Exercícios de Exame — Teorema de Pitágoras | 7.º ano

1

Prova ensaio 9.º ano — 2025

Na figura seguinte, está representado o quadrado \([ABCD]\).

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que a área do quadrado \([ABCD]\) é igual a 49.

Assinala a opção que apresenta \(\overline{AC}\).

(A) \(\sqrt{28}\)

(B) \(\sqrt{98}\)

(C) \(7\)

(D) \(14\)

Como a área do quadrado \([ABCD]\) é 49, e \(\overline{AB} = \overline{BC}\), temos que:

\overline{AB} \times \overline{BC} = 49 \Leftrightarrow \overline{AB}^2 = 49 \underset{\overline{AB}>0}{\Rightarrow} \overline{AB} = \sqrt{49} = 7

Assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular o valor de \(\overline{AC}\), temos:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98 \underset{\overline{AC}>0}{\Rightarrow} \overline{AC} = \sqrt{98}

Resposta: Opção B.

2

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 2.ª fase

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto \(O\).

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência;
o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\) e está inscrito na circunferência;
a amplitude do arco \(CD\) é \(120^\circ\);
\(\overline{OC} = \overline{BC} = 10\);
as cordas \([AB]\) e \([CD]\) são paralelas e iguais.

A figura não está desenhada à escala.

Circunferência com triângulo retângulo [ABC]

Calcula \(\overline{AB}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado arredondado às centésimas.

Como \([AC]\) é um diâmetro da circunferência e \(O\) é o centro, temos que \(\overline{OA} = \overline{OC}\), pelo que:

\overline{AC} = \overline{OA} + \overline{OC} = 10 + 10 = 20

Assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular \(\overline{AB}\):

\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = \overline{AC}^2 \Leftrightarrow \overline{AB}^2 + 10^2 = 20^2 \Leftrightarrow \overline{AB}^2 = 400 - 100 = 300

\overline{AB} = \sqrt{300} \approx 17{,}32

Resposta: \(\overline{AB} \approx 17{,}32\).

3

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 1.ª fase

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto \(O\).

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) e \(F\) pertencem à circunferência;
o ponto \(F\) pertence à reta \(CE\);
\([CF]\) é um diâmetro da circunferência;
o triângulo \([ODE]\) é retângulo em \(D\);
\(O\hat{E}D = 30^\circ\);
\(B\hat{A}D = 80^\circ\);
\(\overline{OD} = 6\);
\(\overline{OE} = 12\).

A figura não está desenhada à escala.

Circunferência com triângulo [ODE] retângulo em D

Calcula \(\overline{DE}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado arredondado às décimas.

Como o triângulo \([ODE]\) é retângulo em \(D\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular \(\overline{DE}\):

\overline{DE}^2 + \overline{OD}^2 = \overline{OE}^2 \Leftrightarrow \overline{DE}^2 + 6^2 = 12^2 \Leftrightarrow \overline{DE}^2 = 144 - 36 = 108

\overline{DE} = \sqrt{108} \approx 10{,}39

Resposta: o valor de \(\overline{DE}\), arredondado às décimas, é \(10{,}4\).

4

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · Época especial

Na figura seguinte, à esquerda, está uma fotografia de uma casa castreja da Idade do Ferro, situada na Citânia de Briteiros.

A figura da direita representa um modelo geométrico dessa casa. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro reto e num cone reto.

Sabe-se que:

a base superior do cilindro coincide com a base do cone;
as bases do cilindro e a base do cone têm 5 metros de diâmetro;
o cilindro tem 4 metros de altura;
o cone tem 2 metros de altura.

O modelo não está desenhado à escala.

Cilindro com cone — casa castreja, com geratriz g

Calcula a geratriz, \(g\), do cone, utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o diâmetro da base do cone é 5 metros, a medida do raio é \(\frac{5}{2} = 2{,}5\) metros. Como o cone é reto, o raio da base, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

g^2 = \text{raio}^2 + \text{altura}^2 \Leftrightarrow g^2 = 2{,}5^2 + 2^2 \Leftrightarrow g^2 = 10{,}25 \underset{g>0}{\Rightarrow} g = \sqrt{10{,}25} \text{ m}

Assim, como \(\sqrt{10{,}25} \approx 3{,}202\), o valor de \(g\) em metros, arredondado às décimas, é \(3{,}2\) m.

Resposta: \(g \approx 3{,}2\) m.

5

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 2.ª fase

Na figura seguinte, está representado o logótipo do clube desportivo Boa Forma.

Relativamente à figura, sabe-se que:

\([ABCD]\) é um retângulo;
\(\overline{AB} = 7{,}5\) cm e \(\overline{BC} = 6\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula \(\overline{AC}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como \([ABCD]\) é um retângulo, o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\), pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 7{,}5^2 + 6^2 = 92{,}25 \underset{\overline{AC}>0}{\Rightarrow} \overline{AC} = \sqrt{92{,}25} \text{ cm}

Assim, como \(\sqrt{92{,}25} \approx 9{,}604\), o valor de \(\overline{AC}\) em centímetros, arredondado às décimas, é \(9{,}6\) cm.

Resposta: \(\overline{AC} \approx 9{,}6\) cm.

6

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 1.ª fase

Na figura seguinte, está representado um modelo de uma tenda de campismo, montada numa superfície plana, com os cabos de suporte que a fixam a essa superfície.

No modelo, o prisma triangular reto \([ABCDEF]\) representa a tenda, o triângulo \([ABC]\) representa a entrada da tenda, o segmento de reta \([CP]\) representa um dos cabos de suporte, e o ponto \(P\) representa o local da superfície onde a estaca fixa esse cabo.

Relativamente ao modelo, sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é isósceles e \(\overline{AC} = \overline{BC}\);
\(M\) é o ponto médio de \([AB]\) e \(P\) pertence à reta \(AB\);
\(\overline{AB} = 2{,}2\) m e \(\overline{CM} = 1{,}8\) m;
\(C\hat{P}M = 42^\circ\).

O modelo não está desenhado à escala.

Calcula \(\overline{BC}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como \(M\) é o ponto médio de \([AB]\), temos que \(\overline{MB} = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{2{,}2}{2} = 1{,}1\) m.

O triângulo \([CBM]\) é retângulo em \(M\) (porque o triângulo \([ABC]\) é isósceles), logo, recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{CM}^2 + \overline{MB}^2 = 1{,}8^2 + 1{,}1^2 = 3{,}24 + 1{,}21 = 4{,}45 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{4{,}45} \text{ m}

Assim, como \(\sqrt{4{,}45} \approx 2{,}1\), o valor de \(\overline{BC}\) em metros, arredondado às unidades, é \(2\) m.

Resposta: \(\overline{BC} \approx 2\) m.

7

Prova de Aferição 8.º ano — 2023

A figura seguinte é uma fotografia da fachada do Museu de Arte, Arquitetura e Tecnologia (MAAT), situado na frente ribeirinha da zona histórica de Belém, em Lisboa.

Na figura abaixo, está representado um esquema, que não está desenhado à escala, de um dos azulejos da fachada do museu.

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

\([ABCD]\) é um trapézio;
\(\overline{AB} = \overline{CD}\);
\(\overline{AD} = 32\) cm e \(\overline{BC} = 59\) cm;
a altura do trapézio, \(\overline{AE}\), é igual a 28 cm.

Qual é o comprimento do segmento de reta \([AB]\)? Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Considerando o ponto \(P\), a interseção da reta perpendicular a \(BC\) pelo ponto \(D\), com a reta \(BC\), e como \(\overline{AB} = \overline{CD}\), tem-se \(\overline{BE} = \overline{PC}\), pelo que:

2\,\overline{BE} + \overline{AD} = \overline{BC} \Leftrightarrow \overline{BE} = \dfrac{\overline{BC} - \overline{AD}}{2} = \dfrac{59 - 32}{2} = 13{,}5 \text{ cm}

Assim, usando o Teorema de Pitágoras:

\overline{AB}^2 = \overline{BE}^2 + \overline{AE}^2 = 13{,}5^2 + 28^2 = 966{,}25 \underset{\overline{AB}>0}{\Rightarrow} \overline{AB} = \sqrt{966{,}25} \approx 31{,}1 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{AB} \approx 31{,}1\) cm.

8

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 2.ª fase

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro \(O\). Os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

o ponto \(E\) é o ponto de intersecção das cordas \([AC]\) e \([BD]\);
o triângulo \([CEB]\) é retângulo em \(E\);
\(\overline{BE} = 5\) cm e \(\overline{BC} = 10\) cm;
\(\overset{\frown}{AB} = 60^\circ\).

A figura não está desenhada à escala.

Determina \(\overline{CE}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([CEB]\) é retângulo em \(E\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{CE}^2 + \overline{BE}^2 = \overline{BC}^2 \Leftrightarrow \overline{CE}^2 + 5^2 = 10^2 \Leftrightarrow \overline{CE}^2 = 100 - 25 = 75

\overline{CE} = \sqrt{75} \approx 8{,}66

Assim, o valor de \(\overline{CE}\) em centímetros, arredondado às décimas, é \(8{,}7\) cm.

Resposta: \(\overline{CE} \approx 8{,}7\) cm.

9

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 1.ª fase

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto \(O\). Os pontos \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência e o ponto \(A\) é exterior à circunferência.

Sabe-se que:

o segmento de reta \([BD]\) é um diâmetro da circunferência;
o triângulo \([ABO]\) é retângulo em \(B\);
\(\overset{\frown}{CD} = 110^\circ\);
\(\overline{AB} = 6\) cm e \(\overline{BO} = 4\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Circunferência com triângulo [ABO] retângulo em B

Determina \(\overline{AO}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([ABO]\) é retângulo em \(B\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{AO}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BO}^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52

\overline{AO} = \sqrt{52} \approx 7{,}21

Assim, o valor de \(\overline{AO}\) em centímetros, arredondado às décimas, é \(7{,}2\) cm.

Resposta: \(\overline{AO} \approx 7{,}2\) cm.

10

Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano — 2021

Na figura seguinte, está representado o círculo de diâmetro \([AC]\), modelo de um canteiro de um jardim. Nesse canteiro, foram plantadas tulipas, exceto na zona representada pelo retângulo \([ABCD]\), cujos vértices pertencem à circunferência que delimita o círculo.

Sabe-se que \(\overline{AB} = 7\) m e \(\overline{BC} = 5\) m.

A figura não está desenhada à escala.

Círculo com retângulo [ABCD] inscrito — canteiro

Qual é a área da zona do canteiro onde foram plantadas tulipas? Apresenta o resultado, em metros quadrados, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.

A área da zona das tulipas é a diferença entre a área do círculo e a área do retângulo.

A_{[ABCD]} = 7 \times 5 = 35 \text{ m}^2

Como o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 7^2 + 5^2 = 74 \underset{\overline{AC}>0}{\Rightarrow} \overline{AC} = \sqrt{74} \text{ m}

O raio do círculo é \(\dfrac{\sqrt{74}}{2}\), pelo que a área do círculo é:

A_{\circ} = \pi \times \left(\dfrac{\sqrt{74}}{2}\right)^2 = \pi \times \dfrac{74}{4} \approx 58{,}12 \text{ m}^2

A_{\text{tulipas}} = A_{\circ} - A_{[ABCD]} \approx 58{,}12 - 35 \approx 23 \text{ m}^2

Resposta: \(\approx 23\) m².

11

Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano — 2021

Na figura seguinte, está representado o trapézio \([ABCD]\) retângulo no vértice \(A\) e de bases \([AB]\) e \([DC]\).

Sabe-se que:

\(\overline{AB} = 15\) cm;
\(\overline{DC} = 7\) cm;
\(\overline{AD} = 6\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina o valor exato de \(\overline{BC}\). Apresenta o resultado em centímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Considerando o ponto \(P\), a interseção da reta perpendicular a \(AB\) pelo ponto \(C\), com a reta \(AB\), temos que:

\(\overline{PA} = \overline{CD} = 7\) cm;
\(\overline{PB} = \overline{AB} - \overline{PA} = 15 - 7 = 8\) cm;
\(\overline{PC} = \overline{AD} = 6\) cm.

Assim, usando o Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{BC} = 10\) cm.

12

Prova de Matemática, 9.º ano — 2021

A figura seguinte é uma fotografia da escultura Esforço, que se encontra em Vila Nova de Cerveira, do escultor português José Rodrigues. Esta escultura é constituída por um tripé no qual se suspende, por um fio, sobre um lago, uma peça de pedra.

A figura da direita apresenta um modelo geométrico que ilustra a escultura.

Relativamente ao modelo geométrico, sabe-se que:

o ponto \(A\) representa a ligação entre os elementos do tripé;
o ponto \(C\) é o ponto de contacto de um desses elementos com o solo;
o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\);
\(\overline{AC} = 7\) m e \(\overline{AB} = 6\) m.

O modelo geométrico não está desenhado à escala.

Triângulo [ABC] retângulo em B — escultura Esforço

Determina \(\overline{BC}\), utilizando o teorema de Pitágoras. Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras para calcular \(\overline{BC}\):

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 \Leftrightarrow 7^2 = 6^2 + \overline{BC}^2 \Leftrightarrow 49 - 36 = \overline{BC}^2 \Leftrightarrow \overline{BC}^2 = 13

\overline{BC} = \sqrt{13} \approx 3{,}6 \text{ m}

Resposta: \(\overline{BC} \approx 3{,}6\) m.

13

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 2.ª fase

Uma cisterna tem a forma de um sólido que pode ser decomposto num cilindro e em duas semiesferas, como se vê na figura ao lado.

De acordo com a figura:

o comprimento da cisterna é 6,4 m;
o diâmetro da base do cilindro é 2,4 m;
as bases do cilindro e as semiesferas têm o mesmo diâmetro.

A figura não está desenhada à escala.

Cisterna — cilindro com duas semiesferas

A cisterna é colocada sobre a plataforma do reboque de um camião. Essa plataforma tem a forma de um retângulo com largura igual ao diâmetro da base do cilindro e comprimento igual ao da cisterna.

Para sustentar a cisterna, a plataforma do camião foi reforçada com duas barras metálicas, coincidindo com as suas diagonais, representadas na figura ao lado por \([AC]\) e \([BD]\).

A figura não está desenhada à escala.

Plataforma retangular com diagonais [AC] e [BD]

Determina o comprimento da barra representada por \([AC]\). Apresenta o resultado, em metros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como a plataforma tem a forma de um retângulo, \([ABC]\) é um triângulo retângulo em \(B\), e assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 6{,}4^2 + 2{,}4^2 = 40{,}96 + 5{,}76 = 46{,}72

\overline{AC} = \sqrt{46{,}72} \approx 6{,}8 \text{ m}

Resposta: \(\overline{AC} \approx 6{,}8\) m.

14

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 1.ª fase

Numa praia, existe uma rampa de acesso ao areal. Na figura, está representado o prisma triangular reto \([ABCDEF]\), que é um esquema dessa rampa.

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

\(A\hat{B}C = 90^\circ\);
\(\overline{AB} = 6\) m e \(\overline{BC} = 0{,}72\) m.

O esquema não está desenhado à escala.

Determina o comprimento da rampa, ou seja, \(\overline{AC}\). Apresenta o resultado em metros, arredondado às centésimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([ABC]\) é retângulo, porque \(A\hat{B}C = 90^\circ\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 6^2 + 0{,}72^2 = 36 + 0{,}5184 = 36{,}5184

\overline{AC} = \sqrt{36{,}5184} \approx 6{,}043 \text{ m}

Assim, o comprimento da rampa, em metros, arredondado às centésimas, é \(6{,}04\) m.

Resposta: \(\overline{AC} \approx 6{,}04\) m.

15

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · Época especial

No transporte marítimo de gás, usam-se, frequentemente, navios com tanques esféricos.

Na figura seguinte, está representado, em esquema, o casco de um desses navios. Este esquema é composto pelo paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\) e pela pirâmide retangular irregular \([BCHGI]\), cujo vértice \(I\) pertence ao plano que contém a face \([CDEH]\) do paralelepípedo retângulo.

Casco do navio — paralelepípedo e pirâmide

Admite que \(\overline{AB} = 10\) cm e \(\overline{AD} = 3\) cm.

Determina \(\overline{BD}\). Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([ABD]\) é retângulo em \(A\) (porque \([ABCDEFGH]\) é um paralelepípedo retângulo), recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 = 10^2 + 3^2 = 100 + 9 = 109

\overline{BD} = \sqrt{109} \approx 10{,}4 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{BD} \approx 10{,}4\) cm.

16

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 2.ª fase

A Casa das Histórias Paula Rego é um museu de arte localizado em Cascais.

Na figura, em baixo, representa-se, em esquema, uma das partes desse edifício.

No esquema, estão representados o prisma reto de bases quadradas \([ABCDEFGH]\) e o tronco de pirâmide \([EFGHIJKL]\), da pirâmide reta de base quadrada \([EFGHV]\). As faces \([EFGH]\) e \([IJKL]\), do tronco de pirâmide, são paralelas.

Relativamente ao esquema, admite que:

\(\overline{BC} = 9\) cm, \(\overline{CH} = 6\) cm e \(\overline{KL} = 3\) cm;
a altura da pirâmide \([EFGHV]\) é 24 cm;
a distância entre os planos \([EFG]\) e \([JKL]\) é 16 cm.

Prisma e tronco de pirâmide — Casa Paula Rego

Determina \(\overline{BH}\). Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([BCH]\) é retângulo em \(C\) (porque \([ABCDEFGH]\) é um prisma reto), recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{BH}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CH}^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117

\overline{BH} = \sqrt{117} \approx 10{,}8 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{BH} \approx 10{,}8\) cm.

17

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 1.ª fase

Na figura seguinte, está representado o prisma reto \([STUVWXYZ]\), que é o esquema da secção inclinada de uma cama articulada. As bases do prisma são trapézios.

Relativamente ao prisma, sabe-se que:

\([STUV]\) é um trapézio de bases \([VS]\) e \([UT]\), retângulo no vértice \(V\);
\([SXWV]\) é um quadrado cujos lados têm 15 cm de comprimento;
\(\overline{UV} = 7\) cm.

Determina \(\overline{US}\). Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([UVS]\) é retângulo em \(V\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras: \(\overline{US}^2 = \overline{UV}^2 + \overline{VS}^2\).

Como \([SXWV]\) é um quadrado cujos lados têm 15 cm, temos \(\overline{VS} = 15\) cm. Logo, como \(\overline{UV} = 7\) cm:

\overline{US}^2 = 7^2 + 15^2 = 49 + 225 = 274 \underset{\overline{US}>0}{\Rightarrow} \overline{US} = \sqrt{274} \approx 16{,}6 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{US} \approx 16{,}6\) cm.

18

Prova de Aferição 8.º ano — 2018

Uma horta plana tem a forma de um trapézio retângulo.

O trapézio \([ABCD]\) da figura seguinte, de bases \([AB]\) e \([DC]\), retângulo em \(A\), é um esquema da horta.

Sabe-se que:

\(\overline{AB} = 20\) m;
\(\overline{DC} = 12\) m;
\(\overline{AD} = 6\) m.

A horta vai ser delimitada por uma rede.

Determina o comprimento da rede. Apresenta o resultado em metros. Mostra como chegaste à tua resposta.

O comprimento da rede é o perímetro do trapézio; para o calcular, é necessário determinar \(\overline{BC}\). Considerando o ponto \(P\), a interseção da reta perpendicular a \(AB\) pelo ponto \(C\), com a reta \(AB\):

\(\overline{PB} = \overline{AB} - \overline{CD} = 20 - 12 = 8\) m;
\(\overline{CP} = \overline{AD} = 6\) m.

Assim, usando o Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{PB}^2 + \overline{CP}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}

Logo, o perímetro do trapézio \([ABCD]\) é:

P_{[ABCD]} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{DC} + \overline{AD} = 20 + 10 + 12 + 6 = 48 \text{ m}

Resposta: 48 m.

19

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · Época especial

Na figura seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(C\).

Sabe-se que:

\([CD]\) é a altura do triângulo \([ABC]\) relativa ao lado \([AB]\);
\(\overline{AD} = 1\) cm;
\(\overline{CD} = \sqrt{8}\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Triângulo [ABC] retângulo em C com altura [CD]

Determina \(\overline{AC}\). Apresenta o valor pedido em centímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo \([ACD]\) é retângulo em \(D\), recorrendo ao Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 = 1^2 + \left(\sqrt{8}\right)^2 = 1 + 8 = 9

\overline{AC} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{AC} = 3\) cm.

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Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 2.ª fase

Os catetos de um triângulo retângulo medem 48 cm e 62 cm.

Determina o comprimento da hipotenusa desse triângulo. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às centésimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o triângulo é retângulo, recorrendo ao Teorema de Pitágoras e substituindo os comprimentos dos catetos, calculando o comprimento da hipotenusa \((h)\):

h^2 = 48^2 + 62^2 = 2304 + 3844 = 6148 \underset{h>0}{\Rightarrow} h = \sqrt{6148} \approx 78{,}41

Resposta: \(h \approx 78{,}41\) cm.

21

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados o prisma reto \([ABCDEFGH]\) de bases quadradas \([ABCD]\) e \([FGHE]\) e as pirâmides triangulares \([AFGE]\) e \([ASTR]\), cujas bases \([FGE]\) e \([STR]\) estão contidas em planos paralelos.

Os vértices \(S\), \(T\) e \(R\) da pirâmide \([ASTR]\) pertencem, respetivamente, às arestas \([AF]\), \([AG]\) e \([AE]\) da pirâmide \([AFGE]\).

Considera que:

\(\overline{AS} = 6\) cm;
\(\overline{ST} = 4\) cm;
\(\overline{AF} = 9\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina \(\overline{AT}\). Apresenta o valor pedido em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O plano \(STR\) é paralelo ao plano \(EFG\), que é perpendicular ao plano \(AFG\); logo, o ângulo \(A\hat{S}T\) é reto e o triângulo \([AST]\) é retângulo em \(S\). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AT}^2 = \overline{AS}^2 + \overline{ST}^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \underset{\overline{AT}>0}{\Rightarrow} \overline{AT} = \sqrt{52}

Assim, arredondando às décimas, \(\overline{AT} \approx 7{,}2\) cm.

Resposta: \(\overline{AT} \approx 7{,}2\) cm.

22

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 2.ª fase

Na figura, estão representados um cilindro e um prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\) de bases \([ABCD]\) e \([EFGH]\), inscritas nas bases do cilindro. A altura do cilindro é igual a 5,3 cm e o raio da sua base é igual a 3 cm.

A figura não está desenhada à escala.

Prisma quadrangular inscrito num cilindro

Determina o volume do prisma. Apresenta o resultado em centímetros cúbicos, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como a base do prisma é um quadrado, o triângulo \([DAB]\) é retângulo em \(A\). Como o raio da base do cilindro é 3 cm, o diâmetro é \(\overline{BD} = 2 \times 3 = 6\) cm.

Pelo Teorema de Pitágoras, com \(\overline{AB} = \overline{AD}\):

\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 = 2\,\overline{AB}^2 \Leftrightarrow 2\,\overline{AB}^2 = 6^2 = 36 \Leftrightarrow \overline{AB}^2 = 18 \text{ cm}^2

Calculando o volume do prisma:

V_{[ABCDEFGH]} = \overline{AB}^2 \times \overline{BG} = 18 \times 5{,}3 \approx 95 \text{ cm}^3

Resposta: \(\approx 95\) cm³.

23

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados o triângulo escaleno \([LMN]\), as semirretas \(\dot{M}O\) e \(\dot{N}O\), bissetrizes dos ângulos \(LMN\) e \(MNL\), respetivamente, e a circunferência inscrita no triângulo \(LMN\).

Sabe-se que:

a reta \(MN\) é tangente à circunferência no ponto \(P\);
o ponto \(Q\) é a intersecção do segmento de reta \([MO]\) com a circunferência.

Admite que \(\overline{OP} = \sqrt{3}\) e que \(\overline{PN} = 3\).

Triângulo [LMN] com circunferência inscrita

Determina o valor exato de \(\overline{ON}\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo \([OPN]\) é retângulo em \(P\) (porque o raio \([OP]\) é perpendicular à reta tangente em \(P\), que contém o lado \([PN]\)). Assim, pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{ON}^2 = \overline{OP}^2 + \overline{PN}^2 = \left(\sqrt{3}\right)^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12 \underset{\overline{ON}>0}{\Rightarrow} \overline{ON} = \sqrt{12}

Resposta: \(\overline{ON} = \sqrt{12}\).

24

Prova de Aferição 8.º ano — 2016

Na figura, está representado um triângulo \([ABC]\), retângulo em \(A\).

Sabe-se que:

o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AC]\), o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\) e o ponto \(F\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
os segmentos de reta \([DE]\) e \([AB]\) são paralelos;
\(\overline{DE} = 6{,}3\) cm;
\(\overline{BE} = 7{,}8\) cm;
\(\overline{FB} = 3\) cm;
\(E\hat{F}B = 90^\circ\).

Triângulo [ABC] retângulo em A com [DE] paralelo a [AB]

Determina o valor exato de \(\overline{EF}\). Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

Como \(E\hat{F}B = 90^\circ\), o triângulo \([EFB]\) é retângulo em \(F\). Assim, pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BE}^2 = \overline{EF}^2 + \overline{FB}^2 \Leftrightarrow 7{,}8^2 = \overline{EF}^2 + 3^2 \Leftrightarrow 60{,}84 - 9 = \overline{EF}^2 \Leftrightarrow \overline{EF}^2 = 51{,}84

\overline{EF} = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{EF} = 7{,}2\) cm.

25

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · Época especial

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto \(C\) e os pontos \(T\), \(P\), \(A\), \(M\) e \(B\).

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

os pontos \(T\), \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
\(M\) é o ponto médio da corda \([AB]\);
a reta tangente à circunferência no ponto \(T\) intersecta a reta \(AB\) no ponto \(P\);
\(\overline{PB} = 8\);
\(\overline{PA} = 2\);
\(\overline{PT} = 4\);
\(\overline{CT} = 9{,}2\).

Circunferência de centro C com tangente em T

Determina \(\overline{CP}\). Apresenta o resultado arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como a reta \(TP\) é tangente à circunferência no ponto \(T\), é perpendicular ao raio \([CT]\); por isso, o triângulo \([CTP]\) é retângulo em \(T\). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{CP}^2 = \overline{CT}^2 + \overline{PT}^2 = 9{,}2^2 + 4^2 = 84{,}64 + 16 = 100{,}64

\overline{CP} = \sqrt{100{,}64} \approx 10

Resposta: \(\overline{CP} \approx 10\).

26

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 2.ª fase

Na figura, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(A\).

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

o ponto \(F\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
o quadrilátero \([AFED]\) é um retângulo;
\(\overline{AB} = 6\) cm;
\(\overline{AC} = 9\) cm;
\(\overline{FB} = 4\) cm.

Triângulo [ABC] retângulo em A com retângulo [AFED]

Qual é o comprimento, em centímetros, do segmento de reta \([BC]\)?

(A) \(\sqrt{114}\) cm

(B) \(\sqrt{117}\) cm

(C) \(\sqrt{120}\) cm

(D) \(\sqrt{123}\) cm

Como o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(A\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{117} \text{ cm}

Resposta: Opção B.

27

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 2.ª chamada

Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências com centro no ponto \(O\), uma de raio \(\overline{OA}\) e outra de raio \(\overline{OB}\).

Sabe-se que:

o ponto \(A\) pertence ao segmento de reta \([OB]\);
o segmento de reta \([CD]\) é um diâmetro da circunferência de raio \(\overline{OA}\);
o segmento de reta \([CD]\) é perpendicular ao segmento de reta \([OB]\);
\(\overline{OA} = 2\) cm;
\(\overline{OB} = 3\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Duas circunferências concêntricas de centro O

Qual é a medida do comprimento, em centímetros, do segmento de reta \([BC]\)?

(A) \(\sqrt{13}\)

(B) \(\sqrt{12}\)

(C) \(\sqrt{11}\)

(D) \(\sqrt{10}\)

Como \([OA]\) e \([OC]\) são raios da mesma circunferência, \(\overline{OC} = \overline{OA} = 2\). Como o triângulo \([OBC]\) é retângulo em \(O\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{OC}^2 + \overline{OB}^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{13}

Resposta: Opção A.

28

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 1.ª chamada

Relativamente à figura, sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é isósceles, com \(\overline{AB} = \overline{AC}\);
os pontos \(D\) e \(E\) pertencem aos segmentos de reta \([AB]\) e \([AC]\), respetivamente;
o triângulo \([ADE]\) é semelhante ao triângulo \([ABC]\);
\(\overline{DE} = 4\) cm;
\(\overline{BC} = 6\) cm;
\(l\) é a altura do triângulo \([ABC]\) relativa à base \([BC]\).

A figura não está desenhada à escala. Também se sabe que \(\overline{AB} = 7\) cm.

Qual é o valor de \(l\), em centímetros?

(A) \(\sqrt{30}\)

(B) \(\sqrt{35}\)

(C) \(\sqrt{40}\)

(D) \(\sqrt{45}\)

Designando por \(M\) o ponto médio do lado \([BC]\), o triângulo \([AMB]\) é retângulo em \(M\), e \(\overline{BM} = \dfrac{\overline{BC}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\).

Como \(l = \overline{AM}\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AB}^2 = \overline{AM}^2 + \overline{BM}^2 \Leftrightarrow 7^2 = \overline{AM}^2 + 3^2 \Leftrightarrow \overline{AM}^2 = 49 - 9 = 40 \underset{\overline{AM}>0}{\Rightarrow} \overline{AM} = \sqrt{40}

Resposta: Opção C.

29

Teste Intermédio 9.º ano — 21.03.2014

A figura da esquerda é uma fotografia de um moinho de vento de tipo mediterrânico, grupo ao qual pertence a maioria dos moinhos de vento portugueses.

Na figura da direita, está representado um esquema das velas de um moinho de vento.

Sabe-se que:

os triângulos \([ABO]\), \([CDO]\), \([EFO]\) e \([GHO]\) são geometricamente iguais;
\(\overline{EF} = 5\) m;
\(\overline{OE} = \overline{OF} = 7\) m.

O esquema não está desenhado à escala.

Determina a área do triângulo \([EFO]\). Apresenta o resultado em m², arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Designando por \(M\) o ponto médio do lado \([EF]\), o triângulo \([OME]\) é retângulo em \(M\), e \(\overline{EM} = \dfrac{\overline{EF}}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).

Como a altura do triângulo \([DEF]\) é \(h = \overline{OM}\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{OE}^2 = \overline{OM}^2 + \overline{EM}^2 \Leftrightarrow 7^2 = \overline{OM}^2 + 2{,}5^2 \Leftrightarrow \overline{OM}^2 = 49 - 6{,}25 = 42{,}75

\overline{OM} = \sqrt{42{,}75} \approx 6{,}54

Calculando a área do triângulo \([EFO]\):

A_{[EFO]} = \dfrac{\overline{EF} \times \overline{OM}}{2} \approx \dfrac{5 \times 6{,}54}{2} \approx 16{,}35

Resposta: \(\approx 16\) m².

30

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 2.ª chamada

O quadrilátero \([ABCD]\), representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo.

Sabe-se que:

\(\overline{AD} = 3\);
\(\overline{AB} = 4\);
\(\overline{BC} = 5\).

O ponto \(P\) desloca-se ao longo do segmento de reta \([AB]\). Para cada posição do ponto \(P\), tem-se \(\overline{PB} = x\).

Qual é o valor, arredondado às décimas, da medida do perímetro do quadrilátero \([ABCD]\)?

(A) 16,3

(B) 16,5

(C) 16,7

(D) 16,9

Seja \(Q\) a projeção vertical do ponto \(D\) sobre a reta \(BC\). Então \(\overline{BQ} = \overline{AD} = 3\) e \(\overline{DQ} = \overline{AB} = 4\). Como \(\overline{QC} = \overline{BC} - \overline{BQ} = 5 - 3 = 2\), e o triângulo \([DQC]\) é retângulo em \(Q\):

\overline{CD}^2 = \overline{DQ}^2 + \overline{QC}^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \underset{\overline{CD}>0}{\Rightarrow} \overline{CD} = \sqrt{20}

Logo o perímetro do quadrilátero \([ABCD]\) é:

P_{[ABCD]} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = 4 + 5 + \sqrt{20} + 3 = 12 + \sqrt{20} \approx 16{,}5

Resposta: Opção B.

31

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 1.ª chamada

Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto \(O\) e os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\).

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) pertencem à circunferência;
\([BC]\) é um diâmetro da circunferência;
o triângulo \([CDE]\) é retângulo em \(E\);
os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) são semelhantes.

A figura não está desenhada à escala. Admite que:

\(\overline{AB} = 6\) cm;
\(\overline{AC} = 10\) cm.

Circunferência com triângulos [ABC] e [CDE]

Determina a área do círculo de diâmetro \([BC]\). Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Como o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(A\) (um dos lados coincide com o diâmetro da circunferência e o vértice oposto está sobre a circunferência), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{136}

Como \([BC]\) é um diâmetro, o raio é \(r = \dfrac{\sqrt{136}}{2} \approx 5{,}83\). A área do círculo é:

A = \pi r^2 \approx \pi \times 5{,}83^2 \approx 107 \text{ cm}^2

Resposta: \(\approx 107\) cm².

32

Prova Final 3.º Ciclo — 2012 · 2.ª chamada

Relativamente à figura, sabe-se que:

os triângulos \([ABC]\) e \([AFC]\) são retângulos em \(A\);
o triângulo \([AFC]\) é isósceles;
o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
os segmentos de reta \([AC]\) e \([DE]\) são paralelos;
\(\overline{AC} = 12\) cm;
o perímetro do triângulo \([ABC]\) é 48 cm;
o perímetro do triângulo \([DBE]\) é 16 cm.

Nota – A figura não está desenhada à escala.

Triângulos [ABC] e [AFC] retângulos em A

Determina o comprimento da circunferência que passa nos pontos \(A\), \(F\) e \(C\). Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Como o triângulo \([AFC]\) é retângulo em \(A\), o lado \([FC]\) é um diâmetro da circunferência que passa nos pontos \(A\), \(F\) e \(C\). Como é isósceles e \(\overline{AC} = 12\) cm, também \(\overline{AF} = 12\) cm. Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{FC}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{AF}^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288 \underset{\overline{FC}>0}{\Rightarrow} \overline{FC} = \sqrt{288}

O raio é \(r = \dfrac{\sqrt{288}}{2}\), pelo que o comprimento da circunferência é:

P_{\circ} = 2\pi r = \pi \times \sqrt{288} \approx 53 \text{ cm}

Resposta: \(\approx 53\) cm.

33

Prova Final 3.º Ciclo — 2012 · 1.ª chamada

Relativamente à figura seguinte, sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é escaleno e é retângulo em \(B\);
os pontos \(E\) e \(P\) pertencem ao segmento de reta \([AC]\);
o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
o triângulo \([ADE]\) é retângulo em \(D\);
o ponto \(Q\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
\(PCQ\) é um arco de circunferência.

A figura não está desenhada à escala. Admite que \(\overline{AD} = 20\), \(\overline{AE} = 25\) e \(\overline{AC} = 40\).

Triângulo [ABC] retângulo em B com triângulo [ADE]

Determina \(\overline{BC}\). Mostra como chegaste à tua resposta.

Os triângulos \([ABC]\) e \([ADE]\) têm um ângulo comum e são ambos retângulos, logo são semelhantes (critério AA). Então a razão entre lados correspondentes é igual:

\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}} \Leftrightarrow \dfrac{\overline{AB}}{20} = \dfrac{40}{25} \Leftrightarrow \overline{AB} = \dfrac{40 \times 20}{25} = 32

Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 \Leftrightarrow 40^2 = 32^2 + \overline{BC}^2 \Leftrightarrow \overline{BC}^2 = 1600 - 1024 = 576 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = \sqrt{576} = 24

Resposta: \(\overline{BC} = 24\).

34

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · Época Especial

Relativamente à figura, sabe-se que:

o triângulo \([OCD]\) é retângulo em \(O\);
o ponto \(A\) pertence ao segmento \([OC]\);
o ponto \(B\) pertence ao segmento \([OD]\);
os segmentos \([AB]\) e \([CD]\) são paralelos;
\(\overline{OA} = 5\);
\(\overline{OB} = 12\);
\(\overline{OD} = 18\).

A figura não está desenhada à escala.

Triângulo [OCD] retângulo em O com [AB] paralelo a [CD]

Determina \(\overline{CD}\). Apresenta os cálculos que efetuares.

Os triângulos \([OAB]\) e \([OCD]\) têm um ângulo comum e, como \([AB]\) e \([CD]\) são paralelos, definem ângulos iguais; logo são semelhantes (critério AA). Então:

\dfrac{\overline{OC}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OB}} \Leftrightarrow \dfrac{\overline{OC}}{5} = \dfrac{18}{12} \Leftrightarrow \overline{OC} = \dfrac{5 \times 18}{12} = 7{,}5

Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{CD}^2 = \overline{OC}^2 + \overline{OD}^2 = 7{,}5^2 + 18^2 = 56{,}25 + 324 = 380{,}25 \underset{\overline{CD}>0}{\Rightarrow} \overline{CD} = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5

Resposta: \(\overline{CD} = 19{,}5\).

35

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · 1.ª chamada

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto \(O\).

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) e \(E\) pertencem à circunferência;
\([AD]\) é um diâmetro da circunferência;
o ponto \(P\) é a interseção dos segmentos de reta \([AC]\) e \([BD]\);
\(C\hat{A}D = 40^\circ\).

A figura não está desenhada à escala. Relativamente ao triângulo retângulo \([AED]\), admite que:

\(\overline{AE} = 6{,}8\) cm;
\(\overline{DE} = 3{,}2\) cm.

Circunferência de centro O com triângulo [AED]

Determina o perímetro da circunferência representada na figura anterior. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Como \([AD]\) é um diâmetro e o vértice \(E\) pertence à circunferência, o triângulo \([AED]\) é retângulo e \([AD]\) é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AD}^2 = \overline{AE}^2 + \overline{DE}^2 = 6{,}8^2 + 3{,}2^2 = 46{,}24 + 10{,}24 = 56{,}48 \underset{\overline{AD}>0}{\Rightarrow} \overline{AD} = \sqrt{56{,}48}

O raio é \(r = \dfrac{\sqrt{56{,}48}}{2}\), pelo que o perímetro da circunferência é:

P_{\circ} = 2\pi r = \pi \times \sqrt{56{,}48} \approx 23{,}6 \text{ cm}

Resposta: \(\approx 23{,}6\) cm.

36

Teste Intermédio 9.º ano — 17.05.2011

Na figura, está representada uma circunferência de centro \(O\), na qual está inscrito um quadrado \([ABCD]\).

A figura não está desenhada à escala. Admite que \(\overline{AB} = 6\).

Quadrado [ABCD] inscrito numa circunferência

Determina o perímetro da circunferência. Apresenta o resultado arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Como \([ABCD]\) é um quadrado, o triângulo \([ABC]\) é retângulo isósceles (\(\overline{AB} = \overline{BC}\)) e \([AC]\) é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 2\,\overline{AB}^2 = 2 \times 6^2 = 72 \underset{\overline{AC}>0}{\Rightarrow} \overline{AC} = \sqrt{72}

Como \([AC]\) é um diâmetro, o raio é \(r = \dfrac{\sqrt{72}}{2}\), pelo que o perímetro da circunferência é:

P_{\circ} = 2\pi r = \pi \times \sqrt{72} \approx 26{,}7

Resposta: \(\approx 26{,}7\).

37

Teste Intermédio 8.º ano — 11.05.2011

Na figura, está representado um triângulo retângulo \([ABC]\).

A figura não está desenhada à escala.

Numa das opções seguintes estão indicadas as medidas dos lados deste triângulo. Em qual delas?

(A) \(\overline{AB} = 4\), \(\overline{BC} = 11\), \(\overline{AC} = 12\)

(B) \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{BC} = 12\), \(\overline{AC} = 13\)

(C) \(\overline{AB} = 6\), \(\overline{BC} = 13\), \(\overline{AC} = 14\)

(D) \(\overline{AB} = 7\), \(\overline{BC} = 14\), \(\overline{AC} = 15\)

Como o lado \([AC]\) é a hipotenusa, sabemos que \(\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2\). Verifica-se qual das opções satisfaz o Teorema de Pitágoras:

(A) \(12^2 = 4^2 + 11^2 \Leftrightarrow 144 = 4 + 121 \Leftrightarrow 144 = 125\) — proposição falsa;
(B) \(13^2 = 5^2 + 12^2 \Leftrightarrow 169 = 25 + 144 \Leftrightarrow 169 = 169\) — proposição verdadeira;
(C) \(14^2 = 6^2 + 13^2 \Leftrightarrow 196 = 36 + 169 \Leftrightarrow 196 = 205\) — proposição falsa;
(D) \(15^2 = 7^2 + 14^2 \Leftrightarrow 225 = 49 + 196 \Leftrightarrow 225 = 245\) — proposição falsa.

Resposta: Opção B.

38

Teste Intermédio 9.º ano — 07.02.2011

Na figura seguinte, está representado um retângulo \([ABCD]\). Os vértices \(A\) e \(D\) são pontos da reta real.

Sabe-se ainda que:

o ponto \(E\) é um ponto da reta real;
\(\overline{AB} = 2\);
\(\overline{BC} = 4\);
\(\overline{AE} = \overline{AC}\);
ao ponto \(A\) corresponde o número \(1 - \sqrt{20}\).

Determina o número que corresponde ao ponto \(E\). Mostra como chegaste à tua resposta.

Como \([ABCD]\) é um retângulo, \([ACD]\) é um triângulo retângulo e \([AC]\) é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \underset{\overline{AC}>0}{\Rightarrow} \overline{AC} = \sqrt{20}

Como \(\overline{AE} = \overline{AC}\), temos \(\overline{AE} = \sqrt{20}\). Como ao ponto \(A\) corresponde \(1 - \sqrt{20}\), ao ponto \(E\) corresponde:

1 - \sqrt{20} + \sqrt{20} = 1

Resposta: ao ponto \(E\) corresponde o número 1.

39

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2010 · 2.ª chamada

Relativamente à figura seguinte, sabe-se que:

\([ACEG]\) é um quadrado de lado 4 e centro \(O\);
os pontos \(B\), \(D\), \(F\) e \(H\) são os pontos médios dos lados do quadrado \([ACEG]\);
os vértices do quadrado \([ACEG]\) são os centros das circunferências representadas na figura;
o raio de cada uma das circunferências é 2;
o ponto \(I\) pertence à circunferência de centro no ponto \(A\);
o ponto \(A\) pertence ao segmento de reta \([IO]\).

Quadrado [ACEG] com circunferências nos vértices

Determina o comprimento de \([IO]\). Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Considerando o triângulo retângulo \([ABO]\), com \(\overline{AB} = \overline{OB} = 2\) (metade da medida dos lados do quadrado, igual ao raio), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{OA}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BO}^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \underset{\overline{OA}>0}{\Rightarrow} \overline{OA} = \sqrt{8}

Como \([AI]\) é um raio, \(\overline{AI} = 2\), e como \(\overline{IO} = \overline{OA} + \overline{AI}\):

\overline{IO} = \sqrt{8} + 2 \approx 4{,}8

Resposta: \(\overline{IO} \approx 4{,}8\).

40

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2010

O astrónomo e matemático Ptolomeu enunciou a propriedade seguinte:

«Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais.»

Na figura seguinte, está representado um trapézio \([ABCD]\) inscrito numa circunferência.

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

\(\overline{AB} = 12\) e \(\overline{CD} = 9\);
\(\overline{AC} = \overline{BD} = \sqrt{150}\);
\(\overline{AD} = \overline{BC}\).

Trapézio [ABCD] inscrito numa circunferência

Determina o valor exato de \(\overline{AD}\), utilizando a propriedade enunciada por Ptolomeu. Apresenta os cálculos que efetuaste.

Utilizando a propriedade enunciada, como \([ABCD]\) é um trapézio inscrito na circunferência:

\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{AD} \times \overline{BC} = \overline{AC} \times \overline{BD}

Como \(\overline{AD} = \overline{BC}\), substituindo as medidas conhecidas:

12 \times 9 + \overline{AD}^2 = \sqrt{150} \times \sqrt{150} \Leftrightarrow 108 + \overline{AD}^2 = 150 \Leftrightarrow \overline{AD}^2 = 42 \underset{\overline{AD}>0}{\Rightarrow} \overline{AD} = \sqrt{42}

Resposta: \(\overline{AD} = \sqrt{42}\).

41

Teste Intermédio 8.º ano — 27.04.2010

Um triângulo cujas medidas dos comprimentos dos lados são 21, 28 e 30 é um triângulo retângulo? Mostra como chegaste à tua resposta.

Se o triângulo for retângulo, as medidas dos comprimentos verificam o Teorema de Pitágoras. Como o lado maior de um triângulo retângulo é a hipotenusa, fazendo a verificação:

\(30^2 = 28^2 + 21^2 \Leftrightarrow 900 = 784 + 441 \Leftrightarrow 900 = 1225\) — proposição falsa

Como as medidas dos lados não verificam o Teorema de Pitágoras, conclui-se que o triângulo não é retângulo.

Resposta: Não, o triângulo não é retângulo.

42

Teste Intermédio 9.º ano — 03.02.2010

Na figura, está representado o quadrado \([ABCD]\).

Sabe-se que:

o lado do quadrado é 10;
\(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) são os pontos médios dos lados \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) e \([DA]\), respetivamente.

Quadrado [ABCD] com pontos médios dos lados

Qual é a medida de \([EF]\)? Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas.

Como os pontos \(E\) e \(F\) são os pontos médios dos lados \([AB]\) e \([BC]\), e o lado do quadrado é 10, temos \(\overline{BE} = \overline{BF} = 5\). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{EF}^2 = \overline{BE}^2 + \overline{BF}^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \underset{\overline{EF}>0}{\Rightarrow} \overline{EF} = \sqrt{50} \approx 7{,}1

Resposta: \(\overline{EF} \approx 7{,}1\).

43

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2009 · 2.ª chamada

Na figura, sabe-se que:

o diâmetro \([BD]\) é perpendicular ao diâmetro \([AC]\);
\([OHDE]\) e \([OFBG]\) são quadrados geometricamente iguais;
o ponto \(O\) é o centro do círculo;
\(\overline{OC} = 2\) cm.

Círculo com diâmetros perpendiculares e dois quadrados

Determina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado \([OFBG]\). Apresenta os cálculos que efetuares.

Como \([OFBG]\) é um quadrado, o ângulo \(O\hat{F}B\) é reto e o triângulo \([OFB]\) é retângulo em \(F\). Como \([OF]\) e \([FB]\) são lados de um quadrado, \(\overline{OF} = \overline{FB}\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{OB}^2 = \overline{OF}^2 + \overline{FB}^2 = 2\,\overline{OF}^2

Como \([OC]\) e \([OB]\) são raios, \(\overline{OB} = \overline{OC} = 2\), pelo que:

2\,\overline{OF}^2 = 2^2 \Leftrightarrow \overline{OF}^2 = \dfrac{4}{2} = 2 \underset{\overline{OF}>0}{\Rightarrow} \overline{OF} = \sqrt{2}

Resposta: \(\overline{OF} = \sqrt{2}\) cm.

44

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2009 · 1.ª chamada

Na figura, sabe-se que:

\(O\) é o centro da circunferência;
\([AB]\) e \([BC]\) são cordas geometricamente iguais;
\(D\) é o ponto de interseção do diâmetro \([EB]\) com a corda \([AC]\).

Nota: A figura não está construída à escala.

Circunferência com cordas iguais [AB] e [BC]

Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de \([DE]\), supondo que \(\overline{AO} = 6{,}8\) cm e \(\overline{AC} = 6{,}4\) cm? Apresenta os cálculos que efetuares.

Como \(\overline{AB} = \overline{BC}\), a reta \(BO\) é perpendicular ao segmento \([AC]\), e o triângulo \([ADO]\) é retângulo em \(D\). Como \(D\) é o ponto médio de \([AC]\), \(\overline{AD} = \dfrac{\overline{AC}}{2} = \dfrac{6{,}4}{2} = 3{,}2\).

Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AO}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{DO}^2 \Leftrightarrow 6{,}8^2 = 3{,}2^2 + \overline{DO}^2 \Leftrightarrow 46{,}24 - 10{,}24 = \overline{DO}^2 \Leftrightarrow \overline{DO}^2 = 36

\overline{DO} = \sqrt{36} = 6

Como \([EO]\) é um raio, \(\overline{EO} = \overline{AO} = 6{,}8\), e \(\overline{DE} = \overline{EO} - \overline{DO}\):

\overline{DE} = 6{,}8 - 6 = 0{,}8 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{DE} = 0{,}8\) cm.

45

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2009

Na figura, está representada uma circunferência.

Sabe-se que:

\([AC]\) é um diâmetro de comprimento 15;
\(B\) é um ponto da circunferência;
\(\overline{AB} = 12\).

Circunferência com triângulo [ABC] e região sombreada

Calcula a área da região sombreada da figura. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Como \([AC]\) é um diâmetro e \(B\) pertence à circunferência, o triângulo \([ABC]\) é retângulo e \([AC]\) é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 \Leftrightarrow 15^2 = 12^2 + \overline{BC}^2 \Leftrightarrow \overline{BC}^2 = 225 - 144 = 81 \underset{\overline{BC}>0}{\Rightarrow} \overline{BC} = 9

A área do triângulo é \(A_{[ABC]} = \dfrac{\overline{AB} \times \overline{BC}}{2} = \dfrac{12 \times 9}{2} = 54\).

O raio é \(r = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\), e a área do círculo é \(A_{\circ} = \pi \times 7{,}5^2 = 56{,}25\pi\). Assim:

A_S = A_{\circ} - A_{[ABC]} = 56{,}25\pi - 54 \approx 123

Resposta: \(\approx 123\).

46

Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2009

Na figura, sabe-se que:

\([ACDF]\) é um quadrado de lado 4;
\(B\) é o ponto médio do segmento de reta \([AC]\);
\(\overline{EF} = 1\).

Qual é a medida do comprimento de \([AE]\)? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas.

Como \([ACDF]\) é um quadrado de lado 4, temos \(\overline{AF} = 4\) e o triângulo \([AFE]\) é retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{AE}^2 = \overline{AF}^2 + \overline{EF}^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17 \underset{\overline{AE}>0}{\Rightarrow} \overline{AE} = \sqrt{17} \approx 4{,}1

Resposta: \(\overline{AE} \approx 4{,}1\).

47

Teste Intermédio 9.º ano — 09.02.2009

No jardim do clube desportivo Os Medalhados, existem duas balizas como a representada na figura seguinte, à esquerda.

A figura anterior, à direita, representa um esquema da baliza da figura da esquerda. Os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\) são retângulos em \(A\) e em \(D\), respetivamente. \([BEFC]\) é um retângulo.

Nota: a figura da direita não está desenhada à escala.

Sabe-se que: \(\overline{AB} = 120\) cm, \(\overline{BE} = 180\) cm e \(\overline{AC} = 160\) cm.

Esquema de uma baliza com triângulos retângulos

Determina a área do retângulo \([BEFC]\) do esquema da baliza representada na figura da direita. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida.

Como o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(A\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 120^2 + 160^2 = 14\,400 + 25\,600 = 40\,000

\overline{BC} = \sqrt{40\,000} = 200 \text{ cm}

Assim, a área do retângulo \([BEFC]\) é:

A_{[BEFC]} = \overline{BE} \times \overline{BC} = 180 \times 200 = 36\,000 \text{ cm}^2

Resposta: \(36\,000\) cm².

48

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008 · 2.ª chamada

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos 10 cm.

Calcula a medida do comprimento do outro cateto. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado na forma de valor exato.

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras para calcular a medida do outro cateto, \(c\):

15^2 = 10^2 + c^2 \Leftrightarrow 225 = 100 + c^2 \Leftrightarrow c^2 = 225 - 100 = 125 \underset{c>0}{\Rightarrow} c = \sqrt{125}

Resposta: \(c = \sqrt{125}\) cm.

49

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008 · 1.ª chamada

Na figura, os vértices do quadrado \([IJKL]\) são os pontos médios das semidiagonais do quadrado \([ABEF]\). A intersecção das diagonais dos dois quadrados é o ponto \(O\).

Os lados \([CD]\) e \([HG]\) do retângulo \([HCDG]\) são paralelos aos lados \([BE]\) e \([AF]\) do quadrado \([ABEF]\) e \([CD]\) mede o triplo de \([BC]\).

Sabendo que a medida da área do quadrado \([ABEF]\) é 64, calcula a medida do comprimento do segmento de reta \([OB]\). Na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares.

Quadrados [ABEF] e [IJKL] com retângulo [HCDG]

Como a área do quadrado \([ABEF]\) é 64, o lado é \(\overline{AB} = \sqrt{64} = 8\). Como \([ABEF]\) é um quadrado, o triângulo \([ABF]\) é retângulo em \(B\) e \(\overline{AB} = \overline{AF}\). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BF}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AF}^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \underset{\overline{BF}>0}{\Rightarrow} \overline{BF} = \sqrt{128}

Como as diagonais de um quadrado se bissetam mutuamente:

\overline{OB} = \dfrac{\overline{BF}}{2} = \dfrac{\sqrt{128}}{2} \approx 5{,}7

Resposta: \(\overline{OB} \approx 5{,}7\).

50

Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2008

Considera a figura, onde:

\(G\) é um ponto do segmento de reta \([BF]\);
\([ABGH]\) é um quadrado;
\([BCEF]\) é um quadrado;
\(\overline{AH} = 6\) e \(\overline{FG} = 2\).

Qual é o comprimento da diagonal do quadrado \([ABGH]\)? Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas.

Como \([ABGH]\) é um quadrado, o triângulo \([AHG]\) é retângulo em \(H\) e \(\overline{AH} = \overline{HG}\). Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal \([AG]\) é:

\overline{AG}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{HG}^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \underset{\overline{AG}>0}{\Rightarrow} \overline{AG} = \sqrt{72} \approx 8{,}5

Resposta: \(\overline{AG} \approx 8{,}5\).

51

Teste Intermédio 9.º ano — 31.01.2008

Considera a figura, onde:

\([ABFG]\) é um quadrado de área 36;
\([BCDE]\) é um quadrado de área 64;
\(F\) é um ponto do segmento de reta \([BE]\).

Determina o valor exato de \(\overline{EG}\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como \([ABFG]\) é um quadrado de área 36 e \([BCDE]\) é um quadrado de área 64, os lados são \(\overline{FG} = \sqrt{36} = 6\) e \(\overline{BE} = \sqrt{64} = 8\).

Como \(F\) pertence a \([BE]\) e \(\overline{BF} = \overline{FG} = 6\):

\overline{BE} = \overline{BF} + \overline{FE} \Leftrightarrow 8 = 6 + \overline{FE} \Leftrightarrow \overline{FE} = 2

Como \([FG]\) é perpendicular a \([BE]\), o triângulo \([GFE]\) é retângulo em \(F\). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{EG}^2 = \overline{FG}^2 + \overline{FE}^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40 \underset{\overline{EG}>0}{\Rightarrow} \overline{EG} = \sqrt{40}

Resposta: \(\overline{EG} = \sqrt{40}\).

52

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007 · 2.ª chamada

Na figura, estão representados um quadrado \([ABCD]\) e quatro triângulos geometricamente iguais.

Em cada um destes triângulos:

um dos lados é também lado do quadrado;
os outros dois lados são geometricamente iguais.

A figura é uma planificação de um sólido.

Relativamente ao triângulo \([ABF]\), sabe-se que:

a altura relativa à base \([AB]\) é 5;
\(\overline{AB} = 6\).

Planificação — quadrado e quatro triângulos

Qual é a altura desse sólido? Começa por fazer um esboço do sólido, a lápis, e nele desenha o segmento de reta correspondente à sua altura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O sólido é uma pirâmide quadrangular. Como \(\overline{AB} = 6\), temos \(\overline{QP} = \overline{QA} = \dfrac{\overline{AB}}{2} = 3\). Como a altura do triângulo \([ABF]\) relativa à base \([AB]\) é 5, \(\overline{QF} = 5\).

A altura da pirâmide é o segmento \([PF]\); como a altura é perpendicular à base, o triângulo \([QPF]\) é retângulo em \(P\). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{QF}^2 = \overline{QP}^2 + \overline{PF}^2 \Leftrightarrow 5^2 = 3^2 + \overline{PF}^2 \Leftrightarrow \overline{PF}^2 = 25 - 9 = 16 \underset{\overline{PF}>0}{\Rightarrow} \overline{PF} = \sqrt{16} = 4

Resposta: a altura do sólido é 4.

53

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007 · 1.ª chamada

Diz-se que o ecrã de um televisor tem formato «4:3» quando é semelhante a um retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura.

O ecrã do televisor do Miguel tem formato «4:3» e a sua diagonal mede 70 cm.

Determina o comprimento e a largura do ecrã. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida.

Num retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura, a diagonal \(d\) é, pelo Teorema de Pitágoras:

d^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \underset{d>0}{\Rightarrow} d = \sqrt{25} = 5

Como a diagonal do televisor é \(D = 70\) e os retângulos são semelhantes, as medidas são proporcionais. O comprimento \(c\):

\dfrac{c}{4} = \dfrac{D}{d} \Leftrightarrow \dfrac{c}{4} = \dfrac{70}{5} \Leftrightarrow c = \dfrac{70 \times 4}{5} = 56 \text{ cm}

Analogamente, a largura \(l\):

\dfrac{l}{3} = \dfrac{70}{5} \Leftrightarrow l = \dfrac{70 \times 3}{5} = 42 \text{ cm}

Resposta: comprimento 56 cm e largura 42 cm.

54

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 1.ª chamada

Na figura, está representado um retângulo, cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm).

Imagina que o retângulo está inscrito numa circunferência.

Qual é o valor exato do diâmetro dessa circunferência? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o retângulo está inscrito numa circunferência, a medida do diâmetro é igual à medida da diagonal do retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras:

d^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \underset{d>0}{\Rightarrow} d = \sqrt{13}

Resposta: o diâmetro é \(\sqrt{13}\) cm.

55

Prova de Aferição — 2004

Num teste de Matemática realizado pelo Victor e pela Rita apresentava-se a seguinte questão:

O comprimento de cada um dos catetos de um triângulo retângulo é respetivamente 3 e 6. Qual é a medida do comprimento da hipotenusa do mesmo triângulo?

(A) \(\sqrt{45}\)

(B) 5

(C) 10

(D) \(\sqrt{18}\)

55.1.

O Victor escolheu a opção (A). Verifica se o Victor respondeu corretamente. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

55.2.

A Rita não conseguiu calcular a medida do comprimento da hipotenusa mas, mesmo assim, conseguiu eliminar cada uma das opções erradas. Indica uma razão que a Rita possa ter utilizado para eliminar a opção B e uma outra razão para eliminar a opção C.

55.1.

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar a medida \(h\) da hipotenusa:

h^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \underset{h>0}{\Rightarrow} h = \sqrt{45}

Pelo que se pode afirmar que o Victor respondeu corretamente.

55.2.

Como num triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o lado de maior comprimento, a opção (B) não pode ser a correta, porque, neste caso, a hipotenusa (5) seria menor que o cateto de comprimento 6.

Como, num triângulo, a medida do comprimento do lado maior tem de ser inferior à soma das medidas dos comprimentos dos lados menores, e \(6 + 3 = 9\), o valor 10 não pode ser a medida do lado maior; logo, a opção (C) também não é correta.

Resposta: 55.1. O Victor respondeu corretamente (\(h = \sqrt{45}\)); 55.2. ver justificações acima.

56

Prova de Aferição — 2003

Quem chega a Lisboa, entrando pelo Tejo, encontra uma torre "torta", mas elegante, que alberga o Centro de Coordenação e Controlo de Tráfego Marítimo.

A torre tem a forma de um prisma quadrangular oblíquo. A sua altura é de 36 m, e a torre está inclinada a sul, segundo um ângulo de cerca de 75°. Se o sol incidisse a pique sobre a torre, esta projetaria uma sombra retangular, em que um dos lados mediria, aproximadamente, 9,6 m, como está representado na figura.

Torre do Centro de Controlo de Tráfego Marítimo

Qual é a medida do comprimento – \(h\) – da torre? Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado aproximado às unidades.

Como a altura é perpendicular ao solo, a torre forma, com o solo, um triângulo retângulo em que os catetos medem 36 m e 9,6 m e a hipotenusa tem medida \(h\). Pelo Teorema de Pitágoras:

h^2 = 36^2 + 9{,}6^2 = 1296 + 92{,}16 = 1388{,}16 \underset{h>0}{\Rightarrow} h = \sqrt{1388{,}16} \approx 37 \text{ m}

Resposta: \(h \approx 37\) m.

57

Prova de Aferição — 2002

O seguinte problema é adaptado do livro chinês Nove Capítulos da Arte Matemática, do século I a.C.

Um bambu partiu-se, a uma altura do chão de 2,275 m, e a parte de cima, ao cair, tocou o chão, a uma distância de 1,5 m da base do bambu. Qual era a altura do bambu antes de se ter partido?

Resolve o problema e apresenta todos os cálculos que efetuares.

O bambu forma, com o chão, um triângulo retângulo em que os catetos medem 2,275 m e 1,5 m, e a hipotenusa (a parte que tombou) tem medida \(h\). Pelo Teorema de Pitágoras:

h^2 = 2{,}275^2 + 1{,}5^2 = 5{,}175625 + 2{,}25 = 7{,}425625 \underset{h>0}{\Rightarrow} h = \sqrt{7{,}425625} = 2{,}725 \text{ m}

A altura inicial do bambu, \(a_i\), é a soma do comprimento da hipotenusa com o comprimento do cateto vertical:

a_i = 2{,}725 + 2{,}275 = 5 \text{ m}

Resposta: a altura do bambu era 5 m.

Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios