- Isometria é uma transformação que preserva as distâncias: translação, reflexão axial, rotação e reflexão deslizante.
- Translação associada a um vetor: todos os pontos se deslocam na mesma direção, sentido e comprimento.
- Reflexão axial: o eixo é a mediatriz de cada segmento \([PP^{\prime}]\).
- Rotação: definida por centro, amplitude e sentido; o centro é o único ponto fixo.
- As figuras obtidas são congruentes: comprimentos e amplitudes de ângulos mantêm-se.
- Simetrias de uma figura: axial (eixos de simetria) e rotacional (menor ângulo de rotação que deixa a figura invariante).
Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
A figura é uma fotografia da fachada do Museu de Arte, Arquitetura e Tecnologia (MAAT), situado na frente ribeirinha da zona histórica de Belém, em Lisboa.
Na figura da esquerda, está representado um esquema com seis dos azulejos que compõem essa fachada. Cada um dos azulejos tem a forma de um trapézio.
Relativamente à figura, sabe-se que todos os trapézios são iguais.
Assinala a opção que completa corretamente a afirmação seguinte. O trapézio \([LKMP]\) é a imagem do trapézio \([ABCD]\) por uma
Considerando o vetor \(\overrightarrow{AL}\), temos que \(A + \overrightarrow{AL} = L\), \(B + \overrightarrow{AL} = K\), \(C + \overrightarrow{AL} = M\) e \(D + \overrightarrow{AL} = P\).
Pelo que o trapézio \([LKMP]\) é a imagem do trapézio \([ABCD]\) por uma translação associada ao vetor \(\overrightarrow{AL}\).
Na figura, está representado o retângulo \([ADLI]\), decomposto em seis quadrados geometricamente iguais. Os triângulos \([AEF]\) e \([GKL]\) são geometricamente iguais, e os seus vértices são coincidentes com vértices de quadrados da figura.
![Retângulo [ADLI] decomposto em seis quadrados](img-isometrias/ex02.png)
Qual é a isometria que transforma o triângulo \([AEF]\) no triângulo \([GKL]\)?
Considerando a translação do triângulo \([AEF]\) associada ao vetor \(\overrightarrow{AF}\), obtemos o triângulo \([FJK]\). Em seguida, a translação deste triângulo pelo vetor \(\overrightarrow{KL}\) (que é igual ao vetor \(\overrightarrow{JK}\)) dá o triângulo \([GKL]\).
Assim, a isometria que transforma \([AEF]\) em \([GKL]\) é a composta da translação \(T_{\overrightarrow{AF}}\) com a translação \(T_{\overrightarrow{KL}}\).
A figura é uma fotografia do painel Começar do artista português Almada Negreiros, onde é possível observar uma sobreposição de traçados geométricos.
Na figura em baixo, está representada a estrela de cinco pontas inscrita numa circunferência, que se encontra na parte central do painel.
Sabe-se que:
- a circunferência tem centro no ponto \(O\);
- os vértices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) e \(E\) da estrela pertencem à circunferência;
- os arcos \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\) e \(EA\) são iguais.
Qual das isometrias seguintes transforma o triângulo \([AGF]\) no triângulo \([CHI]\)?
Observando a figura, os pontos \(G\) e \(H\), tal como os pontos \(A\) e \(C\) e também os pontos \(F\) e \(I\), situam-se a igual distância da reta \(BO\) e sobre retas perpendiculares a \(BO\).
Assim, são pontos simétricos relativamente a essa reta, ou seja, a reflexão de eixo \(BO\) transforma o triângulo \([AGF]\) no triângulo \([CHI]\).
O triângulo equilátero \([ADJ]\) da figura está decomposto em nove triângulos geometricamente iguais.
![Triângulo equilátero [ADJ] decomposto em nove triângulos](img-isometrias/ex04.png)
Qual dos seguintes triângulos é a imagem do triângulo \([ABE]\) pela translação de vetor \(\overrightarrow{HI}\)?
Como \(\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF}\) (vetores com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento), a imagem do triângulo \([ABE]\) pela translação de vetor \(\overrightarrow{HI}\) é o triângulo \([BCF]\).
Na figura está representados os quadrados \([ABCD]\) e \([EFGH]\), sendo os vértices \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) os pontos médios dos lados do quadrado \([ABCD]\).
![Quadrados [ABCD] e [EFGH]](img-isometrias/ex05.png)
Qual dos seguintes é o vetor soma \(\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{EH}\)?
Como \(\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EH}\) (vetores com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento), temos:
Na figura está representado um padrão formado por losangos geometricamente iguais. Os pontos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) e \(E\) são vértices de losangos.
Os vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) estão representados sobre lados de losangos e têm comprimento igual ao dos lados dos losangos.
Qual é a imagem do ponto \(E\) pela translação de vetor \(\vec{u} + \vec{v}\)?
Como \([ACDE]\) é um losango, é também um paralelogramo; como os vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) se podem representar sobre lados desse paralelogramo, usando a regra do paralelogramo para a soma de vetores, temos:
Na figura, está representado um painel formado por seis azulejos quadrados todos iguais. Em cada azulejo pintou-se um quadrado cinzento cujas diagonais são paralelas aos lados do azulejo e se intersectam no centro deste.
Os quadrados cinzentos são geometricamente iguais e foram numerados de 1 a 6.
Qual é a imagem do quadrado 5 pela reflexão deslizante de eixo \(CD\) e vetor \(\overrightarrow{AB}\)?
A reflexão do quadrado 5 relativamente ao eixo \(CD\) é o quadrado 2; a translação do quadrado 2 associada ao vetor \(\overrightarrow{AB}\) é o quadrado 3.
Assim, a imagem do quadrado 5 pela reflexão deslizante de eixo \(CD\) e vetor \(\overrightarrow{AB}\) é o quadrado 3.
Na figura, está representada uma das versões da bandeira de Lisboa. Esta versão, com forma retangular, é composta por 8 triângulos retângulos geometricamente iguais.
Identifica, usando uma das letras da figura, a imagem do ponto \(E\) pela composta da translação \(T_{\overrightarrow{GE}}\) com a translação \(T_{\overrightarrow{EH}}\).
Como \(\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EC}\) e \(\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{CD}\), temos:
Ou seja, \(T_{\overrightarrow{EH}}\big(T_{\overrightarrow{GE}}(E)\big) = D\).
Na figura, está representado o hexágono regular \([ABCDEF]\).
![Hexágono regular [ABCDEF]](img-isometrias/ex09.png)
Qual dos seguintes vetores é igual ao vetor soma \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FE}\)?
Como \(\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{BC}\) (vetores com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento), temos:
Na figura ao lado, está representado o quadrado \([AEYU]\), decomposto em 16 quadrados geometricamente iguais. Os pentágonos \([BHLFG]\) e \([NTXSR]\) são geometricamente iguais e têm os seus vértices coincidentes com vértices de quadrados da figura.
![Quadrado [AEYU] decomposto em 16 quadrados](img-isometrias/ex10.png)
10.1.
Para cada adição de vetores, de (1) a (3), assinala a opção que apresenta o vetor soma correspondente. Opções: (A) \(\overrightarrow{NA}\) (B) \(\overrightarrow{DT}\) (C) \(\overrightarrow{NJ}\) (D) \(\overrightarrow{FT}\) (E) \(\overrightarrow{AN}\).
- (1) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\)
- (2) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DO}\)
- (3) \(\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{DJ}\)
10.2.
Qual das seguintes isometrias transforma o pentágono \([BHLFG]\) no pentágono \([NTXSR]\)?
- (1) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AN}\) → opção (E)
- (2) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{FT}\) → opção (D)
- (3) \(\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{DJ} = \overrightarrow{DT}\) (regra do paralelogramo) → opção (B)
A reflexão do pentágono \([BHLFG]\) de eixo \(KO\), seguida da translação pelo vetor \(\overrightarrow{QS}\), dá o pentágono \([NTXSR]\). Logo a isometria é a reflexão deslizante de eixo \(KO\) e vetor \(\overrightarrow{QS}\).
Na figura seguinte, está representado um esquema de parte de um pavimento que pode ser encontrado numa cidade portuguesa. Os polígonos que constituem o esquema são geometricamente iguais.
Os pontos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) e \(F\), assinalados na figura, são vértices desses polígonos, e a reta \(r\) é a mediatriz dos segmentos de reta \([AD]\), \([BE]\) e \([CF]\).
Um dos pontos assinalados é a imagem do ponto \(D\) pela reflexão deslizante de eixo \(r\) e vetor \(\overrightarrow{EF}\). Identifica esse ponto.
A reflexão do ponto \(D\) relativamente ao eixo \(r\) é o ponto \(A\); a translação do ponto \(A\) associada ao vetor \(\overrightarrow{EF}\) é o ponto \(B\).
Assim, a imagem do ponto \(D\) pela reflexão deslizante de eixo \(r\) e vetor \(\overrightarrow{EF}\) é o ponto \(B\).
Na figura ao lado, está representado o hexágono regular \([ABCDEF]\).
![Hexágono regular [ABCDEF]](img-isometrias/ex12.png)
Qual dos pontos seguintes é a imagem do ponto \(F\) pela reflexão deslizante de eixo \(EB\) e vetor \(\overrightarrow{FA}\)?
A reflexão do ponto \(F\) relativamente ao eixo \(EB\) é o ponto \(D\); a translação do ponto \(D\) associada ao vetor \(\overrightarrow{FA}\) é o ponto \(C\).
Assim, a imagem do ponto \(F\) pela reflexão deslizante de eixo \(EB\) e vetor \(\overrightarrow{FA}\) é o ponto \(C\).
Na figura ao lado, está representado o hexágono regular \([PQRSTU]\).
![Hexágono regular [PQRSTU]](img-isometrias/ex13.png)
Qual dos pontos seguintes é a imagem do ponto \(P\) pela translação de vetor \(\overrightarrow{QS}\)?
Como um hexágono regular tem os lados opostos paralelos e com o mesmo comprimento, as diagonais \([QS]\) e \([PT]\) também são paralelas e com o mesmo comprimento, pelo que \(\overrightarrow{QS} = \overrightarrow{PT}\). Assim:
A figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia de um painel de azulejos que se encontra na fachada da Farmácia Pinheiro, em Tomar. Na figura da direita, estão representados, em esquema, dois dos azulejos quadrados que compõem esse painel.
Relativamente à figura da direita, sabe-se que:
- os pontos \(G\), \(B\) e \(D\) são os pontos médios dos lados dos quadrados a que pertencem;
- \([GABF]\) e \([BCDE]\) são losangos geometricamente iguais.
Qual dos pontos seguintes é a imagem do ponto \(F\) pela reflexão deslizante de eixo \(GB\) e vetor \(\overrightarrow{FE}\)?
A reflexão do ponto \(F\) de eixo \(GB\) é o ponto \(A\); a imagem do ponto \(A\) pela translação associada ao vetor \(\overrightarrow{FE}\) (ou seja, ao vetor \(\overrightarrow{AC}\)) é o ponto \(C\).
Assim, a reflexão deslizante de eixo \(GB\) e vetor \(\overrightarrow{FE}\) transforma \(F\) no ponto \(C\).
A figura seguinte representa um retângulo dividido em seis quadrados iguais.
15.1.
Qual é a imagem do ponto \(G\) pela translação associada ao vetor \(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)?
15.2.
Qual é o objeto cuja imagem, pela translação associada ao vetor \(\overrightarrow{ED}\), é o quadrado \([BCFG]\)?
Como \(\overrightarrow{AD} = 3\,\overrightarrow{AB}\), então \(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}\). Assim, a imagem do ponto \(G\) pela translação associada ao vetor \(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\) (ou seja, ao vetor \(\overrightarrow{AB}\)) é o ponto \(F\).
15.2.Observa-se que \(G + \overrightarrow{ED} = B\), \(F + \overrightarrow{ED} = C\), \(K + \overrightarrow{ED} = F\) e \(J + \overrightarrow{ED} = G\). Logo, o objeto cuja imagem pela translação associada ao vetor \(\overrightarrow{ED}\) é o quadrado \([BCFG]\) corresponde à opção (D).
Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto \(O\). A figura não está desenhada à escala.
Sabe-se que:
- a corda \([BD]\) e o diâmetro \([AC]\) são perpendiculares e intersectam-se no ponto \(E\);
- \(\overline{AE} = 1\);
- o triângulo \([ABO]\) é equilátero.
![Circunferência de centro O com corda [BD] e diâmetro [AC]](img-isometrias/ex16.png)
Qual dos seguintes pontos é o centro de uma rotação de amplitude igual a \(60^\circ\) que transforma o ponto \(B\) no ponto \(D\)?
Como \(B\hat{A}D = E\hat{A}B + E\hat{A}D = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\) (os triângulos \(OAB\) e \(OAD\) são equiláteros), a rotação de centro \(A\) que leva \(B\) a \(D\) tem amplitude \(120^\circ\); pela mesma razão, a de centro \(O\) tem amplitude \(120^\circ\); e a de centro \(E\) (ponto médio de \([AD]\)) tem amplitude \(180^\circ\).
Como o triângulo \([CBD]\) também é equilátero, a rotação de centro \(C\) que transforma \(B\) em \(D\) tem amplitude \(60^\circ\).
O Palácio Nacional da Pena está situado em Sintra. Em julho de 2007, foi eleito uma das Sete Maravilhas de Portugal. A figura da direita é uma fotografia de uma das torres desse palácio. Na figura da esquerda, está representado um modelo geométrico dessa torre. O modelo não está desenhado à escala.
O modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera. Sabe-se que:
- os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são os vértices de um retângulo;
- o raio da base do cilindro é igual ao raio da semiesfera e é igual a 3 cm;
- o volume total do sólido é igual a 285 cm³.
Qual é o transformado do ponto \(A\) por meio da translação associada ao vetor \(\overrightarrow{BC}\)?
Como \([ABCD]\) é um retângulo, a translação associada ao vetor \(\overrightarrow{BC}\) transforma o ponto \(B\) no ponto \(C\) e, da mesma forma, o ponto \(A\) no ponto \(D\).
O Aqueduto das Águas Livres é um sistema de abastecimento de água à cidade de Lisboa, construído no século XVIII. Ao longo do seu percurso, existem várias claraboias. A figura ao lado, à esquerda, é uma fotografia de uma dessas claraboias. Na figura da direita, está representado um modelo geométrico dessa claraboia.
O modelo é um sólido que pode ser decomposto no prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\), de base \([ABCD]\), e na pirâmide quadrangular regular \([EFGHI]\). O modelo não está desenhado à escala.
Qual é o transformado do ponto \(F\) por meio da translação associada ao vetor \(\overrightarrow{AB}\)?
A translação do ponto \(F\) pelo vetor \(\overrightarrow{AB}\) é o ponto \(G\).
Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:
- o triângulo \([ABC]\) é isósceles, com \(\overline{AB} = \overline{AC}\);
- os pontos \(D\) e \(E\) pertencem aos segmentos de reta \([AB]\) e \([AC]\), respetivamente;
- o triângulo \([ADE]\) é semelhante ao triângulo \([ABC]\);
- \(\overline{DE} = 4\) cm;
- \(\overline{BC} = 6\) cm;
- \(l\) é a altura do triângulo \([ABC]\) relativa à base \([BC]\).
A figura não está desenhada à escala. Também se sabe que \(\overline{AB} = 7\) cm.
![Triângulo isósceles [ABC] com triângulo [ADE]](img-isometrias/ex19.png)
Seja \(F\) o transformado do ponto \(A\) por meio da translação associada ao vetor \(\overrightarrow{BC}\) (o ponto \(F\) não está representado na figura). Considera a circunferência com centro no ponto \(F\) e que passa no ponto \(C\). Qual é o comprimento, em centímetros, do raio dessa circunferência?
Os triângulos \([ABC]\) e \([AFC]\) são congruentes, porque \(\overline{AF} = \overline{BC}\), \([AC]\) é um lado comum e os ângulos \(A\hat{C}B\) e \(C\hat{A}F\) são iguais (ângulos alternos internos).
Assim, \([FC]\) e \([AB]\) são lados correspondentes, pelo que \(\overline{FC} = \overline{AB} = 7\).
Logo, o raio da circunferência de centro \(F\) que contém o ponto \(C\) é \(7\) cm.
A figura da esquerda é uma fotografia de um moinho de vento de tipo mediterrânico, grupo ao qual pertence a maioria dos moinhos de vento portugueses. Na figura da direita, está representado um esquema das velas de um moinho de vento.
Sabe-se que:
- os triângulos \([ABO]\), \([CDO]\), \([EFO]\) e \([GHO]\) são geometricamente iguais;
- \(\overline{EF} = 5\) m;
- \(\overline{OE} = \overline{OF} = 7\) m.
O esquema não está desenhado à escala.
Admite que os segmentos de reta \([DH]\) e \([BF]\) são perpendiculares e se intersetam no ponto \(O\). Qual é o transformado do ponto \(H\) por meio da rotação de centro no ponto \(O\) e amplitude \(90^\circ\)?
Uma rotação de \(90^\circ\) (no sentido positivo), de centro em \(O\), transforma o ponto \(H\) no ponto \(B\).
Na figura ao lado, estão representados, num referencial cartesiano, os pontos \(A\) e \(B\) e partes dos gráficos de duas funções, \(f\) e \(g\).
Sabe-se que:
- o ponto \(O\) é a origem do referencial;
- a função \(f\) é uma função de proporcionalidade direta;
- a função \(g\) é uma função de proporcionalidade inversa;
- o ponto \(A\) pertence ao gráfico de \(f\) e tem coordenadas \((8, 6)\);
- o ponto \(B\) pertence ao gráfico de \(f\) e ao gráfico de \(g\) e tem abcissa igual a 4.
Designemos por \(C\) a imagem do ponto \(A\) por meio da reflexão de eixo \(Ox\) (o ponto \(C\) não está representado na figura). Determina o perímetro do triângulo \([AOC]\). Mostra como chegaste à tua resposta.
Como \(C\) é a reflexão de \(A\) relativamente ao eixo \(Ox\), tem a mesma abcissa e ordenada simétrica: \(C(8, -6)\).
No triângulo \([OAC]\), \(\overline{AC} = 6 + 6 = 12\) e \(\overline{OA} = \overline{OC}\). Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo \([OAD]\) (com \(D\) a projeção de \(A\) no eixo \(Ox\)):
Considera o triângulo \([ABC]\) representado no referencial da figura.
![Triângulo [ABC] e opções de transformação](img-isometrias/ex22_00.png)
Em qual das opções seguintes está representado o transformado do triângulo \([ABC]\) por meio da rotação de centro no ponto \(O\) e amplitude \(180^\circ\)?
![Triângulo [ABC] e opções de transformação](img-isometrias/ex22.png)
Considerando a rotação de cada ponto, constrói-se o transformado do triângulo \([ABC]\) por meio da rotação de centro \(O\) e amplitude \(180^\circ\) e verifica-se que é o triângulo representado na opção (C).
Na figura seguinte, à esquerda, está representada a maqueta de um terreno plano, de forma quadrada, que tem uma parte em cimento, também de forma quadrada, e uma parte relvada. À direita, está uma representação geométrica dessa maqueta.
Sabe-se que:
- \([ABCD]\) e \([AEFG]\) são quadrados;
- o ponto \(B\) pertence ao segmento de reta \([AE]\);
- o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AG]\);
- o lado do quadrado \([AEFG]\) mede mais 2 metros do que o lado do quadrado \([ABCD]\).
Qual é o transformado do ponto \(E\) por meio da rotação de centro no ponto \(F\) e amplitude \(90^\circ\) (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?
Como \([AEFG]\) é um quadrado, uma rotação de \(90^\circ\) de centro no ponto \(F\) transforma o ponto \(E\) no ponto \(G\).
Na figura ao lado, está representado um quadriculado.
24.1.
Considera a translação em que o transformado do ponto \(H\) é o ponto \(D\). Qual é, por meio dessa translação, o transformado do triângulo \([NIV]\)?
24.2.
Os pontos \(J\) e \(F\) são vértices de um certo quadrado, não representado na figura ao lado. Sabe-se que \([JF]\) é um lado desse quadrado. Qual dos pontos seguintes também é vértice desse quadrado?
Identificando o vetor \(\overrightarrow{HD}\) (com \(H + \overrightarrow{HD} = D\)), temos \(N + \overrightarrow{HD} = J\), \(I + \overrightarrow{HD} = E\) e \(V + \overrightarrow{HD} = R\). Logo, o transformado do triângulo \([NIV]\) é o triângulo \([JER]\).
24.2.Considerando os dois quadrados de lado \([JF]\), o único que tem como outro vértice um dos pontos assinalados é o quadrado com vértice no ponto \(W\).
Na figura ao lado, estão representados três hexágonos regulares com os vértices designados pelas letras de \(A\) a \(M\). Cada um dos segmentos \([AB]\), \([AF]\) e \([AJ]\) é comum a dois dos hexágonos.
Considera a rotação de centro no ponto \(A\) e amplitude \(120^\circ\) (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do segmento \([BC]\) nesta rotação?
Como os ângulos internos de um hexágono regular têm \(120^\circ\), o transformado do ponto \(B\) pela rotação de centro \(A\) e amplitude \(120^\circ\) é o ponto \(F\).
Traçando retas perpendiculares pelo ponto \(A\), o ângulo \(D\hat{A}G\) é reto e o ângulo \(C\hat{A}D\) tem \(30^\circ\), pelo que o ângulo \(C\hat{A}G\) tem \(120^\circ\); ou seja, o transformado do ponto \(C\) é o ponto \(G\).
Assim, a imagem do segmento \([BC]\) é o segmento \([FG]\).
Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro \(O\), na qual está inscrito um quadrado \([ABCD]\). A figura não está desenhada à escala.
![Quadrado [ABCD] inscrito numa circunferência](img-isometrias/ex26.png)
Quantos eixos de simetria tem o quadrado \([ABCD]\)?
Desenhando sobre o quadrado as duas diagonais e as duas mediatrizes dos lados (perpendiculares aos lados pelos pontos médios), visualizam-se os 4 eixos de simetria do quadrado.
Na figura seguinte, está representada uma composição geométrica de origem islâmica. Nesta figura, estão representados, a sombreado, quatro polígonos geometricamente iguais, com a forma de uma seta. Esses polígonos estão designados pelos algarismos 1, 2, 3 e 4. Os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), assinalados na figura, são vértices dos referidos polígonos.
O polígono 3 pode ser obtido como imagem do polígono 1 por meio da translação associada a um dos vetores seguintes. A qual deles?
O polígono 3 obtém-se do polígono 1 pela translação associada ao vetor \(\overrightarrow{AC}\). Verificando as opções:
- \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\)
- \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}\)
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
É a translação associada ao vetor \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) que transforma o polígono 1 no polígono 3.
Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro \(O\), na qual está inscrito um retângulo \([ABCD]\). A figura não está desenhada à escala.
Sabe-se que:
- \(B\hat{D}A = 70^\circ\);
- \(\overline{AB} = 4{,}35\) cm.
![Retângulo [ABCD] inscrito numa circunferência](img-isometrias/ex28.png)
Quantos eixos de simetria tem o retângulo \([ABCD]\)?
Desenhando sobre o retângulo as duas mediatrizes dos lados (perpendiculares aos lados pelos pontos médios), visualizam-se os 2 eixos de simetria do retângulo (as diagonais não são eixos de simetria).
Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro \(O\), na qual está inscrito um hexágono regular \([ABCDEF]\).
![Hexágono regular [ABCDEF] inscrito numa circunferência](img-isometrias/ex29.png)
Considera a rotação de centro no ponto \(O\) e de amplitude \(240^\circ\) (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do ponto \(D\) obtida por meio dessa rotação?
Como os ângulos ao centro de um hexágono regular têm \(60^\circ\), uma rotação de \(240^\circ\) corresponde a \(4\) desses ângulos (\(4 \times 60^\circ = 240^\circ\)). Assim, o transformado do ponto \(D\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude \(240^\circ\) é o ponto \(F\).
Na figura ao lado, sabe-se que:
- o diâmetro \([BD]\) é perpendicular ao diâmetro \([AC]\);
- \([OHDE]\) e \([OFBG]\) são quadrados geometricamente iguais;
- o ponto \(O\) é o centro do círculo;
- \(\overline{OC} = 2\) cm.
![Círculo com quadrados [OHDE] e [OFBG]](img-isometrias/ex30.png)
De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, escolhe a que não completa corretamente a afirmação que se segue. O quadrado \([OHDE]\) é a imagem do quadrado \([OFBG]\) através da transformação geométrica definida por uma:
As rotações de centro \(O\) e amplitude \(180^\circ\) ou \(-180^\circ\) transformam \([OFBG]\) em \([OHDE]\), assim como a simetria axial de eixo \(AC\).
A simetria axial de eixo \(DB\) transforma o quadrado \([OHDE]\) em si próprio, porque a diagonal \([OD]\) é um eixo de simetria do quadrado.
Na figura ao lado, \([ABCDEFGH]\) é um octógono regular inscrito na circunferência de centro \(O\).
![Octógono regular [ABCDEFGH] inscrito numa circunferência](img-isometrias/ex31.png)
Qual é a imagem do triângulo \([AOB]\) obtida por meio da rotação de centro no ponto \(O\) e de amplitude \(135^\circ\), no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio?
Como \([ABCDEFGH]\) é um octógono regular, pode dividir-se em 8 triângulos isósceles congruentes, cujos ângulos ao centro têm \(\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ\).
Como \(\dfrac{135^\circ}{45^\circ} = 3\), o transformado do triângulo \([AOB]\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude \(135^\circ\) é o triângulo \([GOF]\).
A figura apresenta um pormenor arquitectónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra. À direita, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitectónico e o vetor \(\vec{v}\).
Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura anterior (da direita) e a imagem dessa figura através da translação associada ao vetor \(\vec{v}\)?
Considerando a figura e a sua translação associada ao vetor \(\vec{v}\), obtém-se a representação conjunta das duas, ou seja, a figura da primeira opção.
Na figura está desenhado um pentágono regular \([ABCDE]\).
![Pentágono regular [ABCDE]](img-isometrias/ex33_00.png)
Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do pentágono \([ABCDE]\) obtida por meio de uma rotação de centro no ponto \(A\) e amplitude \(180^\circ\)?
![Pentágono regular [ABCDE] e opções](img-isometrias/ex33.png)
Como se pretende uma rotação de centro no ponto \(A\), o ponto \(A\) permanece inalterado, pelo que as opções (A) e (D) não estão corretas.
Traçando semicircunferências de centro no ponto \(A\), verifica-se que na opção (C) o pentágono sombreado é a imagem de \([ABCDE]\) por uma rotação de centro \(A\) e amplitude \(180^\circ\).
Na figura ao lado, estão representados um quadrado \([ABCD]\) e quatro triângulos geometricamente iguais. Em cada um destes triângulos:
- um dos lados é também lado do quadrado;
- os outros dois lados são geometricamente iguais.
![Quadrado [ABCD] e quatro triângulos](img-isometrias/ex34.png)
Quantos eixos de simetria tem esta figura?
Desenhando sobre o quadrado as duas diagonais e as duas mediatrizes dos lados, visualizam-se todos os eixos de simetria da figura. Logo, a figura tem quatro eixos de simetria.
A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos.
Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto \(O\), amplitude \(90^\circ\) (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?
Construindo o transformado do azulejo da esquerda por meio de uma rotação de centro \(O\) e amplitude \(90^\circ\), verifica-se que corresponde ao azulejo da direita na opção (B).
O símbolo está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a localização dos lavabos. As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo.
Em cada uma delas, está desenhada uma reta \(r\).
Em qual delas a reta \(r\) é um eixo de simetria?
As opções (A), (C) e (D) representam translações da figura, segundo um vetor com direção perpendicular à reta \(r\), pelo que \(r\) não é eixo de simetria nessas. Na opção (B), a reta \(r\) é um eixo de simetria.
Na figura ao lado, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo \([ABC]\). O segmento de reta \([BC]\) é perpendicular ao eixo dos \(xx\).
![Triângulo [ABC] num referencial ortogonal](img-isometrias/ex37.png)
A imagem do segmento de reta \([BC]\) obtida por meio de uma rotação de centro em \(A\) e amplitude \(90^\circ\) é um segmento de reta…
Considerando o transformado do segmento \([BC]\) por meio de uma rotação de centro em \(A\) e amplitude \(90^\circ\), obtém-se um segmento \([B'C']\) paralelo ao eixo dos \(xx\) (uma rotação de \(90^\circ\) leva uma direção perpendicular ao eixo \(xx\) a uma direção paralela a esse eixo).
Na figura está representado um decágono regular \([ABCDEFGHIJ]\), inscrito numa circunferência de centro \(O\). Os segmentos de reta \([ID]\) e \([HC]\) são diâmetros desta circunferência.
Após uma rotação de centro em \(O\) e de amplitude \(144^\circ\) (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto \(A\) desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?
Como \([ABCDEFGHIJ]\) é um decágono regular, pode dividir-se em 10 triângulos isósceles congruentes, cujos ângulos ao centro têm \(\dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ\).
Como \(\dfrac{144^\circ}{36^\circ} = 4\), o transformado do ponto \(A\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude \(144^\circ\) é o ponto \(G\).
A roda gigante de uma feira de diversões tem 12 cadeiras, espaçadas igualmente ao longo do seu perímetro. A roda move-se no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
A Rita entra na roda gigante e senta-se na cadeira que está na posição \(A\).
Indica a letra correspondente à posição da cadeira da Rita ao fim de a roda gigante ter dado duas voltas e \(\dfrac{3}{4}\).
Ao fim de cada volta completa, cada cadeira volta à sua posição inicial, pelo que, ao fim de duas voltas completas, a cadeira da Rita está novamente na posição \(A\).
Após os restantes \(\dfrac{3}{4}\) de volta (no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), a cadeira da Rita estará na posição assinalada com a letra \(J\).
As figuras seguintes reproduzem a forma de azulejos, de inspiração árabe, que se podem encontrar em alguns pavimentos do palácio de Alhambra, em Espanha.
Qual das figuras seguintes não tem eixos de simetria?
Podem identificar-se eixos de simetria nas figuras das opções (B), (C) e (D), pelo que a figura que não tem qualquer eixo de simetria é a da opção (A).
O padrão do azulejo representado na figura ao lado foi inspirado num desenho de uma tábua babilónica de argila, do segundo milénio a.C.
Qual dos seguintes frisos não pode ser construído com 3 desses azulejos?
O friso da opção (B) obtém-se por translações sucessivas do azulejo após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio; o da opção (C), após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido dos ponteiros do relógio; o da opção (D), após uma rotação de \(180^\circ\).
Pelo que o friso da opção (A) é o único que não pode ser construído com 3 destes azulejos.