Exercícios de Exame — Semelhança | 7.º ano

1

Prova ensaio 9.º ano — 2025

A figura ao lado é uma fotografia do painel de azulejos Fernando Pessoa, da autoria do artista português Júlio Pomar. O painel é retangular e é formado por 112 azulejos.

Pretende-se construir um painel semelhante ao painel Fernando Pessoa, usando azulejos com as mesmas dimensões. Assinala a opção que apresenta o número de azulejos necessários para que o painel semelhante tenha o triplo da altura do painel de azulejos Fernando Pessoa.

(A) 1008

(B) 1344

(C) 336

(D) 673

Como o novo painel é semelhante e tem o triplo da altura, também terá o triplo da largura. Sendo \(a\) a altura e \(c\) o comprimento do painel original, sabemos que \(a \times c = 112\). O painel a construir terá uma área de:

\(3a \times 3c = 9 \times (a \times c) = 9 \times 112 = 1008\) azulejos

Resposta: (A) 1008

2

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 2.ª fase

Na figura ao lado, estão representados o triângulo \([ABC]\) e o triângulo \([DEC]\), que não estão desenhados à escala. O ponto \(D\) pertence ao lado \([AC]\), o ponto \(E\) pertence ao lado \([BC]\), e as retas \(AB\) e \(DE\) são paralelas.

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

\(\overline{CE} = 3\);
\(\overline{BE} = 5\);
\(\overline{CD} = a\) com \(a > 0\).

Assinala a opção que apresenta uma expressão, em função de \(a\), que representa \(\overline{AC}\).

(A) \(\frac{3}{8}a\)

(B) \(\frac{8}{3}a\)

(C) \(\frac{5}{3}a\)

(D) \(\frac{3}{5}a\)

Os triângulos \([ABC]\) e \([DEC]\) são semelhantes (critério AA), sendo \([AC]\) e \([DC]\), e \([BC]\) e \([EC]\), lados correspondentes:

\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DC}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{EC}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{AC}}{a} = \dfrac{5+3}{3} \;\Leftrightarrow\; \overline{AC} = \dfrac{8}{3}a

Resposta: (B) \(\frac{8}{3}a\)

3

Prova Final 3.º Ciclo — 2024 · 1.ª fase

Na figura ao lado, estão representados o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(B\), e o triângulo \([EDC]\), retângulo em \(D\), que não estão desenhados à escala. O ponto \(D\) pertence ao lado \([BC]\), e o ponto \(E\) pertence ao lado \([AC]\).

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

\(\overline{AB} = 21\);
\(\overline{DE} = 6\);
\(\overline{CE} = a\), com \(a > 0\).

Assinala a opção que apresenta uma expressão, em função de \(a\), que representa \(\overline{AC}\).

(A) \(\frac{2}{7}a\)

(B) \(\frac{2}{5}a\)

(C) \(\frac{5}{2}a\)

(D) \(\frac{7}{2}a\)

Pelo critério AA, os triângulos são semelhantes (têm o ângulo de vértice \(C\) em comum e um ângulo reto). Logo, os lados correspondentes são diretamente proporcionais:

\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CE}} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{AC}}{a} = \dfrac{21}{6} \;\Leftrightarrow\; \overline{AC} = \dfrac{7}{2}a

Resposta: (D) \(\frac{7}{2}a\)

4

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · Época especial

Na figura seguinte, estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([AED]\).

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

o ponto \(E\) pertence ao lado \([AB]\) e o ponto \(D\) pertence ao lado \([AC]\);
o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\);
o triângulo \([AED]\) é retângulo em \(E\);
\(\overline{AE} = 4\) e \(\overline{DE} = 3\);
a área do quadrilátero \([BCDE]\) é 48.

A figura não está desenhada à escala.

Calcula \(\overline{BC}\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Área do triângulo \([AED]\) e do triângulo \([ABC]\):

A_{[AED]} = \dfrac{\overline{AE} \times \overline{ED}}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \qquad A_{[ABC]} = 48 + 6 = 54

Os triângulos \([ABC]\) e \([AED]\) são semelhantes (critério AA). Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança \(r\):

r^2 = \dfrac{A_{[ABC]}}{A_{[AED]}} = \dfrac{54}{6} = 9 \;\Rightarrow\; r = 3

Como \([BC]\) e \([ED]\) são correspondentes:

\dfrac{\overline{BC}}{\overline{ED}} = r \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{BC}}{3} = 3 \;\Leftrightarrow\; \overline{BC} = 9

Resposta: \(\overline{BC} = 9\).

5

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 2.ª fase

Na figura seguinte, estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([HIE]\) e o retângulo \([ABDF]\).

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

o ponto \(C\) pertence ao lado \([BD]\), o ponto \(E\) pertence ao lado \([DF]\), o ponto \(G\) pertence ao lado \([AF]\) e os pontos \(H\) e \(I\) pertencem ao segmento de reta \([CG]\);
a reta \(AB\) é paralela à reta \(CG\);
a reta \(BD\) é paralela à reta \(IE\);
a reta \(AC\) é paralela à reta \(HE\);
\(\overline{AB} = 12\) e \(\overline{BC} = 16\);
a área do triângulo \([HIE]\) é 24.

A figura não está desenhada à escala.

Triângulos [ABC] e [HIE] e retângulo [ABDF]

Calcula \(\overline{BD}\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Pelas paralelas, \(A\hat{B}C = G\hat{I}E\) e \(B\hat{C}A = I\hat{E}H\), logo (critério AA) os triângulos \([ABC]\) e \([HIE]\) são semelhantes. Área de \([ABC]\):

A_{[ABC]} = \dfrac{\overline{BC} \times \overline{AB}}{2} = \dfrac{16 \times 12}{2} = 96

r^2 = \dfrac{A_{[ABC]}}{A_{[HIE]}} = \dfrac{96}{24} = 4 \;\Rightarrow\; r = 2

Como \([BC]\) e \([IE]\) são correspondentes:

r = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{IE}} \;\Leftrightarrow\; 2 = \dfrac{16}{\overline{IE}} \;\Leftrightarrow\; \overline{IE} = 8

Como \(\overline{IE} = \overline{CD}\):

\overline{BD} = \overline{BC} + \overline{CD} = 16 + 8 = 24

Resposta: \(\overline{BD} = 24\).

6

Prova Final 3.º Ciclo — 2023 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados o triângulo \([ABC]\) e o retângulo \([DEFG]\).

Sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é isósceles, com \(\overline{AB} = \overline{AC}\);
o triângulo \([AED]\) é isósceles, com \(\overline{AE} = \overline{AD}\);
os pontos \(F\) e \(G\) pertencem ao lado \([BC]\), o ponto \(E\) pertence ao lado \([AB]\) e o ponto \(D\) pertence ao lado \([AC]\);
os pontos \(M\) e \(P\) são os pontos médios dos segmentos de reta \([BC]\) e \([ED]\), respetivamente;
\(\overline{BC} = 15\) e \(\overline{AM} = 12\);
a área do triângulo \([AED]\) é 10.

A figura não está desenhada à escala.

Triângulo isósceles [ABC] e retângulo [DEFG]

Calcula \(\overline{EF}\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Área do triângulo \([ABC]\):

A_{[ABC]} = \dfrac{\overline{BC} \times \overline{AM}}{2} = \dfrac{15 \times 12}{2} = 90

Os triângulos \([ABC]\) e \([AED]\) são semelhantes (ângulo comum e lados opostos paralelos):

r^2 = \dfrac{A_{[ABC]}}{A_{[AED]}} = \dfrac{90}{10} = 9 \;\Rightarrow\; r = 3

\([AM]\) e \([AP]\) são as alturas correspondentes:

r = \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AP}} \;\Leftrightarrow\; 3 = \dfrac{12}{\overline{AP}} \;\Leftrightarrow\; \overline{AP} = 4

Como \(\overline{EF} = \overline{PM}\) e \(\overline{AP} + \overline{PM} = \overline{AM}\):

4 + \overline{EF} = 12 \;\Leftrightarrow\; \overline{EF} = 8

Resposta: \(\overline{EF} = 8\).

7

Prova de Aferição 8.º ano — 2023

A figura da direita é uma fotografia de um veleiro com duas velas. Na figura da esquerda, apresenta-se um modelo dessas velas, que não está desenhado à escala.

Modelo das velas: triângulos [ABC] e [DEF]

Relativamente ao modelo, sabe-se que:

os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\) são semelhantes;
as retas \(AB\) e \(DE\) são paralelas;
\(\overline{AB} = 8{,}4\) m e \(\overline{DE} = 5{,}6\) m;
\(\overline{BC} = a\), \(a > 0\).

Qual é, em função de \(a\), o comprimento do segmento de reta \([EF]\)? Mostra como chegaste à tua resposta.

\([AB]\) e \([DE]\) são lados correspondentes, tal como \([BC]\) e \([EF]\):

\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BC}} = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AB}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{EF}}{a} = \dfrac{5{,}6}{8{,}4} \;\Leftrightarrow\; \overline{EF} = \dfrac{2}{3}a

Resposta: \(\overline{EF} = \frac{2}{3}a\).

8

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 2.ª fase

Na figura seguinte, estão representados dois triângulos semelhantes, \([ACD]\) e \([ABE]\).

Sabe-se que:

o ponto \(B\) pertence ao segmento de reta \([AC]\) e o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([AD]\);
as retas \(BE\) e \(CD\) são paralelas;
a área do triângulo \([ACD]\) é igual a 20 cm²;
\(\overline{AC} = 2\,\overline{AB}\).

A figura não está desenhada à escala.

Qual das opções seguintes apresenta a área do triângulo \([ABE]\)?

(A) 4 cm²

(B) 5 cm²

(C) 10 cm²

(D) 15 cm²

Como \(\overline{AC} = 2\,\overline{AB}\), a razão de semelhança é \(r = 2\). Como a razão das áreas é \(r^2\):

r^2 = \dfrac{A_{[ACD]}}{A_{[ABE]}} \;\Leftrightarrow\; 2^2 = \dfrac{20}{A_{[ABE]}} \;\Leftrightarrow\; A_{[ABE]} = \dfrac{20}{4} = 5

Resposta: (B) 5 cm²

9

Prova Final 3.º Ciclo — 2022 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representados dois triângulos semelhantes, \([ABC]\) e \([ADE]\).

Sabe-se que:

as retas \(BD\) e \(CE\) intersectam-se no ponto \(A\);
\(\overline{AB} = 3\,\overline{AD}\);
\(\overline{AC} = 3\,\overline{AE}\);
a área do triângulo \([ADE]\) é igual a 2 cm².

A figura não está desenhada à escala.

Qual é a área do triângulo \([ABC]\)?

(A) 6 cm²

(B) 9 cm²

(C) 18 cm²

(D) 20 cm²

A razão de semelhança da ampliação é \(r = 3\). Como a razão das áreas é \(r^2\):

\dfrac{A_{[ABC]}}{A_{[ADE]}} = r^2 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{A_{[ABC]}}{2} = 3^2 \;\Leftrightarrow\; A_{[ABC]} = 2 \times 9 = 18

Resposta: (C) 18 cm²

10

Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano — 2021

Na figura ao lado, está representado um modelo geométrico do símbolo usado para identificar os vestiários femininos de um ginásio.

Sabe-se que:

os triângulos \([ABC]\) e \([EDC]\) são semelhantes;
o ponto \(C\) é a intersecção dos segmentos de reta \([AE]\) e \([BD]\);
\(\overline{AB} = 6\) dm, \(\overline{AC} = 4{,}8\) dm e \(\overline{CE} = 1{,}6\) dm.

Símbolo dos vestiários: triângulos [ABC] e [EDC]

10.1. Determina \(\overline{DE}\). Apresenta o resultado em decímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

10.2. Qual dos seguintes valores é igual ao quociente \(\dfrac{\text{Área de } [ABC]}{\text{Área de } [EDC]}\)?

(A) \(\frac{1}{9}\)

(B) \(\frac{1}{3}\)

(C) 3

(D) 9

10.1 — Cálculo de DE

\([DE]\) e \([AB]\) são correspondentes, tal como \([CE]\) e \([AC]\):

\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{DE}}{6} = \dfrac{1{,}6}{4{,}8} \;\Leftrightarrow\; \overline{DE} = \dfrac{1{,}6 \times 6}{4{,}8} = 2 \text{ dm}

10.2 — Quociente das áreas

A razão de semelhança é \(r = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \dfrac{6}{2} = 3\), logo o quociente das áreas é \(r^2 = 3^2 = 9\).

Resposta: 10.1 → 2 dm; 10.2 → (D) 9

11

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · Época especial

No telhado de uma casa, existe um painel solar incorporado numa peça metálica. O painel e a peça, em conjunto, têm a forma de um prisma triangular reto cujas bases são triângulos retângulos.

Na figura ao lado, está representado o prisma triangular reto \([ABCDEF]\), modelo da peça metálica. Os segmentos de reta \([EF]\) e \([AB]\) são perpendiculares aos segmentos de reta \([DF]\) e \([BC]\), respetivamente.

A figura não está desenhada à escala.

Na figura seguinte, está representada uma das bases do prisma triangular reto \([ABCDEF]\), modelo da peça metálica.

A peça metálica tem uma haste de reforço, representada na figura por \([XY]\).

De acordo com a figura:

o ponto \(X\) pertence a \([AB]\) e o ponto \(Y\) pertence a \([AC]\);
as retas \(XY\) e \(AB\) são perpendiculares;
\(\overline{AB} = 78\) cm, \(\overline{BC} = 58{,}5\) cm e \(\overline{AX} = 52\) cm.

Base do prisma: triângulo com haste [XY]

Determina o comprimento da haste, ou seja, \(\overline{XY}\). Apresenta o resultado em centímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Os triângulos \([ABC]\) e \([AXY]\) têm ambos um ângulo reto e o ângulo de vértice \(A\) em comum, logo são semelhantes (critério AA):

\dfrac{\overline{XY}}{\overline{BC}} = \dfrac{\overline{AX}}{\overline{AB}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{XY}}{58{,}5} = \dfrac{52}{78} \;\Leftrightarrow\; \overline{XY} = \dfrac{52 \times 58{,}5}{78} = 39 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{XY} = 39\) cm.

12

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 2.ª fase

Na figura ao lado, estão representados o triângulo \([ABC]\) e o retângulo \([DEFG]\).

Sabe-se que:

os pontos \(D\) e \(E\) pertencem ao lado \([AB]\), o ponto \(F\) ao lado \([BC]\) e o ponto \(G\) ao lado \([AC]\);
o ponto \(H\) pertence ao segmento de reta \([FG]\);
as retas \(FG\) e \(CH\) são perpendiculares;
\(\overline{AC} = 3\) e \(\overline{CG} = 1\);
para um certo valor de \(a > 0\), \(\overline{FG} = \overline{CH} = a\).

Determina, em função de \(a\), a área do retângulo \([DEFG]\). Mostra como chegaste à tua resposta.

Como \(G\) pertence a \([AC]\): \(\overline{AG} = \overline{AC} - \overline{CG} = 3 - 1 = 2\). Os triângulos \([ADG]\) e \([GHC]\) são semelhantes (critério AA):

\dfrac{\overline{DG}}{\overline{CH}} = \dfrac{\overline{AG}}{\overline{CG}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{DG}}{a} = \dfrac{2}{1} \;\Leftrightarrow\; \overline{DG} = 2a

Como \(\overline{FG} = a\), a área do retângulo é:

A_{[DEFG]} = \overline{DG} \times \overline{FG} = 2a \times a = 2a^2

Resposta: \(A_{[DEFG]} = 2a^2\).

13

Prova Final 3.º Ciclo — 2019 · 1.ª fase

Na figura ao lado, estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([ADE]\), retângulos em \(B\) e \(D\), respetivamente.

Sabe-se que:

as retas \(BD\) e \(CE\) se intersectam no ponto \(A\);
os lados \([BC]\) e \([DE]\) são paralelos;
\(\overline{BC} = 4\), \(\overline{DE} = 2\) e \(\overline{BD} = a\) (\(a > 0\)).

Determina, em função de \(a\), a altura do triângulo \([ABC]\) relativa ao lado \([BC]\). Mostra como chegaste à tua resposta.

Os ângulos em \(A\) são verticalmente opostos e ambos os triângulos têm um ângulo reto, logo são semelhantes (AA):

\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}} = \dfrac{4}{2} = 2 \;\Rightarrow\; \overline{AD} = \dfrac{\overline{AB}}{2}

A altura relativa a \([BC]\) é \(\overline{AB}\). Como \(\overline{AB} + \overline{AD} = a\):

\overline{AB} + \dfrac{\overline{AB}}{2} = a \;\Leftrightarrow\; \dfrac{3\,\overline{AB}}{2} = a \;\Leftrightarrow\; \overline{AB} = \dfrac{2a}{3}

Resposta: a altura é \(\frac{2a}{3}\).

14

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · Época especial

Na figura seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), inscrito numa circunferência de centro no ponto \(O\).

Sabe-se que:

os pontos \(D\) e \(E\) pertencem aos segmentos de reta \([AC]\) e \([BC]\), respetivamente;
as retas \(AB\) e \(DE\) são paralelas;
a amplitude do arco \(AB\) é 110°;
\(C\hat{B}A = 85^\circ\).

Triângulo [ABC] inscrito numa circunferência

Qual das seguintes igualdades é verdadeira?

(A) \(\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{EB}}{\overline{DA}}\)

(B) \(\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{DA}}{\overline{EB}}\)

(C) \(\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{EB}}{\overline{CA}}\)

(D) \(\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{CA}}{\overline{EB}}\)

Os triângulos \([ABC]\) e \([DEC]\) são semelhantes (ângulo comum em \(C\) e lados opostos paralelos), pelo que os lados correspondentes são proporcionais:

\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}} = \dfrac{\overline{EB}}{\overline{DA}}

Resposta: (A)

15

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 2.ª fase

Na figura ao lado, estão representadas duas retas paralelas, \(a\) e \(b\), e três retas concorrentes num ponto, \(r\), \(s\) e \(t\).

Sabe-se que:

a reta \(r\) intersecta as retas \(a\) e \(b\), respetivamente, nos pontos \(U\) e \(V\);
a reta \(s\) intersecta as retas \(a\) e \(b\), respetivamente, nos pontos \(X\) e \(Y\);
a reta \(t\) intersecta as retas \(a\) e \(b\), respetivamente, nos pontos \(W\) e \(Z\);
\(\overline{UX} = 9\) e \(\overline{VY} = 4\).

Retas paralelas a, b e concorrentes r, s, t

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) \(\frac{\overline{XW}}{\overline{YZ}} = \frac{4}{9}\)

(B) \(\frac{\overline{XW}}{\overline{YZ}} = 2\)

(C) \(\frac{\overline{XW}}{\overline{YZ}} = \frac{9}{4}\)

(D) \(\frac{\overline{XW}}{\overline{YZ}} = 3\)

Sendo \(P\) o ponto de interseção das três retas, os triângulos \([UXP]\) e \([VYP]\) são semelhantes, pelo que \(\dfrac{\overline{XP}}{\overline{YP}} = \dfrac{\overline{UX}}{\overline{VY}} = \dfrac{9}{4}\). Os triângulos \([XWP]\) e \([YZP]\) também são semelhantes:

\dfrac{\overline{XW}}{\overline{YZ}} = \dfrac{\overline{XP}}{\overline{YP}} = \dfrac{9}{4}

Resposta: (C) \(\frac{9}{4}\)

16

Prova Final 3.º Ciclo — 2018 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representadas as retas concorrentes \(AD\) e \(BC\) e as retas paralelas \(AB\) e \(CD\).

Sabe-se que:

as retas \(AD\) e \(BC\) se intersectam no ponto \(I\);
os triângulos \([ABI]\) e \([CDI]\) são escalenos e não são geometricamente iguais.

Retas concorrentes AD e BC e paralelas AB e CD

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) \(\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{IB}}{\overline{ID}}\)

(B) \(\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{ID}}{\overline{IA}}\)

(C) \(\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{IA}}{\overline{ID}}\)

(D) \(\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{ID}}{\overline{IB}}\)

Os triângulos \([ABI]\) e \([CDI]\) têm dois pares de ângulos iguais (alternos internos e verticalmente opostos), logo são semelhantes (AA). Como \([AB]\) e \([CD]\) são correspondentes, e também \([IA]\) e \([ID]\):

\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \dfrac{\overline{IA}}{\overline{ID}}

Resposta: (C)

17

Prova de Aferição 8.º ano — 2018

Na figura ao lado, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(B\).

Sabe-se que:

os triângulos \([ABD]\) e \([BCD]\) são semelhantes;
\(\overline{AB} = 6\) e \(\overline{BC} = 10\).

Triângulo [ABC] retângulo em B com altura [BD]

Qual dos seguintes valores é igual ao quociente \(\dfrac{\text{Área de } [ADB]}{\text{Área de } [BDC]}\)?

(A) \(\frac{9}{25}\)

(B) \(\frac{8}{15}\)

(C) \(\frac{3}{5}\)

(D) \(\frac{1}{3}\)

\([ADB]\) é uma redução de \([BCD]\), sendo \([AB]\) e \([BC]\) lados correspondentes (opõem-se ao ângulo reto). Razão de semelhança:

r = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

O quociente das áreas é \(r^2\):

\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}

Resposta: (A) \(\frac{9}{25}\)

18

Prova de Aferição 8.º ano — 2018

Na figura ao lado, estão representadas duas retas concorrentes, \(r\) e \(s\), e três retas paralelas entre si, \(a\), \(b\) e \(c\).

Sabe-se que:

a reta \(a\) intersecta as retas \(r\) e \(s\), respetivamente, nos pontos \(X\) e \(Y\);
a reta \(b\) intersecta as retas \(r\) e \(s\), respetivamente, nos pontos \(Z\) e \(W\);
a reta \(c\) intersecta as retas \(r\) e \(s\), respetivamente, nos pontos \(U\) e \(V\);
\(\overline{XZ} = 3\) cm, \(\overline{ZU} = 4\) cm e \(\overline{YW} = 3{,}6\) cm.

Retas concorrentes r, s e paralelas a, b, c

Determina \(\overline{WV}\). Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

Como \(a\), \(b\) e \(c\) são paralelas, pelo Teorema de Tales os segmentos determinados em \(r\) e \(s\) são proporcionais:

\dfrac{\overline{WV}}{\overline{YW}} = \dfrac{\overline{ZU}}{\overline{XZ}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{WV}}{3{,}6} = \dfrac{4}{3} \;\Leftrightarrow\; \overline{WV} = \dfrac{4 \times 3{,}6}{3} = 4{,}8 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{WV} = 4{,}8\) cm.

19

Prova Final 3.º Ciclo — 2017 · Época especial

Na figura seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(C\).

Sabe-se que:

\([CD]\) é a altura do triângulo \([ABC]\) relativa ao lado \([AB]\);
\(\overline{AD} = 1\) cm;
\(\overline{CD} = \sqrt{8}\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Triângulo [ABC] retângulo em C com altura [CD]

Determina a área do triângulo \([DBC]\). Apresenta o valor pedido em cm², arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como \([CD]\) é a altura relativa à hipotenusa, os triângulos \([ADC]\) e \([CDB]\) são semelhantes:

\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CD}} = \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AD}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{BD}}{\sqrt{8}} = \dfrac{\sqrt{8}}{1} \;\Leftrightarrow\; \overline{BD} = \sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8

Como \([CD]\) e \([BD]\) são perpendiculares:

A_{[BCD]} = \dfrac{\overline{BD} \times \overline{CD}}{2} = \dfrac{8 \times \sqrt{8}}{2} = 4\sqrt{8} \approx 11{,}31 \text{ cm}^2

Resposta: \(A_{[DBC]} \approx 11{,}31\) cm².

20

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · Época especial

Na figura seguinte, estão representadas duas semirretas, \(\dot{O}C\) e \(\dot{O}D\), e duas retas paralelas, \(r\) e \(s\).

Sabe-se que:

a reta \(r\) intersecta as semirretas \(\dot{O}C\) e \(\dot{O}D\) nos pontos \(A\) e \(B\), respetivamente;
a reta \(s\) intersecta as semirretas \(\dot{O}C\) e \(\dot{O}D\) nos pontos \(C\) e \(D\), respetivamente;
o ponto \(A\) pertence ao segmento de reta \([OC]\);
\(\overline{OA} = 9{,}8\) cm, \(\overline{AB} = 5{,}6\) cm e \(\overline{CD} = 8{,}4\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Semirretas OC, OD e retas paralelas r, s

Determina \(\overline{AC}\). Apresenta o resultado em centímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Os triângulos \([OAB]\) e \([OCD]\) são semelhantes (ângulo comum em \(O\) e lados \([AB]\), \([CD]\) paralelos):

\dfrac{\overline{OC}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{OC}}{9{,}8} = \dfrac{8{,}4}{5{,}6} \;\Leftrightarrow\; \overline{OC} = \dfrac{8{,}4 \times 9{,}8}{5{,}6} = 14{,}7 \text{ cm}

\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA} = 14{,}7 - 9{,}8 = 4{,}9 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{AC} = 4{,}9\) cm.

21

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 2.ª fase

Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências, \(c_1\) e \(c_2\), tangentes no ponto \(P\).

Sabe-se que:

as circunferências \(c_1\) e \(c_2\) têm centro, respetivamente, no ponto \(O_1\) e no ponto \(O_2\);
os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência \(c_1\);
os pontos \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência \(c_2\);
os pontos \(A\), \(C\) e \(P\) pertencem à reta \(O_1O_2\);
as retas \(AB\) e \(CD\) são paralelas.

A figura não está desenhada à escala.

Admite que:

\(\overline{AB} = 2\) cm
\(\overline{CD} = 6\) cm
\(\overline{PA} = 3{,}5\) cm

Qual é a medida, em centímetros, do diâmetro da circunferência \(c_2\)?

(A) 9,5

(B) 10

(C) 10,5

(D) 11

Os triângulos \([PAB]\) e \([PCD]\) são semelhantes (ângulo comum em \(P\) e \([AB]\), \([CD]\) paralelos). O diâmetro de \(c_2\) é \(\overline{PC}\):

\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PA}} = \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{PC}}{3{,}5} = \dfrac{6}{2} = 3 \;\Leftrightarrow\; \overline{PC} = 10{,}5 \text{ cm}

Resposta: (C) 10,5

22

Prova Final 3.º Ciclo — 2016 · 1.ª fase

Na figura seguinte, estão representadas duas retas paralelas, \(r\) e \(s\), e duas semirretas, \(\dot{O}C\) e \(\dot{O}D\).

Sabe-se que:

a reta \(r\) intersecta as semirretas \(\dot{O}C\) e \(\dot{O}D\) nos pontos \(A\) e \(B\), respetivamente;
a reta \(s\) intersecta as semirretas \(\dot{O}C\) e \(\dot{O}D\) nos pontos \(C\) e \(D\), respetivamente;
o ponto \(A\) pertence ao segmento de reta \([OC]\);
\(\overline{OA} = 8{,}0\) cm, \(\overline{AC} = 4{,}5\) cm e \(\overline{OB} = 9{,}6\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Determina \(\overline{BD}\). Apresenta o resultado em centímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Os triângulos \([ABO]\) e \([CDO]\) são semelhantes. Tem-se \(\overline{OC} = \overline{OA} + \overline{AC} = 8 + 4{,}5 = 12{,}5\) cm. Então:

\dfrac{\overline{OD}}{\overline{OB}} = \dfrac{\overline{OC}}{\overline{OA}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{OD}}{9{,}6} = \dfrac{12{,}5}{8} \;\Leftrightarrow\; \overline{OD} = \dfrac{12{,}5 \times 9{,}6}{8} = 15 \text{ cm}

\overline{BD} = \overline{OD} - \overline{OB} = 15 - 9{,}6 = 5{,}4 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{BD} = 5{,}4\) cm.

23

Prova de Aferição 8.º ano — 2016

Na figura ao lado, está representado um triângulo \([ABC]\), retângulo em \(A\).

Sabe-se que:

o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AC]\), o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\) e o ponto \(F\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
os segmentos de reta \([DE]\) e \([AB]\) são paralelos;
\(\overline{DE} = 6{,}3\) cm;
\(\overline{BE} = 7{,}8\) cm;
\(\overline{FB} = 3\) cm;
\(E\hat{F}B = 90^\circ\).

Triângulo [ABC] com [DE] paralelo a [AB]

Determina o valor exato de \(\overline{EC}\). Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

Os triângulos \([EFB]\) e \([CDE]\) são semelhantes (critério AA: \(E\hat{F}B = C\hat{D}E\) e \(B\hat{E}F = E\hat{C}D\)):

\dfrac{\overline{EC}}{\overline{BE}} = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{FB}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{EC}}{7{,}8} = \dfrac{6{,}3}{3} \;\Leftrightarrow\; \overline{EC} = \dfrac{6{,}3 \times 7{,}8}{3} = 16{,}38 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{EC} = 16{,}38\) cm.

24

Prova de Aferição 8.º ano — 2016

Considera dois triângulos semelhantes, \([PQR]\) e \([STU]\).

Sabe-se que:

a razão de semelhança que transforma o triângulo \([PQR]\) no triângulo \([STU]\) é 4;
o triângulo \([PQR]\) tem 25,98 cm² de área.

Determina a área do triângulo \([STU]\). Apresenta o resultado em cm², arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta.

A razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança:

\dfrac{A_{[STU]}}{A_{[PQR]}} = r^2 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{A_{[STU]}}{25{,}98} = 4^2 \;\Leftrightarrow\; A_{[STU]} = 16 \times 25{,}98 = 415{,}68 \approx 416 \text{ cm}^2

Resposta: \(A_{[STU]} \approx 416\) cm².

25

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 2.ª fase

Na figura ao lado, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(A\).

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

o ponto \(F\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
o quadrilátero \([AFED]\) é um retângulo;
\(\overline{AB} = 6\) cm;
\(\overline{AC} = 9\) cm;
\(\overline{FB} = 4\) cm.

25.1. Os triângulos \([ABC]\) e \([FBE]\) são semelhantes. Justifica esta afirmação.

25.2. Determina o perímetro do retângulo \([AFED]\). Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

25.1 — Justificação

Como \([AFED]\) é um retângulo e \(F \in [AB]\), os ângulos \(B\hat{A}C\) e \(B\hat{F}E\) são ambos retos. O ângulo \(A\hat{B}C = F\hat{B}E\) é comum. Logo, pelo critério AA, os triângulos são semelhantes.

25.2 — Perímetro de [AFED]

\dfrac{\overline{FE}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{FB}}{\overline{AB}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{FE}}{9} = \dfrac{4}{6} \;\Leftrightarrow\; \overline{FE} = 6

Como \(\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{FB}\): \(\;6 = \overline{AF} + 4 \Leftrightarrow \overline{AF} = 2\). Logo:

P_{[AFED]} = 2 \times \overline{FE} + 2 \times \overline{AF} = 2 \times 6 + 2 \times 2 = 16 \text{ cm}

Resposta: \(P_{[AFED]} = 16\) cm.

26

Prova Final 3.º Ciclo — 2015 · 1.ª fase

Na figura ao lado, está representada uma semicircunferência de diâmetro \([AC]\).

Sabe-se que:

o ponto \(B\) pertence à semicircunferência e o ponto \(D\) pertence a \([AC]\);
os segmentos de reta \([BD]\) e \([AC]\) são perpendiculares;
o raio da semicircunferência é igual a 5 cm;
\(\overline{BD} = 4\) cm.

Os triângulos \([ABC]\) e \([ABD]\) são semelhantes.

Considera a semelhança que transforma o triângulo \([ABD]\) no triângulo \([ABC]\). Qual é, nessa semelhança, o lado do triângulo \([ABC]\) que corresponde ao lado \([AB]\) do triângulo \([ABD]\)?

No triângulo \([ABD]\), \([AB]\) é o lado que se opõe ao ângulo reto. O lado correspondente, no triângulo \([ABC]\), é também o lado que se opõe ao ângulo reto, ou seja, \([AC]\).

Resposta: o lado \([AC]\).

27

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 2.ª chamada

Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências com centro no ponto \(O\), uma de raio \(\overline{OA}\) e outra de raio \(\overline{OB}\).

Sabe-se que:

o ponto \(A\) pertence ao segmento de reta \([OB]\);
o segmento de reta \([CD]\) é um diâmetro da circunferência de raio \(\overline{OA}\);
o segmento de reta \([CD]\) é perpendicular ao segmento de reta \([OB]\);
\(\overline{OA} = 2\) cm;
\(\overline{OB} = 3\) cm.

A figura não está desenhada à escala.

Duas circunferências concêntricas de centro O

Indica a razão de uma semelhança que transforme o segmento \([OA]\) no segmento \([OB]\).

Como \(\overline{OB} > \overline{OA}\), a semelhança que transforma \([OA]\) em \([OB]\) é uma ampliação, com razão maior que 1:

r = \dfrac{\overline{OB}}{\overline{OA}} = \dfrac{3}{2}

Resposta: \(r = \frac{3}{2}\).

28

Prova Final 3.º Ciclo — 2014 · 1.ª chamada

Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é isósceles, com \(\overline{AB} = \overline{AC}\);
os pontos \(D\) e \(E\) pertencem aos segmentos de reta \([AB]\) e \([AC]\), respetivamente;
o triângulo \([ADE]\) é semelhante ao triângulo \([ABC]\);
\(\overline{DE} = 4\) cm;
\(\overline{BC} = 6\) cm;
\(l\) é a altura do triângulo \([ABC]\) relativa à base \([BC]\).

A figura não está desenhada à escala.

Qual é o valor do quociente \(\dfrac{\text{área de } [ADE]}{\text{área de } [ABC]}\)?

(A) \(\frac{1}{2}\)

(B) \(\frac{2}{3}\)

(C) \(\frac{3}{4}\)

(D) \(\frac{4}{9}\)

Sendo \([DE]\) e \([BC]\) lados correspondentes, a razão de semelhança é \(r = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{BC}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\). O quociente das áreas é \(r^2\):

\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}

Resposta: (D) \(\frac{4}{9}\)

29

Teste Intermédio 9.º ano — 21.03.2014

Na figura seguinte, estão representados os triângulos retângulos \([ABC]\) e \([EDC]\).

Sabe-se que:

o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AC]\);
\(\overline{AD} = 11\) cm;
\(\overline{DC} = 4\) cm;
\(\overline{EC} = 5\) cm.

29.1. Os triângulos \([ABC]\) e \([EDC]\) são semelhantes. Justifica esta afirmação.

29.2. Determina \(\overline{BC}\). Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

29.1 — Justificação

Os ângulos \(A\hat{C}B\) e \(D\hat{C}E\) são coincidentes (logo iguais) e ambos os triângulos têm um ângulo reto. Tendo dois pares de ângulos iguais, são semelhantes (critério AA).

29.2 — Cálculo de BC

Como \(\overline{AC} = \overline{AD} + \overline{DC} = 11 + 4 = 15\):

\dfrac{\overline{BC}}{\overline{DC}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{EC}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{BC}}{4} = \dfrac{15}{5} \;\Leftrightarrow\; \overline{BC} = 3 \times 4 = 12 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{BC} = 12\) cm.

30

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 2.ª chamada

O quadrilátero \([ABCD]\), representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo.

Sabe-se que:

\(\overline{AD} = 3\);
\(\overline{AB} = 4\);
\(\overline{BC} = 5\).

O ponto \(P\) desloca-se ao longo do segmento de reta \([AB]\). Para cada posição do ponto \(P\), tem-se \(\overline{PB} = x\).

Para um certo valor de \(x\), os triângulos \([DAP]\) e \([CBP]\) são semelhantes, sendo \([AD]\) e \([BC]\) lados correspondentes.

Trapézio retângulo [ABCD] com ponto P em [AB]

Determina esse valor de \(x\). Mostra como chegaste à tua resposta.

Para os triângulos serem semelhantes, a razão entre lados correspondentes deve ser igual (\([BC]\)–\([AD]\) e \([BP]\)–\([AP]\)):

\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BP}}{\overline{AP}}

Como \(\overline{AB} = \overline{AP} + \overline{PB}\): \(\;4 = \overline{AP} + x \Leftrightarrow \overline{AP} = 4 - x\). Substituindo:

\dfrac{5}{3} = \dfrac{x}{4 - x} \;\Leftrightarrow\; 5(4 - x) = 3x \;\Leftrightarrow\; 20 = 8x \;\Leftrightarrow\; x = \dfrac{5}{2}

Resposta: \(x = \frac{5}{2}\).

31

Prova Final 3.º Ciclo — 2013 · 1.ª chamada

Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto \(O\) e os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\).

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) pertencem à circunferência;
\([BC]\) é um diâmetro da circunferência;
o triângulo \([CDE]\) é retângulo em \(E\);
os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) são semelhantes.

A figura não está desenhada à escala.

Admite que \(\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} = 0{,}5\).

Triângulo inscrito [ABC] e triângulo [CDE]

Qual é o valor do quociente \(\dfrac{\text{área de } [CDE]}{\text{área de } [ABC]}\)?

(A) 0,125

(B) 0,25

(C) 0,5

(D) 1

\([BC]\) e \([CD]\) são lados correspondentes (opõem-se ao ângulo reto), pelo que a razão de semelhança é \(\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} = 0{,}5\). O quociente das áreas é o quadrado da razão:

\left(\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}}\right)^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25

Resposta: (B) 0,25

32

Teste Intermédio 9.º ano — 12.04.2013

Na figura, está representado um modelo geométrico de um envelope.

Sabe-se que:

\([ABCD]\) é um trapézio isósceles;
o ponto \(F\) é o ponto de interseção das diagonais do trapézio;
os pontos \(E\) e \(G\) são os pontos médios das bases do trapézio;
o ponto \(H\) pertence ao segmento de reta \([AF]\) e o ponto \(I\) pertence ao segmento de reta \([DF]\);
\(HFI\) é um arco de circunferência;
\(\overline{EF} = 3{,}75\) cm;
\(\overline{FG} = 2{,}5\) cm;
\(\overline{BC} = 8\) cm.

Modelo geométrico do envelope: trapézio [ABCD]

Determina a área, em cm², do trapézio \([ABCD]\). Mostra como chegaste à tua resposta.

Os triângulos \([AFD]\) e \([BFC]\) são semelhantes (ângulos verticalmente opostos e alternos internos — \(AD \parallel BC\)). A razão dos lados é igual à razão das alturas:

\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BC}} = \dfrac{\overline{EF}}{\overline{FG}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{AD}}{8} = \dfrac{3{,}75}{2{,}5} \;\Leftrightarrow\; \overline{AD} = 12

A altura do trapézio é \(\overline{EG} = \overline{EF} + \overline{FG} = 3{,}75 + 2{,}5 = 6{,}25\). Então:

A_{[ABCD]} = \dfrac{\overline{AD} + \overline{BC}}{2} \times \overline{EG} = \dfrac{12 + 8}{2} \times 6{,}25 = 10 \times 6{,}25 = 62{,}5 \text{ cm}^2

Resposta: \(A_{[ABCD]} = 62{,}5\) cm².

33

Prova Final 3.º Ciclo — 2012 · 2.ª chamada

Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

os triângulos \([ABC]\) e \([AFC]\) são retângulos em \(A\);
o triângulo \([AFC]\) é isósceles;
o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
os segmentos de reta \([AC]\) e \([DE]\) são paralelos;
\(\overline{AC} = 12\) cm;
o perímetro do triângulo \([ABC]\) é 48 cm;
o perímetro do triângulo \([DBE]\) é 16 cm.

Nota – A figura não está desenhada à escala.

Qual dos valores seguintes é a medida, em centímetros, do comprimento do segmento de reta \([DE]\)?

(A) 3

(B) 3,5

(C) 4

(D) 4,5

Os triângulos \([ABC]\) e \([DBE]\) são semelhantes (dois ângulos comuns). A razão entre lados correspondentes é igual à razão dos perímetros:

\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AC}} = \dfrac{P_{[DBE]}}{P_{[ABC]}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{DE}}{12} = \dfrac{16}{48} \;\Leftrightarrow\; \overline{DE} = \dfrac{16 \times 12}{48} = 4

Resposta: (C) 4

34

Teste Intermédio 9.º ano — 10.05.2012

Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(C\);
o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AC]\);
o triângulo \([ADE]\) é retângulo em \(E\).

Sabe-se ainda que:

\(\overline{ED} = 2\) cm;
\(\overline{AE} = \frac{1}{2}\overline{AC}\);
a área do triângulo \([ABC]\) é 20 cm².

Determina \(\overline{AC}\). Apresenta a tua resposta em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

Os triângulos \([AED]\) e \([ACB]\) são semelhantes (ângulo agudo comum e um ângulo reto). Logo:

\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{ED}}{\overline{BC}}

Como \(\overline{AE} = \frac{1}{2}\overline{AC}\), tem-se \(\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AC}} = \dfrac{1}{2}\) e \(\overline{ED} = 2\):

\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{\overline{BC}} \;\Leftrightarrow\; \overline{BC} = 4

Da área de \([ABC]\):

20 = \dfrac{\overline{AC} \times \overline{BC}}{2} = \dfrac{\overline{AC} \times 4}{2} = 2\,\overline{AC} \;\Leftrightarrow\; \overline{AC} = 10 \text{ cm}

Resposta: \(\overline{AC} = 10\) cm.

35

Teste Intermédio 8.º ano — 29.02.2012

Considera os triângulos \([ABC]\) e \([PQR]\) representados na figura ao lado. Os dois triângulos são semelhantes.

Sabe-se que:

\(A\hat{C}B = 59^\circ\);
\(C\hat{B}A = 48^\circ\);
\([RQ]\) é o lado maior do triângulo \([PQR]\);
a ampliação que transforma o triângulo \([PQR]\) no triângulo \([ABC]\) tem razão igual a 2.

35.1. Determina, sem efetuar medições, a amplitude do ângulo \(QPR\).

35.2. Admite que \([ABC]\) tem área 18 cm². Qual é a área, em cm², de \([PQR]\)?

(A) 3,5

(B) 7

(C) 4,5

(D) 9

35.1 — Amplitude de QPR

B\hat{A}C = 180^\circ - 48^\circ - 59^\circ = 73^\circ

Como os triângulos são semelhantes e \([RQ]\) é o lado maior de \([PQR]\), o ângulo \(Q\hat{P}R\) (oposto a \([RQ]\)) é o maior, correspondendo a \(B\hat{A}C\). Logo \(Q\hat{P}R = 73^\circ\).

35.2 — Área de [PQR]

\dfrac{A_{[ABC]}}{A_{[PQR]}} = 2^2 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{18}{A_{[PQR]}} = 4 \;\Leftrightarrow\; A_{[PQR]} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5

Resposta: 35.1 → 73°; 35.2 → (C) 4,5

36

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2011 · 2.ª chamada

Na figura ao lado, está representada uma circunferência.

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência;
o ponto \(P\) é o ponto de interseção das cordas \([AC]\) e \([BD]\).

Os triângulos \([ABP]\) e \([DCP]\) são semelhantes.

Admite que:

\(\overline{DP} = 2\,\overline{AP}\);
a área do triângulo \([ABP]\) é 6 cm².

Cordas [AC] e [BD] de uma circunferência

Qual é a área, em cm², do triângulo \([DCP]\)?

(A) 12

(B) 18

(C) 24

(D) 30

Como \(\overline{DP} = 2\,\overline{AP}\), a razão de semelhança é \(\dfrac{\overline{DP}}{\overline{AP}} = 2\). O quociente das áreas é \(r^2 = 4\):

\dfrac{A_{[DCP]}}{A_{[ABP]}} = 2^2 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{A_{[DCP]}}{6} = 4 \;\Leftrightarrow\; A_{[DCP]} = 24

Resposta: (C) 24

37

Teste Intermédio 9.º ano — 17.05.2011

Na figura seguinte, estão representados dois triângulos semelhantes. O triângulo \([ABC]\) é uma ampliação do triângulo \([DEF]\).

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se ainda que:

\(A\hat{C}B = D\hat{F}E\);
\(\overline{DE} = 2\);
\(\overline{AB} = 5\).

Qual é a razão de semelhança dessa ampliação?

(A) \(\frac{2}{5}\)

(B) \(\frac{5}{2}\)

(C) \(\frac{12}{5}\)

(D) \(\frac{5}{12}\)

\([DE]\) e \([AB]\) opõem-se a ângulos iguais, logo são correspondentes. A razão (ampliação, maior que 1) é:

r = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \dfrac{5}{2}

Resposta: (B) \(\frac{5}{2}\)

38

Teste Intermédio 8.º ano — 11.05.2011

Na figura seguinte, está representado um retângulo \([ABCD]\). A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

os pontos \(E\) e \(G\) pertencem aos lados \([AD]\) e \([BC]\), respetivamente;
o segmento \([EG]\) é paralelo ao segmento \([AB]\);
o segmento \([BD]\) interseta o segmento \([EG]\) no ponto \(F\);
\(\overline{EF} = 5\);
\(\overline{FG} = 3\);
\(\overline{ED} = 3{,}5\).

Retângulo [ABCD] com [EG] paralelo a [AB]

38.1. Admite que \(D\hat{F}E = 35^\circ\). Qual é a amplitude, em graus, do ângulo \(FBG\)?

38.2. Os triângulos \([EFD]\) e \([GFB]\) são semelhantes. Determina \(\overline{BG}\).

38.1 — Amplitude de FBG

O ângulo \(B\hat{G}F\) é reto (\([EG] \parallel [AB]\)) e \(B\hat{F}G = D\hat{F}E = 35^\circ\) (verticalmente opostos). No triângulo \([FBG]\):

F\hat{B}G = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ

38.2 — Cálculo de BG

\dfrac{\overline{BG}}{\overline{ED}} = \dfrac{\overline{FG}}{\overline{EF}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{BG}}{3{,}5} = \dfrac{3}{5} \;\Leftrightarrow\; \overline{BG} = \dfrac{3 \times 3{,}5}{5} = 2{,}1

Resposta: 38.1 → 55°; 38.2 → \(\overline{BG} = 2{,}1\).

39

Teste Intermédio 9.º ano — 07.02.2011

Na figura ao lado, sabe-se que:

\([ACEF]\) é um quadrado;
\([BCDG]\) é um quadrado;
\(\overline{BC} = 9\).

Admite que \(\overline{AC} = 12\).

O quadrado \([BCDG]\) é uma redução do quadrado \([ACEF]\).

Indica a razão de semelhança dessa redução.

\([BC]\) e \([AC]\) são lados correspondentes. Como é uma redução, a razão é menor que 1:

r = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}

Resposta: \(r = \frac{3}{4}\).

40

Teste Intermédio 9.º ano — 11.05.2010

Para assegurar a atividade de prevenção, vigilância e deteção de incêndios florestais, existem torres de vigia. Na figura seguinte, à esquerda, está uma fotografia de uma dessas torres.

Para determinar a altura da plataforma da torre, imaginaram-se dois triângulos retângulos, semelhantes, representados na figura da direita.

A figura ao lado representa um esquema desses dois triângulos. O esquema não está desenhado à escala.

Fotografia de uma torre de vigia e modelo geométrico

Esquema dos dois triângulos retângulos semelhantes

Sabe-se que:

\(\overline{DC} = 2{,}5\) m;
\(\overline{EC} = 1{,}6\) m;
\(\overline{AB} = 4{,}8\) m.

Qual é o comprimento, em metros, de \([CB]\)? Apresenta os cálculos que efetuaste.

Os triângulos \([ABD]\) e \([ECD]\) são semelhantes (ângulo agudo comum e ângulos retos):

\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{EC}} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{\overline{BD}}{2{,}5} = \dfrac{4{,}8}{1{,}6} \;\Leftrightarrow\; \overline{BD} = \dfrac{4{,}8 \times 2{,}5}{1{,}6} = 7{,}5

Como \(\overline{BD} = \overline{BC} + \overline{DC}\):

\overline{BC} = \overline{BD} - \overline{DC} = 7{,}5 - 2{,}5 = 5

Resposta: \(\overline{CB} = 5\) m.

41

Teste Intermédio 8.º ano — 27.04.2010

Na figura ao lado, estão representados dois hexágonos regulares.

Sabe-se que:

o comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior do que o comprimento do lado do hexágono interior;
a área do hexágono interior é 23 cm².

Determina a área, em cm², da parte sombreada a cinzento na figura ao lado. Mostra como chegaste à tua resposta.

Os hexágonos regulares são semelhantes, com razão de semelhança \(r = 5\). Como a razão das áreas é \(r^2\):

\dfrac{A_{\text{exterior}}}{A_{\text{interior}}} = 5^2 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{A_{\text{exterior}}}{23} = 25 \;\Leftrightarrow\; A_{\text{exterior}} = 575 \text{ cm}^2

A área sombreada é a diferença entre as áreas dos dois hexágonos:

A_S = 575 - 23 = 552 \text{ cm}^2

Resposta: \(A_S = 552\) cm².

42

Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2009

Considera os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\) da figura ao lado e as medidas neles inscritas.

Nota: Os triângulos não estão desenhados à escala.

Triângulos [ABC] e [DEF] com ângulos marcados

42.1. Justifica que os dois triângulos são semelhantes.

42.2. Admite que \([DEF]\) é uma redução de \([ABC]\) de razão 0,8. Qual é o perímetro de \([ABC]\), sabendo que o perímetro de \([DEF]\) é 40?

(A) 50

(B) 40,8

(C) 39,2

(D) 32

42.1 — Justificação

B\hat{A}C = 180^\circ - 110^\circ - 20^\circ = 50^\circ

Logo \(B\hat{A}C = E\hat{D}F\) e \(A\hat{B}C = D\hat{E}F\). Tendo dois pares de ângulos iguais, os triângulos são semelhantes (critério AA).

42.2 — Perímetro de [ABC]

\dfrac{P_{[DEF]}}{P_{[ABC]}} = 0{,}8 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{40}{P_{[ABC]}} = 0{,}8 \;\Leftrightarrow\; P_{[ABC]} = \dfrac{40}{0{,}8} = 50

Resposta: 42.2 → (A) 50

43

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2007 · 2.ª chamada

Considera um segmento de reta \([AB]\) com 4 cm de comprimento.

Efetuou-se uma redução do segmento de reta \([AB]\).

O segmento de reta obtido tem 0,8 cm de comprimento.

Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?

(A) 0,2

(B) 0,3

(C) 0,4

(D) 0,5

Sendo uma redução, a razão é o quociente do menor comprimento pelo maior:

r = \dfrac{0{,}8}{4} = 0{,}2

Resposta: (A) 0,2

44

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 2.ª chamada

Na figura abaixo, está desenhado um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado.

Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5 deste triângulo.

Efectua a construção a lápis. (Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.)

A ampliação de razão 1,5 tem lado \(6 \times 1{,}5 = 9\) cm. Construção com régua e compasso:

Traçar um segmento de reta com \(6 \times 1{,}5 = 9\) cm.
Com o compasso centrado num dos extremos e abertura de 9 cm, traçar um arco.
Repetir, centrando o compasso no outro extremo do segmento.
Unir os extremos do segmento ao ponto de interseção dos dois arcos.

Resposta: triângulo equilátero de 9 cm de lado.

45

Exame Nacional 3.º Ciclo — 2006 · 1.ª chamada

Na figura ao lado, estão representados três retângulos, \(A\), \(B\) e \(C\), cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm).

Apenas dois dos retângulos representados na figura são semelhantes.

Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução.

Os retângulos \(A\) e \(B\) têm o lado maior igual mas o menor diferente — não são semelhantes. Os retângulos \(A\) e \(C\) têm o lado menor igual mas o maior diferente — também não são semelhantes. Logo, os semelhantes são \(B\) e \(C\). Como redução:

r = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Resposta: \(r = \frac{1}{2}\).

46

Prova de Aferição — 2003

O triângulo \([PQR]\) é uma redução do triângulo equilátero \([ABC]\), de razão 0,5. Sabendo que \(\overline{QR} = 5\), calcula o perímetro do triângulo \([ABC]\). Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como \([PQR]\) é equilátero e \(\overline{QR} = 5\), o seu perímetro é \(P_{[PQR]} = 3 \times 5 = 15\). A razão dos perímetros é igual à razão de semelhança:

\dfrac{P_{[PQR]}}{P_{[ABC]}} = 0{,}5 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{15}{P_{[ABC]}} = 0{,}5 \;\Leftrightarrow\; P_{[ABC]} = \dfrac{15}{0{,}5} = 30

Resposta: \(P_{[ABC]} = 30\).

47

Prova de Aferição — 2002

Neste ano comemoram-se os 500 anos do nascimento de Pedro Nunes. Há alguns anos, os correios editaram o selo reproduzido na figura ao lado, alusivo a este matemático português.

Qual das figuras seguintes é uma redução da figura ao lado?

Opções (A), (B), (C) e (D) — transformações do selo

As figuras das opções (A) e (D) conservam o comprimento ou a largura da figura inicial, mas não ambos, pelo que não são semelhantes (não são reduções). A figura da opção (C) não conserva a amplitude dos ângulos (os ângulos retos das extremidades deixam de ser retos), pelo que não é semelhante. A figura da opção (B) conserva a amplitude dos ângulos, pelo que é uma redução.

Resposta: (B)

Semelhança de triângulos e figuras