Exercícios de Exame — Equações e problemas

Exercícios de Provas Nacionais e Testes Intermédios

Matemática · 8.º ano · matematicaparatodos.pt

Ferramentas úteis.

Equações e problemas

1
Prova de Aferição 8.º ano - 2023

Arrasta cada uma das caixas para a posição correta, de modo a ordenares as etapas de resolução da equação \(3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{2}-5\).

1.\(S=\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}\)
2.\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}\)
3.\(\Leftrightarrow 3x-2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{2}-5\Leftrightarrow\)
4.\(3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{2}-5\Leftrightarrow\)
5.\(\Leftrightarrow 3x-\dfrac{x}{2}=-5+2+\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\)
6.\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow\)
7.\(\Leftrightarrow \dfrac{5x}{2}=-\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow\)

Ordenando as etapas de resolução da equação, temos:

  1. \(3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{2}-5\Leftrightarrow\) Equação inicial.
  2. \(\Leftrightarrow 3x-2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{2}-5\Leftrightarrow\) Desembaraçar a equação de parêntesis.
  3. \(\Leftrightarrow 3x-\dfrac{x}{2}=-5+2+\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\) Isolar os termos com incógnita num dos membros.
  4. \(\Leftrightarrow \dfrac{5x}{2}=-\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow\) Reduzir o termos semelhantes.
  5. \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow\) Multiplicar ambos os membros por \(\dfrac{2}{5}\).
  6. \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}\) Calcular \(-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{2}{5}\).
  7. \(S=\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}\) Apresentar o conjunto solução da equação.
2
Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano - 2021

Resolve as equações seguintes.

Apresenta a solução na forma de número inteiro.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

A\(-\dfrac{x}{5}=3\)
B\(x-2=2x\)

Resolvendo as equações, temos:

  • A: \(-\dfrac{x}{5}=3\Leftrightarrow -x=3\times 5\Leftrightarrow -x=15\Leftrightarrow x=-15\)
C.S. \(=\{-15\}\)
  • B: \(x-2=2x\Leftrightarrow -2=2x-x\Leftrightarrow -2=x\)
C.S. \(=\{-2\}\)
3
Prova de Aferição 8.º ano - 2018

Resolve a equação seguinte.

\[x-\dfrac{2-x}{3}=\dfrac{1}{2}\]

Apresenta a solução na forma de fração.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a equação, e apresentando o resultado na forma de fração, temos:

\[ \begin{aligned} x-\dfrac{2-x}{3}&=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{x}{1\,(6)}-\dfrac{2-x}{3\,(2)}=\dfrac{1}{2\,(3)}\\ &\Leftrightarrow \dfrac{6x}{6}-\dfrac{4-2x}{6}=\dfrac{3}{6} \Leftrightarrow 6x-4+2x=3\\ &\Leftrightarrow 6x+2x=3+4 \Leftrightarrow 8x=7 \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{8} \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{\dfrac{7}{8}\right\}\)
4
Prova de Aferição 8.º ano - 2016

Resolve a equação seguinte.

\[\dfrac{1}{5}(1-x)=\dfrac{1}{2}+x\]

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Apresenta a solução na forma de fração irredutível.

Resolvendo a equação, temos:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{5}(1-x)&=\dfrac{1}{2}+x \Leftrightarrow \dfrac{1}{5\,(2)}-\dfrac{x}{5\,(2)}=\dfrac{1}{2\,(5)}+\dfrac{x}{1\,(10)}\\ &\Leftrightarrow \dfrac{2}{10}-\dfrac{2x}{10}=\dfrac{5}{10}+\dfrac{10x}{10} \Leftrightarrow 2-2x=5+10x\\ &\Leftrightarrow 2-5=10x+2x \Leftrightarrow -3=12x \Leftrightarrow -\dfrac{3}{12}=x \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}=x \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}\)
5
Prova Final 3.º Ciclo - 2014, 2.ª chamada

A organização «Médico em Casa» presta assistência médica ao domicílio. Os utentes pagam a consulta e a deslocação do médico.

Sabe-se que:

  • o preço da consulta é 10 euros;
  • cada quilómetro percorrido pelo médico na deslocação é pago a 40 cêntimos.

O Sr. Pereira adoeceu e recorreu aos serviços da organização «Médico em Casa». Pagou 18 euros pela consulta e pela deslocação do médico.

Quantos quilómetros percorreu o médico nessa deslocação?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Seja \(x\) o número de quilómetros percorridos pelo médico.

  • \(0{,}40x\) é o valor, em euros, a pagar pela deslocação do médico
  • \(0{,}40x+10\) é o valor total, em euros, a pagar pela deslocação do médico e pela consulta
  • \(0{,}40x+10=18\) é a equação que traduz o problema

Resolvendo a equação temos:

\[0{,}40x+10=18\Leftrightarrow 0{,}4x=18-10\Leftrightarrow \dfrac{4}{10}x=8\Leftrightarrow x=\dfrac{8\times 10}{4}\Leftrightarrow x=20\]
Desta forma, temos que o médico percorreu 20 quilómetros nesta deslocação.
6
Teste Intermédio 8.º ano – 29.02.2012

Resolve a equação seguinte.

\[2(1-x)+\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{x}{3}-(x-3)\]

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Resolvendo a equação, temos:

\[ \begin{aligned} 2(1-x)+\dfrac{x+1}{2}&=\dfrac{x}{3}-(x-3) \Leftrightarrow 2-2x+\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{x}{3}-x+3\\ &\Leftrightarrow \dfrac{2}{1\,(6)}-\dfrac{2x}{1\,(6)}+\dfrac{x+1}{2\,(3)}=\dfrac{x}{3\,(2)}-\dfrac{x}{1\,(6)}+\dfrac{3}{1\,(6)}\\ &\Leftrightarrow \dfrac{12}{6}-\dfrac{12x}{6}+\dfrac{3x+3}{6}=\dfrac{2x}{6}-\dfrac{6x}{6}+\dfrac{18}{6}\\ &\Leftrightarrow 12-12x+3x+3=2x-6x+18\\ &\Leftrightarrow 12-9x+3=-4x+18\\ &\Leftrightarrow 12+3-18=-4x+9x \Leftrightarrow -3=5x \Leftrightarrow -\dfrac{3}{5}=x \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{-\dfrac{3}{5}\right\}\)
7
Teste Intermédio 8.º ano – 11.05.2011

Resolve a equação seguinte.

\[\dfrac{x}{2}-2=\dfrac{3(2-x)}{4}\]

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Resolvendo a equação, temos:

\[ \begin{aligned} \dfrac{x}{2}-2&=\dfrac{3(2-x)}{4} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2}-2=\dfrac{6-3x}{4} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2\,(2)}-\dfrac{2}{1\,(4)}=\dfrac{6-3x}{4}\\ &\Leftrightarrow \dfrac{2x}{4}-\dfrac{8}{4}=\dfrac{6-3x}{4} \Leftrightarrow 2x-8=6-3x\\ &\Leftrightarrow 2x+3x=6+8 \Leftrightarrow 5x=14 \Leftrightarrow x=\dfrac{14}{5} \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{\dfrac{14}{5}\right\}\)
8
Teste Intermédio 8.º ano – 11.05.2011

Na última aula do terceiro período, a turma da Margarida ofereceu à professora de Matemática um ramo constituído por túlipas vermelhas e túlipas brancas.

O ramo, formado por 18 túlipas, tinha mais 4 túlipas vermelhas do que brancas.

Quantas túlipas brancas tinha o ramo que a turma da Margarida ofereceu à professora?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Seja \(x\) o número de túlipas brancas.

  • \(x+4\) é o número de túlipas vermelhas (porque ramo tinha mais 4 túlipas vermelhas do que brancas)
  • \(x+(x+4)\) é o número de túlipas do ramo
  • \(x+x+4=18\) é a equação que traduz o problema

Resolvendo a equação temos:

\[x+x+4=18\Leftrightarrow 2x+4=18\Leftrightarrow 2x=18-4\Leftrightarrow 2x=14\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{2}\Leftrightarrow x=7\]
Logo, o ramo tem 7 túlipas brancas.
9
Teste Intermédio 9.º ano – 07.02.2011

O Jorge reside numa aldeia do norte de Portugal e vai frequentemente a Lisboa.

Quando o Jorge se desloca à velocidade média de 80km/h, demora mais uma hora do que quando se desloca à velocidade média de 100km/h

Qual é a distância, em quilómetros, que o Jorge percorre quando se desloca da sua aldeia a Lisboa?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Seja \(x\) o tempo, em horas, que demora a viagem do Jorge entre a sua aldeia e Lisboa, à velocidade média de 100 km/h.

  • \(100\times x\) é a distância, em quilómetros, que o Jorge percorre na viagem
  • \(x+1\) é o tempo, em horas, que demora a viagem do Jorge entre a sua aldeia e Lisboa, à velocidade média de 80 km/h
  • \(80\times (x+1)\) é a distância, em quilómetros, que o Jorge percorre na viagem
  • \(100x=80(x+1)\) é a equação que traduz o problema

Resolvendo a equação temos:

\[100x=80(x+1)\Leftrightarrow 100x=80x+80\Leftrightarrow 100x-80x=80\Leftrightarrow 20x=80\Leftrightarrow x=\dfrac{80}{20}\Leftrightarrow x=4\]
Logo o Jorge demora 4 horas na viagem entre a sua aldeia e Lisboa, à velocidade média de 100 km/h, ou seja a distância percorrida é de 400 km.
10
Teste Intermédio 8.º ano – 27.04.2010
Teste Intermédio 8.º ano – 30.04.2009

Resolve a equação seguinte:

\[\dfrac{8x-2}{3}=x-1\]

Apresenta os cálculos que efetuares.

Resolvendo a equação, temos:

\[ \begin{aligned} \dfrac{8x-2}{3}&=x-1 \Leftrightarrow \dfrac{8x-2}{3}=\dfrac{x-1}{1\,(3)} \Leftrightarrow \dfrac{8x-2}{3}=\dfrac{3x-3}{3}\\ &\Leftrightarrow 8x-2=3x-3 \Leftrightarrow 8x-3x=-3+2 \Leftrightarrow 5x=-1\\ &\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{5} \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{-\dfrac{1}{5}\right\}\)
11
Teste Intermédio 8.º ano – 30.04.2009

Ao vencedor de um torneio foi entregue um ramo de flores com 24 rosas amarelas e vermelhas.

O ramo tem mais 6 rosas amarelas do que vermelhas.

Quantas rosas vermelhas tem o ramo?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Seja \(x\) o número de rosas vermelhas.

  • \(x+6\) é o número de rosas amarelas (porque ramo tem mais 6 rosas amarelas do que vermelhas)
  • \(x+(x+6)\) é o número de rosas do ramo
  • \(x+x+6=24\) é a equação que traduz o problema

Resolvendo a equação temos:

\[x+x+6=24\Leftrightarrow 2x+6=24\Leftrightarrow 2x=24-6\Leftrightarrow 2x=18\Leftrightarrow x=\dfrac{18}{2}\Leftrightarrow x=9\]
Logo o ramo tem 9 rosas vermelhas.
12
Teste Intermédio 8.º ano – 30.04.2008

Resolve a seguinte equação:

\[8x-2=3(x-1)\]

Apresenta os cálculos que efectuares.

Resolvendo a equação, temos:

\[ \begin{aligned} 8x-2&=3(x-1) \Leftrightarrow 8x-2=3x-3 \Leftrightarrow 8x-3x=-3+2\\ &\Leftrightarrow 5x=-1 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{5} \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{-\dfrac{1}{5}\right\}\)
13
Exame Nacional 3.º Ciclo – 2007, 2.ª Chamada

O Paulo e o seu amigo João foram comprar telemóveis.

O Paulo gostou de um modelo que custava 75 euros e comprou-o com um desconto de (20%).

O João comprou um telemóvel, de um outro modelo, que só tinha de desconto (15%).

Mais tarde, descobriram que, apesar das percentagens de desconto terem sido diferentes, o valor dos dois descontos, em euros, foi igual.

Quanto teria custado o telemóvel do João sem o desconto de 15% ?

Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade monetária.

Seja \(x\) o custo do telemóvel do João sem o desconto de 15%.

Assim temos que:

  • o valor do desconto no telemóvel do Paulo é de \(75\times\dfrac{20}{100}\)
  • o valor do desconto no telemóvel do João é de \(x\times\dfrac{15}{100}\)
  • Como o valor dos dois descontos, em euros, foi igual, vem que: \(75\times\dfrac{20}{100}=x\times\dfrac{15}{100}\)

Resolvendo a equação, vem que:

\[75\times\dfrac{20}{100}=x\times\dfrac{15}{100}\Leftrightarrow \dfrac{75\times 20}{100}=\dfrac{x\times 15}{100}\Leftrightarrow 75\times 20=15x\Leftrightarrow \dfrac{1500}{15}=x\Leftrightarrow 100=x\]
Assim temos que o telemóvel do João, sem o desconto de 15%, teria custado 100 euros.
14
Prova de Aferição – 2002

Qual é a solução da seguinte equação?

\[3b-5(b+1)=0\]

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolvendo a equação, temos:

\[ \begin{aligned} 3b-5(b+1)&=0 \Leftrightarrow 3b-5b-5=0 \Leftrightarrow -2b-5=0\\ &\Leftrightarrow -5=2b \Leftrightarrow \dfrac{-5}{2}=b \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}=b \end{aligned} \]
C.S. \(=\left\{-\dfrac{5}{2}\right\}\)