Exercícios de Exame — Intervalos de Números Reais

Como \(-\pi\approx-3{,}14\) e \(3\sqrt{2}\approx 4{,}24\), de entre os números apresentados, o único que pertence ao intervalo \(\left]-\pi,3\sqrt{2}\right]\) é o \(\pi\).

Como \(4\pi\approx 12{,}566\), logo:

• \(4\pi>12{,}55\), ou seja, \(4\pi\notin\,]12,54;12,55[\)
• \(4\pi>12{,}56\), ou seja, \(4\pi\notin\,]12,55;12,56[\)
• \(4\pi<12{,}57\), ou seja, \(4\pi\in\,]12,56;12,57[\)

Assim, de entre os intervalos apresentados, o único a que pertence o número \(4\pi\) é \(]12,56;12,57[\).

Sabemos que \(676\times 10^{-2}=6{,}76\), e usando a calculadora podemos verificar que:

• \(\dfrac{1257}{200}=6{,}285\)
• \(\sqrt{45}\approx 6{,}708\)
• \(\dfrac{203}{30}\approx 6{,}767\)
• \(2\pi\approx 6{,}283\)
• \(\dfrac{115}{17}\approx 6{,}765\)

Logo, observando que \(\dfrac{203}{30}>\dfrac{115}{17}\), então \(\dfrac{203}{30}\notin\left[2\pi,\dfrac{115}{17}\right[\).

Como \(-\sqrt{3}\approx-1{,}73\) e \(\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57\), de entre os números apresentados, o menor número inteiro que pertence ao intervalo é o \(-1\).

Como \(\pi\approx 3{,}15159\), logo \(-\pi\approx-3{,}15159\), pelo que, como o intervalo é aberto, os extremos não pertencem ao conjunto de números definido pelo intervalo, logo, de entre os apresentados, o único que pertence ao intervalo é o \(3\).

Como \(\sqrt{50}\approx 7{,}071\) e \(\sqrt{51}\approx 7{,}141\), logo \(\sqrt{50}<7{,}14<\sqrt{51}\).

Como \(-\sqrt{160}\approx-12{,}6\), logo \(-12\notin\left[-15,-\sqrt{160}\right]\), pelo que o maior número inteiro que pertence ao intervalo é \(-13\).

Como \(-\sqrt{8}\approx-2{,}8\), temos que o menor número inteiro que pertence ao intervalo é \(-2\).

Por outro lado, como o intervalo é aberto no limite superior, zero não é um elemento do conjunto definido pelo intervalo.

Assim, os números inteiros que pertencem ao intervalo são \(-2\) e \(-1\).

Como \(-\pi\approx-3{,}14\), temos que a representação aproximada do intervalo e dos números inteiros apresentados é:

Assim, o menor inteiro que pertence ao intervalo é \(-3\).

Representando os conjuntos \(A\) e \(B\) na reta real, como \(\sqrt{97}<10\), temos:

Assim temos que \([-1,10]\cup\left[\sqrt{97},15\right[\,=[-1,15[\).

Como \(2\pi\approx 6{,}283\) temos que \(6{,}27<6{,}28<2\pi\); e como \(2\sqrt{10}\approx 6{,}325\), temos que \(6{,}32<2\sqrt{10}<6{,}33\).

Assim, de entre os números apresentados, o único que pertence ao conjunto \(I\) é \(6,32\).

Como \(-\sqrt{250}\approx-15{,}8\), temos que o menor número inteiro que pertence ao intervalo é \(-15\).

Por outro lado, como o intervalo é aberto no limite superior, \(3\) não é um elemento do conjunto definido pelo intervalo, pelo que o maior número inteiro que pertence a este conjunto de números reais é \(2\).

Como \(20^3=8000\), temos que \(\left[0,\sqrt[3]{8000}\,\right]\cap\,]20,+\infty]\) é o conjunto vazio (\(20\in\left[0,\sqrt[3]{8000}\,\right]\), mas \(20\notin\,]20,+\infty]\), porque o intervalo é aberto).

Assim, como \(\sqrt[3]{8001}>20\), temos que \(\left[0,\sqrt[3]{8001}\,\right]\cap\,]20,+\infty]\) não é o conjunto vazio, e como não existem números inteiros maiores que 8000 e menores que 8001, temos que o menor número natural \(n\) tal que \(\left[0,\sqrt[3]{n}\,\right]\cap\,]20,+\infty[\) é um conjunto não vazio é o número \(8001\).

Como \(\pi\approx 3{,}14\) e \(\sqrt{10}\approx 3{,}16\), representando na reta real os conjuntos \(A\) e \(B\), temos:

Assim temos que:

Para que \(\left]-\infty,\sqrt{n}\right[\,\cup\,]41,+\infty[\,=\mathbb{R}\), tem que se verificar \(\sqrt{n}>41\).

Como \(41^2=1681\), temos que:

• \(\sqrt{1681}=41\) (\(\sqrt{1681}\not>41\))
• \(\sqrt{1682}>41\) (\(\sqrt{1682}\approx 41{,}01\))

Ou seja, o menor valor natural para \(n\) é o \(1682\).

Como o conjunto \(A\cap\mathbb{Z}\) tem sete elementos, os sete elementos são três pares de números inteiros simétricos e o zero, ou seja \(A=[-3,3]\), e assim \(A\cap\mathbb{Z}=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), como se ilustra na representação seguinte:

Assim, para que o conjunto \([-n,n]\cap\mathbb{Z}\) tenha 7 elementos, o valor de \(n\) é \(3\).

Representando na reta real o conjunto \([-2,1[\), temos:

Assim, podemos verificar que, como o intervalo é aberto no limite superior, \(1\notin[-2,1[\), e assim vem que:

Como \(\dfrac{9}{4}=2{,}25\) e \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\), temos que \(\sqrt{5}<\dfrac{9}{4}\) e assim, representando na reta real os dois intervalos indicados na definição do conjunto, vem que:

Assim temos que \(\left]-1,\dfrac{9}{4}\right]\cap\left[\sqrt{5},3\right[\,=\left[\sqrt{5},\dfrac{9}{4}\right]\).

Como \(\pi\approx 3{,}14\) e \(\sqrt{60}+\sqrt{\pi}\approx 9{,}51\), representando na reta real o intervalo \(\left[\pi,\sqrt{60}+\sqrt{\pi}\,\right]\), e os números naturais que pertencem a este conjunto, temos:

Assim, podemos verificar que o conjunto dos números naturais que pertencem ao intervalo \(\left[\pi,\sqrt{60}+\sqrt{\pi}\,\right]\) é:

Determinar o menor número natural para o qual \(\dfrac{n}{0,4}\) também é um número natural, pode ser conseguido, substituindo sucessivamente \(n\) por valores naturais:

• \(n=1\ \rightarrow\ \dfrac{1}{0,4}=2{,}5\)
• \(n=2\ \rightarrow\ \dfrac{2}{0,4}=5\)

Assim, o valor de \(n\) é \(2\) e, representando o intervalo \(\left[-1,\dfrac{2}{0,4}\right]\), ou seja, \([-1,5]\), temos:

Desta forma, podemos verificar que o conjunto dos números inteiros que pertencem ao intervalo \([-1,5]\) é \(\{-1,0,1,2,3,4,5\}\), ou seja existem, neste intervalo, \(7\) números inteiros.

Para que o intervalo \(A=[1,\sqrt{n}[\) tenha 28 números naturais, \(\sqrt{n}>28\), porque como o intervalo é aberto à direita, \(\sqrt{n}\notin A\).

Assim, como \(28^2=784\), temos que o menor número natural que verifica a condição \(\sqrt{n}>28\) é:

Como \(-\sqrt{2}\approx-1{,}1414\) e \(\sqrt{3}\approx 1{,}7321\), representando na reta real o intervalo \(\left]-\sqrt{2},\sqrt{3}\right[\), e os números inteiros que pertencem a este conjunto, temos:

Assim, podemos verificar que o conjunto dos números inteiros que pertencem ao intervalo \(\left]-\sqrt{2},\sqrt{3}\right[\) é:

Representando o conjunto \(A\cap B\) na reta real, temos:

Assim temos que \(A\cap B=[0,4[\,\cap[3,+\infty[\,=[3,4[\).

Analisando as quatro hipóteses temos que:

• \(-3\) é um número inteiro e como \(-3>-\pi\), logo \(-3\in[-\pi,+\infty[\)
• \(-4\) é um número inteiro, mas como \(-4<-\pi\), logo \(-4\notin[-\pi,+\infty[\)
• \(-\pi\in[-\pi,+\infty[\), mas \(-\pi\) não é um número inteiro
• \(-\pi-1\notin[-\pi,+\infty[\), e também não é um número inteiro

Assim, das opções apresentadas, \(-3\) é o único número que satisfaz as duas condições impostas.

Representando o conjunto na reta real, temos:

Assim temos que \(]0,3[\,\cup\,]2,5[\,=\,]0,5[\).

Representando na reta real o intervalo \(]-2,1]\), e os números inteiros que pertencem a este conjunto, temos:

Assim, podemos verificar que \(A=\{-1,0,1\}\).

Como \(-\sqrt{15}\approx-3{,}87\), representando na reta real o intervalo \(\left]-\sqrt{15}\,;\ 0,9\right]\), e os números inteiros que pertencem a este conjunto, temos:

Assim, podemos verificar que

• o menor número inteiro que pertence ao conjunto \(A\) é \(-3\)
• o maior número inteiro que pertence ao conjunto \(A\) é \(0\)

Representando o conjunto \(A\cap B\) na reta real, temos:

Assim temos que \(A\cap B=\,]-1,+\infty[\,\cap\,]-4,2]=\,]-1,2]\).

Podemos afirmar que:

• \(-3,15\notin A\), porque \(-3{,}15<-\pi\) e todos os elementos do conjunto \(A\) são maiores que \(-\pi\)
• \(-\pi\notin A\), porque o conjunto \(A\) é um intervalo aberto em \(-\pi\), ou seja \(-\pi\) não é um elemento deste conjunto
• \(\pi\notin A\), porque todos os elementos do conjunto \(A\) são números negativos
• \(-3,14\in A\), porque \(-\pi<-3{,}14\le-1\)

Assim, de entre as opções apresentadas, \(-3,14\) é o único elemento do conjunto \(A\).

Representando o conjunto \(A\), temos:

Assim, podemos verificar que, de entre os valores apresentados apenas o \(3\) pertence ao conjunto \(A\).

Como \(-\pi\approx-3{,}1416\), representando na reta real o intervalo \([-\pi,0]\), e os números das hipóteses apresentadas, temos:

Assim, podemos verificar que, de entre as opções apresentadas, \(-4\) é o menor inteiro, mas não pertence ao intervalo indicado e \(-\pi\) é o menor número que pertence ao intervalo, mas não é um número inteiro, pelo que a resposta correta é \(-3\).

Como \(-\sqrt{5}\approx-2{,}2361\), representando na reta real o conjunto \(A=\left[-\sqrt{5},1\right[\), temos:

Assim, podemos verificar que, como o intervalo é aberto no limite superior, \(1\notin A\), pelo que

Como \(-\sqrt{3}\approx-1{,}73\), representando na reta real o intervalo \(\left[-\sqrt{3},2\right[\), temos:

Assim, verificando que, como o intervalo é aberto no limite superior, \(2\notin\left[-\sqrt{3},2\right[\), vem que o conjunto dos números inteiros relativos que pertencem ao intervalo \(\left[-\sqrt{3},2\right[\) é

Representando o conjunto \(A\cup B\) na reta real, temos:

Assim temos que \(A\cup B=\,]-1,2[\,\cup\,]-3,0[\,=\,]-3,2[\). Ou seja, \(A\cup B\) é o conjunto de todos os números reais maiores que \(-3\) e menores que \(2\), o que pode ser representado por

Representando os dois intervalos indicados na definição do conjunto \(C\) na reta real, temos:

Assim temos que \([-\pi,3]\cap\,]1,+\infty[\,=\,]1,3]\).

Como \(-\sqrt{2}\approx-1{,}41\) e \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), representando os dois intervalos indicados na definição do conjunto \(P\) na reta real, temos:

Assim temos que \(\left[-3,\sqrt{2}\right]\cap\left[-\sqrt{2},+\infty\right[\,=\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\).

Como \(\pi\approx 3{,}14159\), representando na reta real o intervalo \(]-2,\pi]\), e os números indicados nas opções, temos:

Assim, podemos verificar que

• \(4\notin I\), logo \(\left\{-\dfrac{3}{2},2,4\right\}\not\subset I\)
• \(-2\notin I\), logo \(\{-2,-1,2\}\not\subset I\)
• \(-4\notin I\), logo \(\{-4,-1,0\}\not\subset I\)

e que \(\left\{-\dfrac{3}{2},0,1\right\}\subset I\).

Como \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), representando os dois intervalos indicados na definição do conjunto \(B\) na reta real, temos:

Assim temos que \(B=[-1;1,42[\,\cap\,]\sqrt{2},+\infty[\,=\,]\sqrt{2};1,42[\).

Como o conjunto \(A=\left[\sqrt{2},+\infty\right[\), um número pertence ao conjunto \(A\) se for maior ou igual a \(\sqrt{2}\).

Assim podemos verificar que

• \(1,4\times 10^{-2}=0{,}014\), logo \(0{,}014<\sqrt{2}\), pelo que \(1,4\times 10^{-2}\notin A\)
• \(1,4\times 10^{0}=1{,}4\), logo \(1{,}4<\sqrt{2}\), pelo que \(1,4\times 10^{0}\notin A\)
• \(1,4\times 10^{-1}=0{,}14\), logo \(0{,}14<\sqrt{2}\), pelo que \(1,4\times 10^{-1}\notin A\)

E ainda que \(1,4\times 10=14\), logo \(14>\sqrt{2}\), pelo que \(1,4\times 10\in A\).

Como \(\sqrt{5}\) é uma dízima infinita não periódica (um número irracional) e nas opções (C) e (D) estão representados dois conjuntos com 2 elementos que são números racionais podemos afirmar que

• \(\sqrt{5}\notin\{2,22;2,23\}\)
• \(\sqrt{5}\notin\{2,23;2,24\}\)

Como \(\sqrt{5}\approx 2{,}236\), representando na reta real os intervalos das opções (A) e (B), temos:

Logo podemos verificar que \(\sqrt{5}\in\,]2,23;2,24[\).

Representando os dois intervalos indicados na definição do conjunto \(B\) na reta real, temos:

Como \(\pi<3{,}15\) temos que \(B=[\pi;3,15[\).

Como \(-\sqrt{10}\approx-3{,}16\), representando na reta real o intervalo \(\left[-\sqrt{10},-\dfrac{1}{2}\right]\), temos:

Assim, observando que \(-4\notin\left[-\sqrt{10},-\dfrac{1}{2}\right]\), podemos verificar que o menor número inteiro pertencente a este intervalo é \(-3\).

Pela observação da representação gráfica do intervalo podemos verificar que representa todos os números reais maiores que \(-1\) e menores ou iguais a \(4\), ou seja,

Como \(-\dfrac{2}{3}\approx-0{,}666\) e \(\sqrt{10}\approx 3{,}16\), representando o conjunto interseção e o conjunto \(\left[-\dfrac{2}{3},\sqrt{10}\,\right]\) na reta real, temos:

Assim temos que o conjunto \(I\) é um intervalo aberto no extremo inferior, localizado no número real zero, e cujo extremo superior deve ser superior ou igual a \(\sqrt{10}\).

Ou seja, verificando cada uma das hipóteses apresentadas, temos que

• \([0,+\infty[\,\cap\left[-\dfrac{2}{3},\sqrt{10}\,\right]=\left[0,\sqrt{10}\,\right]\)
• \(\left[-\dfrac{2}{3},0\right[\,\cap\left[-\dfrac{2}{3},\sqrt{10}\,\right]=\left[-\dfrac{2}{3},0\right[\)
• \(\left[-\dfrac{2}{3},+\infty\right[\,\cap\left[-\dfrac{2}{3},\sqrt{10}\,\right]=\left[-\dfrac{2}{3},\sqrt{10}\,\right]\)

E também, que \(]0,+\infty[\,\cap\left[-\dfrac{2}{3},\sqrt{10}\,\right]=\,\left]0,\sqrt{10}\,\right]\).

Representando os dois intervalos indicados na definição do conjunto \(A\) na reta real, temos:

Como \(3{,}141<\pi\) temos que \(A=\,]-2;3,141[\).

Como \(-\pi\approx-3{,}14\) e \(\dfrac{1}{3}\approx 0{,}33\), representando na reta real o intervalo \(\left[-\pi,\dfrac{1}{3}\right[\), temos:

Assim, vem que o conjunto dos números inteiros relativos que pertencem ao intervalo \(\left[-\pi,\dfrac{1}{3}\right[\) é

Representando o conjunto \(A\cup B\) na reta real, temos:

Assim temos que \(A\cup B=\,]-\infty,2[\,\cup[-3,+\infty[\,=\,]-\infty,+\infty[\).

Como \(\pi\approx 3{,}14\) e \(\sqrt{10}\approx 3{,}16\), representando os dois intervalos indicados na definição do conjunto \(A\) na reta real, temos:

Como \(\pi<\sqrt{10}\) temos que \(A=[\pi,7]\cap\,]\sqrt{10},+\infty[\,=\,]\sqrt{10},7]\).

Como o conjunto \(A=[\pi,+\infty[\), um número pertence ao conjunto \(A\) se for maior ou igual a \(\pi\).

Assim podemos verificar que

• \(3,1\times 10^{-2}=0{,}031\), e \(0{,}031<\pi\), pelo que \(3,1\times 10^{-2}\notin A\)
• \(3,1\times 10^{0}=3{,}1\), e \(3{,}1<\pi\), pelo que \(3,1\times 10^{0}\notin A\)
• \(3,1\times 10^{-1}=0{,}31\), e \(0{,}31<\pi\), pelo que \(3,1\times 10^{-1}\notin A\)

E ainda que \(3,1\times 10^{1}=31\), e \(31>\pi\), pelo que \(3,1\times 10^{1}\in A\).

50.1.

Como \(-\dfrac{7}{3}\approx-2{,}33\), representando na reta real o intervalo \(\left[-\dfrac{7}{3},3\right[\), temos:

Assim, verificando que, como o intervalo é aberto no limite superior, \(3\notin\left[-\dfrac{7}{3},3\right[\), vem que o conjunto dos números inteiros relativos que pertencem ao intervalo \(\left[-\dfrac{7}{3},3\right[\) é

50.2.

Como \(\pi\approx 3{,}14\), representando os dois intervalos na reta real, temos:

Assim temos que \(]-2,\pi]\cup\left[-\dfrac{7}{3},3\right[\,=\left[-\dfrac{7}{3},\pi\right]\).

Como o conjunto \(A\) contém números maiores que 1, tem que resultar da união do intervalo \([-1,1[\) com outro conjunto que contenha números superiores a 1. Logo as opções (A) e (B) não são verdadeiras (são interseções).

Devemos ainda considerar que o conjunto \(A\) não contém números menores que \(-1\), pelo que não pode resultar da união do intervalo \([-1,1[\) com outro conjunto que contenha números menores que \(-1\), como está expresso na igualdade da opção (C).

Desta forma, de entre as opções apresentadas, a única forma de escrever o conjunto \(A\) é \(A=[-1,1[\,\cup\left]-\dfrac{1}{2},+\infty\right[\), como se pode verificar representando os dois conjuntos na reta real: