- Método da substituição: isolar uma incógnita numa equação e substituir na outra.
- Interpretação gráfica: cada equação é uma reta — um ponto de interseção (possível determinado), retas paralelas (impossível), retas coincidentes (indeterminado).
- Escrever sempre a solução como par ordenado \((x,y)\).
- Verificar a solução nas duas equações.
- Problemas: definir claramente as duas incógnitas e traduzir duas condições do enunciado.
Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
Um grupo de amigos participou numa atividade de recolha de plásticos e metais, numa praia. Os materiais recolhidos foram colocados em sacos diferenciados. Os plásticos foram colocados em sacos de 50 litros e os metais foram colocados em sacos de 30 litros.
No final do dia, verificaram que encheram 24 sacos, num total de 1040 litros.
Seja \(x\) o número de sacos de 50 litros, para recolha dos plásticos, e seja \(y\) o número de sacos de 30 litros, para recolha dos metais.
Assinala a opção que apresenta o sistema de equações cuja resolução permite determinar o número de sacos de cada tipo.
Como foram enchidos 24 sacos no total, \(x + y = 24\). Como a capacidade total foi de 1040 litros, \(50x + 30y = 1040\). Logo, o sistema é \(\begin{cases} x + y = 24 \\ 50x + 30y = 1040 \end{cases}\).
Um grupo de amigos visitou uma exposição sobre energias renováveis e eficiência energética.
O preço de entrada para cada adulto foi 12 euros e o preço de entrada para cada criança foi 7,5 euros. O custo total das entradas foi 252 euros.
O número de adultos era o dobro do número de crianças.
Seja \(x\) o número de adultos que participaram na visita e seja \(y\) o número de crianças que participaram na mesma visita.
Qual das opções seguintes apresenta o sistema de equações cuja resolução permite determinar o número de adultos e o número de crianças, desse grupo de amigos, que visitaram a exposição?
Como o número de adultos era o dobro do de crianças, \(x = 2y\). Como cada adulto pagou 12 € e cada criança 7,5 €, e o total foi 252 €, \(12x + 7{,}5y = 252\). Logo, \(\begin{cases} 12x + 7{,}5y = 252 \\ x = 2y \end{cases}\).
Uma escola organizou uma palestra sobre a importância da pegada hídrica, destinada a alunos dos oitavo e nono anos de escolaridade.
Dos alunos que participaram na palestra, o número de alunos do nono ano excede em 156 o número de alunos do oitavo ano. O número de alunos do oitavo ano é um terço do número de alunos do nono ano.
Seja \(x\) o número de alunos do oitavo ano que participaram na palestra e seja \(y\) o número de alunos do nono ano que participaram na mesma palestra.
Qual dos seguintes sistemas de equações cuja resolução permite determinar o número de alunos do oitavo ano e o número de alunos do nono ano que participaram na palestra?
Como o número de alunos do nono ano excede em 156 o do oitavo, \(y = x + 156\). Como o número do oitavo é um terço do nono, \(x = \dfrac{1}{3}y\). Logo, \(\begin{cases} y = x + 156 \\ x = \frac{1}{3}y \end{cases}\).
Uma empresa de recolha seletiva de lixo utiliza dois camiões para o transporte de lixo, cujas capacidades de carga são 3 e 4 toneladas. Durante uma semana, os dois camiões realizaram 23 viagens, com carga máxima, para transportar 80 toneladas de lixo.
Seja \(x\) o número de viagens realizadas pelo camião com capacidade de carga de 3 toneladas e seja \(y\) o número de viagens realizadas pelo camião com capacidade de carga de 4 toneladas.
Escreve um sistema de equações, com as incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o número de viagens que cada camião efetuou. Não resolvas o sistema.
Os dois camiões realizaram 23 viagens: \(x + y = 23\). Com carga máxima transportaram 80 toneladas: \(3x + 4y = 80\).
Considera o sistema de equações seguinte.
Qual é o referencial cartesiano onde estão representadas as retas definidas pelas equações deste sistema?
As duas equações representam retas de declives não nulos, pelo que as opções (A) e (C) não servem. Verificando as coordenadas do ponto assinalado em cada uma das restantes:
- (B) ponto \((-2, 4)\): \(4 = -(-2) + 2 \Leftrightarrow 4 = 4\), mas \(4 = -2 - 6 \Leftrightarrow 4 = -8\) (falsa);
- (D) ponto \((4, -2)\): \(-2 = -4 + 2\) e \(-2 = 4 - 6\), ambas verdadeiras.
Na figura ao lado, estão representadas, em referencial cartesiano, de origem no ponto \(O\), as retas definidas pelas equações \(y = -2x - 2\), \(y = 3x - 2\), \(y = -2x + 3\) e \(y = x + 3\).
O ponto \(I\) é o ponto de interseção de duas dessas retas.
Qual é o sistema de equações que permite determinar as coordenadas do ponto \(I\)?
As duas retas que se intersetam em \(I\) são: uma de declive negativo e ordenada na origem positiva — \(y = -2x + 3\) — e outra de declive positivo e ordenada na origem negativa — \(y = 3x - 2\). Logo, \(\begin{cases} y = -2x + 3 \\ y = 3x - 2 \end{cases}\).
A Joana pretende comprar um exemplar do livro Aventuras e dois exemplares do livro Biografias. Na sua livraria habitual, os três exemplares custam, no total, 39 euros.
Quando a Joana foi à livraria para fazer a compra, verificou que o livro Biografias estava com um desconto de 4 euros, pois tinha começado a Festa do Livro. Por isso, decidiu antecipar as compras de Natal e levar dois exemplares do livro Aventuras e três exemplares do livro Biografias, pagando, no total, 50 euros.
Sejam \(x\) o preço, em euros, do livro Aventuras e \(y\) o preço sem desconto, em euros, do livro Biografias.
Escreve um sistema de equações, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o preço do livro Aventuras e o preço sem desconto do livro Biografias. Não resolvas o sistema.
Um exemplar de Aventuras e dois de Biografias custam 39 €: \(x + 2y = 39\). Com o desconto de 4 €, cada Biografias custa \(y - 4\); dois Aventuras e três Biografias custam 50 €: \(2x + 3(y - 4) = 50\).
Um grupo de pessoas está a descer um rio em 28 caiaques, uns de um lugar e outros de dois lugares.
Todos os caiaques têm os seus lugares ocupados, havendo mais 4 pessoas em caiaques de um lugar do que em caiaques de dois lugares.
Sejam \(x\) o número de caiaques de um lugar e \(y\) o número de caiaques de dois lugares utilizados na descida do rio.
Escreve um sistema de equações, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o número de caiaques de cada tipo utilizados na descida do rio. Não resolvas o sistema.
Foram utilizados 28 caiaques: \(x + y = 28\). As pessoas em caiaques de um lugar são \(x\) e em caiaques de dois lugares são \(2y\); como há mais 4 pessoas nos de um lugar, \(2y + 4 = x\).
Ao chegar à praia, a Maria verificou que o número total de praticantes de surf e de bodyboard era 51.
Ao fim de algum tempo, verificou que, relativamente aos números iniciais, havia mais 7 praticantes de surf e menos 4 de bodyboard, e que o número de praticantes de surf era o dobro do número de praticantes de bodyboard.
Sejam \(x\) o número de praticantes de surf e \(y\) o número de praticantes de bodyboard que estavam na praia quando a Maria chegou.
Escreve um sistema de equações, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o número de praticantes de cada uma das modalidades que estavam na praia quando a Maria chegou. Não resolvas o sistema.
O total inicial era 51: \(x + y = 51\). Ao fim de algum tempo havia \(x + 7\) praticantes de surf e \(y - 4\) de bodyboard, sendo o surf o dobro do bodyboard: \(x + 7 = 2(y - 4)\).
Numa modalidade do desporto escolar inscreveram-se, inicialmente, 45 alunos, rapazes e raparigas.
Passado algum tempo, inscreveram-se mais 4 rapazes e desistiram 4 raparigas, ficando o número de rapazes a ser o dobro do número de raparigas.
Sejam \(x\) o número de rapazes e \(y\) o número de raparigas que se inscreveram inicialmente nessa modalidade do desporto escolar.
Escreve um sistema de equações, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o número de rapazes e o número de raparigas que se inscreveram inicialmente nessa modalidade do desporto escolar. Não resolvas o sistema.
Inicialmente eram 45 alunos: \(x + y = 45\). Depois, os rapazes passaram a \(x + 4\) e as raparigas a \(y - 4\), sendo os rapazes o dobro das raparigas: \(x + 4 = 2(y - 4)\).
Um teste escrito é composto, exclusivamente, por 25 itens de escolha múltipla.
Em cada item, são atribuídos 4 pontos se for assinalada a opção correta, e é descontado 1 ponto se for assinalada uma opção incorreta.
Um aluno, que respondeu a todos os itens, teve uma classificação de 70 pontos.
Sejam \(x\) o número de itens em que foi assinalada a opção correta e \(y\) o número de itens em que foi assinalada uma opção incorreta.
Escreve um sistema de equações, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o número de itens em que foi assinalada a opção correta e o número de itens em que foi assinalada uma opção incorreta. Não resolvas o sistema.
O teste tem 25 itens: \(x + y = 25\). Cada resposta correta vale 4 pontos (\(4x\)) e cada incorreta \(-1\) ponto (\(-y\)); como a classificação foi 70: \(4x - y = 70\).
Numa visita de estudo a um parque natural, participaram alunos dos 2.º e 3.º ciclos de uma escola.
O número de alunos do 2.º ciclo foi o triplo do número de alunos do 3.º ciclo.
Cada aluno do 2.º ciclo pagou um bilhete de 9 euros, e cada aluno do 3.º ciclo pagou um bilhete de 12 euros, tendo os bilhetes custado 507 euros no total.
Sejam \(x\) o número de alunos do 2.º ciclo e \(y\) o número de alunos do 3.º ciclo que participaram na visita de estudo.
Escreve um sistema de equações, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o número de alunos do 2.º ciclo e o número de alunos do 3.º ciclo que participaram na visita de estudo. Não resolvas o sistema.
O 2.º ciclo foi o triplo do 3.º: \(x = 3y\). Os bilhetes do 2.º ciclo custaram \(9x\) e os do 3.º ciclo \(12y\), num total de 507 €: \(9x + 12y = 507\).
Considera o seguinte sistema de equações.
Qual dos seguintes pares ordenados \((x, y)\) é a solução deste sistema?
Substituindo o par \((-2, 3)\): \(3(-2) + 3 = -3\) e \(-2 + 2(3) = 4\), ambas verdadeiras. É o único par que verifica as duas equações.
Pretende-se dividir em duas partes um fio com 3 metros de comprimento, de modo que uma das partes tenha mais 0,7 metros do que a outra.
Seja \(x\) o comprimento, em metros, da parte maior, e seja \(y\) o comprimento, em metros, da parte menor.
Escreve as duas equações de um sistema, com incógnitas \(x\) e \(y\), que permita determinar o comprimento, em metros, de cada uma dessas partes. Não resolvas o sistema.
O fio tem 3 m: \(x + y = 3\). A parte maior tem mais 0,7 m do que a menor: \(x = y + 0{,}7\).
Considera o sistema de equações seguinte, nas variáveis \(x\) e \(y\).
Quais são os valores de \(a\) e \(b\) para os quais o par \((x, y)\), com \(x = 1\) e \(y = 1\), é solução deste sistema?
Substituindo \((1, 1)\) na primeira equação: \(a(1) + 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2\). Na segunda: \(2(1) + b(1) = 5 \Leftrightarrow b = 3\).
Considera o sistema de equações
Qual dos seguintes pares ordenados \((x, y)\) é solução deste sistema?
Resolvendo (substituição com \(x = y\)): \(y + 2y = 3 \Leftrightarrow 3y = 3 \Leftrightarrow y = 1\), logo \(x = 1\). C.S. \(= \{(1, 1)\}\).
Considera o sistema de equações
Em qual dos referenciais seguintes está representado geometricamente este sistema?
Em todas as opções aparece a reta horizontal \(y = 3\). A reta \(y = -x + 4\) tem declive negativo (apenas (A) e (B)) e ordenada na origem 4 (apenas (A) e (D)). A única que verifica as duas condições é a opção (A).
Resolve o sistema de equações seguinte.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Considera o par ordenado \((x, y)\), tal que \(x = 1\) e \(y = 0\).
Qual dos seguintes sistemas de equações tem como solução este par ordenado?
Substituindo \((1, 0)\): \(1 + 0 = 1\) e \(1 - 0 = 1\), ambas verdadeiras apenas na opção (D).
Relativamente aos trabalhadores de uma certa empresa, sabe-se que o número de homens é igual a um quarto do número de mulheres.
Se a empresa contratar mais 2 homens e mais 3 mulheres, o número de homens passará a ser igual a um terço do número de mulheres.
Seja \(h\) o número de homens e seja \(m\) o número de mulheres que trabalham atualmente nesta empresa.
Escreve um sistema de equações que permita determinar o número de homens (valor de \(h\)) e o número de mulheres (valor de \(m\)) que trabalham atualmente na empresa. Não resolvas o sistema.
O número de homens é um quarto do de mulheres: \(h = \dfrac{1}{4}m\). Com mais 2 homens e mais 3 mulheres, os homens passam a ser um terço das mulheres: \(h + 2 = \dfrac{1}{3}(m + 3)\).
Considera, num referencial cartesiano ortogonal e monométrico, duas retas concorrentes, \(r\) e \(s\), tais que:
- a reta \(r\) é definida pela equação \(y = -x + 2\);
- a reta \(s\) é definida pela equação \(y = 5x - 4\).
Determina as coordenadas do ponto de interseção das retas \(r\) e \(s\). Mostra como chegaste à tua resposta.
As coordenadas do ponto de interseção são a solução do sistema:
Uma escola do 1.º ciclo gastou 63 euros na compra de canetas de feltro e lápis de cor.
Cada caneta de feltro custou 0,25 euros e cada lápis de cor custou 0,20 euros.
O número de canetas de feltro compradas foi o dobro do número de lápis de cor comprados.
Seja \(x\) o número de canetas de feltro compradas e seja \(y\) o número de lápis de cor comprados.
Escreve um sistema que te permita calcular o número de canetas de feltro (valor de \(x\)) e o número de lápis de cor (valor de \(y\)) comprados pela escola. Não resolvas o sistema.
As canetas foram o dobro dos lápis: \(x = 2y\). O custo total foi 63 €: \(0{,}25x + 0{,}20y = 63\).
Na loja do Sr. Antunes são vendidos dois tipos de mosaicos de cerâmica: mosaicos quadrados e mosaicos octogonais.
Na figura ao lado, estão representadas duas composições feitas com os dois tipos de mosaicos vendidos na loja do Sr. Antunes.
Sabe-se que a composição da esquerda tem um custo de 30 euros e que a composição da direita tem um custo de 33 euros.
Designemos por \(x\) o preço, em euros, de cada mosaico quadrado e por \(y\) o preço, em euros, de cada mosaico octogonal.
Escreve um sistema de equações que te permita determinar o preço de cada mosaico quadrado (valor de \(x\)) e o preço de cada mosaico octogonal (valor de \(y\)). Não resolvas o sistema.
A composição da esquerda tem 5 mosaicos quadrados e 4 octogonais, com custo 30 €: \(5x + 4y = 30\). A da direita tem 4 quadrados e 5 octogonais, com custo 33 €: \(4x + 5y = 33\).
A companhia de circo Palhaço Feliz vende, no decorrer dos espetáculos, dois tipos de objetos: narizes vermelhos e ímanes. Cada nariz vermelho é vendido por 2 euros e cada íman é vendido por 3 euros.
No fim de um certo dia, o diretor da companhia afirmou: «Hoje vendemos 96 objetos e recebemos um total de 260 euros.»
Seja \(x\) o número de narizes vermelhos vendidos e seja \(y\) o número de ímanes vendidos pela companhia de circo, nesse dia.
Escreve um sistema de equações que permita determinar o número de narizes vermelhos vendidos (valor de \(x\)) e o número de ímanes vendidos (valor de \(y\)). Não resolvas o sistema.
Venderam 96 objetos: \(x + y = 96\). Receberam 260 € (2 € por nariz e 3 € por íman): \(2x + 3y = 260\).
No último Natal, um grupo de amigos foi ao circo.
O grupo era constituído por oito adultos e cinco crianças. Pagaram, ao todo, 224 euros pelos bilhetes de entrada.
Se o grupo tivesse mais um adulto e menos uma criança, teriam pago mais 15 euros.
Seja \(x\) o preço do bilhete de adulto, e seja \(y\) o preço do bilhete de criança.
25.1.
O que representa a expressão \(8x\), no contexto da situação descrita?
25.2.
Escreve um sistema de equações que permita determinar o preço do bilhete de adulto (valor de \(x\)) e o preço do bilhete de criança (valor de \(y\)). Não resolvas o sistema.
\(8x\) representa o preço a pagar pelos bilhetes dos 8 adultos do grupo.
25.2.Os 8 adultos e as 5 crianças pagaram 224 €: \(8x + 5y = 224\). Com mais um adulto e menos uma criança (9 adultos e 4 crianças) pagariam mais 15 €: \(9x + 4y = 224 + 15\).
Sejam \(x\) e \(y\) duas variáveis reais.
Qual dos seguintes sistemas é um sistema impossível?
Na opção (B), não existem valores de \(x\) e \(y\) cuja soma seja, em simultâneo, 1 e 2. Resolvendo, obtém-se \(0y = 1\), equação impossível, pelo que C.S. \(= \varnothing\).
Resolve o sistema seguinte.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Resolve o sistema seguinte.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Um grupo de amigos foi a Coimbra visitar o Portugal dos Pequenitos.
O grupo era constituído por seis adultos e dez crianças. Pagaram, ao todo, 108,70 euros pelas entradas. Os preços dos bilhetes de adulto e de criança eram diferentes.
O Pedro, a criança mais velha do grupo, pensou: «Se eu já pagasse bilhete de adulto, o nosso grupo iria pagar mais 3,45 euros pelas entradas». Admite que o Pedro pensou corretamente.
Seja \(x\) o preço do bilhete de adulto, e seja \(y\) o preço do bilhete de criança.
Escreve um sistema de equações que permita determinar o preço do bilhete de adulto (valor de \(x\)) e o preço do bilhete de criança (valor de \(y\)).
Os 6 adultos e 10 crianças pagaram 108,70 €: \(6x + 10y = 108{,}70\). A diferença entre o bilhete de adulto e o de criança é 3,45 €: \(x - y = 3{,}45\).
Resolve o sistema seguinte.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Na figura ao lado, estão representadas, num referencial cartesiano, as retas \(r\) e \(s\).
Sabe-se que:
- a reta \(r\) é definida por \(y = 0{,}6x\);
- a reta \(s\) é definida por \(y = -1{,}2x + 4{,}5\);
- o ponto \(A\) é o ponto de interseção da reta \(s\) com o eixo das abcissas;
- o ponto \(B\) é o ponto de interseção da reta \(s\) com o eixo das ordenadas;
- o ponto \(I\) é o ponto de interseção das retas \(r\) e \(s\).
Determina as coordenadas do ponto \(I\). Mostra como chegaste à tua resposta.
As coordenadas de \(I\) são a solução do sistema:
Considera o sistema de equações seguinte.
Qual dos seguintes pares ordenados \((a, b)\) é a solução deste sistema?
Substituindo \((2, 0)\): \(3(2) - 2(0) = 6\) e \(2 + 2(0) = 2\), ambas verdadeiras.
Considera o seguinte sistema de equações
Em qual das opções seguintes está um sistema equivalente a este sistema?
Considera o seguinte sistema de equações
Qual o par ordenado \((x, y)\) é a solução deste sistema? Apresenta os cálculos que efetuares.
Considera o seguinte sistema de equações
Qual o par ordenado \((x, y)\) é a solução deste sistema? Apresenta os cálculos que efetuares.
Uma escola tem apenas turmas do 5.º ano e turmas do 6.º ano de escolaridade. Sabe-se que:
- todas as turmas do 5.º ano têm o mesmo número de alunos;
- todas as turmas do 6.º ano têm o mesmo número de alunos.
Seja \(x\) o número de alunos de cada turma do 5.º ano e seja \(y\) o número de alunos de cada turma do 6.º ano.
36.1.
Admite que a escola tem quatro turmas do 5.º ano e cinco turmas do 6.º ano. O que representa a expressão \(4x + 5y\), no contexto da situação descrita?
36.2.
Sabe-se que:
- uma visita de estudo que inclua todos os alunos de uma turma do 5.º ano e todos os alunos de duas turmas do 6.º ano terá a participação de 67 alunos;
- uma visita de estudo que inclua todos os alunos de duas turmas do 5.º ano e todos os alunos de uma turma do 6.º ano terá a participação de 71 alunos.
Escreve um sistema que permita determinar o número de alunos de cada turma do 5.º ano (valor de \(x\)) e o número de alunos de cada turma do 6.º ano (valor de \(y\)). Não resolvas o sistema.
\(4x + 5y\) representa o número total de alunos da escola (os das 4 turmas do 5.º ano mais os das 5 turmas do 6.º ano).
36.2.Uma turma do 5.º (\(x\)) e duas do 6.º (\(2y\)) somam 67: \(x + 2y = 67\). Duas do 5.º (\(2x\)) e uma do 6.º (\(y\)) somam 71: \(2x + y = 71\).
Considera o seguinte sistema de equações
Qual o par ordenado \((x, y)\) é a solução deste sistema? Apresenta os cálculos que efetuares.
Considera o seguinte sistema de equações
Qual dos pares ordenados \((x, y)\) seguintes é a solução deste sistema?
Substituindo \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\): \(2 \times \frac{1}{2} + 0 = 1\) e \(4 \times \frac{1}{2} + \frac{0}{2} = 2\), ambas verdadeiras.
Numa banca de um arraial, estão à venda caixas com bolos tradicionais. Existem caixas com três bolos e existem caixas com quatro bolos.
Sabe-se ainda que:
- as caixas vazias têm todas a mesma massa;
- os bolos têm, também, todos a mesma massa;
- uma caixa com quatro bolos tem uma massa de 310 gramas;
- duas caixas, cada uma com três bolos, têm uma massa total de 470 gramas.
Qual é a massa, em gramas, de cada caixa vazia? Mostra como chegaste à tua resposta.
Seja \(x\) a massa de uma caixa vazia e \(y\) a massa de um bolo. Uma caixa com 4 bolos tem 310 g: \(x + 4y = 310\). Duas caixas com 3 bolos cada (2 caixas e 6 bolos) têm 470 g: \(2x + 6y = 470\).
Qual dos pares ordenados \((x, y)\) seguintes é solução da equação \(3x = 15 - y\)?
Substituindo \((3, 6)\): \(3(3) = 15 - 6 \Leftrightarrow 9 = 9\), proposição verdadeira.
A Rita tem 5,50 euros no mealheiro. No total, tem 17 moedas, sendo umas de 20 cêntimos e outras de 50 cêntimos.
Seja \(x\) o número de moedas de 20 cêntimos e seja \(y\) o número de moedas de 50 cêntimos que a Rita tem no mealheiro.
Indica qual dos sistemas seguintes permite determinar quantas moedas de 20 cêntimos e quantas moedas de 50 cêntimos tem a Rita no mealheiro.
São 17 moedas no total: \(x + y = 17\). As moedas de 20 cêntimos valem \(0{,}2x\) euros e as de 50 cêntimos \(0{,}5y\) euros, num total de 5,5 €: \(0{,}2x + 0{,}5y = 5{,}5\).
Resolve o sistema de equações seguinte:
Apresenta os cálculos que efetuaste.
Um grupo de amigos foi almoçar. Ao dividirem o preço do almoço, os amigos verificaram que, se cada um pagasse 14 euros, faltavam 4 euros. Mas se cada um deles pagasse 16 euros, sobravam 6 euros.
Quanto deve pagar cada um dos amigos, de modo a obterem, exactamente, a quantia correspondente ao preço do almoço? Apresenta os cálculos que efetuaste.
Seja \(x\) o número de amigos e \(y\) o preço do almoço. Se cada um pagar 14 €, falta 4 € (\(14x = y - 4\)); se pagar 16 €, sobram 6 € (\(16x = y + 6\)).
São 5 amigos e o almoço custa 74 €, pelo que cada um deve pagar \(\dfrac{74}{5} = 14{,}8\) euros.
Na praceta onde mora a família Coelho, estão estacionados automóveis e motos.
Cada automóvel tem 4 rodas, e cada moto tem 2 rodas. O número de automóveis é o triplo do número das motos e, ao todo, há 70 rodas na praceta.
Determina quantos automóveis e quantas motos estão estacionados na praceta. Mostra como chegaste à tua resposta.
Seja \(x\) o número de automóveis e \(y\) o número de motos. O número de automóveis é o triplo das motos (\(x = 3y\)) e há 70 rodas (\(4x + 2y = 70\)).
Um museu recebeu 325 euros pela venda de bilhetes, durante um dia.
Nesse dia, o número dos bilhetes vendidos para adultos foi o triplo do número dos bilhetes vendidos para crianças.
Os bilhetes de adulto custavam 2 euros e os bilhetes de criança 50 cêntimos.
Considera que \(a\) designa o número dos bilhetes vendidos para adultos e \(c\), o número dos bilhetes vendidos para crianças.
Qual dos sistemas de equações seguintes permite determinar o número dos bilhetes vendidos para crianças e o número dos bilhetes vendidos para adultos, nesse dia?
O número de bilhetes de adulto foi o triplo do de criança: \(a = 3c\). A receita foi 325 € (2 € por adulto e 0,5 € por criança): \(2a + 0{,}5c = 325\).
A Sara foi tomar o pequeno-almoço. Gastou 2,25 euros num sumo natural e numa torrada. O sumo custou mais 55 cêntimos do que a torrada.
Quanto custou a torrada e quanto custou o sumo natural? Mostra como chegaste à tua resposta.
Seja \(x\) o preço da torrada e \(y\) o preço do sumo. Gastou 2,25 € (\(x + y = 2{,}25\)) e o sumo custou mais 0,55 € do que a torrada (\(x + 0{,}55 = y\)).
Resolve o sistema de equações seguinte:
Apresenta os cálculos que efetuares.
Considera o seguinte sistema de equações:
Qual dos quatro pares ordenados \((x, y)\) seguintes é a solução deste sistema?
Resolvendo (substituição com \(y = 2 - \frac{x}{2}\)): \(x + 6 - 3x \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \dots\) obtém-se \(x = 2\) e \(y = 1\). C.S. \(= \{(2, 1)\}\).
Considera o seguinte sistema de equações:
Qual é o par ordenado \((x, y)\) que é a solução deste sistema? Mostra como obtiveste a tua resposta.
Considera o seguinte problema:
Para a festa de aniversário da Maria, gastaram-se 54 euros na compra de pacotes de leite e de pacotes de sumo. Cada pacote de leite custou 70 cêntimos e cada pacote de sumo custou 60 cêntimos. O número de pacotes de leite comprados é o triplo do número de pacotes de sumo. Quantos pacotes de leite e quantos pacotes de sumo se compraram?
Escreve um sistema de duas equações do 1.º grau que traduza este problema, representando por \(l\) o número de pacotes de leite e \(s\) o número de pacotes de sumo. Não resolvas o sistema.
O número de pacotes de leite é o triplo do de sumo: \(l = 3s\). Gastaram-se 54 € (0,70 € por leite e 0,60 € por sumo): \(0{,}7l + 0{,}6s = 54\).
Para efetuar chamadas do seu telemóvel, para duas redes (A e B), o preço, em cêntimos, que o Paulo tem a pagar por cada segundo de duração de uma chamada é o que está indicado na tabela ao lado.
| Rede | Preço por segundo (em cêntimos) |
|---|---|
| A | 0,5 |
| B | 0,6 |
Ontem, o Paulo só efetuou chamadas do seu telemóvel para as redes A e B.
A soma dos tempos de duração dessas chamadas foi de 60 segundos e, no total, o Paulo gastou 35 cêntimos.
Qual foi o tempo total de duração das chamadas efetuadas pelo Paulo, para a rede A? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade.
Seja \(a\) o tempo (em segundos) das chamadas para a rede A e \(b\) para a rede B. A soma dos tempos foi 60 s (\(a + b = 60\)) e gastou 35 cêntimos (\(0{,}5a + 0{,}6b = 35\)).
Considera o seguinte sistema de equações:
Qual é o par ordenado \((x, y)\) que é solução deste sistema? Mostra como obtiveste a tua resposta.
Considera o sistema de equações:
Qual dos quatro pares ordenados \((x, y)\) que se seguem é a solução deste sistema?
No bar da escola da Ana, vendem-se sumos de frutas e sanduíches.
Considera o seguinte problema:
A Ana comprou, no bar da escola, sumos e sanduíches para alguns colegas. Comprou mais três sanduíches do que sumos. No total pagou 4,60 €. Cada sanduíche custa 0,80 € e cada sumo 0,30 €. Quantos sumos e quantas sanduíches comprou a Ana?
Escreve uma equação do 1.º grau que permita completar o sistema que se segue, de modo que este traduza o problema. Não resolvas o sistema.
Como \(x\) é o número de sanduíches e \(y\) o de sumos, e cada sanduíche custa 0,80 € e cada sumo 0,30 €, com um total de 4,60 €, a equação que completa o sistema é:
Um grupo de 20 crianças foi ao circo.
Na tabela ao lado, podes observar o preço dos bilhetes, em euros.
| Idade | Preço (por bilhete) |
|---|---|
| Até 10 anos (inclusive) | 10 € |
| Mais de 10 anos | 15 € |
Na compra dos 20 bilhetes, gastaram 235 €.
Quantas crianças daquele grupo tinham mais de 10 anos de idade? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Seja \(x\) o número de crianças até 10 anos e \(y\) o número de crianças com mais de 10 anos. São 20 crianças (\(x + y = 20\)) e gastaram 235 € (\(10x + 15y = 235\)).