Exercícios de Exame — Inequações | 9.º ano

Ferramentas úteis.

Princípios de equivalência: somar ou subtrair o mesmo aos dois membros mantém o sentido da desigualdade.
Multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade.
Escrever o conjunto-solução como intervalo e representá-lo na reta real.
Conjunção (e) corresponde à interseção dos intervalos; disjunção (ou) corresponde à reunião.
Casos especiais: $0x\gt k$ pode ser impossível ou universal, conforme o sinal de $k$.
Em problemas, verificar se a solução tem sentido no contexto (por exemplo, se tem de ser um número natural).

Inequações do 1.º Grau. Resolver uma inequação consiste em determinar o conjunto de todos os valores da incógnita que transformam a inequação numa proposição verdadeira. Esse conjunto designa-se por conjunto solução e, no caso de inequações do 1.º grau, é frequentemente representado na forma de um intervalo de números reais. Ao multiplicar ou dividir ambos os membros de uma inequação por um número negativo, deve-se inverter o sinal da desigualdade.

Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios

Prova ensaio 9.º ano — 2025

Ordena as etapas de resolução da inequação $-\frac{4}{3}x>\frac{3(2+x)}{5}-1$ colocando cada uma das caixas na posição correta.

$-\frac{4}{3}x>\frac{3(2+x)}{5}-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow-\frac{4}{3}x>\frac{6}{5}+\frac{3}{5}x-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow-\frac{4}{3}x-\frac{3}{5}x>\frac{6}{5}-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow-\frac{20}{15}x-\frac{9}{15}x>\frac{1}{5}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow-\frac{29}{15}x>\frac{3}{15}\Leftrightarrow$
$29x<-3$
$x<-\frac{3}{29}$
$S=]-\infty,-\frac{3}{29}]$

Ordenando as etapas de resolução da inequação, temos:

Etapa Matemática	Justificação / Procedimento
$-\frac{4}{3}x>\frac{3(2+x)}{5}-1\Leftrightarrow$	Inequação inicial.
$\Leftrightarrow-\frac{4}{3}x>\frac{6}{5}+\frac{3}{5}x-1\Leftrightarrow$	Desembaraçar a inequação de parêntesis e escrever a fração do segundo membro numa soma de frações.
$\Leftrightarrow-\frac{4}{3}x-\frac{3}{5}x>\frac{6}{5}-1\Leftrightarrow$	Isolar os termos com incógnita num dos membros.
$\Leftrightarrow-\frac{20}{15}x-\frac{9}{15}x>\frac{1}{5}\Leftrightarrow$	Escrever as frações do primeiro membro com o mesmo denominador e reduzir os termos semelhantes no segundo membro.
$\Leftrightarrow-\frac{29}{15}x>\frac{3}{15}\Leftrightarrow$	Reduzir os termos semelhantes no primeiro membro e escrever as frações com o mesmo denominador.
$29x<-3$	Multiplicar ambos os membros por 15, invertendo o sinal da desigualdade.
$x<-\frac{3}{29}$	Isolar a incógnita $x$.

Resposta: $S=]-\infty,-\frac{3}{29}]$

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 2.ª fase

Ordena as etapas de resolução da inequação $-2(x-\frac{7}{2})-\frac{x}{5}\le-\frac{x}{10}+4$, numerando-as de 2 a 6.

A inequação dada e o conjunto solução já se encontram numerados.

$-2(x-\frac{7}{2})-\frac{x}{5}\le-\frac{x}{10}+4$ ①
$-2x-\frac{x}{5}+\frac{x}{10}\le4-7$
$-\frac{21}{10}x\le-3$
$-2x+7-\frac{x}{5}\le-\frac{x}{10}+4$
$x\ge\frac{10}{7}$
$x\ge\frac{30}{21}$
$S=[\frac{10}{7},+\infty[$ ⑦

Ordenando as etapas de resolução da inequação, temos:

#	Etapa Matemática	Justificação / Procedimento
1	$-2(x-\frac{7}{2})-\frac{x}{5}\le-\frac{x}{10}+4$	Inequação inicial.
2	$-2x+7-\frac{x}{5}\le-\frac{x}{10}+4$	Desembaraçar a inequação de parêntesis.
3	$-2x-\frac{x}{5}+\frac{x}{10}\le4-7$	Isolar os termos com incógnita num dos membros.
4	$-\frac{21}{10}x\le-3$	Reduzir os termos semelhantes.
5	$x\ge\frac{30}{21}$	Multiplicar ambos os membros por $-\frac{10}{21}$ invertendo o sinal da desigualdade.
6	$x\ge\frac{10}{7}$	Simplificar a fração.
7	$S=[\frac{10}{7},+\infty[$	Apresentar o conjunto solução.

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 1.ª fase

Ordena as etapas de resolução da inequação $\frac{2}{5}(-x-\frac{5}{3})+1\ge\frac{x+4}{3}$, numerando-as de 2 a 6.

A inequação dada e o conjunto solução já se encontram numerados.

$\frac{2}{5}(-x-\frac{5}{3})+1\ge\frac{x+4}{3}$ ①
$-1\ge\frac{11x}{15}$
$x\le-\frac{15}{11}$
$\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\ge\frac{2x}{5}+\frac{x}{3}$
$-\frac{2x}{5}-\frac{2}{3}+1\ge\frac{x}{3}+\frac{4}{3}$
$\frac{11x}{15}\le-1$
$S=]-\infty,-\frac{15}{11}]$ ⑦

Ordenando as etapas de resolução da inequação, temos:

#	Etapa Matemática	Justificação / Procedimento
1	$\frac{2}{5}(-x-\frac{5}{3})+1\ge\frac{x+4}{3}$	Inequação inicial.
2	$-\frac{2x}{5}-\frac{2}{3}+1\ge\frac{x}{3}+\frac{4}{3}$	Desembaraçar a inequação de parêntesis.
3	$\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\ge\frac{2x}{5}+\frac{x}{3}$	Isolar os termos com incógnita num dos membros e calcular $-\frac{2}{3}+1$.
4	$-1\ge\frac{11x}{15}$	Reduzir os termos semelhantes.
5	$\frac{11x}{15}\le-1$	Inverter a leitura/sinal da desigualdade (ler da direita para a esquerda).
6	$x\le-\frac{15}{11}$	Multiplicar ambos os membros por $\frac{15}{11}$.
7	$S=]-\infty,-\frac{15}{11}]$	Apresentar o conjunto solução.

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · Época especial

Resolve a inequação seguinte.

\frac{1}{3}(x+2)>\frac{5x}{2}+1

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1}{3}(x+2)>\frac{5x}{2}+1 \Leftrightarrow \frac{x+2}{3}_{(2)}>\frac{5x}{2}_{(3)}+\frac{1}{1}_{(6)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{2x+4}{6}>\frac{15x}{6}+\frac{6}{6} \Leftrightarrow 2x+4>15x+6 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2x-15x>6-4 \Leftrightarrow -13x>2 \Leftrightarrow 13x<-2 \Leftrightarrow x<-\frac{2}{13}

Resposta: $C.S.=]-\infty, -\frac{2}{13}[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 2.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

2(3-x)<\frac{3x+4}{3}

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

2(3-x)<\frac{3x+4}{3} \Leftrightarrow 6-2x<\frac{3x+4}{3} \Leftrightarrow \frac{6}{1}_{(3)}-\frac{2x}{1}_{(3)}<\frac{3x+4}{3} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{18}{3}-\frac{6x}{3}<\frac{3x+4}{3} \Leftrightarrow 18-6x<3x+4 \Leftrightarrow -6x-3x<4-18 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -9x<-14 \Leftrightarrow 9x>14 \Leftrightarrow x>\frac{14}{9}

Resposta: $C.S.=]\frac{14}{9}, +\infty[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

\frac{3(1-x)}{4}\ge\frac{x}{3}+1

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{3(1-x)}{4}\ge\frac{x}{3}+1 \Leftrightarrow \frac{3-3x}{4}\ge\frac{x}{3}+1 \Leftrightarrow \frac{3-3x}{4}_{(3)}\ge\frac{x}{3}_{(4)}+\frac{1}{1}_{(12)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{9-9x}{12}\ge\frac{4x}{12}+\frac{12}{12} \Leftrightarrow 9-9x\ge4x+12 \Leftrightarrow -9x-4x\ge12-9 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -13x\ge3 \Leftrightarrow 13x\le-3 \Leftrightarrow x\le-\frac{3}{13}

Resposta: $C.S.=]-\infty, -\frac{3}{13}]$

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 2.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

\frac{2x-5}{3}+\frac{1}{2}x>2(x-1)

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{2x-5}{3}+\frac{1}{2}x>2(x-1) \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{5}{3}+\frac{x}{2}>2x-2 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}_{(2)}-\frac{5}{3}_{(2)}+\frac{x}{2}_{(3)}>\frac{2x}{1}_{(6)}-\frac{2}{1}_{(6)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{4x}{6}-\frac{10}{6}+\frac{3x}{6}>\frac{12x}{6}-\frac{12}{6} \Leftrightarrow 4x-10+3x>12x-12 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 4x+3x-12x>-12+10 \Leftrightarrow -5x>-2 \Leftrightarrow 5x<2 \Leftrightarrow x<\frac{2}{5}

Resposta: $C.S.=]-\infty, \frac{2}{5}[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

5(1-x)<\frac{x-3}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

5(1-x)<\frac{x-3}{2} \Leftrightarrow 5-5x<\frac{x-3}{2} \Leftrightarrow \frac{5}{1}_{(2)}-\frac{5x}{1}_{(2)}<\frac{x-3}{2} \Leftrightarrow

$\Leftrightarrow \frac{10}{2}-\frac{10x}{2}<\frac{x-3}{2} \Leftrightarrow 10-10x $$\Leftrightarrow -11x<-13 \Leftrightarrow 11x>13 \Leftrightarrow x>\frac{13}{11}$$ Resposta: $C.S.=]\frac{13}{11}, +\infty[

Prova de Matemática, 9.º ano — 2021

Resolve a inequação seguinte.

-\frac{3x}{2}+\frac{6+x}{7}<\frac{1}{14}(x+3)

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

-\frac{3x}{2}+\frac{6+x}{7}<\frac{1}{14}(x+3) \Leftrightarrow -\frac{3x}{2}+\frac{6+x}{7}<\frac{x+3}{14} \Leftrightarrow -\frac{3x}{2}_{(7)}+\frac{6+x}{7}_{(2)}<\frac{x+3}{14} \Leftrightarrow

$\Leftrightarrow -\frac{21x}{14}+\frac{12+2x}{14}<\frac{x+3}{14} \Leftrightarrow -21x+12+2x $$\Leftrightarrow -21x+2x-x<3-12 \Leftrightarrow -20x<-9 \Leftrightarrow 20x>9 \Leftrightarrow x>\frac{9}{20}$$ Resposta: $C.S.=]\frac{9}{20}, +\infty[

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · Época especial

Resolve a inequação seguinte.

\frac{1-5x}{4}>3(x-1)

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1-5x}{4}>3(x-1) \Leftrightarrow \frac{1-5x}{4}>3x-3 \Leftrightarrow \frac{1-5x}{4}>\frac{3x}{1}_{(4)}-\frac{3}{1}_{(4)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{1-5x}{4}>\frac{12x}{4}-\frac{12}{4} \Leftrightarrow 1-5x>12x-12 \Leftrightarrow -5x-12x>-12-1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -17x>-13 \Leftrightarrow 17x<13 \Leftrightarrow x<\frac{13}{17}

Resposta: $C.S.=]-\infty, \frac{13}{17}[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 2.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

\frac{x-4}{6}-\frac{1}{3}<2(x+1)

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x-4}{6}-\frac{1}{3}<2(x+1) \Leftrightarrow \frac{x-4}{6}-\frac{1}{3}<2x+2 \Leftrightarrow \frac{x-4}{6}-\frac{1}{3}_{(2)}<\frac{2x}{1}_{(6)}+\frac{2}{1}_{(6)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{x-4}{6}-\frac{2}{6}<\frac{12x}{6}+\frac{12}{6} \Leftrightarrow x-4-2<12x+12 \Leftrightarrow x-12x<12+4+2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -11x<18 \Leftrightarrow 11x>-18 \Leftrightarrow x>-\frac{18}{11}

Resposta: $C.S.=]-\frac{18}{11}, +\infty[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

\frac{2+x}{3}\ge2(x-1)

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{2+x}{3}\ge2(x-1) \Leftrightarrow \frac{2+x}{3}\ge2x-2 \Leftrightarrow \frac{2+x}{3}\ge\frac{2x}{1}_{(3)}-\frac{2}{1}_{(3)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{2+x}{3}\ge\frac{6x}{3}-\frac{6}{3} \Leftrightarrow 2+x\ge6x-6 \Leftrightarrow x-6x\ge-6-2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -5x\ge-8 \Leftrightarrow 5x\le8 \Leftrightarrow x\le\frac{8}{5}

Resposta: $C.S.=]-\infty, \frac{8}{5}]$

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · Época especial

Resolve a inequação seguinte.

\frac{1-x}{2}<3(2x-1)

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1-x}{2}<3(2x-1) \Leftrightarrow \frac{1-x}{2}<6x-3 \Leftrightarrow \frac{1-x}{2}<\frac{6x}{1}_{(2)}-\frac{3}{1}_{(2)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{1-x}{2}<\frac{12x}{2}-\frac{6}{2} \Leftrightarrow 1-x<12x-6 \Leftrightarrow -12x-x<-6-1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -13x<-7 \Leftrightarrow 13x>7 \Leftrightarrow x>\frac{7}{13}

Resposta: $C.S.=]\frac{7}{13}, +\infty[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 2.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

\frac{1}{4}(3-x)-2>\frac{1}{3}x

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1}{4}(3-x)-2>\frac{1}{3}x \Leftrightarrow \frac{3}{4}_{(3)}-\frac{x}{4}_{(3)}-\frac{2}{1}_{(12)}>\frac{x}{3}_{(4)} \Leftrightarrow \frac{9}{12}-\frac{3x}{12}-\frac{24}{12}>\frac{4x}{12} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 9-3x-24>4x \Leftrightarrow -3x-4x>-9+24 \Leftrightarrow -7x>15 \Leftrightarrow 7x<-15 \Leftrightarrow x<-\frac{15}{7}

Resposta: $C.S.=]-\infty, -\frac{15}{7}[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte.

\frac{2(1-x)}{3}<\frac{1}{2}x+2

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{2(1-x)}{3}<\frac{1}{2}x+2 \Leftrightarrow \frac{2-2x}{3}_{(2)}<\frac{x}{2}_{(3)}+\frac{2}{1}_{(6)} \Leftrightarrow \frac{4-4x}{6}<\frac{3x}{6}+\frac{12}{6} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 4-4x<3x+12 \Leftrightarrow -4x-3x<12-4 \Leftrightarrow -7x<8 \Leftrightarrow 7x>-8 \Leftrightarrow x>-\frac{8}{7}

Resposta: $C.S.=]-\frac{8}{7}, +\infty[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2017, Época especial

Resolve a inequação seguinte[cite: 89, 90].

\frac{2(3-x)}{3}\le\frac{x}{2}+\frac{2}{3}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 91].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{2(3-x)}{3}\le\frac{x}{2}+\frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{6-2x}{3}\le\frac{x}{2}+\frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{6-2x}{3}_{(2)}\le\frac{x}{2}_{(3)}+\frac{2}{3}_{(2)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{12-4x}{6}\le\frac{3x}{6}+\frac{4}{6} \Leftrightarrow 12-4x\le3x+4 \Leftrightarrow -4x-3x\le4-12 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow -7x\le-8 \Leftrightarrow 7x\ge8 \Leftrightarrow x\ge\frac{8}{7}$$ [cite: 364]

Resposta: $C.S.=[\frac{8}{7},+\infty[$ [cite: 365]

Prova Final 3.º Ciclo — 2017, 2.ª fase

Resolve a inequação seguinte[cite: 92, 95].

\frac{x+3}{5}>2(x-1)

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 96].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x+3}{5}>2(x-1) \Leftrightarrow \frac{x+3}{5}>2x-2 \Leftrightarrow \frac{x+3}{5}>\frac{2x}{1}_{(5)}-\frac{2}{1}_{(5)} \Leftrightarrow \frac{x+3}{5}>\frac{10x}{5}-\frac{10}{5} \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow x+3>10x-10 \Leftrightarrow x-10x>-10-3 \Leftrightarrow -9x>-13 \Leftrightarrow 9x<13 \Leftrightarrow x<\frac{13}{9}$$ [cite: 368]

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{13}{9}[$ [cite: 369]

Prova Final 3.º Ciclo — 2017, 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte[cite: 100, 101].

3(1-x)>\frac{x+5}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 102].

Resolvendo a inequação, temos:

3(1-x)>\frac{x+5}{2} \Leftrightarrow 3-3x>\frac{x+5}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{1}_{(2)}-\frac{3x}{1}_{(2)}>\frac{x+5}{2} \Leftrightarrow \frac{6}{2}-\frac{6x}{2}>\frac{x+5}{2} \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow 6-6x>x+5 \Leftrightarrow -6x-x>5-6 \Leftrightarrow -7x>-1 \Leftrightarrow 7x<1 \Leftrightarrow x<\frac{1}{7}$$ [cite: 372]

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{1}{7}[$ [cite: 373]

Prova Final 3.º Ciclo — 2016, Época especial

Considera a inequação seguinte[cite: 103].

$$-2x<6$$ [cite: 107]

Qual é o conjunto solução desta inequação? [cite: 104]

(A) $[-3,+\infty[$ [cite: 105]
(B) $]-\infty,-3[$ [cite: 106]
(C) $]3,+\infty[$ [cite: 110]
(D) $]-\infty,3[$ [cite: 111]

Resolvendo a inequação, temos:

$$-2x<6 \Leftrightarrow 2x>-6 \Leftrightarrow x>\frac{-6}{2} \Leftrightarrow x>-3$$ [cite: 379]

Logo, o conjunto solução é $]-3,+\infty[$.

Resposta: Opção (A) [cite: 376]

Prova Final 3.º Ciclo — 2016, 2.ª fase

Resolve a inequação seguinte[cite: 113, 114].

2(1-x)>\frac{x}{5}+1

Apresenta o conjunto solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 115].

Resolvendo a inequação, temos:

2(1-x)>\frac{x}{5}+1 \Leftrightarrow 2-2x>\frac{x}{5}+1 \Leftrightarrow \frac{2}{1}_{(5)}-\frac{2x}{1}_{(5)}>\frac{x}{5}+\frac{1}{1}_{(5)} \Leftrightarrow \frac{10}{5}-\frac{10x}{5}>\frac{x}{5}+\frac{5}{5} \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow 10-10x>x+5 \Leftrightarrow -10x-x>5-10 \Leftrightarrow -11x>-5 \Leftrightarrow 11x<5 \Leftrightarrow x<\frac{5}{11}$$ [cite: 384]

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{5}{11}[$

Prova Final 3.º Ciclo — 2016, 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte[cite: 116, 117].

\frac{x-1}{6}\le\frac{5x-1}{3}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 118].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x-1}{6}\le\frac{5x-1}{3} \Leftrightarrow \frac{x-1}{6}\le\frac{5x-1}{3}_{(2)} \Leftrightarrow \frac{x-1}{6}\le\frac{10x-2}{6} \Leftrightarrow x-1\le10x-2 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow x-10x\le-2+1 \Leftrightarrow -9x\le-1 \Leftrightarrow 9x\ge1 \Leftrightarrow x\ge\frac{1}{9}$$ [cite: 387]

Resposta: $C.S.=[\frac{1}{9},+\infty[$ [cite: 388]

Prova Final 3.º Ciclo — 2015, Época especial

Resolve a inequação seguinte[cite: 119, 120].

2-x>\frac{x}{3}-\frac{1}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 121].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{2}{1}_{(6)}-\frac{x}{1}_{(6)}>\frac{x}{3}_{(2)}-\frac{1}{2}_{(3)} \Leftrightarrow \frac{12}{6}-\frac{6x}{6}>\frac{2x}{6}-\frac{3}{6} \Leftrightarrow 12-6x>2x-3 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow -6x-2x>-3-12 \Leftrightarrow -8x>-15 \Leftrightarrow 8x<15 \Leftrightarrow x<\frac{15}{8}$$ [cite: 391]

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{15}{8}[$ [cite: 392]

Prova Final 3.º Ciclo — 2015, 2.ª fase

Considera a inequação seguinte[cite: 122].

-3x\ge6

Qual é o conjunto solução desta inequação? [cite: 123]

(A) $[-\infty,-2]$ [cite: 124]
(B) $]-\infty,2]$ [cite: 125]
(C) $[-2,+\infty[$ [cite: 129]
(D) $[2,+\infty[$ [cite: 130]

Resolvendo a inequação, temos:

$$-3x\ge6 \Leftrightarrow 3x\le-6 \Leftrightarrow x\le\frac{-6}{3} \Leftrightarrow x\le-2$$ [cite: 397]

Logo, o conjunto solução é $]-\infty,-2]$. (Nota: a representação rigorosa para menos infinito deve ser com parêntesis abertos ou intervalo aberto na extremidade do infinito, mas selecionamos a opção de acordo com a notação de exame apresentada).

Resposta: Opção (A) [cite: 395]

Prova Final 3.º Ciclo — 2015, 1.ª fase

Resolve a inequação seguinte[cite: 132, 133].

$$1-(3x-2)<4+x$$

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 134].

Resolvendo a inequação, temos:

1-(3x-2)<4+x \Leftrightarrow 1-3x+2<4+x \Leftrightarrow -3x-x<4-2-1 \Leftrightarrow -4x<1 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow 4x>-1 \Leftrightarrow x>\frac{-1}{4} \Leftrightarrow x>-\frac{1}{4}$$ [cite: 400]

Resposta: $C.S.=]-\frac{1}{4},+\infty[$ [cite: 401]

Prova Final 3.º Ciclo — 2014, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte[cite: 138, 139].

\frac{x}{10}+\frac{3x+1}{5}\ge\frac{x}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 140].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x}{10}+\frac{3x+1}{5}_{(2)}\ge\frac{x}{2}_{(5)} \Leftrightarrow \frac{x}{10}+\frac{6x+2}{10}\ge\frac{5x}{10} \Leftrightarrow x+6x+2\ge5x \Leftrightarrow 7x-5x\ge-2 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow 2x\ge-2 \Leftrightarrow x\ge\frac{-2}{2} \Leftrightarrow x\ge-1$$ [cite: 406]

Resposta: $C.S.=[-1,+\infty[$ [cite: 407]

Prova Final 3.º Ciclo — 2014, 1.ª chamada

Resolve a inequação seguinte[cite: 141, 142].

1+\frac{x+1}{2}\ge\frac{1}{3}(1-2x)

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 146].

Resolvendo a inequação, temos:

1+\frac{x+1}{2}\ge\frac{1}{3}(1-2x) \Leftrightarrow 1+\frac{x+1}{2}\ge\frac{1}{3}-\frac{2x}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{1}_{(6)}+\frac{x+1}{2}_{(3)}\ge\frac{1}{3}_{(2)}-\frac{2x}{3}_{(2)} \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow \frac{6}{6}+\frac{3x+3}{6}\ge\frac{2}{6}-\frac{4x}{6} \Leftrightarrow 3x+4x\ge2-6-3 \Leftrightarrow 7x\ge-7 \Leftrightarrow x\ge\frac{-7}{7} \Leftrightarrow x\ge-1$$ [cite: 410]

Resposta: $C.S.=[-1,+\infty[$ [cite: 411]

Prova Final 3.º Ciclo — 2013, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte[cite: 147, 148].

\frac{1-2x}{3}\le1+\frac{x+1}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 151].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1-2x}{3}\le1+\frac{x+1}{2} \Leftrightarrow \frac{1-2x}{3}_{(2)}\le\frac{1}{1}_{(6)}+\frac{x+1}{2}_{(3)} \Leftrightarrow \frac{2-4x}{6}\le\frac{6}{6}+\frac{3x+3}{6} \Leftrightarrow 2-4x\le6+3x+3 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow -4x-3x\le6+3-2 \Leftrightarrow -7x\le7 \Leftrightarrow 7x\ge-7 \Leftrightarrow x\ge\frac{-7}{7} \Leftrightarrow x\ge-1$$ [cite: 414]

Resposta: $C.S.=[-1,+\infty[$ [cite: 415]

Prova Final 3.º Ciclo — 2012, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte[cite: 152, 153].

x-\frac{1}{2}(x-6)\le5x+\frac{10}{3}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 156].

Resolvendo a inequação, temos:

x-\frac{1}{2}(x-6)\le5x+\frac{10}{3} \Leftrightarrow x-\frac{x}{2}+\frac{6}{2}\le5x+\frac{10}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{1}_{(6)}-\frac{x}{2}_{(3)}+\frac{6}{2}_{(3)}\le\frac{5x}{1}_{(6)}+\frac{10}{3}_{(2)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{6x}{6}-\frac{3x}{6}+\frac{18}{6}\le\frac{30x}{6}+\frac{20}{6} \Leftrightarrow 6x-3x+18\le30x+20 \Leftrightarrow 3x\le30x+20-18 \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow 3x-30x\le2 \Leftrightarrow -27x\le2 \Leftrightarrow 27x\ge-2 \Leftrightarrow x\ge-\frac{2}{27}$$ [cite: 418]

Resposta: $C.S.=[-\frac{2}{27},+\infty[$ [cite: 419]

Prova Final 3.º Ciclo — 2012, 1.ª chamada

Qual das inequações seguintes é equivalente à inequação $-2x<4$? [cite: 157]

(A) $x<-2$
(B) $x>-2$
(C) $x<2$
(D) $x>2$

Simplificando a inequação, temos:

$$-2x<4 \Leftrightarrow 2x>-4 \Leftrightarrow x>\frac{-4}{2} \Leftrightarrow x>-2$$ [cite: 424]

Resposta: Opção (B) [cite: 421]

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011, Ép. Especial

Resolve a inequação seguinte[cite: 159, 164].

\frac{1}{3}(x-6)\ge\frac{x}{2}-1

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares[cite: 165].

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1}{3}(x-6)\ge\frac{x}{2}-1 \Leftrightarrow \frac{x}{3}_{(2)}-\frac{6}{3}_{(2)}\ge\frac{x}{2}_{(3)}-\frac{1}{1}_{(6)} \Leftrightarrow \frac{2x}{6}-\frac{12}{6}\ge\frac{3x}{6}-\frac{6}{6} \Leftrightarrow

$$\Leftrightarrow 2x-12\ge3x-6 \Leftrightarrow 2x-3x\ge-6+12 \Leftrightarrow -x\ge6 \Leftrightarrow x\le-6$$ [cite: 428]

Resposta: $C.S.=]-\infty,-6]$ [cite: 429]

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte.

\frac{12}{5}x-4\ge\frac{5}{2}(x-3)

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{12}{5}x-4\ge\frac{5}{2}(x-3) \Leftrightarrow \frac{12x}{5}_{(2)}-\frac{4}{1}_{(10)}\ge\frac{5x}{2}_{(5)}-\frac{15}{2}_{(5)} \Leftrightarrow \frac{24x}{10}-\frac{40}{10}\ge\frac{25x}{10}-\frac{75}{10} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 24x-40\ge25x-75 \Leftrightarrow 24x-25x\ge-75+40 \Leftrightarrow -x\ge-35 \Leftrightarrow x\le35

Resposta: $C.S.=]-\infty,35]$

Teste Intermédio 9.º ano — 07.02.2011

Resolve a inequação seguinte.

\frac{1}{2}(x-1)\ge4(1+x)-3x

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1}{2}(x-1)\ge4(x+1)-3x \Leftrightarrow \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ge4x+4-3x \Leftrightarrow \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ge\frac{x}{1}_{(2)}+\frac{4}{1}_{(2)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ge\frac{2x}{2}+\frac{8}{2} \Leftrightarrow x-1\ge2x+8 \Leftrightarrow x-2x\ge8+1 \Leftrightarrow -x\ge9 \Leftrightarrow x\le-9

Resposta: $C.S.=]-\infty,-9]$

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2010, 1.ª chamada

Resolve a inequação seguinte.

\frac{1}{3}-2x<\frac{5}{3}+\frac{x}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{1}{3}-2x<\frac{5}{3}+\frac{x}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3}_{(2)}-\frac{2x}{1}_{(6)}<\frac{5}{3}_{(2)}+\frac{x}{2}_{(3)} \Leftrightarrow \frac{2}{6}-\frac{12x}{6}<\frac{10}{6}+\frac{3x}{6} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2-12x<10+3x \Leftrightarrow -12x-3x<10-2 \Leftrightarrow -15x<8 \Leftrightarrow 15x>-8 \Leftrightarrow x>-\frac{8}{15}

Resposta: $C.S.=]-\frac{8}{15},+\infty[$

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2010 / 11.05.2009

Resolve a inequação seguinte.

\frac{2(1-x)}{3}\ge\frac{1}{4}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{2(1-x)}{3}\ge\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{2-2x}{3}\ge\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{2}{3}_{(4)}-\frac{2x}{3}_{(4)}\ge\frac{1}{4}_{(3)} \Leftrightarrow \frac{8}{12}-\frac{8x}{12}\ge\frac{3}{12} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 8-8x\ge3 \Leftrightarrow -8x\ge3-8 \Leftrightarrow -8x\ge-5 \Leftrightarrow 8x\le5 \Leftrightarrow x\le\frac{5}{8}

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{5}{8}]$

Teste Intermédio 9.º ano — 03.02.2010

Resolve a inequação seguinte.

\frac{7(2-x)}{3}\ge7

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{7(2-x)}{3}\ge7 \Leftrightarrow \frac{14-7x}{3}\ge7 \Leftrightarrow 14-7x\ge7\times3 \Leftrightarrow -7x\ge21-14 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -7x\ge7 \Leftrightarrow 7x\le-7 \Leftrightarrow x\le-\frac{7}{7} \Leftrightarrow x\le-1

Resposta: $C.S.=]-\infty,-1]$

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2009, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte.

\frac{x+1}{3}\le2x

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o conjunto solução na forma de intervalo de números reais.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x+1}{3}\le2x \Leftrightarrow x+1\le2x\times3 \Leftrightarrow x+1\le6x \Leftrightarrow x-6x\le-1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -5x\le-1 \Leftrightarrow 5x\ge1 \Leftrightarrow x\ge\frac{1}{5}

Resposta: $C.S.=[\frac{1}{5},+\infty[$

Teste Intermédio 9.º ano — 09.02.2009

Resolve a inequação seguinte.

\frac{3(x-2)}{5}\le3

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{3(x-2)}{5}\le3 \Leftrightarrow 3(x-2)\le3\times5 \Leftrightarrow 3x-6\le15 \Leftrightarrow 3x\le15+6 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 3x\le21 \Leftrightarrow x\le\frac{21}{3} \Leftrightarrow x\le7

Resposta: $C.S.=]-\infty,7]$

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte.

x+\frac{4-3x}{2}\le-5

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a inequação, temos:

x+\frac{4-3x}{2}\le-5 \Leftrightarrow \frac{x}{1}_{(2)}+\frac{4-3x}{2}\le-\frac{5}{1}_{(2)} \Leftrightarrow \frac{2x}{2}+\frac{4-3x}{2}\le-\frac{10}{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2x+4-3x\le-10 \Leftrightarrow 2x-3x\le-10-4 \Leftrightarrow -x\le-14 \Leftrightarrow x\ge14

Resposta: $C.S.=[14,+\infty[$

Teste Intermédio 9.º ano — 07.05.2008

Resolve a inequação seguinte.

\frac{x-3}{2}+5\ge2x

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x-3}{2}+5\ge2x \Leftrightarrow \frac{x-3}{2}+\frac{5}{1}_{(2)}\ge\frac{2x}{1}_{(2)} \Leftrightarrow \frac{x-3}{2}+\frac{10}{2}\ge\frac{4x}{2} \Leftrightarrow x-3+10\ge4x \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x-4x\ge3-10 \Leftrightarrow -3x\ge-7 \Leftrightarrow 3x\le7 \Leftrightarrow x\le\frac{7}{3}

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{7}{3}]$

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte.

x+\frac{1-2x}{3}\le\frac{x}{2}

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais.

Resolvendo a inequação, temos:

x+\frac{1-2x}{3}\le\frac{x}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{1}_{(6)}+\frac{1}{3}_{(2)}-\frac{2x}{3}_{(2)}\le\frac{x}{2}_{(3)} \Leftrightarrow \frac{6x}{6}+\frac{2}{6}-\frac{4x}{6}\le\frac{3x}{6} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 6x+2-4x\le3x \Leftrightarrow 6x-4x-3x\le-2 \Leftrightarrow -x\le-2 \Leftrightarrow x\ge2

Resposta: $C.S.=[2,+\infty[$

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006, 2.ª chamada

Resolve a inequação seguinte.

\frac{x}{3}+\frac{1-x}{2}\ge x

Apresenta o conjunto solução na forma de intervalo de números reais.

Resolvendo a inequação, temos:

\frac{x}{3}+\frac{1-x}{2}\ge x \Leftrightarrow \frac{x}{3}_{(2)}+\frac{1}{2}_{(3)}-\frac{x}{2}_{(3)}\ge\frac{x}{1}_{(6)} \Leftrightarrow \frac{2x}{6}+\frac{3}{6}-\frac{3x}{6}\ge\frac{6x}{6} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2x+3-3x\ge6x \Leftrightarrow 2x-3x-6x\ge-3 \Leftrightarrow -7x\ge-3 \Leftrightarrow 7x\le3 \Leftrightarrow x\le\frac{3}{7}

Resposta: $C.S.=]-\infty,\frac{3}{7}]$