- Termo geral: expressão que dá o termo de ordem \(n\); substituir \(n\) por \(1,2,3,\dots\) dá os termos.
- Diferença constante \(d\): \(a_{n}=a_{1}+(n-1)\,d\).
- Saber se um número é termo: resolver \(a_{n}=\text{valor}\) e verificar se o \(n\) obtido é um número natural.
- Sequências pictóricas: contar por partes (o que se repete e o que se acrescenta em cada figura) antes de escrever a expressão.
- Confirmar sempre o termo geral encontrado em dois ou três termos conhecidos.
Sequências e regularidades
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por quadrados iguais.
Sabe-se que:
- o primeiro termo é composto por 2 quadrados cinzentos e 10 quadrados brancos;
- cada um dos restantes termos obtém-se acrescentando ao termo anterior 2 quadrados cinzentos e 4 quadrados brancos.
Existe um termo desta sequência que tem exatamente 86 quadrados brancos. Quantos quadrados cinzentos tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
Como cada termo se obtém acrescentando 4 quadrados brancos ao anterior, foi necessário acrescentar ao primeiro termo:
Por cada conjunto de 4 quadrados brancos acrescenta-se um conjunto de 2 quadrados cinzentos, pelo que foram acrescentados \(19 \times 2 = 38\) quadrados cinzentos. Como o primeiro termo tem 2 cinzentos:
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras formada por círculos construídos sobre os vértices de quadrados.
Sabe-se que:
- o primeiro termo é composto por doze círculos e cinco quadrados;
- cada um dos restantes termos obtém-se acrescentando ao termo anterior quatro círculos e dois quadrados.
Existe um termo desta sequência que tem exatamente 644 círculos. Quantos quadrados tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
Em cada termo acrescentam-se quatro círculos e dois quadrados, ou seja, o número de quadrados acrescentados é metade do número de círculos acrescentados. Para obter 644 círculos foi necessário:
- acrescentar ao primeiro termo \(644 - 12 = 632\) círculos;
- a que correspondem \(\dfrac{632}{2} = 316\) quadrados acrescentados.
Assim, o número de quadrados do termo com 644 círculos é:
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras, cada uma constituída por um quadrado dividido em 100 quadrados iguais.
Sabe-se que o primeiro termo é constituído apenas por quadrados brancos; o segundo termo tem 2 quadrados cinzentos, e cada termo seguinte tem mais dois quadrados cinzentos do que o anterior.
Existe um termo desta sequência que tem exatamente 26 quadrados brancos. Qual é a ordem desse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
O número de quadrados cinzentos do termo de ordem \(n\) é \(2n - 2\), pelo que o número de quadrados brancos é:
A ordem do termo com 26 quadrados brancos é a solução da equação \(102 - 2n = 26\):
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência formada por hexágonos regulares iguais.
4.1. Assinala a opção que apresenta o número de hexágonos brancos do décimo termo da sequência.
4.2. Assinala a opção que apresenta a expressão que permite determinar o número de hexágonos azuis do termo de ordem \(n\).
Em cada termo são acrescentados dois hexágonos brancos, à exceção do primeiro (que tem apenas um). No décimo termo:
Em cada termo são acrescentados quatro hexágonos azuis, à exceção do primeiro, em que foram criados seis (um acréscimo de 2). Assim, no termo de ordem \(n\) existem \(n\) conjuntos de 4 hexágonos mais 2:
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por octógonos regulares, geometricamente iguais, e por quadrados.
O primeiro termo é composto por um octógono e quatro quadrados. Cada um dos restantes termos obtém-se acrescentando ao anterior um octógono e dois quadrados.
Existe um termo desta sequência que tem exatamente 32 quadrados. Quantos octógonos tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
O termo de ordem \(n\) tem \(n\) octógonos e \(2n + 2\) quadrados (o número de quadrados é o dobro do número de octógonos mais 2). No termo com 32 quadrados:
Na tabela seguinte, estão indicados os três primeiros termos de uma sequência de números inteiros.
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | … |
|---|---|---|---|
| 9 | 14 | 19 | … |
Cada termo desta sequência, com exceção do primeiro, obtém-se adicionando 5 unidades ao termo anterior. Determina a ordem do termo da sequência que é igual a 204. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Como cada termo se obtém adicionando 5 ao anterior, comparamos a sequência com a de termo geral \(5n\): adicionando 4 unidades obtém-se a sequência dada \((5 + 4 = 9,\ 10 + 4 = 14,\ 15 + 4 = 19, \ldots)\). Logo, o termo geral é \(5n + 4\).
Apresentam-se a seguir os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por quadrados geometricamente iguais. O primeiro termo tem quatro quadrados e cada um dos termos seguintes tem mais três quadrados do que o anterior.
7.1. Quantos quadrados tem o 5.º termo desta sequência?
7.2. Um dos termos desta sequência tem 319 quadrados. Qual é a ordem desse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
O termo de ordem \(n\) tem \(1 + 3n = 3n + 1\) quadrados (1 quadrado inicial mais 3 acrescentados em cada termo).
7.1 — 5.º termoComo \(319 = 318 + 1\) e \(\dfrac{318}{3} = 106\), foram acrescentados 3 quadrados 106 vezes.
Na tabela seguinte, estão indicados os três primeiros termos de uma sequência de números racionais. Cada termo, com exceção do primeiro, obtém-se multiplicando o termo anterior por \(\frac{1}{2}\).
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | … |
|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{8}\) | … |
Determina a ordem do termo da sequência que é igual a \(\frac{1}{64}\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Continuando a multiplicar sucessivamente por \(\frac{1}{2}\):
O André comprou um telemóvel que custou 178 euros. Como só tinha 50 euros, os pais emprestaram-lhe o valor em falta. Para saldar a dívida, combinou uma prestação mensal de 8 euros, paga no primeiro dia de cada mês, sendo a primeira paga no dia 1 de janeiro de 2020. Admite que o André cumprirá o combinado.
9.1. Qual é a quantia, em euros, que o André ficará a dever aos pais no dia 2 de abril de 2020?
9.2. Escreve uma expressão que represente a quantia, em euros, que o André ficará a dever aos pais após pagar \(n\) prestações mensais.
A dívida inicial é \(178 - 50 = 128\) euros. Organizando os pagamentos:
| Data | Pagamento | Dívida |
|---|---|---|
| Até 31 dez 2019 | — | 128 |
| 1 jan 2020 | 8 | 120 |
| 1 fev 2020 | 8 | 112 |
| 1 mar 2020 | 8 | 104 |
| 1 abr 2020 | 8 | 96 |
Ao fim de \(n\) prestações terá pago \(8n\) euros, partindo de uma dívida de 128 euros:
Representam-se a seguir os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por círculos geometricamente iguais, uns brancos e outros cinzentos.
O primeiro termo tem três círculos brancos e um cinzento. Os restantes termos obtêm-se acrescentando ao anterior uma linha de três círculos: um cinzento e dois brancos.
Um termo da sequência tem 110 círculos cinzentos. Qual é o número total de círculos desse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
O número de círculos na coluna da esquerda (cinzentos) é igual ao da coluna da direita, e a coluna central tem mais um círculo do que cada uma das outras. Para o termo com 110 cinzentos:
- 110 círculos na coluna da esquerda (cinzentos);
- 110 círculos na coluna da direita;
- 111 círculos na coluna central.
Representam-se a seguir os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por círculos. O primeiro termo tem 5 círculos, e cada um dos termos seguintes tem mais 4 círculos do que o anterior.
Determina a ordem do termo da sequência que tem 4021 círculos. Mostra como chegaste à tua resposta.
O termo de ordem \(n\) tem \(1 + 4n = 4n + 1\) círculos (1 círculo central mais 4 acrescentados em cada termo). Como \(4021 = 4020 + 1\) e \(\dfrac{4020}{4} = 1005\), foram acrescentados 4 círculos 1005 vezes.
Representam-se a seguir os três primeiros termos de uma sucessão de figuras constituídas por círculos geometricamente iguais. Com exceção do primeiro, cada termo tem mais um círculo branco e dois círculos cinzentos do que o anterior.
Qual das expressões seguintes dá o número total de círculos do termo de ordem \(n\) da sucessão?
O primeiro termo tem 4 círculos e em cada termo acrescentam-se 3 (um branco e dois cinzentos). O termo de ordem \(n\) tem:
Numa estação de tratamento de água, um aparelho foi inicialmente programado para recolher 12 amostras de água por dia. Após o primeiro dia completo de funcionamento, o aparelho foi reprogramado e passou a recolher apenas 6 amostras diárias. Seja \(n\) o número de dias completos de funcionamento.
Qual das seguintes expressões representa o número total de amostras de água recolhidas pelo aparelho?
O aparelho recolheu 12 amostras no primeiro dia e 6 em cada um dos \(n - 1\) dias seguintes:
Representam-se a seguir os quatro primeiros termos de uma sucessão de figuras constituídas por hexágonos regulares geometricamente iguais. Com exceção do primeiro, cada termo tem mais um hexágono do que o anterior, e dois hexágonos adjacentes têm um lado comum.
Qual das seguintes expressões dá o número total de segmentos de reta do termo de ordem \(n\) da sucessão?
O primeiro termo é um hexágono completo (6 segmentos de reta) e em cada termo seguinte acrescentam-se 5 segmentos. O termo de ordem \(n\) tem:
Representam-se os três primeiros termos de uma sucessão de figuras. Cada termo é uma figura constituída por um quadrado em que, sucessivamente, se inscrevem quadrados menores.
O 1.º termo tem três quadrados e oito triângulos. Cada um dos termos seguintes tem mais um quadrado e mais quatro triângulos do que o anterior. Qual das seguintes expressões dá o número de triângulos do termo de ordem \(n\)?
O 1.º termo tem 8 triângulos e cada termo tem mais 4, pelo que o 2.º termo tem \(8 + 4 = 12\) triângulos. Apenas a expressão \(4n + 4\) dá 12 para \(n = 2\) (as restantes dão \(2 + 4 = 6\); \(4 \times 2 = 8\); \(8 \times 2 = 16\)).
Na figura seguinte, estão representados os quatro primeiros termos de uma sucessão de sólidos compostos por cubos geometricamente iguais, que segue a lei de formação sugerida.
Sabe-se que o número total de cubos (cinzentos e brancos) do termo de ordem \(n\) é dado por \(n^2\), e que cada termo, com exceção do primeiro, tem mais um cubo cinzento do que o anterior. Escreve uma expressão que represente o número de cubos brancos do termo de ordem \(n\).
O número de cubos cinzentos é igual à ordem do termo \((n)\) e o número de cubos brancos é a diferença entre o total \((n^2)\) e os cinzentos \((n)\):
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por círculos geometricamente iguais. Cada termo, com exceção do primeiro, tem mais três círculos do que o anterior.
Quantos círculos tem o 100.º termo da sequência? Mostra como chegaste à tua resposta.
Em cada termo os círculos dispõem-se em três linhas: a de cima tem tantos círculos como a ordem do termo, a do meio tem mais um e a de baixo tem mais dois. No 100.º termo:
Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sucessão de figuras formadas por quadrados geometricamente iguais. Seja \(u_n\) o número de quadrados do termo de ordem \(n\).
Qual das seguintes expressões pode representar \(u_n\)?
Cada termo tem um quadrado em cada extremo (2 quadrados) e uma zona central com \(n\) colunas de 3 quadrados:
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sucessão de conjuntos de círculos.
Sabe-se que o número total de círculos do termo de ordem \(n\) é dado por \(3n + 6\), e que cada termo, com exceção do primeiro, tem mais um círculo preto do que o anterior. Quantos círculos brancos tem o 100.º termo da sucessão?
Total de círculos no 100.º termo: \(3 \times 100 + 6 = 306\). O número de círculos pretos é igual à ordem do termo, ou seja, 100. Logo, os brancos são:
Na figura, estão representados os quatro primeiros termos de uma sequência de conjuntos de bolas que segue a lei de formação sugerida.
Quantas bolas brancas tem o décimo termo da sequência? Mostra como chegaste à tua resposta.
O termo de ordem \(n\) tem \(n\) bolas pretas e um total de \(n^2\) bolas, pelo que o número de bolas brancas é \(n^2 - n\). No décimo termo:
Numa sequência de números, com mais de trezentos termos, cada termo, com exceção do primeiro, obtém-se adicionando 3 ao termo anterior. O quinto termo da sequência é 14. Qual dos números seguintes não é termo desta sequência?
Subtraindo 3 sucessivamente a partir do 5.º termo (14), obtêm-se os primeiros termos: 2, 5, 8, 11, 14. Todos diferem de 1 unidade de um múltiplo de 3 (são da forma \(3k - 1\)):
- \(8 = 3 \times 3 - 1\) ✓
- \(80 = 3 \times 27 - 1\) ✓
- \(800 = 3 \times 267 - 1\) ✓
- \(88 = 3 \times 30 - 2\) ✗ (não é da forma \(3k - 1\))
Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de círculos que segue a lei de formação sugerida.
Há um termo da sequência que tem 10 círculos pretos. Quantos círculos, incluindo pretos e brancos, são necessários para construir esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
A figura de ordem \(n\) tem \(n\) círculos pretos e, no topo, um quadrado formado por \(n^2\) círculos brancos. A figura com 10 círculos pretos tem, no topo:
Na figura seguinte, estão representados os quatro primeiros termos de uma sequência de figuras, constituídas por quadrados geometricamente iguais, que segue a lei de formação sugerida.
Existe algum termo nesta sequência constituído por 200 quadrados geometricamente iguais ao do primeiro termo? Justifica a tua resposta.
O número de quadrados em cada termo é 1, 4, 9, 16, 25, … — os quadrados perfeitos, ou seja, o termo de ordem \(n\) tem \(n^2\) quadrados. Como \(14^2 = 196\) e \(15^2 = 225\), 200 não é um quadrado perfeito.
Na tabela seguinte, estão indicados os quatro primeiros termos de uma sequência de pares ordenados que segue a lei de formação sugerida.
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | 4.º termo | … |
|---|---|---|---|---|
| (1, 2) | (3, 5) | (6, 9) | (10, 14) | … |
Determina o oitavo termo dessa sequência. Mostra como chegaste à tua resposta.
O primeiro número de cada par obtém-se somando ao primeiro número do par anterior a ordem desse termo; o segundo número obtém-se somando ao segundo número do par anterior a ordem do termo mais uma unidade. Continuando:
| Termo | 1.º | 2.º | 3.º | 4.º | 5.º | 6.º | 7.º | 8.º |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.º número | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
| 2.º número | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | 27 | 35 | 44 |
Na figura seguinte, estão representados os cinco primeiros termos de uma sequência de conjuntos de círculos que segue a lei de formação sugerida. Os dois primeiros termos são formados só por círculos pretos; os restantes são formados por círculos pretos e brancos.
Existe um termo desta sequência que tem um número total de círculos igual à soma dos cem primeiros números naturais. Quantos círculos pretos tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
Para obter o termo de ordem \(n\) acrescentam-se \(n\) círculos ao termo anterior, pelo que o termo de ordem \(n\) tem um total de \(1 + 2 + \cdots + n\) círculos. Logo, o termo cujo total é a soma dos cem primeiros naturais é o de ordem 100.
A linha superior do 100.º termo tem 100 círculos pretos, tal como cada uma das linhas exteriores (esquerda e direita). Como o círculo do vértice inferior pertence a ambas as linhas:
Na figura, estão representados os quatro primeiros termos de uma sequência de conjuntos de azulejos quadrados que segue a lei de formação sugerida. Os azulejos são todos iguais, uns brancos e outros cinzentos.
26.1. Quantos azulejos brancos tem o 2012.º termo da sequência?
26.2. Qual é o número total de azulejos do 9.º termo da sequência? Mostra como chegaste à tua resposta.
O termo de ordem \(n\) tem \(n\) azulejos brancos, pelo que o 2012.º termo tem 2012 azulejos brancos.
O termo de ordem \(n\) tem \(n\) azulejos brancos e \(n(n+1)\) azulejos cinzentos:
- 1.º termo: \(1 + 1 \times 2 = 3\)
- 2.º termo: \(2 + 2 \times 3 = 7\)
- 3.º termo: \(3 + 3 \times 4 = 15\)
Na tabela seguinte, estão indicados alguns termos de uma sequência de números naturais que segue a lei de formação sugerida.
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | 4.º termo | … | 12.º termo | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 8 | 11 | 14 | … | 38 | … |
Existe algum termo desta sequência igual a 512? Mostra como chegaste à tua resposta.
Cada termo obtém-se adicionando 3 ao anterior, pelo que, comparando com a sequência de termo geral \(3n\) (somando 2), o termo geral é \(3n + 2\). Averiguamos se existe ordem \(n\) tal que \(3n + 2 = 512\):
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de bolas que segue a lei de formação sugerida.
28.1. Quantas bolas são necessárias para construir o 7.º termo da sequência?
28.2. Quantas bolas brancas tem o termo da sequência que tem um total de 493 bolas? Mostra como chegaste à tua resposta.
No termo de ordem \(n\) existem \(n\) bolas pretas, \(3n\) bolas brancas e ainda 1 bola branca adicional colocada em baixo.
28.1 — 7.º termoDescontando a bola branca adicional, \(493 - 1 = 492\) bolas dividem-se em 4 partes iguais (uma de pretas e três de brancas):
Na tabela seguinte, estão indicados alguns termos de uma sequência de números naturais que segue a lei de formação sugerida.
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | … | 10.º termo | … |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 9 | … | 100 | … |
Há dois termos consecutivos desta sequência cuja diferença é 25. Determina esses dois termos. Mostra como chegaste à tua resposta.
Cada termo corresponde ao quadrado da sua ordem \((n^2)\). Determinando termos sucessivos:
Como \(169 - 144 = 25\), os dois termos consecutivos são o 12.º e o 13.º.
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de bolas que segue a lei de formação sugerida.
30.1. Quantas bolas são necessárias para construir o 7.º termo da sequência?
30.2. Há um termo da sequência que tem um total de 108 bolas. Quantas bolas pretas tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.
No termo de ordem \(n\) existem \(n\) bolas brancas, \(n\) bolas pretas e ainda 2 bolas pretas na linha inferior.
30.1 — 7.º termoRetirando as 2 bolas pretas da linha inferior, restam \(108 - 2 = 106\) bolas, que se dividem em dois grupos iguais (brancas e pretas):
Na figura seguinte, estão representados os três primeiros termos de uma sequência que segue a lei de formação sugerida.
31.1. Quantos quadrados são necessários para construir o 7.º termo da sequência?
31.2. Existe algum termo desta sequência com 389 quadrados? Mostra como chegaste à tua resposta.
No termo de ordem \(n\) existem 4 braços com \(n\) quadrados cada e ainda 1 quadrado central.
31.1 — 7.º termoDescontando o quadrado central, \(389 - 1 = 388\), que se divide igualmente pelos 4 braços:
Na figura seguinte, estão representadas três das construções que o Miguel fez, utilizando peças retangulares geometricamente iguais. Em cada construção, as peças estão agrupadas segundo uma determinada regra, formando quadrados.
32.1. Quantas peças retangulares terá a 5.ª construção?
32.2. De acordo com a lei de formação sugerida, será que o Miguel consegue fazer uma construção com 2503 peças? Justifica a tua resposta.
Em cada construção acrescentam-se 4 peças à anterior (uma em cada lado do quadrado):
A 5.ª construção tem 22 peças.
32.2 — Construção com 2503 peçasComo o primeiro termo (6) é par e se somam sempre 4 unidades, todos os termos são pares. Como 2503 é ímpar, não pode ser termo da sequência.
O Pedro construiu a sequência de quadrados da figura seguinte. Os quadrados são formados por triângulos geometricamente iguais. A 1.ª construção é formada por 2 triângulos, a 2.ª por 8 triângulos, a 3.ª por 18 triângulos, e assim sucessivamente.
33.1. Quantos triângulos tem a quinta construção da sequência?
33.2. Qual das expressões seguintes pode representar a lei geradora da sequência?
Em cada construção de ordem \(n\) há \(n^2\) quadrados, e cada quadrado está dividido em 2 triângulos, pelo que o número de triângulos é \(2n^2\):
- 1.ª construção: \(2 \times 1^2 = 2\)
- 2.ª construção: \(2 \times 2^2 = 8\)
- 3.ª construção: \(2 \times 3^2 = 18\)
O Museu do Louvre é um dos mais visitados do mundo. A tabela seguinte apresenta o número de visitantes, em três anos consecutivos.
| Anos | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|
| N.º de visitantes (em milhões) | 6,7 | 7,5 | 8,3 |
Observa que o aumento do número de visitantes, por ano, entre 2004 e 2006, é constante. Determina o ano em que haverá 15,5 milhões de visitantes, supondo que o aumento se mantém constante. Mostra como chegaste à tua resposta.
O aumento é constante: \(7{,}5 - 6{,}7 = 0{,}8\) e \(8{,}3 - 7{,}5 = 0{,}8\) milhões por ano. Para atingir 15,5 milhões, o aumento necessário a partir de 2006 é \(15{,}5 - 8{,}3 = 7{,}2\) milhões. O número de anos correspondente é:
Considera uma sequência em que o primeiro termo é 244 e em que a lei de formação de cada termo a seguir ao primeiro é: «Adicionar dois ao termo anterior e depois dividir por três.» Qual é o terceiro termo da sequência?
Aplicando a lei de formação a partir do primeiro termo (244):
Uma matrioska é um brinquedo tradicional da Rússia, constituído por uma série de bonecas colocadas umas dentro das outras.
Numa série, a mais pequena mede 1 cm de altura, e cada uma das outras mede mais 0,75 cm do que a anterior. Supondo que existe uma série com 30 bonecas nestas condições, alguma delas pode medir 20 cm de altura? Mostra como chegaste à tua resposta.
Subtraindo a altura da boneca mais pequena, \(20 - 1 = 19\) cm. Se existisse uma boneca com 20 cm, esses 19 cm estariam repartidos em parcelas iguais de 0,75 cm (a diferença entre bonecas consecutivas):
Podemos confirmar calculando a altura da 25.ª boneca \((1 + 25 \times 0{,}75 = 19{,}75\) cm\()\) e da 26.ª \((1 + 26 \times 0{,}75 = 20{,}5\) cm\()\): nenhuma mede exatamente 20 cm.
Numa sala de cinema, a primeira fila tem 23 cadeiras. A segunda fila tem menos 3 cadeiras do que a primeira, a terceira tem menos 3 do que a segunda e assim sucessivamente, até à última fila, que tem 8 cadeiras. Quantas filas de cadeiras tem a sala de cinema? Explica como chegaste à tua resposta.
Subtraindo 3 sucessivamente ao número de cadeiras da primeira fila (23) até obter 8:
São 6 valores, ou seja, 6 filas.
Na figura, estão representados os quatro primeiros termos da sequência dos números triangulares: 1, 3, 6 e 10.
De acordo com a regra de formação sugerida na figura, qual é o número que corresponde ao quinto termo desta sequência? Não justifiques a tua resposta.
Cada termo obtém-se a partir do anterior somando o número natural correspondente à ordem do termo:
A seguir está representada uma sequência de números que segue uma determinada lei de formação.
| 1.º termo | 2.º termo | 3.º termo | 4.º termo | … | 15.º termo | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0909 | 0,1818 | 0,2727 | 0,3636 | … | 1,3635 | … |
39.1. Indica o 5.º termo da sequência.
39.2. Indica o primeiro termo da sequência que é maior que 1 (um). Explica como chegaste à tua resposta.
Cada termo obtém-se adicionando 0,0909 ao anterior:
O termo de ordem \(n\) é \(n \times 0{,}0909\). Calculando:
- 10.º termo: \(10 \times 0{,}0909 = 0{,}909\)
- 11.º termo: \(11 \times 0{,}0909 = 0{,}9999\)
- 12.º termo: \(12 \times 0{,}0909 = 1{,}0908\)
Observa a seguinte sequência de figuras, onde estão empilhados azulejos brancos e cinzentos, segundo uma determinada regra.
40.1. Indica o número de azulejos de cada cor necessários para construir a figura número 5.
40.1.1. Número de azulejos brancos: 40.1.2. Número de azulejos cinzentos:
40.2. Existirá alguma figura com um total de 66 azulejos? Explica a tua resposta.
40.3. Escreve uma fórmula que permita calcular o número de azulejos cinzentos da figura de ordem \(n\).
Em todas as figuras há 2 azulejos brancos, logo a figura 5 tem 2 azulejos brancos. A figura \(n\) tem \(3n\) azulejos cinzentos, logo a figura 5 tem \(5 \times 3 = \mathbf{15}\) azulejos cinzentos.
40.2 — Figura com 66 azulejos no totalO total de azulejos da figura \(n\) é \(3n + 2\). A figura 22 tem \(22 \times 3 + 2 = 68\) e a figura 21 tem \(21 \times 3 + 2 = 65\). Como nenhuma figura tem total 66:
A figura 1 tem 3 azulejos cinzentos e cada figura tem mais 3 do que a anterior:
Observa o seguinte triângulo formado por números.
Na 3.ª linha deste triângulo numérico há 5 números e na 4.ª linha há 7 números. Quantos números há na 112.ª linha? Explica como chegaste à tua resposta.
O número de elementos de cada linha pode decompor-se em duas parcelas — o número da linha e esse número menos um:
Assim, na 112.ª linha:
Num torneio de ténis de mesa, organizado por uma Associação de Estudantes, inscreveram-se 16 alunos. Em cada eliminatória, cada jogador realiza apenas um jogo, e quem ganhar fica apurado para a eliminatória seguinte. Na primeira eliminatória, como há 16 jogadores, realizam-se 8 jogos. Quantos jogos se realizam, durante todo o torneio, até ser apurado o vencedor? Explica a tua resposta.
Em cada eliminatória, o número de jogos é metade do número de jogadores, e metade fica apurada:
- 1.ª eliminatória: 16 jogadores \(\Rightarrow\) \(\frac{16}{2} = 8\) jogos;
- 2.ª eliminatória: 8 jogadores \(\Rightarrow\) \(\frac{8}{2} = 4\) jogos;
- 3.ª eliminatória: 4 jogadores \(\Rightarrow\) \(\frac{4}{2} = 2\) jogos;
- 4.ª eliminatória (final): 2 jogadores \(\Rightarrow\) 1 jogo.