- Dízima finita e dízima infinita periódica correspondem a números racionais; a dízima infinita não periódica corresponde a um irracional.
- Uma fração irredutível dá dízima finita se o denominador só tiver os fatores primos 2 e 5; caso contrário é periódica.
- São irracionais, por exemplo, \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) e \(\pi\); a raiz quadrada de um natural só é racional se esse natural for um quadrado perfeito.
- Período é o bloco que se repete; o número de algarismos do período é o comprimento do período.
- Arredondamento: olhar para o algarismo seguinte — se for \(\ge 5\) arredonda-se por excesso. O erro cometido é inferior a metade da unidade da casa usada.
- Valor aproximado por defeito é menor do que o número; por excesso é maior.
Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
Em qual das seguintes opções se apresenta um número que pode ser representado por uma dízima infinita não periódica?
Como \(-\dfrac{17}{31}\) e \(\dfrac{9}{11}\) são quocientes de números inteiros, são números racionais, ou seja, são representados por dízimas finitas ou infinitas periódicas, e \(0,(75)=0,757575\ldots\) é uma dízima infinita periódica de período 75.
Assim, de entre os números apresentados, o único que pode ser representado por uma dízima infinita não periódica é \(-2\sqrt{2}\).
Em qual das seguintes opções se apresenta um número que pode ser representado por uma dízima infinita periódica?
Como \(\sqrt{49}=7\), então \(-\dfrac{\sqrt{49}}{51}=\dfrac{-7}{51}\) é uma razão de números inteiros, ou seja, é um número racional, e por isso pode ser representado por uma dízima finita ou infinita periódica.
Como \(2\pi\), \(\sqrt{30}+\sqrt{6}\) e \(\sqrt{8}\) são números irracionais, correspondem a dízimas infinitas não periódicas.
Em qual das seguintes opções se apresenta um número irracional compreendido entre \(\dfrac{11}{5}\) e \(\dfrac{7}{3}\)?
Como \(\dfrac{\sqrt{9}}{4}=\dfrac{3}{4}\) é um quociente de números inteiros, é um número racional. Recorrendo à calculadora podemos verificar que:
Como \(\dfrac{\sqrt{13}}{6}\approx 0{,}6\), de entre os apresentados, o único número irracional compreendido entre \(\dfrac{11}{5}\) e \(\dfrac{7}{3}\) é \(\sqrt{5}\).
Em qual das seguintes opções se apresenta um número que pode ser representado por uma dízima infinita não periódica?
Como \(\sqrt{121}=11\) é um número inteiro e \(\dfrac{17}{23}\), tal como \(\dfrac{21}{17}\), são quocientes de números inteiros, e por isso são números racionais, são dízimas finitas ou infinitas periódicas.
Assim, de entre os números apresentados, o único que pode ser representado por uma dízima infinita não periódica é \(\sqrt{117}\).
Em qual das seguintes opções se apresenta um número que pode ser representado por uma dízima infinita periódica?
Como \(\dfrac{13}{17}\) é uma razão de números inteiros, é um número racional, e por isso uma dízima finita ou infinita periódica.
Como \(\sqrt{17}\), \(\pi\) e \(\sqrt{13}\) são números irracionais, ou seja, representados por dízimas infinitas não periódicas, o quociente entre qualquer um destes valores e um qualquer número natural também é um número irracional, correspondendo a uma dízima infinita não periódica.
Em qual das seguintes opções se apresenta um número que é maior do que 3,44 e menor do que 3,45?
Representando os valores na reta real, temos:
Assim, podemos verificar que de entre os valores apresentados o único que é maior do que 3,44 e menor do que 3,45 é o número 3,4406.
Considera o conjunto \(P = \left\{ -\dfrac{17}{10},\ \sqrt{0,0225},\ \dfrac{11}{5},\ \sqrt{13},\ 2+\pi \right\}\).
Qual das opções seguintes apresenta dois números irracionais que pertencem ao conjunto \(P\)?
Como \(-\dfrac{17}{10}\) e \(\dfrac{11}{5}\) são razões de números inteiros, são números racionais, e como \(\sqrt{0,0225}=0,15\) também é um número racional.
\(\sqrt{13}\) e \(2+\pi\) são números irracionais.
Assim, os números irracionais que pertencem ao conjunto \(P\) são \(\sqrt{13}\) e \(2+\pi\).
Considera o conjunto \(A = \left\{ \dfrac{17}{49};\ \sqrt{34};\ \sqrt[3]{125};\ \pi \right\}\).
Escreve os números racionais que pertencem ao conjunto \(A\).
Como \(\dfrac{17}{49}\) é uma razão de números inteiros, é um número racional, e como \(\sqrt[3]{125}=5\) também é um número racional.
\(\pi\) e \(\sqrt{34}\) são números irracionais.
Qual dos seguintes números pode ser representado por uma dízima infinita não periódica?
Como \(\dfrac{1}{7}\) e \(\dfrac{1}{64}\) são razões de números inteiros, são números racionais, ou seja, representam-se por dízimas finitas ou infinitas periódicas.
Como \(\sqrt[3]{64}=4\) é um número inteiro, e por isso não é uma dízima infinita não periódica.
\(\sqrt{7}\) é um número irracional, pelo que a sua representação na forma de dízima corresponde a uma dízima infinita não periódica.
Na figura ao lado, estão representados a reta numérica de origem \(O\), os pontos \(A\) e \(B\) pertencentes a essa reta, e a circunferência \(c\), de centro no ponto \(O\) e diâmetro \([AB]\).
Sabe-se que a abcissa do ponto \(A\) é \(-\sqrt{5}\).
Quanto mede o diâmetro da circunferência?
Como o ponto \(O\) é a origem da reta e a abcissa do ponto \(A\) é \(-\sqrt{5}\), então \(\overline{OA}=\sqrt{5}\), e o diâmetro da circunferência é:
Considera os seguintes números reais.
Escreve estes números por ordem crescente.
Recorrendo à calculadora podemos verificar que:
- \(\dfrac{6}{7}\approx 0,857\)
- \(\sqrt{0,72}\approx 0,849\)
Observando que \(\sqrt[3]{-8}=-2\) (porque \((-2)^3=-8\)) e que \(-\dfrac{19}{10}=-1,9\), podemos escrever os números por ordem crescente:
Ou seja:
Quais são os números naturais, maiores do que 200 e menores do que 350, cuja raiz quadrada é um número racional?
Como as raízes quadradas de números naturais só são números racionais se forem também números naturais, então os números que verificam a condição imposta são os quadrados perfeitos maiores que 200 e menores do que 350.
Verificando que:
- \(\sqrt{200}\approx 14,1\)
- \(\sqrt{350}\approx 18,7\)
Temos que os quadrados perfeitos maiores que 200 e menores do que 350 são:
Ou seja, os números naturais:
Na figura seguinte, está representada a reta real. Nesta reta, estão assinalados os pontos \(A\), \(B\), \(C\), \(O\), \(D\), \(E\) e \(F\), sendo o ponto \(O\) a origem.
A distância entre cada dois pontos consecutivos é uma unidade.
A qual dos segmentos seguintes pertence o ponto que representa o número \(\sqrt{7}-\sqrt{17}\)?
Como \(\sqrt{7}-\sqrt{17}\approx -1,48\), temos que
Assim, o ponto que representa o número \(\sqrt{7}-\sqrt{17}\) está localizado na reta real, entre os pontos \(C(-1)\) e \(B(-2)\), ou seja, pertence ao segmento de reta \([BC]\):
Considera o conjunto \(A = \left\{ \sqrt{5};\ \sqrt{6,25};\ \pi;\ \sqrt[3]{125} \right\}\).
Qual dos conjuntos seguintes é igual ao conjunto \(A \cap \mathbb{Q}\)? (\(\mathbb{Q}\) designa o conjunto dos números racionais.)
O conjunto \(A\cap\mathbb{Q}\) é o conjunto dos números que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos, ou seja, os elementos do conjunto \(A\) que são números racionais.
Assim, como \(\sqrt{5}\) e \(\pi\) são dízimas infinitas não periódicas, \(\sqrt{6,25}=2,5\) e \(\sqrt[3]{125}=5\), temos que apenas \(\sqrt{6,25}\) e \(\sqrt[3]{125}\) são números racionais, pelo que
Qual dos números seguintes está entre \(-0,04\) e \(-0,03\)?
Representando os valores na reta real, temos:
Assim, podemos verificar que \(-0,04 < -0,035 < -0,03\).
Qual dos números seguintes é maior do que \(-\dfrac{7}{11}\)?
Como \(-\dfrac{7}{11}\approx -0,63636\), representando os valores na reta real, temos:
Logo, ordenando por ordem crescente os valores temos
Qual dos números seguintes está entre \(-0,07\) e \(-0,06\)?
Representando os valores na reta real, temos:
Assim, podemos verificar que \(-0,07 < -0,065 < -0,06\).
Escreve um número compreendido entre 3,14 e \(\pi\).
Como \(\pi\approx 3,1416\), o número
é maior que 3,14 e menor que \(\pi\).
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
Analisando cada uma das afirmações, temos que
- a afirmação da opção (A) é falsa porque qualquer quociente de números inteiros é um número racional.
- a afirmação da opção (B) é falsa porque \(2\pi\) é uma dízima infinita não periódica, ou seja, um número irracional, pelo que \(2\pi\notin\mathbb{Q}\).
- a afirmação da opção (C) é verdadeira porque \(1,32(5)\) é uma dízima infinita periódica, ou seja, é um número racional: \(1,32(5)\in\mathbb{Q}\).
- a afirmação da opção (D) é falsa porque \(\sqrt{16}=4\), ou seja, não é uma dízima infinita não periódica, logo é um número racional, \(\sqrt{16}\in\mathbb{Q}\).
Qual das opções seguintes apresenta dois números irracionais?
Como \(\sqrt[3]{8}=2\), ou seja \(\sqrt[3]{8}\in\mathbb{Q}\), e \(\sqrt[3]{27}=3\), ou seja \(\sqrt[3]{27}\in\mathbb{Q}\), em cada uma das opções (A), (B) e (C) existe, pelo menos, um número racional.
Escreve, na forma de uma fração, em que o numerador e o denominador sejam números naturais, um número, \(x\), que verifique a condição seguinte:
Como \(\sqrt{5}\approx 2,24\), temos que, por exemplo, \(2,3>\sqrt{5}\) e \(2,3<2,5\).
Assim, um número \(x\), que verifique a condição \(\sqrt{5} Escrevendo 2,3 na forma de uma fração, em que o numerador e o denominador sejam números naturais,
Qual das opções seguintes apresenta um número irracional?
Analisando cada uma das opções, temos que
- \(\sqrt{25}=5\), logo \(\sqrt{25}\in\mathbb{Q}\), ou seja \(\sqrt{25}\) não é um número irracional;
- \(\sqrt{2,5}=\sqrt{\dfrac{25}{10}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{10}}\), logo, como \(\sqrt{10}\) é um número irracional, também \(\sqrt{2,5}\) é um número irracional;
- \(\sqrt{0,25}=\sqrt{\dfrac{25}{100}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\), logo \(\sqrt{0,25}\in\mathbb{Q}\), ou seja \(\sqrt{0,25}\) não é um número irracional;
- \(\sqrt{0,0025}=\sqrt{\dfrac{25}{10000}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{10000}}=\dfrac{5}{100}=\dfrac{1}{20}\), logo \(\sqrt{0,0025}\in\mathbb{Q}\), ou seja \(\sqrt{0,0025}\) não é um número irracional.
Considera o conjunto \(S = \left\{ \sqrt{\dfrac{1}{4}},\ \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}},\ \sqrt[3]{27},\ \sqrt{27} \right\}\).
Qual dos números do conjunto \(S\) é um número irracional?
Como
- \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\), temos que \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\in\mathbb{Q}\);
- \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}=\dfrac{1}{4}\), temos que \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\in\mathbb{Q}\);
- \(\sqrt[3]{27}=3\), temos que \(\sqrt[3]{27}\in\mathbb{Q}\);
e \(\sqrt{27}\) é uma dízima infinita não periódica, o elemento do conjunto \(S\) que é um número irracional é \(\sqrt{27}\).
Quais são os números do conjunto \(A = \left\{ -8;\ -\sqrt{27};\ \dfrac{3}{7};\ \pi;\ \sqrt{81} \right\}\) que são irracionais?
Temos que \(-8\in\mathbb{Q}\); \(\dfrac{3}{7}\) é um quociente de números inteiros, pelo que pode ser representado por uma dízima finita ou infinita periódica, logo \(\dfrac{3}{7}\in\mathbb{Q}\); e \(\sqrt{81}=9\), logo \(\sqrt{81}\in\mathbb{Q}\).
E como \(-\sqrt{27}\) e \(\pi\) são dízimas infinitas não periódicas, então são estes os elementos do conjunto \(A\) que são números irracionais.
Considera o conjunto seguinte:
Qual dos números do conjunto \(S\) corresponde a uma dízima infinita não periódica?
Como
- \(-3,5\in\mathbb{Q}\);
- \(\dfrac{1}{7}\in\mathbb{Q}\);
- \(2,(45)\in\mathbb{Q}\);
e \(\sqrt{109}\) é um número irracional, ou seja é este o elemento do conjunto \(S\) que corresponde a uma dízima infinita não periódica.
Escreve um número não inteiro compreendido entre \(-4\) e \(-2\).
Não justifiques a tua resposta.
Considerando uma dízima finita conseguimos garantir que o número não é inteiro, e escolhendo um número compreendido entre \(-4\) e \(-2\), temos, por exemplo,
Qual dos quatro números que se seguem é um número irracional?
Como
- \(\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}\), temos que \(\sqrt{\dfrac{1}{16}}\in\mathbb{Q}\);
- \(\sqrt{0,16}=\sqrt{\dfrac{16}{100}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\), temos que \(\sqrt{0,16}\in\mathbb{Q}\);
- \(\dfrac{1}{16}\in\mathbb{Q}\);
e \(\sqrt{1,16}\) é uma dízima infinita não periódica, ou seja é o único número irracional de entre as opções apresentadas.
Qual dos quatro números que se seguem é o menor?
Simplificando as frações temos:
- \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^2=\dfrac{1^2}{9^2}=\dfrac{1}{81}\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}\)
- \(\dfrac{1}{9}\div 2=\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}\)
- \(2\div\dfrac{1}{9}=2\times 9=18\)
E assim verificamos que, de entre os números apresentados, o menor é \(\dfrac{1}{81}\), ou seja, \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^2\).
Escreve um número compreendido entre \(3\times 10^{-1}\) e \(\dfrac{1}{3}\).
Como sabemos que:
- \(3\times 10^{-1}=0,3\)
- \(\dfrac{1}{3}=0,(3)\)
Então um número compreendido entre \(3\times 10^{-1}\) e \(\dfrac{1}{3}\) é, por exemplo: 0,31.
Escreve um número irracional compreendido entre 4 e 5.
Como \(\pi\) é um número irracional e \(\pi\approx 3,14\), então
é um número irracional compreendido entre 4 e 5.
A seguir está representada uma sequência de números que se segue uma determinada lei de formação.
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | 4.º termo | … | 15.º termo | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0909 | 0,1818 | 0,2727 | 0,3636 | … | 1,3635 | … |
Indica, sob a forma de fração, um número compreendido entre o 2.º e o 3.º termo da sequência.
Como se pretende escrever sob a forma de fração um número compreendido entre 0,1818 e 0,2727, e considerando, por exemplo, o número 0,2 porque \(0,1818<0,2<0,2727\), então temos que: