta de um terreno plano, de forma quadrada, que tem uma parte em cimento, também de forma quadrada, e uma parte relvada. Na mesma figura, à direita, está uma representação geométrica dessa maqueta.
Sabe-se que:
- [ABCD] e [AEFG] são quadrados
- o ponto \(B\) pertence ao segmento de reta [AE]
- o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta [AG]
- o lado do quadrado [AEFG] mede mais 2 metros do que o lado do quadrado [ABCD]
Seja \(c\) o comprimento, em metros, do lado do quadrado [ABCD].
Explica o que representa a expressão \((c+2)^2-c^2\), no contexto da situação descrita.
Como \(c\) é o comprimento, em metros, do lado do quadrado [ABCD], temos que \(c^2\) é a área do quadrado [ABCD], ou seja, \(c^2 = A_{[ABCD]}\).
Como \(\overline{AE}=\overline{AB}+\overline{BE}=c+2\), então \((c+2)^2\) é a área do quadrado [AEFG], ou seja, \((c+2)^2 = A_{[AEFG]}\).
E assim temos que
Qual das expressões seguintes é equivalente a \((x-1)^2-x^2\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem
Qual das expressões seguintes é equivalente a \((x-3)^2+8x\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem
Qual das expressões seguintes é equivalente a \((x-2)^2+6x\)?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem
Considera a expressão \(3(x-1)^2 = 0\).
Qual das seguintes equações é equivalente à equação dada, no conjunto dos números reais?
Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e usando a propriedade distributiva, vem:
Numa aula de Matemática, a turma da Marta envolveu-se na procura de propriedades de números. A certa altura a Marta afirmou:
«Se pensar em dois números naturais consecutivos e subtrair o quadrado do menor ao quadrado do maior, obtenho sempre um número que não é múltiplo de dois.»
Designando por \(n\) um número natural, mostra que \((n+1)^2-n^2\) é sempre um número que não é múltiplo de dois.
Designando por \(n\) um número natural, o número natural consecutivo é \(n+1\). Subtraindo o quadrado do menor ao quadrado do maior, temos
Como \(2n+1\) é ímpar (porque sabemos que \(2n\) é par, e somando uma unidade a um número par, obtemos um número ímpar), então não é múltiplo de 2.