- Função: a cada objeto corresponde um e um só valor. Escreve-se \(y=f(x)\); \(f(a)\) é a imagem de \(a\).
- Proporcionalidade direta: \(y=kx\), com \(k=\tfrac{y}{x}\) constante. O gráfico é uma reta que passa na origem.
- A constante \(k\) lê-se no gráfico como o valor de \(y\) quando \(x=1\).
- Ler um gráfico: para obter \(f(a)\), sobe-se a partir de \(a\) no eixo das abcissas; para resolver \(f(x)=b\), corta-se com a horizontal \(y=b\).
- Referencial cartesiano: cada ponto é \((\text{abcissa},\ \text{ordenada})\).
Funções — Exercícios de exame
A Mariana e a Rita foram juntas a um concerto de comemoração dos 50 anos da Revolução de 25 de Abril de 1974, que decorreu no centro da cidade onde vivem.
A Mariana saiu de casa e caminhou até à casa da Rita, onde esperou um pouco pela amiga. Juntas, caminharam até ao local do concerto, onde ficaram a assistir. A distância da casa da Mariana ao local do concerto é maior do que a distância da casa da Mariana à casa da Rita. Quando terminou o concerto, as duas amigas regressaram a casa da Rita, pelo mesmo caminho.
Relativamente ao percurso da Mariana, considera a função \(f\), que traduz a correspondência entre o tempo, \(t\), decorrido desde que a Mariana saiu de sua casa até ao seu regresso a casa da Rita, e a distância, \(d\), a que se encontra de sua casa.
Na figura seguinte, estão representados os gráficos A e B. Nem o gráfico A nem o gráfico B representam a função \(f\).
Apresenta uma razão que justifique que o gráfico A não pode representar a função \(f\) e outra razão que justifique que o gráfico B também não pode representar a função \(f\).
O gráfico A não pode representar a função \(f\), porque a distância da Mariana à sua casa nunca diminui. No final do concerto, as amigas regressam a casa da Rita, pelo mesmo caminho, logo a distância à casa da Mariana deveria diminuir.
O gráfico B também não pode representar a função \(f\), porque há dois períodos em que a distância deveria manter-se constante: quando a Mariana espera pela Rita e durante o concerto. O gráfico B apresenta apenas um desses períodos.
O Parque Arqueológico do Vale do Côa disponibiliza visitas guiadas pelo parque.
Um grupo de visitantes, que se encontrava no Museu do Côa, realizou uma dessas visitas, com a duração de 2 h 30 min, passando pelas seguintes etapas:
- partida do Museu do Côa;
- viagem a bordo de uma viatura todo-o-terreno ao longo de 6 km;
- estacionamento da viatura e caminho pedestre, de ida e volta, com cerca de 2200 metros, para observar gravuras paleolíticas;
- viagem de regresso na viatura, pelo mesmo percurso da viagem de ida, até ao local de partida.
Considera a função \(f\) que traduz a correspondência entre o tempo, \(t\), em horas, decorrido desde o início da visita e a distância, \(d\), em quilómetros, percorrida pelos visitantes até ao regresso ao local de partida.
Na figura seguinte, estão representados os gráficos A e B. Nem o gráfico A nem o gráfico B representam a função \(f\).
Apresenta uma razão que te permita garantir que o gráfico A não representa a função \(f\) e outra razão que te permita garantir que o gráfico B também não representa a função \(f\).
O gráfico A não representa a função \(f\), porque no início da visita, quando \(t=0\), a distância percorrida deveria ser \(0\) km. No gráfico A, a distância inicial é maior do que zero.
O gráfico B também não representa a função \(f\), porque a distância total percorrida deveria ser:
No gráfico B, ao fim de \(2{,}5\) horas, a distância total indicada é inferior a \(12\) km.
A ilha da Berlenga, localizada a oeste do Cabo Carvoeiro, em Peniche, é o destino de muitas viagens turísticas de barco.
Um grupo de turistas realizou uma dessas viagens, com a duração de 4 horas: partida de Peniche, situada a 9,2 km da ilha da Berlenga; viagem de ida até à ilha; visita pedestre à ilha, enquanto o barco fica parado no cais; e viagem de regresso ao local de partida.
Considera a função \(f\), que traduz a correspondência entre o tempo, \(t\), em horas, decorrido desde o início da viagem de barco e a distância, \(d\), em quilómetros, a que o barco se encontra do local de partida.
Na figura seguinte, estão representados os gráficos A e B. Nem o gráfico A nem o gráfico B representam a função \(f\).
Apresenta uma razão que te permita garantir que o gráfico A não representa a função \(f\) e outra razão que te permita garantir que o gráfico B também não representa a função \(f\).
O gráfico A não representa a função \(f\), porque \(f(0)\neq 0\). Quando o barco parte, o tempo decorrido é zero e a distância ao local de partida também deveria ser zero.
O gráfico B também não representa a função \(f\), porque durante a visita pedestre o barco fica parado no cais. Nesse intervalo, a distância ao ponto de partida deveria manter-se constante, mas no gráfico B não há nenhum período horizontal.
A Beatriz e o Carlos abasteceram os seus carros de gasolina. A determinada altura, o Carlos interrompeu o abastecimento para verificar quanto dinheiro trazia na carteira. Em seguida, retomou o abastecimento.
Na figura, estão representadas graficamente duas funções que dão o número de litros de gasolina introduzida por cada um no depósito do seu carro, \(t\) segundos depois de ter iniciado o respetivo abastecimento.
4.1. Uma das funções representadas graficamente na figura é uma função de proporcionalidade direta. Qual é a constante de proporcionalidade dessa função?
4.2. Determina quanto pagou o Carlos no final do abastecimento, sabendo que o preço de cada litro de gasolina é 1,480 euros e que beneficiou de um desconto de 5%. Apresenta o resultado em euros, com duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.
A função de proporcionalidade direta é a reta que contém a origem. Como essa reta também contém o ponto \((60,36)\), vem:
O gráfico do Carlos é o que mantém constante a quantidade de gasolina entre os 20 s e os 75 s, pois foi ele que interrompeu o abastecimento. No final, aos 90 s, abasteceu 19 litros.
Com desconto de 5%, paga 95% desse valor:
Seja \(k\) um número positivo. Considera todos os retângulos de comprimento igual a \(k\) cm e largura compreendida entre 0 cm e 16 cm. O gráfico traduz a relação entre a largura, \(l\), e a área, \(a\), desses retângulos.
5.1. Qual é a área, em \(\text{cm}^2\), de um retângulo que tem largura igual a 12 cm?
5.2. Um dos retângulos considerados tem área igual a \(22{,}5\ \text{cm}^2\). Qual é o perímetro, em cm, desse retângulo? Mostra como chegaste à tua resposta.
Por observação do gráfico, quando \(l=12\), a área correspondente é \(a=18\).
Usando o ponto \((8,12)\), determinamos o comprimento \(k\):
Se a área é \(22{,}5\ \text{cm}^2\), então:
Logo, o retângulo tem comprimento \(1{,}5\) cm e largura \(15\) cm.
O Pedro saiu de casa para dar um passeio de bicicleta. À ida, manteve uma velocidade constante. No regresso, manteve também uma velocidade constante, mas deslocou-se mais rapidamente do que à ida.
Qual dos gráficos seguintes pode representar a distância percorrida pelo Pedro, no seu passeio, em função do tempo que decorreu depois de ele sair de casa?
A distância percorrida nunca diminui, por isso os gráficos (C) e (D) não podem representar a situação.
Como o Pedro regressou mais rapidamente, a segunda parte do gráfico deve ser mais inclinada do que a primeira. Isso acontece no gráfico da opção (A).
O Carlos e o irmão, o Daniel, vão trabalhar num arraial, em bancas diferentes. Por essa tarefa, receberão uma certa quantia, que depende somente do tempo de trabalho.
Na figura ao lado, estão representadas graficamente duas funções que relacionam o tempo de trabalho, em horas, do Carlos e do Daniel com a quantia a receber por cada um deles, em euros.
Um dos irmãos vai receber de acordo com a proporcionalidade representada no gráfico A, e o outro irmão vai receber de acordo com o gráfico B.
7.1. Considera o irmão que vai receber de acordo com a proporcionalidade representada no gráfico A. Que quantia receberá, se trabalhar seis horas?
7.2. Se os dois irmãos trabalharem três horas, o Carlos receberá mais do que o Daniel. Qual dos gráficos (A ou B) representa a relação entre o tempo de trabalho do Carlos e a quantia que ele receberá por esse trabalho?
7.3. A Laura também vai trabalhar no arraial. Como mora longe, receberá 3 euros para o bilhete de autocarro, de ida e volta, e 1,5 euros por cada hora de trabalho.
Constrói, a lápis, no referencial da figura ao lado, o gráfico que estabelece a quantia a receber pela Laura, em função do tempo de trabalho, para valores do tempo de trabalho compreendidos entre 1 hora e 4 horas (inclusive).
O gráfico A é parte de uma reta que contém a origem, logo representa uma função de proporcionalidade direta. Como o ponto \((1,3)\) pertence ao gráfico A, a uma hora correspondem 3 euros.
Observando os gráficos, para 3 horas de trabalho, a quantia no gráfico B é maior do que no gráfico A. Como o Carlos receberá mais do que o Daniel, a relação do Carlos é representada pelo gráfico B.
7.3. Gráfico da LauraA Laura recebe 3 euros fixos para o bilhete e mais 1,5 euros por cada hora de trabalho.
O gráfico é o segmento de reta de extremos \((1;4{,}5)\) e \((4;9)\).
Qual dos gráficos seguintes representa uma função de proporcionalidade direta? Justifica a tua resposta.
A representação gráfica de uma função de proporcionalidade direta é uma reta, ou parte de uma reta, que contém a origem do referencial, isto é, o ponto \((0,0)\).
Dos dois gráficos apresentados, apenas o gráfico A contém a origem.
A Figura ao lado representa o reservatório de água quente da cozinha da escola da Rita. Supõe que, antes de cada refeição, o reservatório está vazio. Depois, enche-se de água, à razão de um litro por segundo.
Qual dos gráficos seguintes traduz a variação da altura da água, no reservatório, com o decorrer do tempo?
Assinala a opção que apresenta a resposta correta.
Na primeira fase, a água enche a parte cónica do reservatório. A mesma quantidade de água provoca aumentos de altura cada vez menores, porque a largura do reservatório aumenta.
Na segunda fase, a água enche a parte cilíndrica. Aí, a altura varia de forma constante, pois a secção do reservatório mantém-se igual.
O único gráfico com uma primeira fase desacelerada e uma segunda fase linear é o da opção (D).
A figura seguinte mostra uma diversão que a Marta experimentou num parque de diversões.
A diversão consiste numa cadeira que se desloca num carril ao longo de uma torre. Depois de um grupo de pessoas se sentar na cadeira, inicia-se a viagem.
Em cada viagem:
- a cadeira parte do nível do chão e sobe até ao cimo da torre sem parar;
- permanece no cimo da torre durante algum tempo;
- em seguida, a cadeira é largada, atingindo uma velocidade de cerca de 100 km/h antes de se iniciar a travagem e chegar ao chão.
O gráfico da figura ao lado não corresponde à situação descrita.
Apresenta as duas razões pelas quais o gráfico não corresponde à situação descrita.
- Como a cadeira parte do nível do chão, quando o tempo é zero a distância ao solo também deveria ser zero. No gráfico, ao valor zero do tempo corresponde uma distância ao solo maior do que zero.
- Como a cadeira permanece no cimo da torre durante algum tempo, o gráfico deveria ter um segmento horizontal nesse intervalo. Isso não acontece no gráfico apresentado.
No sábado, o Luís combinou encontrar-se com uns amigos no pavilhão da Escola, para verem um jogo de andebol. Saiu de casa, de moto, às 10 horas e 30 minutos. Teve um furo, arranjou o pneu rapidamente e, depois, reuniu-se com os seus amigos no pavilhão da Escola, onde estiveram a ver o jogo.
Quando o jogo acabou, regressou a casa.
O gráfico ao lado representa as distâncias a que o Luís esteve da sua casa, em função do tempo, desde que saiu de casa até ao seu regresso.
Atendendo ao gráfico sobre a ida do Luís ao jogo de andebol, responde aos seguintes itens.
11.1. Quanto tempo levou ele a arranjar o furo?
11.2. A que horas chegou a casa?
11.3. O jogo de andebol tinha dois períodos de 20 minutos cada e um intervalo de 5 minutos. Explica como podes concluir, pela análise do gráfico, que o Luís não assistiu ao jogo todo.
11.1. O arranjo do furo corresponde ao primeiro segmento horizontal, entre os 10 e os 20 minutos. Logo, demorou 10 minutos.
11.2. O Luís regressa a casa 140 minutos depois das 10 h 30 min. Como \(140=120+20\), chegou a casa às 12 h 50 min.
11.3. O período em que esteve no pavilhão corresponde ao segmento horizontal entre os 50 e os 90 minutos, ou seja, esteve a ver o jogo durante \(90-50=40\) minutos.
O jogo completo durava \(20+5+20=45\) minutos. Como o Luís só esteve 40 minutos no pavilhão, não assistiu ao jogo todo.
Num determinado local, a relação entre a pressão, em atmosferas (atm), a que está sujeito um corpo imerso em água e a profundidade, em metros (m), a que o corpo se encontra é dada pelo gráfico.
12.1. Se uma pessoa estiver à superfície da água, qual é a pressão, em atmosferas, exercida sobre ela? Não justifiques a tua resposta.
12.2. Explica por que motivo a relação entre a pressão e a profundidade não é uma relação de proporcionalidade direta.
12.1. À superfície da água, a profundidade é zero. Pela leitura do gráfico, a pressão correspondente é 1 atmosfera.
12.2. O gráfico é parte de uma reta, mas não contém a origem do referencial, isto é, o ponto \((0,0)\). Por isso, a relação não é de proporcionalidade direta.
O gráfico da figura seguinte mostra como o preço, em cêntimos, a pagar pelo envio de correspondência, em correio normal, para o território nacional, está relacionado com o peso, em gramas, dessa correspondência.
13.1. Para enviar um envelope por correio, com o convite para a sua festa de aniversário, a Maria teve de pagar 30 cêntimos. Escreve um valor possível para o peso, em gramas, desta correspondência. Não justifiques a tua resposta.
13.2. As duas primas gémeas da Maria vão enviar-lhe, cada uma, um cartão de aniversário por correio. O cartão que uma delas escolheu pesa 16 g, e o cartão que a outra escolheu pesa 19 g.
Cada uma tem um envelope que pesa 2 g, oferecido na compra do respetivo cartão.
Para economizar dinheiro, no envio desta correspondência, deverão as gémeas enviar os dois cartões de aniversário em envelopes separados, ou num único envelope?
Mostra como obtiveste a tua resposta.
13.1. Para um custo de 30 cêntimos, o peso pode estar entre 0 g e 20 g. Um valor possível é 10 g.
13.2. Num único envelope, o peso total é:
Pelo gráfico, uma correspondência com 37 g custa 50 cêntimos.
Em envelopes separados, os pesos seriam:
Os custos seriam 30 cêntimos e 50 cêntimos, num total de 80 cêntimos.
Hoje de manhã, a Ana saiu de casa e dirigiu-se para a escola. Fez uma parte desse percurso a andar e a outra parte a correr. O gráfico mostra a distância percorrida pela Ana, em função do tempo decorrido desde o instante em que saiu de casa até ao instante em que chegou à escola.
De acordo com o gráfico, apenas uma das afirmações seguintes está correta. Qual?
A primeira parte do gráfico é mais inclinada, logo corresponde a maior velocidade: essa parte foi feita a correr.
A segunda parte é menos inclinada, logo corresponde a menor velocidade: essa parte foi feita a andar.
Além disso, a segunda parte corresponde a uma distância menor e a um intervalo de tempo maior do que a primeira.
15.1. Assinala o gráfico que pode ilustrar a relação entre a altura e a idade de uma pessoa, desde que nasce até atingir os 50 anos de idade.
15.2. Numa pequena composição, explica, para cada um dos outros três gráficos, a razão pela qual não os escolheste.
O gráfico escolhido é o B.
- O gráfico A mostra a altura a aumentar sempre ao mesmo ritmo até aos 50 anos, o que não corresponde à realidade.
- O gráfico C indica que, no nascimento, a altura seria zero, o que não acontece.
- O gráfico D mostra uma diminuição da altura a partir de certa idade, mas a altura aumenta nos primeiros anos e depois permanece aproximadamente constante na idade adulta.