Exercícios de Exame — Áreas e Volumes | 8.º ano

1

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 2.ª fase

A compostagem doméstica consiste em utilizar os restos dos alimentos e os detritos resultantes da manutenção do jardim, reciclando, sem custos, a matéria orgânica para, mais tarde, a devolver ao solo sob a forma de fertilizante natural. Alguns municípios promovem este processo, que contribui para a redução do aquecimento global.

Na figura, está representado um modelo geométrico de um compostor doméstico, que é um tronco de cone.

Relativamente ao modelo representado na figura ao lado, sabe-se que:

o tronco de cone tem bases de diâmetro \([AB]\) e de diâmetro \([CD]\);
o cone reto de vértice \(V\), em que \([AB]\) é um diâmetro da base, tem 2,4 m de altura;
o tronco de cone, representado a cinzento-escuro, tem 0,9 m de altura;
\(\overline{AB} = 0{,}8\) m;
\(\overline{CD} = 0{,}5\) m.

O modelo não está desenhado à escala.

Calcula o volume do tronco de cone, representado a cinzento-escuro na figura ao lado. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado em metros cúbicos, arredondado às décimas. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

O volume do tronco é a diferença dos volumes dos cones de bases \([AB]\) e \([CD]\).

Cone de base \([AB]\): raio \(0{,}4\) m, altura \(2{,}4\) m:

V_{C[AB]} = \dfrac{\pi \times 0{,}4^2 \times 2{,}4}{3} \approx 0{,}402 \text{ m}^3

Cone de base \([CD]\): raio \(0{,}25\) m, altura \(2{,}4 - 0{,}9 = 1{,}3\) m:

V_{C[CD]} = \dfrac{\pi \times 0{,}25^2 \times 1{,}3}{3} \approx 0{,}085 \text{ m}^3

V = 0{,}402 - 0{,}085 \approx 0{,}3 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 0{,}3\) m³.

2

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 1.ª fase

O Quartel do Carmo, situado em Lisboa, é um local emblemático da Revolução de 25 de Abril de 1974, onde atualmente estão instalados o Comando Geral e o Museu da Guarda Nacional Republicana.

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma parte de uma guarita, que é um tronco de pirâmide.

Relativamente ao modelo representado na figura ao lado, sabe-se que:

\([ABCDV]\) é uma pirâmide reta de base retangular;
\([ABCDEFGH]\) é um tronco da pirâmide \([ABCDV]\) de bases retangulares e paralelas;
a pirâmide \([ABCDV]\) tem 11,5 m de altura;
o tronco de pirâmide \([ABCDEFGH]\) tem 2,3 m de altura;
\(\overline{AB} = 1{,}2\) m;
\(\overline{BC} = 1\) m;
\(\overline{FG} = 0{,}96\) m;
\(\overline{GH} = 0{,}8\) m.

O modelo não está desenhado à escala.

Calcula o volume do tronco de pirâmide \([ABCDEFGH]\), representado na figura ao lado. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

V_{[ABCDV]} = \dfrac{1}{3} \times (1{,}2 \times 1) \times 11{,}5 = 4{,}6 \text{ m}^3

Altura da pirâmide pequena: \(h_2 = 11{,}5 - 2{,}3 = 9{,}2\) m.

V_{[EFGHV]} = \dfrac{1}{3} \times (0{,}8 \times 0{,}96) \times 9{,}2 \approx 2{,}65 \text{ m}^3

V_T = 4{,}6 - 2{,}65 \approx 2 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 2\) m³.

3

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · Época especial

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma casa castreja da Idade do Ferro, situada na Citânia de Briteiros. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro reto e num cone reto.

Sabe-se que:

a base superior do cilindro coincide com a base do cone;
as bases do cilindro e a base do cone têm 5 metros de diâmetro;
o cilindro tem 4 metros de altura;
o cone tem 2 metros de altura.

O modelo não está desenhado à escala.

Calcula o volume do sólido representado na figura. Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Raio \(= 2{,}5\) m, logo \(A_{\circ} = \pi \times 2{,}5^2 = 6{,}25\pi\).

V_{\text{cilindro}} = 6{,}25\pi \times 4 = 25\pi \qquad V_{\text{cone}} = \dfrac{6{,}25\pi \times 2}{3} = \dfrac{12{,}5\pi}{3}

V = 25\pi + \dfrac{12{,}5\pi}{3} \approx 92 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 92\) m³.

4

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 2.ª fase

No ginásio do clube Boa Forma, existe um dispensador de água que contém um recipiente de forma cilíndrica, e copos com a capacidade de 0,2 litros.

Num determinado instante, o recipiente encontra-se parcialmente cheio.

A figura ao lado representa um esquema desse recipiente.

Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

o recipiente é representado por um cilindro reto em que o diâmetro da base é 2,5 dm;
a superfície da água é paralela à base do recipiente e está a uma altura de 3 dm dessa base.

Considera que a espessura do recipiente é desprezável.

O esquema não está desenhado à escala.

Calcula o número máximo de copos, iguais aos disponibilizados no dispensador, que é possível encher totalmente com a água que se encontra, nesse instante, no recipiente. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota: 1 L = 1 dm³

O volume de água é o de um cilindro de raio \(\frac{2,5}{2} = 1{,}25\) dm e altura 3 dm:

V = \pi \times 1{,}25^2 \times 3 \approx 14{,}726 \text{ dm}^3

\dfrac{14{,}726}{0{,}2} = 73{,}63

Resposta: no máximo 73 copos.

5

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 1.ª fase

Na figura, está representado um modelo geométrico da «Casa invertida», situada na ilha de S. Miguel, nos Açores. Este modelo representa um sólido que pode ser decomposto no prisma triangular \([ABCDEF]\) e no paralelepípedo reto \([BCEFGHIJ]\).

Relativamente ao sólido representado no modelo, sabe-se que:

a área do retângulo \([GHIJ]\) é 25,8 m²;
\(\overline{BH} = 4\) m;
o volume total do sólido é 134,1 m³.

O modelo não está desenhado à escala.

Calcula o volume do prisma triangular \([ABCDEF]\). Apresenta o resultado em metros cúbicos. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{[BCEFGHIJ]} = A_{[GHIJ]} \times \overline{BH} = 25{,}8 \times 4 = 103{,}2 \text{ m}^3

V_{[ABCDEF]} = 134{,}1 - 103{,}2 = 30{,}9 \text{ m}^3

Resposta: 30,9 m³.

6

Prova de Aferição 8.º ano — 2023

Na figura ao lado, estão representados um cone reto e um cilindro reto, que não estão desenhados à escala.

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

base do cone e as bases do cilindro são iguais;
a altura do cone e a altura do cilindro são iguais;
a altura do cilindro é igual ao seu diâmetro;
o ponto \(C\) é o centro do círculo da base do cone e do círculo da base do cilindro;
o ponto \(V\) é o vértice do cone;
\(\overline{BC} = 4{,}5\).

Qual é o valor da diferença entre o volume do cilindro e o volume do cone? Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o resultado arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Altura do cilindro \(= 2 \times 4{,}5 = 9\). Área da base \(= \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi\).

V_{\text{cilindro}} = 20{,}25\pi \times 9 = 182{,}25\pi \qquad V_{\text{cone}} = \dfrac{182{,}25\pi}{3} = 60{,}75\pi

V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cone}} = 121{,}5\pi \approx 382

Resposta: \(\approx 382\).

7

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 2.ª fase

Na figura, está representado um esquema de uma das torres do Parque Eólico do Douro Sul, em Moimenta da Beira. A artista plástica Joana Vasconcelos desenhou e pintou o revestimento dessa torre.

O esquema da torre é um tronco de cone. O tronco de cone tem bases de diâmetro \([AB]\) e de diâmetro \([CD]\).

Relativamente à figura, sabe-se que:

o cone de vértice \(V\), em que \([AB]\) é um diâmetro da base, tem 160 metros de altura;
o cone de vértice \(V\), em que \([CD]\) é um diâmetro da base, tem 80 metros de altura;
\(\overline{AB} = 4\) m e \(\overline{CD} = 2\) m.

O esquema não está desenhado à escala.

Determina o volume do tronco de cone, representado a sombreado na figura. Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, quatro casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{C[AB]} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 160}{3} = \dfrac{640\pi}{3} \qquad V_{C[CD]} = \dfrac{\pi \times 1^2 \times 80}{3} = \dfrac{80\pi}{3}

V = \dfrac{640\pi}{3} - \dfrac{80\pi}{3} = \dfrac{560\pi}{3} \approx 586 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 586\) m³.

8

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 1.ª fase

Na figura, está representado um modelo geométrico da parte inferior de uma garrafa desenhada pelo arquiteto Siza Vieira para promover o consumo de água da torneira, em Lisboa.

Relativamente à figura, sabe-se que:

\([ABCDI]\) é uma pirâmide reta de base quadrada;
\([ABCDEFGH]\) é um tronco de pirâmide de bases quadradas;
a altura da pirâmide \([ABCDI]\) é 36 cm e a altura do tronco de pirâmide é 12 cm;
\(\overline{AB} = 9\) cm e \(\overline{FG} = 6\) cm.

O modelo não está desenhado à escala.

Determina o volume do tronco de pirâmide \([ABCDEFGH]\), representado na figura. Apresenta o resultado em centímetros cúbicos. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{[ABCDI]} = \dfrac{1}{3} \times 9^2 \times 36 = 972 \text{ cm}^3

Altura da pirâmide pequena: \(36 - 12 = 24\) cm.

V_{[EFGHI]} = \dfrac{1}{3} \times 6^2 \times 24 = 288 \text{ cm}^3

V_T = 972 - 288 = 684 \text{ cm}^3

Resposta: 684 cm³.

9

Prova de Matemática, 9.º ano — 2021

Na figura, está representado um modelo geométrico de um obelisco de granito maciço, obra do escultor vimaranense Dinis Ribeiro, que foi construído para homenagear a comunidade educativa da freguesia de Ponte, em Guimarães. Este modelo é constituído por um prisma quadrangular reto \([ABCDEFGH]\) e por um tronco de pirâmide \([IJKLMNOP]\) de bases quadradas.

Sabe-se que:

o prisma \([ABCDEFGH]\) tem bases quadradas com 1,4 metros de aresta e tem 1,8 metros de altura;
o tronco de pirâmide \([IJKLMNOP]\) tem 4,5 metros de altura e é o tronco de uma pirâmide reta com 18 metros de altura;
\(\overline{NO} = 0{,}9\) m;
\(\overline{IJ} = 1{,}2\) m.

O modelo geométrico não está desenhado à escala.

Determina o volume do obelisco cujo modelo geométrico está representado na figura. Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Nos cálculos intermédios não deves proceder a arredondamentos. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{\text{prisma}} = 1{,}4 \times 1{,}4 \times 1{,}8 = 3{,}528 \text{ m}^3

V_P = \dfrac{1{,}2^2 \times 18}{3} = 8{,}64 \qquad V_p = \dfrac{0{,}9^2 \times 13{,}5}{3} = 3{,}645

(a pirâmide que não pertence ao obelisco tem altura \(18 - 4{,}5 = 13{,}5\) m).

V_O = 3{,}528 + 8{,}64 - 3{,}645 = 8{,}523 \approx 9 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 9\) m³.

10

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · Época especial

No telhado de uma casa, existe um painel solar incorporado numa peça metálica. O painel e a peça, em conjunto, têm a forma de um prisma triangular reto cujas bases são triângulos retângulos.

Na figura ao lado, está representado o prisma triangular reto \([ABCDEF]\), modelo da peça metálica. Os segmentos de reta \([EF]\) e \([AB]\) são perpendiculares aos segmentos de reta \([DF]\) e \([BC]\), respetivamente.

A figura não está desenhada à escala.

Na figura anterior, o painel solar está representado pelo retângulo \([ACDE]\). As medidas da peça metálica são as indicadas na figura: \(\overline{AB} = 78\) cm, \(\overline{BC} = 58{,}5\) cm, \(\overline{DE} = 97{,}5\) cm e \(\overline{AE} = x\) cm (\(x > 0\)).

Admite que o volume do prisma \([ABCDEF]\) é 445 000 cm³.

Determina a área do painel solar. Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Área da base (triângulo \([ABC]\)):

A_{[ABC]} = \dfrac{78 \times 58{,}5}{2} = 2281{,}5 \text{ cm}^2

Da fórmula do volume, \(445\,000 = 2281{,}5 \times x\):

x = \dfrac{445\,000}{2281{,}5} \approx 195{,}05 \text{ cm}

A_{[ACDE]} = x \times 97{,}5 \approx 195{,}05 \times 97{,}5 \approx 19\,017 \text{ cm}^2

Resposta: \(\approx 19\,017\) cm².

11

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 2.ª fase

Uma cisterna tem a forma de um sólido que pode ser decomposto num cilindro e em duas semiesferas, como se vê na figura ao lado.

De acordo com a figura:

o comprimento da cisterna é 6,4 m;
o diâmetro da base do cilindro é 2,4 m;
as bases do cilindro e as semiesferas têm o mesmo diâmetro.

A figura não está desenhada à escala.

Determina o volume da cisterna. Apresenta o resultado em m³, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.

Raio \(= 1{,}2\) m. Altura do cilindro: \(h = 6{,}4 - 2 \times 1{,}2 = 4\) m.

V_{\text{semiesfera}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi \times 1{,}2^3}{2} \approx 3{,}619 \qquad V_{\text{cilindro}} = \pi \times 1{,}2^2 \times 4 \approx 18{,}096

V = 2 \times 3{,}619 + 18{,}096 \approx 25{,}3 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 25{,}3\) m³.

12

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 1.ª fase

Os contentores de recolha seletiva de lixo de uma praia vão ser substituídos. O contentor atual tem a forma de um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera com o mesmo raio, como se representa na figura seguinte.

O futuro contentor terá a forma de um prisma reto de bases quadradas, como também se representa na mesma figura.

Relativamente ao contentor atual, sabe-se que:

a altura do cilindro é 7,6 dm;
o raio da base do cilindro é 2,4 dm.

O futuro contentor terá o mesmo volume e a mesma altura do contentor atual.

Cilindro + semiesfera e prisma — contentores

Determina a medida da aresta da base do futuro contentor. Apresenta o resultado em decímetros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.

V_{\text{semiesfera}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi \times 2{,}4^3}{2} \approx 28{,}95 \qquad V_{\text{cilindro}} = \pi \times 2{,}4^2 \times 7{,}6 \approx 137{,}53

V \approx 166{,}48 \text{ dm}^3

Altura comum: \(h = 7{,}6 + 2{,}4 = 10\) dm. Do prisma \(V = a^2 \times h\):

166{,}48 = a^2 \times 10 \;\Leftrightarrow\; a^2 = 16{,}648 \;\Rightarrow\; a \approx 4{,}1 \text{ dm}

Resposta: \(\approx 4{,}1\) dm.

13

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · Época especial

No transporte marítimo de gás, usam-se, frequentemente, navios com tanques esféricos.

Na figura seguinte, à direita, está representado, em esquema, o casco de um desses navios. Este esquema é composto pelo paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\) e pela pirâmide retangular irregular \([BCHGI]\), cujo vértice \(I\) pertence ao plano que contém a face \([CDEH]\) do paralelepípedo retângulo.

Casco do navio — paralelepípedo + pirâmide

Na figura seguinte, está representada a vista de cima de um navio de transporte de gás.

Vista de cima — quatro tanques esféricos

Admite que os quatro tanques esféricos:

têm o mesmo raio e espessura desprezável;
estão colocados num compartimento com a forma de um paralelepípedo retângulo, encostados uns aos outros e às paredes do compartimento, sem que sejam deformados;
têm, cada um, 33 750 m³ de volume.

Determina o comprimento do compartimento onde estão colocados os quatro tanques esféricos, designado por \(x\) na figura anterior. Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Do volume da esfera, calcula-se o raio:

\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 33\,750 \;\Leftrightarrow\; r^3 = \dfrac{33\,750 \times 3}{4\pi} \;\Rightarrow\; r \approx 20{,}05 \text{ m}

\(x\) corresponde a quatro diâmetros, ou seja, 8 raios:

x = 8r \approx 8 \times 20{,}05 \approx 160 \text{ m}

Resposta: \(\approx 160\) m.

14

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 2.ª fase

A Casa das Histórias Paula Rego é um museu de arte localizado em Cascais.

Na figura ao lado representa-se, em esquema, uma das partes desse edifício.

No esquema, estão representados o prisma reto de bases quadradas \([ABCDEFGH]\) e o tronco de pirâmide \([EFGHIJKL]\), da pirâmide reta de base quadrada \([EFGHV]\). As faces \([EFGH]\) e \([IJKL]\), do tronco de pirâmide, são paralelas.

Relativamente ao esquema, admite que:

\(\overline{BC} = 9\) cm, \(\overline{CH} = 6\) cm e \(\overline{KL} = 3\) cm;
a altura da pirâmide \([EFGHV]\) é 24 cm;
a distância entre os planos \([EFG]\) e \([JKL]\) é 16 cm.

Prisma + tronco de pirâmide — Casa Paula Rego

Determina o volume do tronco de pirâmide \([EFGHIJKL]\). Apresenta o resultado em cm³. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{[EFGHV]} = \dfrac{1}{3} \times 9^2 \times 24 = 648 \text{ cm}^3

Altura da pirâmide pequena: \(24 - 16 = 8\) cm.

V_{[IJKLV]} = \dfrac{1}{3} \times 3^2 \times 8 = 24 \text{ cm}^3

V_T = 648 - 24 = 624 \text{ cm}^3

Resposta: 624 cm³.

15

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 1.ª fase

Na figura seguinte, está representado o prisma reto \([STUVWXYZ]\), que é o esquema da secção inclinada de uma cama articulada. As bases do prisma são trapézios.

Relativamente ao prisma, sabe-se que:

\([STUV]\) é um trapézio de bases \([VS]\) e \([UT]\), retângulo no vértice \(V\);
\([SXWV]\) é um quadrado cujos lados têm 15 cm de comprimento;
\(\overline{UV} = 7\) cm.

Admite que o volume do prisma \([STUVWXYZ]\) é 1250 cm³.

Determina \(\overline{UT}\). Apresenta o valor pedido em centímetros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O volume é a área do trapézio \([STUV]\) vezes a altura \(\overline{VW} = 15\):

1250 = \dfrac{15 + \overline{UT}}{2} \times 7 \times 15

\dfrac{2500}{105} - 15 = \overline{UT} \;\Rightarrow\; \overline{UT} \approx 8{,}8 \text{ cm}

Resposta: \(\approx 8{,}8\) cm.

16

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · Época especial

A figura ao lado representa um reservatório constituído por um cilindro de altura \(\overline{AB}\) e por uma semiesfera assente na base superior do cilindro. As bases do cilindro e a semiesfera têm diâmetro \(\overline{BC}\).

O reservatório contém 50 m³ de água.

Sabe-se que:

\(\overline{PB}\) designa a altura que a água atinge no reservatório;
\(\overline{AP} = 1{,}5\) m;
\(\overline{BC} = 4{,}4\) m.

A figura não está desenhada à escala.

Determina a altura, \(a\), do reservatório. Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

A água ocupa um cilindro de raio \(\frac{4,4}{2}\) e altura \(\overline{PB}\):

50 = \pi \left(\dfrac{4{,}4}{2}\right)^2 \times \overline{PB} \;\Rightarrow\; \overline{PB} \approx 3{,}29 \text{ m}

a = \dfrac{\overline{BC}}{2} + \overline{AP} + \overline{PB} \approx 2{,}2 + 1{,}5 + 3{,}29 \approx 7 \text{ m}

Resposta: \(\approx 7\) m.

17

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 2.ª fase

Na figura ao lado, estão representados o cubo \([ABCDEFGH]\) e a pirâmide \([ABCDV]\).

Sabe-se que:

o vértice \(V\) da pirâmide coincide com o centro do cubo;
o volume do cubo é igual a 729 cm³.

Determina o volume da pirâmide \([ABCDV]\). Apresenta o valor pedido em cm³. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Aresta do cubo: \(\sqrt[3]{729} = 9\) cm. Como \(V\) é o centro, a altura da pirâmide é \(\frac{9}{2}\):

V_{[ABCDV]} = \dfrac{9^2 \times \frac{9}{2}}{3} = \dfrac{81 \times 9}{6} = 121{,}5 \text{ cm}^3

Resposta: 121,5 cm³.

18

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados o prisma reto \([ABCDEFGH]\) de bases quadradas \([ABCD]\) e \([FGHE]\) e as pirâmides triangulares \([AFGE]\) e \([ASTR]\), cujas bases \([FGE]\) e \([STR]\) estão contidas em planos paralelos.

Os vértices \(S\), \(T\) e \(R\) da pirâmide \([ASTR]\) pertencem, respetivamente, às arestas \([AF]\), \([AG]\) e \([AE]\) da pirâmide \([AFGE]\).

Considera que:

\(\overline{AS} = 6\) cm;
\(\overline{ST} = 4\) cm;
\(\overline{AF} = 9\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina o volume da pirâmide \([AFGE]\). Apresenta o valor pedido em cm³. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Os triângulos \([AST]\) e \([AFG]\) são semelhantes:

\dfrac{\overline{FG}}{\overline{ST}} = \dfrac{\overline{AF}}{\overline{AS}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{FG}}{4} = \dfrac{9}{6} \;\Leftrightarrow\; \overline{FG} = 6 \text{ cm}

Como \([FGHE]\) é quadrado, \(\overline{EF} = 6\). Área da base \([EFG]\): \(\frac{6 \times 6}{2} = 18\) cm². Altura \(\overline{AF} = 9\):

V_{[AFGE]} = \dfrac{18 \times 9}{3} = 54 \text{ cm}^3

Resposta: 54 cm³.

19

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · Época especial

Na figura seguinte, está representado um sólido composto por um cone reto de vértice \(V\) e uma semiesfera. A base do cone e a semiesfera têm centro no ponto \(C\) e têm raio \(\overline{AC}\).

Sabe-se que:

\(\overline{AC} = 6\) cm;
\(\overline{VA} = 15\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina o volume do sólido representado na figura. Apresenta o resultado em centímetros cúbicos, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O triângulo \([ACV]\) é retângulo em \(C\); pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{VC}^2 = 15^2 - 6^2 = 189 \;\Rightarrow\; \overline{VC} = \sqrt{189}

V_{\text{cone}} = \dfrac{\pi \times 6^2 \times \sqrt{189}}{3} \approx 518{,}277 \qquad V_{\text{semiesfera}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi \times 6^3}{2} \approx 452{,}389

V \approx 518{,}277 + 452{,}389 \approx 971 \text{ cm}^3

Resposta: \(\approx 971\) cm³.

20

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 2.ª fase

Na figura ao lado, estão representados um cilindro e um prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\) de bases \([ABCD]\) e \([EFGH]\), inscritas nas bases do cilindro. A altura do cilindro é igual a 5,3 cm e o raio da sua base é igual a 3 cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina a área da superfície lateral do cilindro. Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.

A superfície lateral planificada é um retângulo de lados \(P_{\circ} = 2\pi r\) e a altura:

P_{\circ} = 2\pi \times 3 = 6\pi \text{ cm}

A_{SL} = 6\pi \times 5{,}3 \approx 100 \text{ cm}^2

Resposta: \(\approx 100\) cm².

21

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados um prisma reto \([ABCDEFGH]\), de bases quadradas, e um cilindro cujas bases estão inscritas nas bases do prisma.

Sabe-se que:

\(\overline{AB} = 20\) cm;
a diferença entre o volume do prisma e o volume do cilindro é igual a 3000 cm³.

A figura não está desenhada à escala.

Determina \(\overline{CH}\). Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Com \(\overline{CH}\) como altura comum:

V_P = 20^2 \times \overline{CH} = 400\,\overline{CH} \qquad V_C = \pi \times 10^2 \times \overline{CH} = 100\pi\,\overline{CH}

400\,\overline{CH} - 100\pi\,\overline{CH} = 3000 \;\Leftrightarrow\; \overline{CH} = \dfrac{3000}{400 - 100\pi} \approx 35 \text{ cm}

Resposta: \(\approx 35\) cm.

22

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · Época especial

O centro geodésico de Portugal continental situa-se na Serra da Melriça, próximo de Vila de Rei. Nesse local, foi construído o marco geodésico cujo modelo geométrico está representado na figura.

O modelo não está desenhado à escala.

O modelo do marco geodésico é um poliedro composto pelo tronco de pirâmide quadrangular regular \([ABCDEFGH]\) e pela pirâmide quadrangular regular \([EFGHI]\).

O ponto \(J\) é o centro do quadrado \([ABCD]\).

Relativamente à figura, sabe-se que:

\(\overline{IJ} = 15\) cm;
\(\overline{AB} = 8\) cm;
\(\overline{FG} = 3\) cm;
o volume da pirâmide \([EFGHI]\) é 6 cm³.

Sabe-se ainda que o volume, \(V\), de um tronco de pirâmide quadrangular regular é dado pela expressão \(V = \dfrac{h}{3}(L^2 + L \times l + l^2)\) em que:

\(h\) é a altura do tronco de pirâmide;
\(L\) é a aresta da base maior do tronco de pirâmide;
\(l\) é a aresta da base menor do tronco de pirâmide.

Tronco de pirâmide + pirâmide — marco geodésico

Determina o volume do tronco de pirâmide \([ABCDEFGH]\). Sugestão: começa por mostrar que a altura da pirâmide \([EFGHI]\) é igual a 2 cm. Apresenta o resultado em cm³, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

\(L = 8\), \(l = 3\). Como \(\overline{IK}\) é a altura da pirâmide \([EFGHI]\):

6 = \dfrac{1}{3} \times 3^2 \times \overline{IK} \;\Leftrightarrow\; \overline{IK} = 2

Logo \(h = \overline{IJ} - \overline{IK} = 15 - 2 = 13\). Então:

V = \dfrac{13}{3}(8^2 + 8 \times 3 + 3^2) = \dfrac{13}{3} \times 97 = \dfrac{1261}{3} \approx 420 \text{ cm}^3

Resposta: \(\approx 420\) cm³.

23

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 2.ª fase

Na figura, está representado um modelo geométrico de parte da Sé Catedral de Lisboa, um dos monumentos mais antigos de Portugal. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo é um sólido que pode ser decomposto nos prismas quadrangulares regulares \([ABCDEFGH]\), \([LKNMHGJI]\) e \([PQROIJTS]\).

Sabe-se que:

bases dos três prismas são quadrados, todos geometricamente iguais;
o ponto \(M\) pertence ao segmento de reta \([CH]\);
o ponto \(N\) pertence ao segmento de reta \([OI]\);
\(\overline{DE} = \overline{RS} = 9\) cm;
\(\overline{MH} = \frac{2}{3}\overline{DE}\);
o volume total do sólido é igual a 248 cm³.

Seja \(s\) a área da base de cada prisma.

Determina \(s\). Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta.

Como a altura do prisma central é \(\frac{2}{3}\) da dos outros, o sólido equivale a 8 prismas iguais (bases de área \(s\) e altura \(\overline{CM} = \frac{9}{3} = 3\)):

\dfrac{248}{8} = 31 \text{ cm}^3 \text{ (cada um)} \qquad 31 = s \times 3 \;\Rightarrow\; s = \dfrac{31}{3} \approx 10{,}3 \text{ cm}^2

Resposta: \(\approx 10{,}3\) cm².

24

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 1.ª fase

O Palácio Nacional da Pena está situado em Sintra. Em julho de 2007, foi eleito uma das Sete Maravilhas de Portugal.

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma das torres desse palácio. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera.

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são os vértices de um retângulo;
o raio da base do cilindro é igual ao raio da semiesfera e é igual a 3 cm;
o volume total do sólido é igual a 285 cm³.

Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{\text{semiesfera}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi \times 3^3}{2} = 18\pi \qquad A_{\circ} = \pi \times 3^2 = 9\pi

285 = 18\pi + 9\pi \times \overline{BC} \;\Leftrightarrow\; \overline{BC} = \dfrac{285 - 18\pi}{9\pi} \approx 8{,}1 \text{ cm}

Resposta: \(\approx 8{,}1\) cm.

25

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 1.ª fase

O terraço do António foi pavimentado com 400 ladrilhos quadrados. Cada um desses ladrilhos tem 9 dm² de área.

O mesmo terraço poderia ter sido pavimentado com 225 ladrilhos, também quadrados e iguais entre si, mas maiores do que os que foram utilizados.

Qual é o comprimento dos lados de cada um destes 225 ladrilhos? Apresenta o resultado em decímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

A_{\text{terraço}} = 400 \times 9 = 3600 \text{ dm}^2

A_{\text{ladrilho}} = \dfrac{3600}{225} = 16 \text{ dm}^2 \;\Rightarrow\; \ell = \sqrt{16} = 4 \text{ dm}

Resposta: 4 dm.

26

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 1.ª fase

Na figura ao lado, está representada uma semicircunferência de diâmetro \([AC]\).

Sabe-se que:

o ponto \(B\) pertence à semicircunferência e o ponto \(D\) pertence a \([AC]\);
os segmentos de reta \([BD]\) e \([AC]\) são perpendiculares;
o raio da semicircunferência é igual a 5 cm;
\(\overline{BD} = 4\) cm.

Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado em cm², arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

A_{\text{semicírculo}} = \dfrac{\pi \times 5^2}{2} = \dfrac{25\pi}{2}

Base do triângulo \([ABC]\): \(\overline{AC} = 2 \times 5 = 10\):

A_{[ABC]} = \dfrac{10 \times 4}{2} = 20 \text{ cm}^2

A_S = \dfrac{25\pi}{2} - 20 \approx 19{,}3 \text{ cm}^2

Resposta: \(\approx 19{,}3\) cm².

27

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 2.ª chamada

O Aqueduto das Águas Livres é um sistema de abastecimento de água à cidade de Lisboa, construído no século XVIII. Ao longo do seu percurso, existem várias claraboias.

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma dessas claraboias. O modelo é um sólido que pode ser decomposto no prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\), de base \([ABCD]\), e na pirâmide quadrangular regular \([EFGHI]\).

O modelo não está desenhado à escala.

Seja \(V\) o volume do prisma \([ABCDEFGH]\) e seja \(V'\) o volume da pirâmide \([EFGHI]\).

Admite que a altura da pirâmide é a quarta parte da altura do prisma.

Qual é o valor do quociente \(\dfrac{V'}{V}\)?

Um prisma com a altura da pirâmide tem volume \(\frac{V}{4}\). A pirâmide é um terço desse prisma:

V' = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{V}{4} = \dfrac{V}{12} \;\Rightarrow\; \dfrac{V'}{V} = \dfrac{1}{12}

Resposta: \(\dfrac{V'}{V} = \dfrac{1}{12}\).

28

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 1.ª chamada

Na figura ao lado, está representado um modelo geométrico de uma caixa.

Este modelo é um sólido que pode ser decomposto em dois prismas retos: o paralelepípedo retângulo \([ACDEFGIJ]\) e o prisma cujas bases são os triângulos \([ABC]\) e \([GHI]\).

Sabe-se que:

\(\overline{DE} = \overline{DJ} = 15\) cm;
\(\overline{CD} = 6\) cm;
a altura do triângulo \([ABC]\) relativa à base \([AC]\) tem 6 cm de comprimento.

O modelo não está desenhado à escala.

Paralelepípedo + prisma triangular — caixa

Determina o volume total do sólido. Apresenta o resultado em cm³. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{PR} = 15 \times 15 \times 6 = 1350 \text{ cm}^3

V_{PT} = \dfrac{\overline{AC} \times h}{2} \times \overline{DJ} = \dfrac{15 \times 6}{2} \times 15 = 675 \text{ cm}^3

V_T = 1350 + 675 = 2025 \text{ cm}^3

Resposta: 2025 cm³.

29

Teste Intermédio 9.º ano — 21.03.2014

Na figura, está representado um modelo geométrico de um moinho de vento de tipo mediterrânico, grupo ao qual pertence a maioria dos moinhos de vento portugueses. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone. O modelo não está desenhado à escala.

Relativamente ao sólido representado na figura, sabe-se que:

a base superior do cilindro coincide com a base do cone;
a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base e é igual a 6 dm;
o volume total do sólido é 195 dm³.

Determina a altura do cone. Apresenta o resultado em decímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Raio \(= 3\) dm. Volume do cilindro:

V_{Ci} = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi

V_{Co} = 195 - 54\pi \approx 25{,}35

25{,}35 = \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times h \;\Rightarrow\; h \approx 2{,}7 \text{ dm}

Resposta: \(\approx 2{,}7\) dm.

30

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 2.ª chamada

Na figura seguinte, em cima, está representado um recipiente cilíndrico que se encheu com um líquido colorido. Nesse líquido, mergulhou-se um cubo cuja aresta é igual à altura do cilindro. Tal como a figura seguinte, em baixo, sugere, o cubo ficou assente na base do recipiente.

Admite que:

a aresta do cubo mede 6 cm;
o raio da base do cilindro mede 5 cm.

Quando se mergulhou o cubo no recipiente, uma parte do líquido transbordou.

Determina o volume do líquido que ficou no recipiente depois de nele se ter mergulhado o cubo (figura em baixo). Apresenta o resultado em cm³, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

O líquido restante é a diferença entre o volume do cilindro e o do cubo:

V_{\text{cubo}} = 6^3 = 216 \qquad V_{\text{cilindro}} = \pi \times 5^2 \times 6 \approx 471{,}24

V_{\text{final}} \approx 471{,}24 - 216 \approx 255 \text{ cm}^3

Resposta: \(\approx 255\) cm³.

31

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 1.ª chamada

Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto \([ABCDEF]\).

Sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(A\);
\(\overline{AC} = 2\) cm;
\(\overline{AE} = 6\) cm;
o volume do prisma é 42 cm³.

Construiu-se um cubo com volume igual ao volume do prisma representado na figura ao lado.

Qual é a medida da aresta desse cubo, em centímetros, arredondada às décimas?

(A) 3,3

(B) 3,4

(C) 3,5

(D) 3,6

A aresta \(a\) verifica \(a^3 = 42\):

a = \sqrt[3]{42} \approx 3{,}5

Resposta: (C) 3,5

32

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 1.ª chamada

Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de centro no ponto \(O\) e os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\).

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) pertencem à circunferência;
\([BC]\) é um diâmetro da circunferência;
o triângulo \([CDE]\) é retângulo em \(E\);
os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) são semelhantes.

A figura não está desenhada à escala.

32.1. Admite que \(\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} = 0{,}5\). Qual é o valor do quociente \(\dfrac{\text{área do triângulo }[CDE]}{\text{área do triângulo }[ABC]}\)?

(A) 0,125

(B) 0,25

(C) 0,5

(D) 3,6

32.2. Admite que:

\(\overline{AB} = 6\) cm;
\(\overline{AC} = 10\) cm.

Determina a área do círculo de diâmetro \([BC]\). Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

32.1

\([BC]\) e \([CD]\) são correspondentes, logo \(r = 0{,}5\) e o quociente das áreas é \(r^2 = 0{,}25\). → (B)

32.2

\([ABC]\) é retângulo em \(A\) (\([BC]\) é diâmetro). Pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{BC}^2 = 6^2 + 10^2 = 136 \;\Rightarrow\; \overline{BC} = \sqrt{136}

r = \dfrac{\sqrt{136}}{2} \approx 5{,}83 \;\Rightarrow\; A = \pi r^2 \approx \pi \times 5{,}83^2 \approx 107 \text{ cm}^2

Resposta: 32.1 → (B) 0,25; 32.2 → \(\approx 107\) cm².

33

Teste Intermédio 9.º ano — 12.04.2013

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma calculadora. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo é um sólido que pode ser decomposto no paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\) e no prisma triangular reto \([JGKLIH]\).

Sabe-se que:

o ponto \(J\) pertence ao segmento de reta \([FG]\);
o ponto \(G\) pertence ao segmento de reta \([KB]\);
\(\overline{JG} = 2\) cm;
\(\overline{GK} = 3\) cm;
\(\overline{FA} = 2\) cm;
\(\overline{FE} = 10\) cm;
o volume do sólido é igual a 390 cm³.

Paralelepípedo + prisma triangular — calculadora

Determina o comprimento, em centímetros, do segmento de reta \([FJ]\). Mostra como chegaste à tua resposta.

V_{[JGKLIH]} = \dfrac{2 \times 3}{2} \times 10 = 30 \text{ cm}^3

V_{[ABCDEFGH]} = 390 - 30 = 360 \text{ cm}^3

De \(360 = \overline{FA} \times \overline{FE} \times \overline{FG} = 2 \times 10 \times \overline{FG}\), vem \(\overline{FG} = 18\). Então:

\overline{FJ} = \overline{FG} - \overline{JG} = 18 - 2 = 16 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{FJ} = 16\) cm.

34

Prova Final 3.º Ciclo — 2012 · 1.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico da parte coberta de um barco rabelo, atualmente usado para transportar turistas na travessia do rio Douro. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo \([BCDEKLMN]\) e no paralelepípedo retângulo \([ABEFGHIJ]\).

Sabe-se ainda que:

o ponto \(I\) pertence ao segmento de reta \([BL]\) e \(\overline{BI} = \frac{1}{3}\overline{BL}\);
\(\overline{AB} = 2\,\overline{BC}\);
o volume total do sólido é 25 cm³.

Seja \(a\) a medida, em centímetros, da aresta do cubo.

Determina o valor exato de \(a\). Mostra como chegaste à tua resposta.

V_{\text{cubo}} = a^3 \qquad V_{\text{paralelep.}} = \overline{AB} \times \overline{BE} \times \overline{BI} = 2a \times a \times \dfrac{a}{3} = \dfrac{2a^3}{3}

V_T = a^3 + \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{5a^3}{3}

\dfrac{5a^3}{3} = 25 \;\Leftrightarrow\; a^3 = 15 \;\Leftrightarrow\; a = \sqrt[3]{15}

Resposta: \(a = \sqrt[3]{15}\) cm.

35

Teste Intermédio 9.º ano — 10.05.2012

Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

\([ABCDEFGH]\) é um prisma quadrangular reto;
\([ABCDI]\) é uma pirâmide quadrangular regular;
o ponto \(I\) é o centro da face \([EFGH]\) do prisma;
o volume do prisma \([ABCDEFGH]\) é 27 cm³.

Supõe agora que ao prisma \([ABCDEFGH]\) se vai retirar a pirâmide \([ABCDI]\).

Qual é o volume, em cm³, do sólido que se obtém depois de retirada a pirâmide ao prisma?

A pirâmide tem a mesma base e altura do prisma, logo é um terço deste:

V_{[ABCDI]} = \dfrac{27}{3} = 9 \text{ cm}^3

V_F = 27 - 9 = 18 \text{ cm}^3

Resposta: 18 cm³.

36

Prova Final 3.º Ciclo — 2011 · Época especial

Na figura ao lado, está representado o sólido \([ABCDIJGH]\), que se pode decompor num prisma reto de bases quadradas e num prisma triangular reto.

Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular.

Este sólido não está desenhado à escala.

Determina o volume do sólido \([ABCDIJGH]\), supondo que \(\overline{AB} = 8\) cm, \(\overline{AF} = 4\) cm e \(\overline{FJ} = 7\) cm. Apresenta o resultado em cm³. Apresenta os cálculos que efetuares.

V_{[ABCDEFGH]} = 8 \times 8 \times 4 = 256 \text{ cm}^3

Área da base triangular \([FGJ]\): \(\frac{8 \times 7}{2} = 28\) cm². Altura \(\overline{FE} = 8\):

V_{[EFGHIJ]} = 28 \times 8 = 224 \text{ cm}^3

V = 256 + 224 = 480 \text{ cm}^3

Resposta: 480 cm³.

37

Prova Final 3.º Ciclo — 2011 · 2.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma casa típica da ilha da Madeira. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo é um sólido que pode ser decomposto num prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\) e num cone de vértice \(J\).

Sabe-se ainda que:

o quadrado \([EFGH]\), base superior do prisma, está inscrito na base do cone;
o diâmetro da base do cone é igual à diagonal das bases do prisma;
\(\overline{AB} = 4\) m;
\(\overline{IJ} = 3\) m;
o volume total do sólido é 57 m³.

Determina a altura do prisma. Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Diâmetro do cone \(= \) diagonal do quadrado de lado 4:

d^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \;\Rightarrow\; d = \sqrt{32}, \;\; r = \dfrac{\sqrt{32}}{2} \approx 2{,}83 \text{ m}

A_{\circ} \approx \pi \times 2{,}83^2 \approx 25{,}16 \qquad V_{\text{cone}} = \dfrac{1}{3} \times 25{,}16 \times 3 = 25{,}16

Volume do prisma \(= 4 \times 4 \times \overline{BG} = 16\,\overline{BG}\):

25{,}16 + 16\,\overline{BG} = 57 \;\Rightarrow\; \overline{BG} \approx 1{,}99 \approx 2 \text{ m}

Resposta: \(\approx 2\) m.

38

Prova Final 3.º Ciclo — 2011 · 1.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma choupana. O modelo não está desenhado à escala.

O modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone.

Sabe-se ainda que:

a base superior do cilindro coincide com a base do cone;
a altura do cilindro é igual à altura do cone;
a área da base do cilindro é 12 m²;
o volume total do sólido é 34 m³.

Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em metros, na forma de dízima. Apresenta os cálculos que efetuares.

V_{ci} = 12h \qquad V_{co} = \dfrac{1}{3} \times 12 \times h = 4h

V_T = 12h + 4h = 16h \;\Rightarrow\; 16h = 34 \;\Leftrightarrow\; h = 2{,}125 \text{ m}

Resposta: 2,125 m.

39

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · 1.ª chamada

Na figura ao lado, estão representados um paralelepípedo \([ABCDEFGH]\) e uma pirâmide \([HDPC]\), sendo \(P\) um ponto de \([AB]\).

Admite que o volume da pirâmide \([HDPC]\) é 10 cm³.

Qual é o volume, em cm³, do paralelepípedo \([ABCDEFGH]\)?

A pirâmide \([ABCDH]\) tem o dobro da área da base de \([HDPC]\) e a mesma altura, logo o dobro do volume:

V_{[ABCDH]} = 2 \times 10 = 20 \text{ cm}^3

O paralelepípedo tem a mesma base e altura da pirâmide \([ABCDH]\), logo o triplo do volume:

V_{[ABCDEFGH]} = 3 \times 20 = 60 \text{ cm}^3

Resposta: 60 cm³.

40

Teste Intermédio 8.º ano — 11.05.2011

A Helena construiu, para a disciplina de Educação Visual, vários modelos de sólidos em esferovite.

Todos os modelos são prismas rectos de base quadrada.

As bases dos modelos são todas iguais e as alturas são todas diferentes.

Na figura ao lado, estão representados três dos modelos feitos pela Helena.

A Helena vai forrar estes três modelos com papel autocolante.

Sabe-se que:

o volume do modelo maior é igual à soma dos volumes dos dois modelos menores;
para forrar os dois modelos menores, gastam-se mais 50 cm² de papel do que para forrar o modelo maior.

Determina, em centímetros, a medida da aresta da base dos modelos. Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o volume do maior é a soma dos dois menores (bases iguais), a soma das alturas dos menores é igual à altura do maior. O excesso de 50 cm² corresponde a duas bases quadradas:

A_B = \dfrac{50}{2} = 25 \text{ cm}^2 \;\Rightarrow\; a = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

Resposta: 5 cm.

41

Teste Intermédio 9.º ano — 07.02.2011

Na figura seguinte, está representado o trapézio rectângulo \([ABCD]\). O ponto \(E\) pertence ao lado \([AB]\).

Sabe-se que:

\(\overline{AE} = \frac{1}{3}\overline{AB}\);
\(\overline{EB} = \overline{DC}\);
a área do trapézio \([ABCD]\) é 20 cm².

Qual é a área da região representada a sombreado?

(A) 10 cm²

(B) 12 cm²

(C) 14 cm²

(D) 16 cm²

Os triângulos \([AED]\) e \([EBC]\) têm alturas iguais; como \(\overline{ED} = 2\,\overline{AE}\), \(A_{[EBC]} = 2A_{[AED]}\). Como \([EBC]\) e \([ECD]\) têm a mesma área:

A_{[ABCD]} = A_{[AED]} + 2A_{[AED]} + 2A_{[AED]} = 5A_{[AED]} = 20 \;\Rightarrow\; A_{[AED]} = 4

A_S = A_{[AED]} + A_{[EBC]} = 3 \times 4 = 12 \text{ cm}^2

Resposta: (B) 12 cm²

42

Prova Final 3.º Ciclo — 2010 · 2.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico de um comedouro de um camelo. Este modelo não está desenhado à escala.

Relativamente à figura, sabe-se que:

\([ABCDI]\) é uma pirâmide reta de base rectangular;
\([ABCDEFGH]\) é um tronco de pirâmide de bases retangulares e paralelas.

Determina o volume, em cm³, do tronco de pirâmide representado na figura, sabendo que:

\(\overline{AB} = 48\) cm, \(\overline{BC} = 40\) cm, \(\overline{EF} = 30\) cm e \(\overline{FG} = 25\) cm;
a altura da pirâmide \([ABCDI]\) é 80 cm, e a altura do tronco de pirâmide é 30 cm.

Apresenta os cálculos que efectuaste. Nota – Nos cálculos intermédios utiliza sempre valores exactos.

Altura da pirâmide pequena: \(80 - 30 = 50\) cm.

V_{[EFGHI]} = \dfrac{1}{3} \times (30 \times 25) \times 50 = 12\,500 \text{ cm}^3

V_{[ABCDI]} = \dfrac{1}{3} \times (48 \times 40) \times 80 = 51\,200 \text{ cm}^3

V_T = 51\,200 - 12\,500 = 38\,700 \text{ cm}^3

Resposta: 38 700 cm³.

43

Prova Final 3.º Ciclo — 2010 · 1.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma caixa de chocolates.

Relativamente à figura, sabe-se que:

\([ABCDEFGH]\) é um prisma quadrangular regular;
\([EFGHI]\) é uma pirâmide quadrangular regular, de altura \(\overline{IJ}\).

Determina o volume, em cm³, do sólido representado na figura, sabendo que \(\overline{AB} = 13\) cm, \(\overline{BF} = 19\) cm e \(\overline{IJ} = 6\) cm. Apresenta os cálculos que efetuaste.

V_{[ABCDEFGH]} = 13^2 \times 19 = 3211 \text{ cm}^3

V_{[EFGHI]} = \dfrac{1}{3} \times 13^2 \times 6 = 338 \text{ cm}^3

V = 3211 + 338 = 3549 \text{ cm}^3

Resposta: 3549 cm³.

44

Teste Intermédio 8.º ano — 27.04.2010

O Miguel e a Joana construíram uma caixa que servirá para colocar embalagens de plástico destinadas à reciclagem. A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo com 0,24 m³ de volume.

A figura ao lado representa um esquema da caixa construída.

Sabe-se que:

\(\overline{AB} = 1{,}2\) m;
\(\overline{BC} = 0{,}5\) m.

Determina \(\overline{AE}\), em metros. Apresenta os cálculos que efetuaste.

0{,}24 = 1{,}2 \times 0{,}5 \times \overline{AE} \;\Leftrightarrow\; 0{,}24 = 0{,}6 \times \overline{AE} \;\Leftrightarrow\; \overline{AE} = 0{,}4 \text{ m}

Resposta: \(\overline{AE} = 0{,}4\) m.

45

Teste Intermédio 9.º ano — 03.02.2010

Na figura ao lado, está representado o quadrado \([ABCD]\).

Sabe-se que:

o lado do quadrado é 10;
\(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) são os pontos médios dos lados \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) e \([DA]\), respetivamente.

Qual é a área da região sombreada \([AEFCGH]\)?

(A) 100

(B) 75

(C) 50

(D) 45

\(\overline{EB} = \overline{BF} = 5\). Área do triângulo \([BEF]\): \(\frac{5 \times 5}{2} = \frac{25}{2}\). Os triângulos \([BEF]\) e \([DGH]\) são congruentes:

A_{[AEFCGH]} = 10 \times 10 - 2 \times \dfrac{25}{2} = 100 - 25 = 75

Resposta: (B) 75

46

Prova Final 3.º Ciclo — 2009 · 2.ª chamada

A família Coelho vai mandar fazer floreiras em cimento.

A figura é um esquema dessas floreiras: a região mais clara é a parte de cimento, e a mais escura é a cavidade que vai ficar com terra, para as flores.

O modelo geométrico das floreiras tem a forma de um cubo com 50 cm de aresta.

A cavidade que vai ficar com a terra tem a forma de um prisma quadrangular reto, com a mesma altura da floreira e 40 cm de aresta da base.

Determina, em centímetros cúbicos, o volume da parte de cimento da floreira. Apresenta os cálculos que efetuares.

V = V_{\text{cubo}} - V_{\text{prisma}} = 50^3 - 40^2 \times 50 = 125\,000 - 80\,000 = 45\,000 \text{ cm}^3

Resposta: 45 000 cm³.

47

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2009 · 1.ª chamada

No sólido representado na figura ao lado, sabe-se que \([ABCDEFGH]\) é um prisma quadrangular reto, e que \(\overline{DA} = \overline{DC} = 2\) m e \(\overline{DH} = 5\) m.

Qual é, em metros cúbicos, o volume da pirâmide triangular sombreada? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas.

Área da base \([ACD]\): \(\frac{2 \times 2}{2} = 2\) m². Altura \(\overline{DH} = 5\) m:

V_{[ACDH]} = \dfrac{1}{3} \times 2 \times 5 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}3 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 3{,}3\) m³.

48

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2009

Na figura ao lado, está representado um esquema da piscina que a mãe da Marta comprou para colocar no jardim, bem como um esquema da base da piscina.

Sabe-se que:

\([ABCDEFGHIJKL]\) é um prisma regular e \(\overline{BH} = 1{,}5\) m;
\([ABCDEF]\) é um hexágono, com \(\overline{BC} = 2\) m e \(\overline{OM} = \sqrt{3}\) m.

Calcula, em metros cúbicos, a capacidade da piscina. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

O hexágono regular divide-se em 6 triângulos iguais a \([BCO]\):

A_{[ABCDEF]} = 6 \times \dfrac{\overline{BC} \times \overline{OM}}{2} = 6 \times \dfrac{2 \times \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ m}^2

V = 6\sqrt{3} \times 1{,}5 \approx 15{,}6 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 15{,}6\) m³.

49

Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2009

Na figura seguinte está representado um pódio constituído por três prismas quadrangulares regulares de bases iguais.

Sabe-se que:

todos os prismas têm área da base igual a 2;
a altura do prisma referente ao 2.º lugar é \(\frac{2}{3}\) da altura do prisma referente ao 1.º lugar;
a altura do prisma referente ao 3.º lugar é \(\frac{1}{3}\) da altura do prisma referente ao 1.º lugar.

49.1. Supõe que o volume total do pódio é igual a 15. Qual é o volume do prisma referente ao 2.º lugar? Mostra como chegaste à tua resposta.

49.2. Qual das condições seguintes traduz a relação entre o volume, \(V\), e a altura, \(h\), de cada um destes prismas?

(A) \(\frac{V}{h} = 2\)

(B) \(\frac{V}{h} = \frac{2}{3}\)

(C) \(\frac{V}{h} = \frac{1}{3}\)

(D) \(\frac{V}{h} = 15\)

49.1

Os dois prismas menores, juntos, têm altura \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\), igual à do maior — logo, juntos, têm o volume do maior. Assim o volume do maior é \(V_1 = \frac{15}{2}\), e o do 2.º lugar:

V_2 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{15}{2} = 5

49.2

Como \(V = A_b \times h = 2h\), tem-se \(\frac{V}{h} = 2\). → (A)

Resposta: 49.1 → 5; 49.2 → (A).

50

Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2009

Na figura ao lado, sabe-se que:

\([ACDF]\) é um quadrado de lado 4;
\(B\) é o ponto médio do segmento de reta \([AC]\);
\(\overline{EF} = 1\).

Qual é a área da região sombreada? Mostra como chegaste à tua resposta.

A área sombreada é a diferença entre o quadrado \([ACDF]\) e o triângulo \([ABE]\):

A_{[ACDF]} = 4^2 = 16 \qquad \overline{AB} = \dfrac{4}{2} = 2

A_{[ABE]} = \dfrac{\overline{AB} \times \overline{AF}}{2} = \dfrac{2 \times 4}{2} = 4

\(A_S = 16 - 4 = 12\)

Resposta: 12.

51

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008 · 2.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico de uma rampa de pedra, que é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos.

Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares, \(\overline{AB} = 300\) cm, \(\overline{BC} = 250\) cm e \(\overline{BE} = 42\) cm.

Determina o volume do prisma representado na figura. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida.

Área da base (triângulo \([ABE]\)):

A_{[ABE]} = \dfrac{300 \times 42}{2} = 6300 \text{ cm}^2

V = 6300 \times 250 = 1\,575\,000 \text{ cm}^3

Resposta: 1 575 000 cm³.

52

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2008 · 1.ª chamada

Na figura, está representado um modelo geométrico de um pacote de pipocas, que é um tronco de pirâmide, de bases quadradas e paralelas, representado a sombreado.

A pirâmide de base \([ABCD]\) e vértice \(I\) é quadrangular regular.

Determina o volume do tronco de pirâmide representado na figura, sabendo que \(\overline{AB} = 12\) cm, \(\overline{EF} = 3\) cm e que a altura da pirâmide de base \([ABCD]\) e vértice \(I\) é 20 cm. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida.

A pirâmide pequena \([EFGHI]\) tem altura 5 cm:

V_{[EFGHI]} = \dfrac{1}{3} \times 3^2 \times 5 = 15 \text{ cm}^3

A pirâmide grande tem altura \(15 + 5 = 20\) cm:

V_{[ABCDI]} = \dfrac{1}{3} \times 12^2 \times 20 = 960 \text{ cm}^3

V_T = 960 - 15 = 945 \text{ cm}^3

Resposta: 945 cm³.

53

Teste Intermédio 9.º ano — 07.05.2008

Na figura, está representado um esquema da estrutura de uma barraca de praia.

No esquema:

\([ABCDEFGH]\) é um prisma quadrangular regular;
\([EFGHI]\) é uma pirâmide quadrangular regular;
\([IK]\) é a altura da pirâmide \([EFGHI]\);
\([IJ]\) é a altura do triângulo \([EFI]\).

As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metro (m).

Sabe-se que \(\overline{IJ} = 1\) m.

De acordo com o esquema, determina o volume da barraca de praia. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de volume.

No triângulo \([JKI]\), retângulo em \(K\), com \(\overline{KJ} = \frac{1,2}{2} = 0{,}6\):

\overline{IK}^2 + 0{,}6^2 = 1^2 \;\Leftrightarrow\; \overline{IK}^2 = 0{,}64 \;\Rightarrow\; \overline{IK} = 0{,}8 \text{ m}

V_{[EFGHI]} = \dfrac{1}{3} \times 1{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}384 \text{ m}^3

V_{[ABCDEFGH]} = 1{,}2 \times 1{,}2 \times 1{,}7 = 2{,}448 \text{ m}^3

V_T = 0{,}384 + 2{,}448 = 2{,}832 \text{ m}^3

Resposta: 2,832 m³.

54

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007 · 1.ª chamada

Na figura ao lado, podes ver um cubo e, sombreada a cinzento, uma pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide coincide com a face \([ABCD]\) do cubo.

O vértice \(P\) da pirâmide pertence à face \([EFGH]\) do cubo.

Se a pirâmide da figura tivesse 9 cm³ de volume, qual seria o comprimento da aresta do cubo? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida.

O cubo tem a mesma base e altura da pirâmide, logo o triplo do volume:

V_{\text{cubo}} = 3 \times 9 = 27 \text{ cm}^3 \;\Rightarrow\; a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm}

Resposta: 3 cm.

55

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 2.ª chamada

Na figura, está representado um esquema da piscina da casa do Roberto, esquema que não está desenhado à escala.

No esquema:

as medidas estão expressas em metros;
\([ABCDEFGH]\) é um paralelepípedo retângulo;
\([IJKL]\) é uma rampa retangular que se inicia a 0,6 m de profundidade da piscina e termina na sua zona mais funda.

Quantos litros de água serão necessários para encher totalmente a piscina? Apresenta todos os cálculos que efetuares. (Nota: 1 m³ = 1000 litros)

O volume da piscina é a diferença entre o paralelepípedo e o prisma triangular (a rampa):

V_{\text{paralelep.}} = 20 \times 10 \times 2 = 400 \text{ m}^3

V_{\text{prisma}} = \dfrac{10 \times 1{,}4}{2} \times 10 = 70 \text{ m}^3

V = 400 - 70 = 330 \text{ m}^3 = 330\,000 \text{ litros}

Resposta: 330 000 litros.

56

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 1.ª chamada

O vulcão de água da Alameda dos Oceanos, no Parque das Nações, em Lisboa, expele, periodicamente, jatos de água.

Na figura, está representado um cone de revolução. A parte sombreada desta figura é um esquema do sólido que serviu de base à construção do vulcão de água.

As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros.

1,8 m e 0,6 m são os comprimentos dos raios das duas circunferências;
a altura do cone é 6 m.

Determina, em metros cúbicos, o volume do sólido representado no esquema a sombreado. (Se a tua calculadora não possui a tecla \(\pi\), utiliza o valor aproximado 3,14.) Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

V_6 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 1{,}8^2 \times 6 \approx 20{,}36 \qquad V_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 0{,}6^2 \times 2 \approx 0{,}75

V = 20{,}36 - 0{,}75 \approx 20 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 20\) m³.

57

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2005 · 2.ª chamada

Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo.

Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num degrau, para que o espigueiro fique na horizontal.

Na figura, está representado um esquema de um espigueiro. Neste esquema, estão também representados os seis pés do espigueiro, bem como o degrau no qual eles assentam. O esquema não está desenhado à escala. As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros.

O espigueiro é um prisma pentagonal reto, cujas bases são pentágonos não regulares. Cada pentágono pode ser decomposto num retângulo e num triângulo isósceles.

Determina, em metros cúbicos, o volume do espigueiro. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

V_{PR} = 5 \times 0{,}8 \times 3{,}7 = 14{,}8 \text{ m}^3

Altura do triângulo isósceles (Pitágoras, hipotenusa 0,5 e cateto 0,4):

h^2 + 0{,}4^2 = 0{,}5^2 \;\Rightarrow\; h = 0{,}3 \text{ m}

V_{PT} = \dfrac{0{,}8 \times 0{,}3}{2} \times 5 = 0{,}6 \text{ m}^3

V = 14{,}8 + 0{,}6 = 15{,}4 \text{ m}^3

Resposta: 15,4 m³.

58

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2005 · 1.ª chamada

Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilíndrica.

Como se pode observar no esquema:

a altura da caixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera;
o raio da base do cilindro é igual ao raio de uma esfera.

Mostra que o volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas. (Nota: designa por \(r\) o raio de uma esfera.)

Volume de cada esfera: \(V_E = \frac{4}{3}\pi r^3\); das três: \(3V_E = 4\pi r^3\).
Altura do cilindro: \(h = 3 \times 2r = 6r\); volume: \(V_C = \pi r^2 \times 6r = 6\pi r^3\).
Volume não ocupado: \(V = V_C - 3V_E = 6\pi r^3 - 4\pi r^3 = 2\pi r^3\).

V = 2\pi r^3 = \dfrac{4\pi r^3}{2} = \dfrac{3V_E}{2}

Logo, o volume não ocupado é metade do volume das três esferas.

59

Prova de Aferição — 2003

A Teresa e a Carla compraram uma tenda de campismo. A tenda tem a forma de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero.

Nas instruções de montagem vinha o esquema representado ao lado.

A entrada da tenda tem de altura \((b)\), aproximadamente, 1,6 m.

Determina o volume da tenda, em m³. Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado aproximado às décimas.

V = A_{\text{base}} \times \text{comprimento} = \dfrac{1{,}8 \times 1{,}6}{2} \times 2{,}3 \approx 3{,}3 \text{ m}^3

Resposta: \(\approx 3{,}3\) m³.

Áreas e volumes de sólidos