Exercícios de Exame — Dados

Organização e tratamento de dados · Média · Mediana · Gráficos · Tabelas

Matemática · 7.º ano · matematicaparatodos.pt

Ferramentas úteis.
Dados. Esta ficha reúne exercícios de provas nacionais e testes intermédios sobre leitura e interpretação de tabelas e gráficos, média, mediana, percentagens e comparação de distribuições.

Dados — Exercícios de exame

1
Prova ensaio 9.º ano - 2025

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao número de cidadãos estrangeiros que adquiriram a nacionalidade portuguesa de 2019 a 2023.

Ano 2019 2020 2021 2022 2023
Número de cidadãos
estrangeiros que adquiriram a
nacionalidade portuguesa
21 099 32 147 24 516 20 844 16 985

Fonte: Pordata (consultado em novembro de 2024).

Assinala a opção que apresenta a mediana do número de cidadãos estrangeiros que adquiriram a nacionalidade portuguesa de 2019 a 2023.

(A) 24 516
(B) 16 985
(C) 32 147
(D) 21 099

Ordenando os dados por ordem crescente, obtemos:

16 985; 20 844; 21 099; 24 516; 32 147

Como há cinco valores, a mediana é o valor central da lista ordenada.

Resposta: Opção D, 21 099.
2
Prova ensaio 9.º ano - 2025

Portugal é um país exportador de produtos de origem florestal.

O gráfico seguinte apresenta dados sobre os valores, em milhões de euros, das exportações portuguesas de alguns produtos de origem florestal, nos anos 2019, 2020 e 2021.

Grafico das exportacoes de produtos de origem florestal

Fonte: florestas.pt (consultado em janeiro de 2025). (Adaptado)

Associa cada uma das afirmações, do lado esquerdo, ao produto florestal que lhe corresponde, do lado direito.

Papel e cartão
O valor das exportações desse produto ultrapassou os 1500 milhões de euros, em cada um dos três anos em análise.
Madeira serrada
De 2019 para 2020 e de 2020 para 2021, o valor das exportações desse produto registou um decréscimo.
Pasta de papel e papel para reciclar
O valor das exportações desse produto foi o menor de todos, em cada um dos três anos em análise.
Lenhas (inclui pellets)
Produtos à base de cortiça

Pela observação do gráfico, podemos concluir que:

  • o único produto em que as barras referentes a cada um dos três anos ultrapassam o valor 1500 milhões de euros é Papel e cartão;
  • o único produto em que as barras referentes a cada ano são sempre mais pequenas do que no ano anterior é Lenhas (inclui pellets);
  • o único produto em que as barras referentes a cada um dos três anos têm dimensão inferior a qualquer barra do mesmo ano para os outros produtos é Madeira serrada.
3
Prova Final 3.º Ciclo - 2024, 2.ª fase

Com o objetivo de sensibilizar a comunidade escolar para a necessidade de preservar os recursos naturais e o ambiente, os alunos da escola da Clara criaram vários cartazes para uma exposição.

Na tabela, apresenta-se o número de cartazes elaborados, de acordo com a temática escolhida. O número de cartazes elaborados sobre o tema «Plástico nos oceanos» e sobre o tema «Degelo» é igual e está representado por k.

TemasEmissão de gases com efeito de estufaPlástico nos oceanosIncêndios/queimadasDesflorestação da AmazóniaExcesso de consumoCombustíveis fósseisDegeloDesperdício de água
Número de cartazes18k89718k9

Sabe-se que:

  • 9 < k < 18;
  • a mediana do número de cartazes elaborados é 11.

Assinala a opção que apresenta o valor de k.

(A) 10(B) 11(C) 12(D) 13
Ordenando os dados da tabela podemos verificar que, para que a mediana seja 11, os valores centrais,
são 9 ek, uma vez que metade dos valores são inferiores ou iguais a 9.
7 8 9 9
50%
k k 18 18
50%
Logo, como a mediana dos cartazes elaborados é 11, temos que:
9 + k
2 = 11 ⇔ 9 + k = 22 ⇔ k = 22- 9⇔ k = 13
Resposta: Opção D
4
Prova Final 3.º Ciclo - 2024, 2.ª fase

Na figura seguinte, apresentam-se dados relativos ao total de emissões de gases com efeito de estufa de seis países europeus, em 2019, em quilotoneladas equivalentes de dióxido de carbono (CO2). Em 2019, a União Europeia foi responsável pela emissão de 4 065 462 quilotoneladas equivalentes de CO2.

Grafico das emissoes de gases com efeito de estufa em 2019

Fonte: www.europarl.europa.eu (consultado em setembro de 2023). (Adaptado)

Assinala as três afirmações verdadeiras, tendo em conta os dados da figura.

(A) A Áustria registou o dobro das emissões de gases com efeito de estufa, relativamente às emitidas pela Eslováquia.(B) A Áustria registou 30% das emissões de gases com efeito de estufa, relativamente às emitidas pela Polónia.(C) A Alemanha emitiu menos de 20% de gases com efeito de estufa, relativamente ao total dos emitidos na União Europeia.(D) A Polónia, a Eslováquia, a Espanha e Portugal, em conjunto, emitiram menos quantidade de gases com efeito de estufa do que a Alemanha.(E) A Alemanha emitiu 15 vezes mais gases com efeito de estufa do que os emitidos por Portugal.
Observando os dados do gráfico e analisando cada uma das afirmações, temos:
- (A) A Áustria registou emissões de 79 842 quilotoneladas equivalentes de CO2, que é o dobro das
emissões da Eslováquia ( 39 921 quilotoneladas ), porque 39 921× 2 = 79 842
- (B) A Polónia registou emissões de 390 745 quilotoneladas equivalentes de CO2, e 30% deste va-
lor corresponde a 390 745 × 30
100 = 117 223,5 quilotoneladas, que é um valor superior às emissões
registadas pela Áustria.
- (C) A totalidade das emissões de gases com efeito de estufa na União Europeia foi de 4 065 462
quilotoneladas. 20% deste valor corresponde a 4 065 462 × 20
100 = 813 092,4, pelo que, como o valor
das emissões registado na Alemanha é inferior a este valor, ou seja, inferior a 20% do total.
- (D) A soma dos valores registados na Polónia, Eslováquia, Espanha e Portugal, é:
390 745 + 39 921 + 314 529 + 63 470 = 808 665
Assim, estes países em conjunto emitiram menos quantidade de gases com efeito de estufa do que a
Alemanha.
- (E) O valor correspondente a 15 vezes mais gases com efeito de estufa do que os emitidos por
Portugal, é 15× 63 470 = 952 050, que é um valor superior às emissões registadas na Alemanha, pelo
que a Alemanha não emitiu 15 vezes mais gases com efeito de estufa do que Portugal.
Resposta: Opções A, C e D
5
Prova Final 3.º Ciclo - 2024, 1.ª fase

Em Portugal, nos últimos 50 anos, assistimos a um aumento do número de alunos a frequentar o ensino superior, estando, no ano 2023, matriculados 446 028 alunos.

Na tabela, apresenta-se o número de alunos matriculados no ensino superior em Portugal, de 1978 a 1983.

Ano197819791980198119821983
Número de alunos matriculados no ensino superior81 58279 43680 91983 75486 78989 310

Fonte: Pordata (consultado em novembro de 2023).

Assinala a opção que apresenta a mediana do número de alunos matriculados no ensino superior em Portugal, ao longo dos seis anos a que a tabela se refere.

(A) 80 919(B) 82 337(C) 82 668(D) 83 632
Ordenando os valores correspondentes ao número de alunos matriculados no ensino superior em Portugal,
de 1978 a 1983, temos:
79 436 80 919 81 582
50%
83 754 86 789 89 310
50%
E assim a mediana deste conjunto de números é
˜x = 81 582 + 83 754
2 = 82 668
Resposta: Opção C
6
Prova Final 3.º Ciclo - 2024, 1.ª fase

Em 1976, os portugueses foram a votos para eleger os seus representantes na Assembleia da República.

Na figura seguinte, apresentam-se os dados referentes às eleições de 1976 e de 2022 para a Assembleia da República. Pode observar-se o número de partidos políticos concorrentes, quantos destes elegeram deputados, o número total de deputados eleitos, o número de deputados eleitos por partido político ou coligação e, ainda, a percentagem de mulheres eleitas.

Infografia sobre partidos e mulheres no Parlamento

Fonte: Pordata (consultado em outubro de 2023).

Assinala as três afirmações verdadeiras, tendo em conta os dados da figura.

(A) Em 1976, foram eleitas 15 mulheres deputadas.(B) Em 2022, o número de partidos que elegeram deputados duplicou, face a 1976.(C) Em 2022, houve um partido político que elegeu o mesmo número de homens e de mulheres deputados.(D) Em 2022, o número de partidos políticos que concorreram às eleições aumentou, aproximadamente, 57%, face às eleições de 1976.(E) Em 1976 e em 2022, metade dos partidos políticos concorrentes elegeram deputados para a Assembleia da República.
Analisando cada uma das afirmações, temos:
- (A) Como em 1976, apenas 5,7% dos deputados eram mulheres, num total de 263, temos que o
número de mulheres é:
263× 5,7
100 = 14,991≈ 15
- (B) Em 2022, 8 partidos elegeram deputados e em 1976, apenas 5 o tinham conseguido, mas 8 e
inferior a 10, que é dobro de 5.
- (C) Pela análise da figura podemos observar que o PCP elegeu 6 deputados em 2022, sendo que 3
eram homens e 3 eram mulheres, ou seja, o mesmo número de homens e de mulheres.
- (D) Em 2022, concorreram 22 partidos às eleições e em 1976, apenas 14, ou seja, um aumento de
22- 14 = 8 partidos. Assim o aumento percentual a, relativamente ao total de 1976, é:
a
8 = 100
14 ⇔ a = 100× 8
14 ⇒ a≈ 57,1%
- (E) Em 1976, 5 dos 14 partidos que concorreram às eleições elegeram deputados, ou seja menos de
metade (7); o que também aconteceu em 2022, em que apenas 8 dos 22 partidos conseguiu eleger
deputados, por isso menos de metade (11).
Resposta: Opções A, C e D
7
Prova Final 3.º Ciclo - 2023, Época especial

Na tabela seguinte, apresenta-se o número de exposições temporárias, em galerias de arte e outros espaços, realizadas em Portugal, de 2016 a 2021.

Na tabela, o número de exposições temporárias realizadas em Portugal no ano de 2021 está representado por k.

Ano201620172018201920202021
Número de exposições temporárias77307200714069603740k

Tabela construída com base em: PORDATA (consultado em novembro de 2022). (Adaptado)

Sabe-se que a média do número de exposições temporárias realizadas em Portugal, de 2016 a 2021, é 6225.

Determina o valor de k.

Como a média do número de exposições temporárias, realizadas em Portugal, nos 6 anos, é 6225, o
número de exposições temporárias realizadas no ano de 2021, ou seja, o valor dek, é:
7730 + 7200 + 7140 + 6960 + 3740 +k
6 = 6225 ⇔ 32 770 +k
6 = 6225 ⇔
⇔ 32 770 +k = 6225× 6 ⇔ k = 37 350- 32 770⇔ k = 4580
8
Prova Final 3.º Ciclo - 2023, Época especial

O gráfico da Figura 11 representa o número de visitantes de museus de arte e de museus de história, em milhões, de 2012 a 2020, em Portugal.

Grafico de visitantes de museus de arte e de historia

Gráfico construído com base em: Portal do INE (consultado em dezembro de 2022). (Adaptado)

Para cada uma das frases, (1), (2) e (3), assinala com X o ano que lhe corresponde.

 20142015201820192020
(1) O número de visitantes de museus de história foi maior do que o número de visitantes de museus de arte.     
(2) O número de visitantes de museus de arte atingiu o valor mais elevado.     
(3) O número de visitantes de museus de arte e de museus de história, em conjunto, foi o mais próximo de 3 milhões.     
Pela observação do gráfico podemos verificar que:
(1) O ano de 2015 é o único em que barra correspondente aos museus de história é maior que a barra
correspondente aos museus de arte, pelo que foi neste ano que o número de visitantes de museus de
história foi maior do que o número de visitantes de museus de arte.
(2) O ano de 2019 é o que apresenta a maior barra correspondente aos museus de arte, pelo que foi
neste ano que o número de visitantes de museus de arte atingiu o valor mais elevado.
(3) No ano 2020 a soma do número de visitantes dos museus de arte e de história é maior que 2 milhões
e menor que 4 milhões (uma vez que cada um dos valores considerado isoladamente está entre 1 e
2 milhões), ou seja, uma diferença para 3 milhões inferior a 1 milhão. Em todos os restantes anos
que figuram no gráfico a soma é sempre superior a 4 milhões (uma vez que cada um dos valores
considerado isoladamente está sempre acima dos 2 milhões), ou seja, uma diferença para 3 milhões
superior a 1 milhão; pelo que 2020 é o ano em que número de visitantes de museus de arte e de
museus de história, em conjunto, foi o mais próximo de 3 milhões.
2014 2015 2018 2019 2020
(1)
O número de visitantes de museus de história foi
maior do que o número de visitantes de museus
de arte.
X
(2) O número de visitantes de museus de arte atin-
giu o valor mais elevado. X
(3)
O número de visitantes de museus de arte e
de museus de história, em conjunto, foi o mais
próximo de 3 milhões.
X
9
Prova Final 3.º Ciclo - 2023, 2.ª fase

No gráfico da figura seguinte, está representada a distribuição de tempos letivos semanais, por ano letivo, no decurso dos programas de Desporto Escolar, de 2013 a 2021.

Grafico de tempos letivos semanais no Desporto Escolar

Gráfico construído com base em dados de https://desportoescolar.dge.mec.pt (consultado em outubro de 2022). (Adaptado)

Sabe-se que:

  • os anos letivos 2015/2016 e 2016/2017 têm igual número de tempos letivos semanais, a, e 21 400 < a < 22 200;
  • a mediana da distribuição de tempos letivos semanais dos oito anos letivos é 22 000.

Calcula o valor de a. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Ordenando os dados do gráfico, temos:
21 000 21 400 a a
50%
22 200 22 400 22 600 22 600
50%
Desta forma, como o número de dados é par, a mediana é o valor médio dos dois valores centrais da lista
ordenada, e assim podemos calcular o valor de a:
a + 22 200
2 = 22 000⇔ a + 22 200 = 44 000⇔ a = 44 000- 22 200 =⇔ a = 21 800
10
Prova Final 3.º Ciclo - 2023, 2.ª fase

Na tabela seguinte, estão registados os valores das exportações de alguns bens desportivos, em milhares de euros, no ano de 2021.

Bens desportivosValores das exportações (milhares de euros)
Barcos e equipamentos de desportos aquáticos84 602
Bicicletas308 051
Calçado de desporto35 596
Vestuário de desporto34 341

Tabela construída com base em: Desporto em números 2021, INE

Na figura, estão representados dois gráficos circulares. Nem o gráfico A nem o gráfico B representam os dados da tabela.

Graficos A e B sobre bens desportivos

Apresenta uma razão que te permita garantir que o gráfico A não representa os dados da tabela e outra razão que te permita garantir que o gráfico B também não representa os dados da tabela.

Observando os dois gráficos, temos que:
- o gráfico A não representa os dados da tabela porque neste gráfico o setor circular relativo ao
Vestuário de desporto tem maior área do que o setor circular relativo ao Calçado de desporto, o
que representa valor das exportações maior para o Vestuário de deporto, ao contrário do que é
apresentado na tabela em que este bem, é o que tem o menor valor;
- o gráfico B também não representa os dados da tabela porque o valor das exportações relativo a
Bicicletas é maior que a soma de todos os restantes, representando mais do 50% do valor total das
exportações, ao contrário do que está representado no gráfico B, em que a barra relativa ao valor
das exportações de Bicicletas representa uma percentagem compreendida entre 40% e 50%.
11
Prova Final 3.º Ciclo - 2023, 1.ª fase

Na tabela seguinte, apresenta-se o número aproximado, em milhares, de chegadas a Portugal de alguns turistas residentes no estrangeiro, no ano de 2021.

Na tabela, está representado por k o número aproximado de turistas, em milhares, residentes na Bélgica que chegaram a Portugal nesse ano.

País de residênciaNúmero de chegadas (milhares)
Alemanha770
Bélgicak
Espanha2900
França1500
Itália262
Reino Unido1000

Tabela construída com base em: Estatísticas do Turismo 2021 (Edição 2022), INE

Sabe-se que a média dos valores registados na tabela, incluindo o valor representado por k, é 1122 milhares de chegadas.

Determina o valor de k.

Como média dos valores registados na tabela, incluindo o valor representado por k, é 1122, temos que:
770 + k + 2900 + 1500 + 262 + 1000
6 = 1122 ⇔ k + 6432 = 1122× 6 ⇔
⇔ k + 6432 = 6732⇔ k = 6732- 6432⇔ k = 300
12
Prova Final 3.º Ciclo - 2023, 1.ª fase

Na tabela, apresentam-se os dados referentes ao número aproximado, em milhões, de dormidas de turistas em estabelecimentos de alojamento turístico em algumas regiões de Portugal Continental, nos anos de 2020 e de 2021.

Número de dormidas (milhões)
Regiões (Portugal Continental)20202021
Alentejo0,30,5
Algarve4,15,6
Área Metropolitana de Lisboa (AML)3,35,1
Centro0,71,4
Norte1,62,5

Tabela construída com base em dados do portal travelBI, by Turismo de Portugal, 2020 e 2021.

Para cada uma das frases, (1), (2) e (3), assinala com X a região que lhe corresponde.

 AlentejoAlgarveAMLCentroNorte
(1) Região onde o aumento do número de dormidas, em milhões, de 2020 para 2021, foi o mais elevado.     
(2) Região onde o aumento do número de dormidas, em milhões, de 2020 para 2021, foi o mais baixo.     
(3) Região onde o número de dormidas, de 2020 para 2021, aumentou 100%.     
Calculando o aumento do número de dormidas, de 2020 para 2021, nas diferentes regiões, temos:
Número de dormidas
(milhões)
Regiões (Portugal Continental) 2020 2021 Aumento
Alentejo 0,3 0,5 0,5- 0,3 = 0,2 Menor aumento
Algarve 4,1 5,6 5,6- 4,1 = 1,5
Área Metropolitana de Lisboa (AML) 3,3 5,1 5,1- 3,3 = 1,8 Maior aumento
Centro 0,7 1,4 1,4- 0,7 = 0,7 Aumentou 100%
Norte 1,6 2,5 2,5- 1,6 = 0,9
E assim podemos verificar que:
(1) A região onde o aumento foi mais elevado foi naÁrea Metropolitana de Lisboa.
(2) A região onde o aumento foi menor foi no Alentejo.
(3) Na região Centro o número duplicou, o que corresponde a um aumento de 100%.
Alentejo Algarve AML Centro Norte
(1)
Região onde o aumento do
número de dormidas, em
milhões, de 2020 para 2021, foi
o mais elevado.
X
(2)
Região onde o aumento do
número de dormidas, em
milhões, de 2020 para 2021, foi
o mais baixo.
X
(3)
Região onde o número de dor-
midas, de 2020 para 2021, au-
mentou 100%.
X
13
Prova de Aferição 8.º ano - 2023

O Dia Mundial dos Oceanos é celebrado anualmente a 8 de junho.

Nesse dia, uma associação de defesa do mar convidou um grupo de mergulhadores para uma ação de limpeza marinha, com o objetivo de sensibilizar a população para a importância dos oceanos.

Na tabela ao lado, apresenta-se a quantidade de lixo, em quilogramas, que cada um dos oito mergulhadores recolheu.

Mergulhador12345678
Quantidade de lixo (em quilogramas)20181416111689

Assinala a opção que apresenta a média, em quilogramas, da quantidade de lixo recolhida pelos oito mergulhadores.

(A) 16(B) 14(C) 15(D) 11
Identificando os valores relativos à quantidade de lixo recolhida por cada mergulhador, e calculando a
média destes valores, temos:
x = 20 + 18 + 14 + 16 + 11 + 16 + 8 + 9
8 = 112
8 = 14
14
Prova de Aferição 8.º ano - 2023

O gráfico apresenta dados relativos à área marinha protegida de cinco países europeus, em quilómetros quadrados, em 2016 e em 2019.

Grafico da area marinha protegida

Fonte: Pordata (consultado em novembro de 2022). (Adaptado)

Associa cada frase ao país que lhe corresponde.

Itália
País que registou um crescimento de 10% da área marinha protegida, em 2019, face a 2016.
Grécia
País que triplicou a área marinha protegida, em quilómetros quadrados, em 2019, face a 2016.
Finlândia
País com menor crescimento da área marinha protegida, em quilómetros quadrados, em 2019, face a 2016.
Estónia
França
Analisando os dados do gráfico, temos que:
- relativamente ao país que registou um crescimento de10% da área marinha protegida, em
2019, face a 2016 , temos que na Finlândiao aumento foi de 800 km2 neste período de tempo,
que corresponde a 10% de 8000 km2 (valor referente a 2016);
- relativamente ao país com menor crescimento da área marinha protegida, em quilómetros
quadrados, em 2019, face a 2016, temos que na Estóniao aumento foi de 6813-6757 = 56 km2,
e em todos os outros países o aumento foi superior;
- relativamente ao país que triplicou a área marinha protegida, em quilómetros quadrados,
em 2019, face a 2016, temos que na Gréciao valor da área correspondente a 2019 foi 22 290km2
que é o triplo do valor relativo a 2016 (3× 7430 = 22 290km2).
15
Prova Final 3.º Ciclo - 2022, 2.ª fase

O gráfico seguinte representa a percentagem de energia elétrica produzida por via hídrica e a percentagem de energia elétrica produzida por via eólica, em relação ao total de energia elétrica produzida em Portugal, de 2011 a 2020.

Grafico de energia eletrica por via hidrica e eolica

Para cada uma das frases, (1), (2) e (3), assinala com X o ano que lhe corresponde.

 20122014201520172019
(1) A percentagem de energia elétrica produzida por via hídrica e por via eólica, em conjunto, foi a mais baixa.     
(2) Em conjunto, a energia elétrica produzida por via hídrica e por via eólica foi superior a 50%.     
(3) Mais de um quarto da energia elétrica total foi produzida por via eólica.     

Analisando cada uma das afirmações, temos que:

(1) A primeira linha refere-se ao conjunto das percentagens de energia elétrica produzida por via hídrica e por via eólica. Pela observação do gráfico, verifica-se que foi em 2017 que esse conjunto foi mais baixo.

(2) A segunda linha refere-se também ao conjunto das percentagens de energia elétrica produzida por via hídrica e por via eólica. Nos anos constantes da tabela, foi em 2014 que a produção combinada das duas fontes foi superior a 50%.

(3) A terceira linha refere-se apenas à produção de energia elétrica por via eólica. Nos anos constantes da tabela, foi em 2019 que esta produção foi superior a 25%, ou seja, a mais de um quarto do total.

 20122014201520172019
(1)   X 
(2) X   
(3)    X
16
Prova Final 3.º Ciclo - 2022, 2.ª fase

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à poupança realizada por uma família, nos nove primeiros dias de um certo mês.

Dia123456789
Poupança realizada (em cêntimos)345857485140472734

Assinala a opção que apresenta a mediana da poupança realizada, em cêntimos, por essa família, nesses nove dias.

(A) 34(B) 44(C) 47(D) 51
Ordenando os dados da tabela, temos:
27 34 34 40
4
47
˜x
48 51 57 58
4
E assim a mediana deste conjunto de números é ˜x = 47
Resposta: Opção C
17
Prova Final 3.º Ciclo - 2022, 1.ª fase

O gráfico seguinte representa o volume vendido, em litros e per capita, de água mineral natural engarrafada, em Portugal, no período de 2011 a 2020.

Grafico do volume vendido de agua mineral engarrafada

A tabela seguinte apresenta o volume vendido, em litros e per capita, de água de nascente engarrafada, em Portugal, durante o mesmo período.

Anos2011201220132014201520162017201820192020
Volume vendido per capita (L)68,168,561,660,063,069,767,873,272,573,3

Para cada uma das frases, (1), (2) e (3), assinala com X o ano que lhe corresponde.

 20132015201720182020
(1) O volume vendido, per capita, de água mineral natural engarrafada atingiu o valor mais baixo.     
(2) O volume vendido, per capita, de água de nascente engarrafada atingiu o valor mais elevado.     
(3) O volume vendido, per capita, de água mineral natural engarrafada foi superior ao volume vendido, per capita, de água de nascente engarrafada.     

Analisando cada uma das afirmações, temos que:

(1) Deve ser identificado, no gráfico, o valor mínimo do volume vendido de água mineral natural engarrafada para os anos 2013, 2015, 2017, 2018 e 2020. O valor mínimo é 50 L e corresponde ao ano 2013.

(2) Deve ser identificado, na tabela, o valor máximo do volume vendido de água de nascente engarrafada para os anos 2013, 2015, 2017, 2018 e 2020. O valor máximo é 73,3 L e corresponde ao ano 2020.

(3) Devem ser comparadas as leituras do gráfico e da tabela para os anos indicados. Verifica-se que apenas em 2017 o volume vendido de água mineral natural engarrafada, 70 L per capita, foi superior ao volume vendido de água de nascente engarrafada, 67,8 L per capita.

 20132015201720182020
(1)X    
(2)    X
(3)  X  
18
Prova Final 3.º Ciclo - 2022, 1.ª fase

No gráfico seguinte, está representado o consumo de água, em metros cúbicos, de uma família nos primeiros oito meses de 2021.

Grafico do consumo de agua de uma familia

Qual é a opção que apresenta o consumo médio mensal de água desta família, em metros cúbicos, no período referido?

(A) 18(B) 19(C) 20(D) 21
Identificando os valores relativos aos consumos mensais, no período referido, e calculando a média destes
valores temos:
x = 13 + 12 + 17 + 18 + 22 + 20 + 21 + 21
8 = 144
8 = 18
Resposta: Opção A
19
Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano - 2021

Eco-Escolas é um programa de Educação Ambiental. As escolas que participam e cumprem os requisitos definidos recebem um galardão.

Na tabela seguinte, apresenta-se o número de escolas portuguesas galardoadas, de 2012 a 2019.

Anos20122013201420152016201720182019
Número de escolas galardoadas12291154110011871963192614381564

Determina a mediana do número de escolas portuguesas galardoadas nesse período.

Ordenando os dados da tabela podemos verificar que os valores centrais, são 1229 e 1438.
1100 1154 1187 1229
50%
1438 1564 1926 1963
50%
Logo a mediana, ˜x, do conjunto de dados é
˜x = 1229 + 1438
2 = 2667
2 = 1333,5
20
Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano - 2021
Aos domingos, a Maria e os seus dois irmãos costumam ir ao parque fazer uma atividade chamada
plogging, que consiste em apanhar lixo enquanto praticam exercício físico.
Num domingo, a média do número de garrafas de plástico recolhidas, antes das 10 horas, por cada
irmão, foi 15. Depois das 10 horas, a Maria recolheu 6 garrafas de plástico, enquanto os seus irmãos não
recolheram garrafa nenhuma.
Qual é a média do número de garrafas de plástico recolhidas, por cada irmão, nesse domingo?
(A) 21 (B) 17 (C) 10,5 (D) 8,5
Como até às 10 horas cada irmão recolheu, em média, 15 garrafas de plástico, e eram 3 irmãos, o número
de garrafas recolhidas antes das horas foi de 15 × 3 = 45
Como depois das 10 a Maria recolheu mais 6 garrafas e os irmãos não recolheram nenhuma, o número
total de garrafas recolhidas foi 15 × 3 + 6 = 45 + 6 = 51
Assim, a média do número de garrafas recolhidas por cada irmão, é:
x = 51
3 = 17
Resposta: Opção B
21
Prova Final 3.º Ciclo - 2019, 1.ª fase

Na sequência do Ano Europeu das Pessoas com Deficiência, deu-se início ao projeto Praia Acessível, Praia para Todos.

O gráfico seguinte representa o número de praias classificadas como acessíveis, em Portugal, de 2009 a 2018.

Grafico do numero de praias acessiveis em Portugal

Fonte: Agência Portuguesa do Ambiente.

Qual é a mediana do número de praias classificadas como acessíveis, em Portugal, de 2009 a 2018?

(A) 179(B) 186,5(C) 189(D) 189,5
Ordenando os números de praias classificadas como acessíveis, podemos verificar que os valores centrais
são 184 e 194.
153 159 175 179 184
50%
194 204 210 214 223
50%
Logo a mediana, ˜x, do conjunto de dados é
˜x = 184 + 194
2 = 378
2 = 189
Resposta: Opção C
22
Prova Final 3.º Ciclo - 2018, Época especial

Na tabela seguinte, apresenta-se a percentagem de agregados familiares portugueses com ligação à Internet de banda larga, de 2011 a 2016.

Ano201120122013201420152016
Percentagem de agregados familiares portugueses com ligação à Internet de banda larga56,659,761,663,468,573,0

Assinala a opção que apresenta a mediana das percentagens indicadas na tabela.

(A) 61,6(B) 62,5(C) 63,4(D) 63,8
Como os dados da tabela já estão ordenados podemos verificar que os valores centrais, são 61,6 e 63 ,4.
56,6 59 ,7 61 ,6
50%
63,4 68 ,5 73 ,0
50%
Logo a mediana, ˜x, do conjunto de dados é
˜x = 61,6 + 63,4
2 = 125
2 = 62,5
Resposta: Opção B
23
Prova Final 3.º Ciclo - 2018, 1.ª fase

A tabela seguinte apresenta o número de veículos totalmente elétricos vendidos em Portugal, de 2010 a 2015.

Ano201020112012201320142015
Número de veículos totalmente elétricos vendidos em Portugal1820385166189654

Assinala a opção que apresenta a mediana do número de veículos totalmente elétricos vendidos em Portugal, nos seis anos indicados na tabela.

(A) 177,5(B) 166(C) 125,5(D) 85
Ordenando os dados da tabela podemos verificar que os valores centrais, são 166 e 189.
18 85 166
50%
189 203 654
50%
Logo a mediana, ˜x, do conjunto de dados é
˜x = 166 + 189
2 = 355
2 = 177,5
Resposta: Opção A
24
Prova de Aferição 8.º ano - 2018

No gráfico da figura ao lado, representa-se o número de passageiros embarcados, mensalmente, em voos nacionais, durante o primeiro semestre de 2016. Os valores apresentados estão aproximados aos milhares.

Grafico de passageiros embarcados em voos nacionais

Fonte: Boletim Mensal de Estatística, INE, setembro de 2016.

Em relação ao número de passageiros embarcados, mensalmente, em voos nacionais, em 2016, sabe-se que:

  • a média no primeiro semestre foi 171 mil;
  • a média nos primeiros sete meses foi 181 mil.

Determina o número de passageiros embarcados em voos nacionais no mês de julho de 2016. Mostra como chegaste à tua resposta.

Como a média dos primeiros 6 meses foi 171 mil passageiros, então sabemos que o número total de
passageiros que embarcou em voos nacionais neste período (T6), em milhares, pode ser calculado por:
T6
6 = 171 ⇔ T6 = 171× 6 ⇔ T6 = 1026
Como a média dos primeiros 7 meses foi 181 mil passageiros, então sabemos que o número total de
passageiros que embarcou em voos nacionais neste período (T7), em milhares, pode ser calculado por:
T7
7 = 181 ⇔ T7 = 181× 7 ⇔ T7 = 1267
Assim, temos que o número de passageiros que embarcou no mês de julho, em milhares, é a diferença dos
dois valores anteriores:
T7- T6 = 1267- 1026 = 241
Ou seja, no mês de julho embarcaram 241 000 passageiros em voos nacionais.
25
Prova Final 3.º Ciclo - 2017, Época especial

A turma da Ana tem 29 alunos, distribuídos, por género e por idade, de acordo com a tabela seguinte.

 15 anos16 anos17 anos
Raparigas853
Rapazes382

Qual é a mediana das idades dos alunos da turma da Ana?

(A) 15 anos(B) 15,5 anos(C) 16,5 anos(D) 17 anos
Organizando as idades das 16 raparigas da turma da Ana numa lista ordenada, podemos verificar que os
valores centrais são 15 e 16:
15 ... 15
8
16 16 16 16 16 17 17 17
8
Logo a mediana, ˜x, das idades das raparigas da turma da Ana é:
˜x = 15 + 16
2 = 31
2 = 15,5 anos
Resposta: Opção B
26
Prova Final 3.º Ciclo - 2017, 1.ª fase

O diagrama de caule-e-folhas seguinte representa um conjunto de dados.

Diagrama de caule e folhas

Nas afirmações seguintes, x representa a média e ˜x representa a mediana deste conjunto de dados.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) x = 36 e ˜x = 40(B) x = 36 e ˜x = 32(C) x = 52 e ˜x = 32(D) x = 52 e ˜x = 40
Escrevendo os dados apresentados numa lista ordenada, temos:
23 25 31 32
50%
32 44 45 56
50%
Pelo que a mediana deste conjunto de dados é ˜x = 32, e a média é:
x = 23 + 25 + 31 + 32 + 32 + 44 + 45 + 56
8 = 288
8 = 36
Resposta: Opção B
27
Prova Final 3.º Ciclo - 2016, 2.ª fase
Seja k um número natural menor do que 100.
Considera o seguinte conjunto de dados numéricos:
30 70 100 k
Sabe-se que a média deste conjunto de dados é 60.
Determina a mediana deste conjunto de dados.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Como a média do conjunto de dados é 60, podemos determinar o valor dek:
30 + 70 + 100 +k
4 = 60⇔ 200 + k
4 = 60⇔ 200+ k = 60×4⇔ 200+ k = 240⇔ k = 240-200⇔ k = 40
Assim, na lista ordenada dos dados, os valores centrais, são 40 e 70.
30 40
50%
70 100
50%
Logo a mediana, ˜x, do conjunto de dados é
˜x = 40 + 70
2 = 110
2 = 55
28
Prova de Aferição 8.º ano - 2016

Registou-se o número de alunos matriculados numa escola, nos anos de 2011 a 2015.

A tabela seguinte, onde não está indicado o número de alunos matriculados em 2013, foi construída com base nesse registo.

Ano20112012201320142015
Número de alunos840766...752820

O número de alunos matriculados em 2013 é igual a quatro quintos do número de alunos matriculados em 2011.

Determina a média do número de alunos matriculados, por ano, de 2011 a 2015.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o número de alunos matriculados em 2013 é igual a4
5 do número de alunos matriculados em 2011,
temos que o número de alunos matriculados em 2013 é:
4
5× 840 = 672
E assim, calculando a média do número de alunos matriculados, por ano, de 2011 a 2015, temos:
x = 840 + 766 + 672 + 752 + 820
5 = 3850
5 = 770 alunos
29
Prova de Aferição 8.º ano - 2016

A tabela seguinte apresenta os dados relativos ao número de nascimentos por cada 1000 residentes em Portugal, de 2006 a 2014.

Ano200620072008200920102011201220132014
Número de nascimentos por cada 1000 residentes10,09,79,99,49,69,28,57,97,9

Assinala a opção que apresenta a mediana do número de nascimentos por cada 1000 residentes, de 2006 a 2014.

(A) 8,95(B) 9,12(C) 9,4(D) 9,5
Ordenando os dados da tabela, temos:
7,9 7 ,9 8 ,5 9 ,2
4
9,4
˜x
9,6 9 ,7 9 ,9 10 ,0
4
E assim a mediana deste conjunto de números é ˜x = 9,4
Resposta: Opção C
30
Prova Final 3.º Ciclo - 2015, Época especial

Uma equipa disputou um campeonato constituído por um número par de jogos. Em cada jogo, foi atribuída uma das seguintes pontuações:

  • 3 pontos, em caso de vitória;
  • 1 ponto, em caso de empate;
  • 0 pontos, em caso de derrota.

O gráfico ao lado mostra as percentagens de jogos em que foram atribuídos à equipa 3 pontos, 1 ponto e 0 pontos.

Grafico circular sobre as pontuacoes obtidas pela equipa

Qual é a mediana das pontuações obtidas pela equipa nos jogos desse campeonato?

Como, de acordo com o gráfico, em 50% dos jogos, ou seja em metade dos jogos, a equipa conseguiu
3 pontos, e na outra metade dos jogos não conseguiram os 3 pontos, logo o número total de jogos no
campeonato é par, pelo que a mediana a média dos dois valores centrais, da lista ordenada das pontuações.
Como 50% das pontuações obtidas pela equipa nos jogos desse campeonato foram 3 pontos, e os restantes
0 e 1 pontos, os valores centrais, na lista ordenada das pontuações são 1 e 3.
0 ... 0 1 1 ... 1
50%
3 3 ... 3 3 3
50%
Logo a mediana, ˜x, das pontuações obtidas pela equipa nos jogos desse campeonato, é
˜x = 1 + 3
2 = 4
2 = 2 pontos
31
Prova Final 3.º Ciclo - 2015, Época especial
O casal Queirós tem um único filho e o casal Martins tem quatro filhos.
O filho do casal Queirós tem 13 anos de idade e a média das idades dos quatro filhos do casal Martins é
igual a 12,25 anos.
Qual é o valor exato da média das idades dos cinco jovens?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Como a média das idades dos quatro filhos do casal Martins é igual a 12,25 anos, designando por SM a
soma das idades dos quatro filhos do casal Martins, temos que
SM
4 = 12,25 ⇔ SM = 12,25× 4⇔ SM = 49
Calculando o valor exato da média das idades dos cinco jovens,x, vem
x = SM + 13
5 = 49 + 13
5 = 62
5 = 12,4 anos
32
Prova Final 3.º Ciclo - 2015, 2.ª fase

Durante o mês de maio, o António realizou vinte registos da temperatura, em graus Celsius, no pátio da sua escola.

Com os dados obtidos, o António construiu a tabela seguinte.

Temperatura (em graus Celsius)1920232425
N.º de registos43337

Qual é a média das temperaturas registadas?

(A) 21,6 °C(B) 22,6 °C(C) 23,6 °C(D) 24,6 °C
Calculando o valor médio das temperaturas registadas, temos
19× 4 + 20× 3 + 23× 3 + 24× 3 + 25× 7
20 = 452
20 = 22,6
Resposta: Opção B
33
Prova Final 3.º Ciclo - 2015, 1.ª fase

Nas tabelas seguintes, apresentam-se, em percentagem, as frequências relativas (fr) das classificações do 3.º período, em Matemática, das duas turmas de 9.º ano de uma certa escola.

Turma A
Classificação12345
fr (%)1010202040
Turma B
Classificação12345
fr (%)2020203010

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A moda das classificações da Turma A é 3.(B) A moda das classificações da Turma B é 3.(C) A mediana das classificações da Turma A é 3.(D) A mediana das classificações da Turma B é 3.
- Na turma A, a classificação com maior frequência relativa é 5, o que significa que a moda é 5.
- Na turma B, a classificação com maior frequência relativa é 4, o que significa que a moda é 4.
- Na turma A, as classificações iguais ou inferiores a 3, são 10+10+20 = 40% do total e as classificações
iguais ou inferiores a 4 são 10 + 10 + 20 + 20 = 60% do total, o que significa que a mediana é 4.
- Na turma B, as classificações iguais ou inferiores a 2, são 20 + 20 = 40% do total e as classificações
iguais ou inferiores a 3 são 20 + 20 + 20 = 60% do total, o que significa que a mediana é 3.
Resposta: Opção D
34
Prova Final 3.º Ciclo - 2015, 1.ª fase

Na tabela seguinte, apresenta-se a distribuição das alturas de 25 alunos do 9.º ano de uma certa escola.

Existem quatro alunos cujas alturas, todas iguais, estão representadas por a, sendo a maior do que 160.

Altura (em centímetros)150154156160a
N.º de alunos632104

Sabe-se que o valor exato da média das alturas dos 25 alunos é 158 cm.

Determina o valor de a.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como o valor exato da média das alturas é 158 cm, temos que
150× 6 + 154× 3 + 156× 2 + 160× 10 + a× 4
25 = 158 ⇔ 3274 + 4a = 158× 25 ⇔
⇔ 4a = 3950- 3274⇔ a = 676
4 ⇔ a = 169
35
Prova Final 3.º Ciclo - 2014, 2.ª chamada

Uma escola tem turmas do 2.º ciclo e turmas do 3.º ciclo.

Os alunos do 3.º ciclo da escola distribuem-se, por idade e por género, de acordo com a tabela seguinte.

 12 anos13 anos14 anos15 anos16 anos
Raparigas4141095
Rapazes1512993

Qual é a moda das idades dos alunos do 3.º ciclo da escola?

Calculando o total de alunos de cada idade, vem:
12 anos 13 anos 14 anos 15 anos 16 anos
Raparigas 4 14 10 9 5
Rapazes 15 12 9 9 3
Total 19 26 19 18 8
Como a moda (ˆx) desta distribuição é o valor da idade com maior frequência absoluta, ou seja, a ob-
servação com mais efetivos, temos que
ˆx = 13
36
Prova Final 3.º Ciclo - 2014, 2.ª chamada
Seja k um número natural.
Sabe-se que 10 é o valor exato da média dos números 9, 10, 14 ek
Qual é o valor dek ?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
Como se sabe que 10 é o valor exato da média dos números 9, 10, 14 ek, temos que
9 + 10 + 14 +k
4 = 10 ⇔ 33 + k
4 = 10 ⇔ 33 + k = 10× 4 ⇔ k = 40- 33 ⇔ k = 7
Resposta: Opção C
37
Prova Final 3.º Ciclo - 2014, 1.ª chamada
O casal Silva tem três filhos: duas raparigas e um rapaz.
Em relação aos filhos do casal Silva, sabe-se que:
- as duas raparigas são gémeas e têm 15 anos;
- o valor exato da média das idades dos três filhos é 14 anos.
Qual é a idade do rapaz?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Designado por x a idade do filho do casal Silva, como o valor exato da média das idades dos três irmãos
é 14, temos que
15 + 15 +x
3 = 14 ⇔ 30 + x
3 = 14 ⇔ 30 + x = 3× 14 ⇔ 30 + x = 42 ⇔ x = 42- 30 ⇔ x = 12
Logo, o filho do casal Silva tem 12 anos.
38
Teste Intermédio 9.º ano - 21.03.2014

No início do ano letivo, a turma do João tinha 28 alunos. A tabela seguinte apresenta a distribuição das idades desses alunos.

Idade7 anos8 anos9 anos
N.º de alunos14113

38.1. Qual era a mediana das idades dos alunos da turma do João, no início do ano letivo?

(A) 7 anos(B) 7,5 anos(C) 8 anos(D) 8,5 anos

38.2. No final do primeiro período, entraram, na turma do João, dois alunos com a mesma idade. Sabe-se que a idade dos outros alunos não se alterou durante o primeiro período.

Qual era a idade dos dois novos alunos quando entraram na turma, sabendo que a média das idades dos alunos da turma passou a ser 7,7 anos?

Mostra como chegaste à tua resposta.

38.1. Como o total de alunos da turma do João, no início do ano era de 28 alunos, na lista ordenada dos
valores, os valores centrais correspondem às 14a e 15a posições.
13o 14o 15o 16o
... 7 7 8 8 ...
Como os primeiros 14 valores correspondem aos alunos com 7 anos, a 14 a observação é 7, e a 15a é
8, pelo que a mediana das idades (˜x) é
˜x = 7 + 8
2 = 7,5
Resposta: Opção B
38.2. Designado por x a idade de cada um dos novos alunos, como a média das idades passou a ser de 7,7
anos, e o número total de alunos na turma passou a ser 28 + 2 = 30, temos que:
7× 14 + 8× 11 + 9× 3 + x + x
30 = 7,7 ⇔ 98 + 88 + 27 + 2x
30 = 7,7 ⇔ 213 + 2x
30 = 7,7⇔
⇔ 213 + 2x = 7,7× 30 ⇔ 213 + 2x = 231 ⇔ 2x = 231- 213⇔ x = 18
2 ⇔ x = 9
Logo, a idade de cada um dos alunos que entraram na turma é de 9 anos.
39
Prova Final 3.º Ciclo - 2013, 2.ª chamada

A turma T de uma certa escola tem vinte e três alunos, com números de pauta de 1 a 23.

No gráfico ao lado, está representada a distribuição das idades dos alunos da turma T.

Grafico de barras sobre uma medida de tendencia

Indica o que representa o valor da expressão

(2 × 13 + 10 × 14 + 8 × 15 + 3 × 16) / 23

tendo em conta os dados do gráfico.

A expressão indicada corresponde ao produto de cada idade pela respetiva frequência absoluta, dividido
pelo número total de alunos, ou seja, é o cálculo da idade média dos alunos da turma T.
40
Prova Final 3.º Ciclo - 2013, 1.ª chamada

A Rita é aluna do 8.º ano de uma escola do ensino básico.

40.1. As idades dos alunos da turma da Rita distribuem-se de acordo com o diagrama circular representado ao lado. Sabe-se que a turma da Rita tem um número par de alunos.

Grafico circular das idades dos alunos da turma da Rita

Qual é a mediana das idades dos alunos da turma da Rita?

40.2. Com o objetivo de ocupar os tempos livres, a Rita inscreveu-se numa classe de dança, num ginásio. Com a entrada da Rita, a classe ficou com vinte alunos. A média das idades destes vinte alunos é 13,2 anos.

No final da primeira semana, dois alunos de 15 anos abandonaram a classe. Qual passou a ser a média das idades dos alunos da classe, admitindo que a idade de cada um não se alterou nessa semana?

Mostra como chegaste à tua resposta.

40.1. Como a turma da Rita tem um número par de alunos, a mediana é a média dos dois valores centrais,
da lista ordenada das idades.
Como 50% dos alunos tem 13 anos, e os restantes têm 14 e 15 anos, os valores centrais, na lista
ordenada das idades são 13 e 14.
13 13 ... 13 13
50%
14 ... 14 15 ... 15
50%
Logo a mediana, ˜x, das idades dos alunos da turma da Rita é
˜x = 13 + 14
2 = 27
2 = 13,5
40.2. Quando a classe tinha vinte alunos, a média das idades destes vinte alunos era de 13,2 anos, o que
poderia ser escrito como
k
20 = 13,2 ⇔ k = 13,2× 20 ⇔ k = 264
em que k é a soma das idades dos 20 alunos.
Como abandonaram a classe 2 alunos, o número total de alunos passou a ser de 18, e como es-
tes alunos tinham 15 anos e a idade dos restantes não se alterou, a soma das idades dos 18 alunos
passou a ser de
k- 15× 2 = 264- 30 = 234
Logo a média,x, dos 18 alunos é
x = 234
18 = 13
41
Teste Intermédio 9.º ano - 12.04.2013

No ensino profissional, o número de horas semanais na disciplina de Matemática varia de acordo com os cursos e com os anos de escolaridade.

Num agrupamento de escolas, registou-se o número de horas semanais na disciplina de Matemática de cada turma do ensino profissional. Com base nesse registo, elaborou-se o seguinte gráfico.

Grafico de horas semanais de Matematica

Qual é o número médio de horas semanais na disciplina de Matemática das turmas dos cursos do ensino profissional deste agrupamento?

(A) 2,2(B) 2,3(C) 22(D) 23
Calculando o número médio de horas semanais na disciplina de Matemática das turmas dos cursos do
ensino profissional do agrupamento, temos
x = 1× 4 + 1,5× 10 + 2× 13 + 2,5× 8 + 3× 15
4 + 10 + 13 + 8 + 15 = 110
50 = 2,2
Resposta: Opção A
42
Teste Intermédio 9.º ano - 12.04.2013
O casal Silva tem quatro filhos, dos quais três são raparigas.
As idades, em anos, das raparigas são 18, 8 e 4 e a do rapaz é 10
Qual é a mediana das idades dos quatro filhos do casal Silva?
Ordenando as idades dos quatro filhos do casal Silva, temos
1o 2o 3o 4o
4 8 10 18
E assim a mediana das idades dos quatro filhos do casal Silva é
˜x = 8 + 10
2 = 18
2 = 9
43
Prova Final 3.º Ciclo - 2012, 2.ª chamada

Um saco contém várias bolas com o número 1, várias bolas com o número 2 e várias bolas com o número 3. As bolas são indistinguíveis ao tato.

A Maria realizou dez vezes o seguinte procedimento: retirou, ao acaso, uma bola do saco, registou o número inscrito na bola e colocou novamente a bola no saco.

Em seguida, a Maria calculou a frequência relativa de cada um dos números 1, 2 e 3 e elaborou uma tabela. Nessa tabela, substituiu-se a frequência relativa do número 2 por a, obtendo-se a seguinte tabela.

Número inscrito na bolaFrequência relativa
10,3
2a
30,4

Qual é o valor de a?

(A) 0,2(B) 0,3(C) 0,4(D) 0,5
Como a soma das frequências relativas é sempre 1, temos que
0,3 + a + 0,4 = 1 ⇔ a = 1- 0,3- 0,4⇔ a = 1- 0,7 ⇔ a = 0,3
Resposta: Opção B
44
Prova Final 3.º Ciclo - 2012, 1.ª chamada
Considera três números naturaisdiferentes, dos quais 1 é o menor ea é o maior.
Sabe-se que o valor exato da média aritmética desses três números é 11
Qual é o maior valor quea pode tomar?
Considerando que a média dos três números naturais é 11, e designando pork o número maior que 1 e
menor que a, temos que
1 + k + a
3 = 11⇔ 1 +k + a = 11× 3⇔ 1 +k + a = 33⇔ k + a = 33- 1⇔ k + a = 32⇔ a = 32- k
Assim temos que como k > 1, e k + a = 32, sendo k e a números naturais, o maior valor dea pode tomar
corresponde ao menor valor que a pode tomar, ou seja k = 2 e
a = 32- 2 = 30
45
Teste Intermédio 9.º ano - 10.05.2012

Uma escola básica tem duas turmas de 9.º ano: a turma A e a turma B.

Os alunos da turma B distribuem-se, por idade e por sexo, de acordo com a tabela seguinte.

Turma B
 14 anos15 anos16 anos
Raparigas934
Rapazes613

Para um certo número natural n, a expressão

(9 × 14 + 3 × 15 + 4 × 16) / n

representa a média das idades das raparigas da turma B.

Qual é o valor de n?

Para calcular a média das idades das raparigas da turma B, multiplicamos cada idade pelo respetiva
frequência absoluta e dividimos pelo número de raparigas da turma B, ou seja, temos que
n = 9 + 3 + 4 = 16
46
Teste Intermédio 8.º ano - 29.02.2012

Na tabela seguinte, estão as classificações dos alunos de uma turma do 10.º ano na disciplina de Matemática. O número de alunos que tiveram classificação de 10 valores e o número de alunos que tiveram classificação de 12 valores estão representados pela letra a.

Classificações (em valores)91012141518
Número de alunos2aa532

46.1. Determina a média das classificações dos alunos que tiveram classificação superior a 12 valores. Apresenta os cálculos que efetuaste.

46.2. Admite que a mediana das classificações dos alunos da turma é 13 valores. Qual é o valor de a?

(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6
46.1. Os alunos que tiveram classificação superior a 12 valores, são 5 com classificação 14, 3 com classificação
15 e 2 com classificação 18, pelo que a média das classificações destes alunos é
x = 5× 14 + 3× 15 + 2× 18
5 + 3 + 2 = 70 + 45 + 36
10 = 151
10 = 15,1
46.2. Como sabemos que a mediana é 13, e 13 não é uma das classificações registadas, então o número de
classificações é par e a mediana foi calculada como a média dos dois valores centrais:
9 9 10 ... 10 12 ... 12
50%
14 ... 14 15 15 15 18 18
50%
˜x = 12 + 14
2 = 26
2 = 13
Assim, podemos calcular o valor de a, porque a soma das frequências das classificações inferiores a
13 é igual à soma das classificações superiores a 13:
2 + a + a = 5 + 3 + 2⇔ 2 + 2a = 10 ⇔ 2a = 10- 2 ⇔ a = 8
2 ⇔ a = 4
Resposta: Opção B
47
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2011 - Época especial

Um dos trabalhos realizados pelo Bruno e pela Inês para a disciplina de Matemática consistiu em fazer o registo das idades dos alunos do 9.º ano da sua escola, elaborar um gráfico da distribuição dos alunos por idades e determinar a média das idades dos alunos.

Depois de recolherem os dados, o Bruno e a Inês combinaram que o Bruno ia elaborar o gráfico e a Inês ia determinar a média.

A figura ao lado mostra o gráfico elaborado pelo Bruno. O gráfico não está completo, pois o Bruno esqueceu-se de considerar os alunos com 16 anos.

Grafico de distribuicao das idades dos alunos

A média das idades, correctamente obtida pela Inês, é 14,5 anos.

Quantos alunos com 16 anos frequentam o 9.º ano na escola do Bruno e da Inês?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como o valor calculado pela Inês para a média das idades é 14,5, e pela observação do gráfico temos que
existem 5 pessoas com 13 anos, 40 com 14 e 22 com 15, podemos calcular o número de pessoas com 16
anos:
5× 13 + 40× 14 + 22× 15 + k× 16
5 + 40 + 22 +k = 14,5 ⇔ 955 + 16k
67 + k = 14,5⇔ 955 + 16k = 14,5(67 + k) ⇔
⇔ 955 + 16k = 971,5 + 14,5k ⇔ 16k- 14,5k = 971,5- 955⇔ 1,5k = 16,5⇔ k = 16,5
1,5 ⇔ k = 11
48
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2011 - 2.ª chamada

Foi realizado um questionário acerca do número de livros que cada um dos alunos da turma tinha lido nas férias. Todos os alunos responderam ao questionário.

O professor de Matemática pediu ao António que construísse um gráfico de barras relativo aos resultados do questionário.

Na figura ao lado, está o gráfico construído pelo António.

Grafico de barras construido pelo Antonio

48.1. Quantos livros leu, em média, cada aluno dessa turma, de acordo com os dados apresentados no gráfico? Mostra como chegaste à tua resposta.

48.2. O gráfico que o António construiu não está de acordo com os dados recolhidos, pois alguns dos alunos que ele considerou como tendo lido dois livros tinham, na realidade, lido três livros.

Qual dos seguintes gráficos pode traduzir corretamente os resultados do questionário, sabendo que a mediana do número de livros lidos nas férias pelos alunos da turma é igual a 3?

Opcoes de graficos sobre livros lidos nas ferias
48.1. Pela observação do gráfico podemos afirmar que 3 alunos não leram qualquer livro, 7 alunos leram
apenas 1 livro, 5 alunos leram 2 livros, 4 alunos leram 3 livros, 3 alunos leram 4 livros e também
houve 3 alunos que leram 5 livros, o que totaliza 25 alunos na turma.
Assim, calculando a média,x, do número de livros que cada aluno leu, temos
x = 3× 0 + 7× 1 + 5× 2 + 4× 3 + 3× 4 + 3× 5
3 + 7 + 5 + 4 + 3 + 3 = 0 + 7 + 10 + 12 + 12 + 15
25 = 56
25 = 2,24 livros
48.2. Como o engano do António consistiu em considerar alguns alunos como tendo lido dois livros, quando
na realidade tinham lido três, as frequências dos valores 0, 1, 4 e 5 devem permanecer iguais, ou seja,
as barras relativas a estes valores devem ser iguais às barras do gráfico do António, pelo que podemos
excluir os gráficos (B) e (D).
Como existem 25 alunos, ordenando os alunos em função do número de livros lidos, e identificando
o aluno da posição 13 da lista ordenada temos:
- Gráfico A: 0 0 0
3
1 1 ... 1 1
7
2 2
2
2
˜x
3 3 ...
- Gráfico C: 0 0 0
3
1 1 ... 1 1
7
2 2
2
3
˜x
3 3 ...
Assim, como sabemos que a mediana é 3, o único gráfico que verifica as duas condições do enunciado
é o gráfico C.
Resposta: OpçãoGráfico C
49
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2011 - 1.ª chamada
A Beatriz tem quatro irmãos.
A média das alturas dos quatro irmãos da Beatriz é 1,25 metros.
A altura da Beatriz é 1,23 metros.
Qual é, em metros, a média das alturas dos cinco irmãos?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Designando por S a soma das idades dos 4 irmãos da Beatriz, para que a média das alturas seja 1,25
temos que
S
4 = 1,25 ⇔ S = 1,25× 4 ⇔ S = 5
Assim, calculado, em metros, a média das alturas dos 5 irmãos (incluindo a Beatriz), temos
x = S + 1,23
5 = 5 + 1,23
5 = 6,23
5 = 1,246 m
50
Teste Intermédio 9.º ano - 17.05.2011

Uma turma de uma certa escola tem raparigas e rapazes com 14, 15 e 16 anos, que se distribuem, por idade e por sexo, como se apresenta na tabela seguinte.

 14 anos15 anos16 anos
Raparigas533
Rapazes284

No final do 1.º período, a Rita veio transferida de outra escola e foi colocada nesta turma.

Sabe-se que a média das idades dos alunos não se alterou com a entrada da Rita. Qual é a idade da Rita?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como a inclusão da Rita nesta turma não alterou a média das idades, então a Rita tem uma idade
exatamente igual à média de idades registada antes da sua inclusão na turma, ou seja a idade da Rita é
a média das idades dos 25 alunos:
x = (5 + 2)× 14 + (3 + 8)× 15 + (3 + 4)× 16
25 = 7× 14 + 11× 15 + 7× 16
25 = 375
25 = 15
51
Teste Intermédio 8.º ano - 11.05.2011

As letras P, Q e R designam os três candidatos numa eleição nos Estados Unidos da América.

A tabela seguinte apresenta as distribuições das percentagens de votos nesses candidatos. Em cada linha está apresentada a distribuição das percentagens de uma certa população; por exemplo, na primeira linha está a distribuição das percentagens de votos da população de homens dos Estados Unidos da América.

PopulaçõesPQR
Homens413821
Mulheres463717
Brancos394120
Negros82117
Hispânicos612514
Asiáticos295516

Qual dos gráficos seguintes representa a distribuição das percentagens de votos, pelos candidatos P, Q e R, da população de negros?

Opcoes de graficos circulares dos candidatos
Analisando exclusivamente os votos, da população de negros, nos três candidatos, podemos verificar que o
candidato Q foi mais votado que o candidato R (11% dos votos para o candidato Q e 7% para o candidato
R), pelo que podemos excluir os gráficos das opções (B) e (D) onde o setor referente ao candidato Q tem
maior área do que o setor referente ao candidato R.
Relativamente ao gráfico da opção (A) podemos verificar que a área do setor referente ao candidato Q
tem mais do dobro da área do setor referente ao candidato R, o que não corresponde às percentagens
identificadas (11% não é mais que o dobro de 7%), pelo que o gráfico da opção (A) também não representa
a distribuição das percentagens de votos, pelos candidatos P, Q e R, da população de negros.
Assim, o gráfico da opção (C) é o único que apresenta setores circulares compatíveis com os dados.
Resposta: Opção C
52
Teste Intermédio 8.º ano - 11.05.2011

Kevin Young, atleta norte-americano dos 400 metros barreiras, correu dez provas desta modalidade em agosto de 1992.

Na tabela seguinte, apresentam-se os resultados obtidos em nove dessas provas. Na prova realizada no dia 6 de agosto, Kevin Young estabeleceu um novo recorde mundial.

LocalDataTempo obtido (em segundos)
Barcelona3 de agosto48,76
Barcelona5 de agosto47,63
Barcelona6 de agosto(*)
Mónaco11 de agosto47,60
Sheffield14 de agosto47,67
Colónia16 de agosto47,42
Zurique19 de agosto47,40
Berlim21 de agosto47,81
Copenhaga25 de agosto48,57
Bruxelas28 de agosto47,70

(*) Recorde mundial.

Sabe-se que a média dos três melhores tempos obtidos por Kevin Young nas dez provas é 47,20 segundos.

Determina o tempo, em segundos, obtido por Kevin Young na prova realizada no dia 6 de agosto.

Mostra como chegaste à tua resposta.

No conjunto dos três melhores tempos, para além do recorde mundial (obtido em 6 de agosto) incluem-se
ainda as marcas 47,40 (de 19 de agosto) e 47,42 (de 16 de agosto).
Assim, como se sabe que 47,20 é o valor da média destes três tempos, calculando o tempo recorde,r, em
segundos, vem:
47,40 + 47,42 + r
3 = 47,20⇔ 94,82 + r
3 = 47,20⇔ 94,82+r = 47,20×3⇔ r = 141,6-94,82⇔ r = 46,78 s
53
Teste Intermédio 9.º ano - 07.02.2011
O Manuel tem, num saco, três bolas indistinguíveis ao tacto, numeradas de 1 a 3
O Manuel retira uma bola do saco, regista o número da bola e repõe a bola no saco.
O Manuel repete este procedimento doze vezes.
A sequência 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1 é a sequência dos números registados pelo Manuel.
Indica a mediana deste conjunto de números.
Ordenando os registos do Manuel, temos
1 1 1 1 1 1
50%
2 2 2 2 3 3
50%
E assim a mediana deste conjunto de números é
˜x = 1 + 2
2 = 3
2 = 1,5
54
Teste Intermédio 9.º ano - 07.02.2011

Um dos trabalhos realizados pelo João para a disciplina de Matemática consistiu em fazer o registo das idades dos alunos do 9.º ano da sua escola e em elaborar um gráfico da distribuição dos alunos por idades.

O gráfico que o João elaborou está correto. Na figura ao lado, está representado esse gráfico.

Grafico de barras das idades dos alunos

Qual é a média das idades dos alunos do 9.º ano da escola do João?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Observando o gráfico, podemos verificar que existem 5 alunos com 13 anos, 40 alunos com 14 anos, 25
alunos com 15 anos e 10 alunos com 16 anos.
Assim, calculando a média de idades dos alunos de 9o ano da escola do João, temos
x = 13× 5 + 14× 40 + 15× 25 + 16× 10
5 + 40 + 25 + 10 = 1160
80 = 14,5 anos
55
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2010 - 2.ª chamada

Registou-se o número de macacos de um jardim zoológico, com 5, 6, 7 e 8 anos de idade.

A tabela seguinte, onde não está indicado o número de macacos com 7 anos de idade, foi construída com base nesse registo.

Idade dos macacos (em anos)5678
Número de macacos34...2

A mediana das idades destes animais é 6,5.

Determina o número de macacos com 7 anos de idade.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Como a mediana das idades dos macacos é 6,5, e não existe registo de idades igual a este valor, podemos
concluir que o número de dados é par e a mediana foi calculada como a média dos dois valores centrais
˜x = 6 + 7
2 = 13
2 = 6,5
Ou seja, o número de macacos com idade igual ou inferior a 6, é igual ao número de macacos com idade
igual ou superior a 7.
5 5 5 6 6 6 6
50%
7 ... 7 8 8
50%
Como existem 7 macacos com 6 anos ou menos, também existem 7 macacos com 7 anos ou mais, pelo
que designado por n o número de macacos com 7 anos, temos que
n + 2 = 7⇔ n = 7- 2⇔ n = 5
56
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2010 - 1.ª chamada

A figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia de vasos com manjericos. O gráfico da figura seguinte, à direita, mostra o número de vasos com manjericos vendidos, num arraial, nos dias 11, 12 e 13 de junho.

Fotografia de vasos com manjericos e grafico de barras

O número médio de vasos com manjericos vendidos por dia, nesse arraial, nos primeiros dez dias do mês de junho, foi igual a 3.

Qual foi o número médio de vasos com manjericos vendidos por dia, nesse arraial, nos primeiros treze dias de junho?

(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8
Observando o gráfico, podemos verificar que no dia 11 foram vendidos 16 vasos, no dia 12 foram vendidos
20 vasos e no dia 13 foram vendidos 25 vasos.
Como nos primeiros 10 dias forma vendidos, em média, 3 vasos por dia, ou seja 30 vasos (3 × 10 = 30),
calculando a média dos vasos vendidos nos 13 dias, temos
x = 30 + 16 + 20 + 25
13 = 91
13 = 7 vasos
Resposta: Opção C
57
Teste Intermédio 8.º ano - 27.04.2010

A tabela seguinte apresenta as quantidades, em toneladas, de papel, de plástico e de vidro recolhidas por uma empresa de reciclagem em 2007, 2008 e 2009.

AnoPapelPlásticoVidro
200713 05052207830
200812 67550707605
200917 10085502850

57.1. Qual foi a média anual de toneladas de plástico recolhidas, neste período de três anos? Apresenta os cálculos que efetuaste.

57.2. Qual dos gráficos seguintes pode representar a informação da tabela, referente ao ano de 2008?

Opcoes de graficos de materiais recolhidos
57.1. Observando a tabela, nomeadamente a coluna referente aos dados da recolha de plástico, podemos
verificar que nos 3 anos foram recolhidas, 5220 toneladas, 5070 toneladas e 8550 toneladas.
Assim, calculando a média anual de toneladas de plástico recolhidas, neste período de 3 anos, temos
x = 5220 + 5070 + 8550
3 = 18 840
3 = 6280 toneladas
57.2. Observando a tabela, nomeadamente a linha referente ao ano de 2008, podemos verificar que a
quantidade de plástico recolhido (8550 toneladas) é inferior à quantidade de papel recolhido (17 100
toneladas), pelo que os gráficos das opções (C) e (D) não representam os dados referentes a 2008,
porque apresentam uma percentagem de plástico recolhido superior à do papel.
Analisando os dados de 2008 podemos verificar que a quantidade de plástico e vidro recolhidos,
consideradas em conjunto totalizam 5070 + 7605 = 12 675 toneladas, ou seja, exatamente a mesma
quantidade de toneladas de papel recolhido. Desta forma, podemos garantir que a quantidade de
papel recolhido representou 50% do total destes três tipos de resíduos recolhidos, pelo que o gráfico
da opção (B) também não representa os dados referentes a 2008.
Resposta: Opção A
58
Teste Intermédio 9.º ano - 03.02.2010
Numa aula de Matemática, foi medida a altura de cada aluno de uma turma. De todos os alunos da
turma, a Rita é a mais alta e mede 180cm, e o Jorge é o mais baixo e mede 120cm.
A altura média das raparigas é 150cm.
Mostra que o número de raparigas da turmanãopode ser igual a 2.
Como a Rita (que é a aluna mais alta da turma) mede 180 cm, e a altura média das raparigas é 150 cm,
se o número de raparigas da turma fosse 2, definindo a altura da rapariga mais baixa com b, teríamos
que
180 + b
2 = 150 ⇔ 180 + b = 150× 2⇔ b = 300- 180 ⇔ b = 120 cm
Ou seja, a rapariga mais baixa deveria medir 120 cm para que a altura média das raparigas fosse 150 cm,
o que não pode acontecer porque o aluno mais baixo da turma é o Jorge que mede 120 cm.
59
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2009 - 2.ª chamada

A tabela seguinte representa os consumos de gasolina, em litros, de um automóvel da família Coelho, no primeiro trimestre do ano.

 janeirofevereiromarço
Consumo de gasolina (em litros)170150160

Qual foi o consumo médio de gasolina, por mês, do automóvel da família Coelho, no primeiro trimestre do ano?

Como o consumo médio, por mês, nos 4 primeiros meses do ano foi igual ao dos 3 primeiros meses,
sabemos que o consumo do quarto mês foi exatamente igual ao consumo médio dos 3 primeiros meses.
Assim, calculando o consumo médio dos 3 primeiros meses, vem:
x = 170 + 150 + 160
3 = 480
3 = 160 litros
Logo, sabemos que o consumo de gasolina do automóvel, no mês de Abril (o quarto mês) foi de 160 litros.
60
Exame Nacional 3.º Ciclo - 2009, 1.ª Chamada

A agência de viagens ViajEuropa tem como destinos turísticos as capitais europeias.

A tabela seguinte mostra o número de viagens vendidas pela agência nos primeiros três meses do ano.

Capitais europeias
MesesMadridParisLondresOutras capitaisTotal
janeiro3825144588662220
fevereiro52342634211722499
março50852835610082400
Total1413150411563046

Qual foi a média do número de viagens vendidas por mês, para Madrid, nos primeiros três meses do ano?

Observando os dados da tabela, podemos verificar que o número total de viagens vendidas para Paris,
nos meses de janeiro, fevereiro e março foi 1413.
Assim, calculando a média do número de viagens vendidas por mês, para Paris, nos primeiros três meses
do ano, temos
x = 1413
3 = 471 viagens
61
Teste Intermédio 8.º ano - 30.04.2009

Num campeonato de futebol cada equipa conquista:

  • 3 pontos por cada vitória;
  • 1 ponto por cada empate;
  • 0 pontos por cada derrota.

Na tabela seguinte está representada a distribuição dos pontos obtidos pela equipa Os Vencedores nos 30 jogos do campeonato.

PontosNúmero de jogos
315
19
06

61.1. Qual foi o total de pontos obtidos pela equipa Os Vencedores nos jogos em que ganharam?

61.2. Qual foi a média de pontos, por jogo, da equipa Os Vencedores, neste campeonato? Apresenta os cálculos que efetuares.

61.1. Como no campeonato cada equipa conquista 3 pontos por cada vitória, então, consultando a tabela,
podemos observar que ”Os Vencedores”ganharam 15 jogos.
Assim, o total de pontos obtidos por esta equipa foi
15× 3 = 45 pontos
61.2. Como nos 30 jogos da equipa, em 15 ganharam 3 pontos, em 9 ganharam 1 ponto e nos restantes 6
não ganharam qualquer ponto, temos que a média de pontos, por jogo, é
x = 15× 3 + 9× 1 + 6× 0
30 = 45 + 9
30 = 54
30 = 1,8 pontos
62
Teste Intermédio 9.º ano - 09.02.2009

No clube desportivo Os Medalhados vai ser sorteada uma viagem aos próximos Jogos Olímpicos. As rifas para o sorteio foram todas vendidas.

O número de rifas vendidas a cada sócio do clube desportivo variou de 1 a 4.

62.1. O gráfico ao lado mostra, de entre 50 sócios, a percentagem dos que compraram 1, 2, 3 ou 4 rifas.

Grafico circular das rifas compradas pelos socios

Determina o número de sócios, de entre os 50, que compraram 2 rifas.

62.2. Fez-se uma lista onde se registou o número de rifas compradas por cada um de 10 sócios. A mediana dessa lista de números é 2,5. Destes 10 sócios houve quatro que compraram 1 rifa, três que compraram 3 rifas e um que comprou 4 rifas.

Quantas rifas poderá ter comprado cada um dos outros dois sócios?

62.1. No total existem 50 sócios (ou seja 100%), dos quais 26% compraram 2 rifas.
Assim o número de sócios que compraram 2 rifas corresponde a 26% de 50, ou seja:
26
100× 50 = 13 sócios
62.2. Como a mediana foi calculada com um número par de dados (10), então corresponde á média das ob-
servações que surgem na 5a e 6 a posições na lista ordenada dos dados, ou seja, na lista ordenada dos
dados sabemos que os números que ocupam as 5a e a 6 a posições, são, respetivamente 2 e 3:
? ? ? ? 2
50%
3 ? ? ? ?
50%
Como houve quatro sócios que compraram que compraram 1 rifa, todos os dados da lista ordenada
inferiores a 2, são iguais a 1.
Como sabemos que houve três sócios que compraram 3 rifas e um que comprou 4 rifas, então, dos cinco
dados da lista ordenada superiores a 2, sabemos que existem três 3 e um 4, e que não existem números
superiores a 4.
1 1 1 1 2
50%
3 3 3 ? 4
50%
Assim, para além dos quatro sócios que compraram 1 rifa, dos três que compraram 3 rifas e do sócio
que comprou 4 rifas, restam dois sócios e sabemos que um deles comprou 2 rifas e outro que pode ter
comprado 3 ou 4 rifas.
63
Exame Nacional 3.º Ciclo - 2008, 2.ª Chamada

Numa Faculdade, realizou-se um estudo sobre o número de alunos da turma da Beatriz que já doaram sangue. O gráfico seguinte mostra o número de doações de sangue, por sexos.

Grafico de barras de doacao de sangue

Relativamente aos dados do gráfico, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) 30% dos alunos nunca doaram sangue.(B) 30% dos alunos doaram sangue duas vezes.(C) 65% dos alunos doaram sangue mais do que uma vez.(D) 75% dos alunos doaram sangue menos do que duas vezes.
Da observação do gráfico podemos verificar que:
- 5 + 3 = 8 alunos nunca doaram sangue
- 6 + 7 = 13 alunos doaram sangue uma vez
- 4 + 5 = 9 alunos doaram sangue duas vezes
Desta forma o número total de alunos da turma é 8 + 13 + 9 = 30
Assim, calculando a percentagem relativa a cada uma das opções vem:
- Percentagem de alunos que nunca doaram sangue: 8× 100
30 ≈ 27%
- Percentagem de alunos que doaram sangue duas vezes: 9× 100
30 = 30%
- Percentagem de alunos que doaram sangue mais do que uma vez, ou seja, duas vezes:9× 100
30 = 30%
- Percentagem de alunos que doaram sangue menos que duas vezes, ou seja, doaram sangue por uma
vez ou nunca doaram sangue: (13 + 8)× 100
30 = 21× 100
30 = 70%
Pelo que se concluí que, de entre as opções apresentadas, a percentagem relativa aos alunos que doaram
sangue duas vezes é a única correta.
Resposta: Opção B
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Exame Nacional 3.º Ciclo - 2008, 1.ª Chamada

Numa escola com 1000 alunos, fez-se um estudo sobre o número de vezes que, em média, as raparigas e os rapazes da escola iam ao cinema por mês.

Com os dados recolhidos construiu-se a tabela que se segue.

Número de idas ao cinema por mês
 1 vez2 vezes3 vezes
Raparigas200150100
Rapazes30020050

Qual dos gráficos que se seguem representa os dados da tabela?

Opcoes de graficos sobre atividades de tempos livres
Analisando, nos diferentes gráficos, por exemplo a barra correspondente aos rapazes que costumam ir ao
cinema 1 vez por mês, verificamos que apenas no Gráfico C, esta barra corresponde 300 alunos, de acordo
com a informação descrita na tabela.
Resposta: Opção C
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Teste Intermédio 8.º ano - 30.04.2008

O gráfico seguinte mostra o número de hectares de floresta ardida, em Portugal Continental, entre os anos de 2003 e 2007.

Grafico dos incendios florestais em Portugal

65.1. Qual foi o número médio de hectares de floresta ardida, por ano, em Portugal Continental, entre 2003 e 2007, inclusive? Mostra como obtiveste a tua resposta.

65.2. Observa o pictograma da figura seguinte. Este pictograma não corresponde ao gráfico acima apresentado.

Pictograma de floresta ardida

Explica porquê.

65.1. Como nos 5 anos representados no gráfico, o número de hectares de área ardida foram 416 mil, 128
mil, 320 mil, 80 mil e 16 mil, então o número médio de hectares de floresta ardida, por ano, entre
2003 e 2007, foi:
x = 416 + 128 + 320 + 80 + 16
5 = 960
5 = 192 mil hectares
65.2. Pela observação do pictograma podemos concluir que o número de hectares de floresta ardida entre
2003 e 2007 esteve sempre a diminuir. Esta conclusão não é observável no gráfico que mostra um
aumento no ano de 2005.
Desta forma, podemos concluir que os dados representados pelo pictograma não correspondem aos
dados representados pelo gráfico.
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Teste Intermédio 9.º ano - 31.01.2008
A pedido da Maria, todas as pessoas convidadas para a sua festa de aniversário vão levar, pelo menos,
um CD de música.
A Maria perguntou a todos os convidados quantos CD tencionava cada um deles levar, e fez uma lista
onde escreveu todas as respostas. Depois de ordenadas, todas as respostas, por ordem crescente, as
primeiras 14 são as seguintes:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5
Sabendo que a mediana de todas as respostas dadas é 4, quantas pessoas foram convidadas para a
festa de aniversário da Maria?
Não justifiques a tua resposta.
Como sabemos que a mediana é 4, e, existe apenas um registo igual a 4, então, na lista ordenada existem
tantos elementos antes do registo 4 como depois deste registo.
1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3
50%
4 5 ? ? ? ?
50%
Como existem 12 registos menores que 4, existem também 12 registos superiores a 4, e assim considerando
também o registo igual a 4 podemos calcular o número de pessoas que foram convidadas para a festa de
aniversário da Maria:
12 + 1 + 12 = 25
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Exame Nacional 3.º Ciclo - 2007, 2.ª Chamada
Explica, por palavras tuas, como se deve proceder para determinar o número médio de chamadas te-
lefónicas feitas, ontem, pelos alunos da turma do Paulo.
Para determinar o número médio de chamadas telefónicas feitas, ontem, pelos alunos da turma do Paulo,
devemos percorrer as seguintes etapas:
- Registar o número de chamadas feitas ontem por cada um dos alunos da turma do Paulo.
- Somar todos os números registados, ou seja, calcular o total de chamadas feitas ontem por todos os
alunos da turma do Paulo.
- Contar o número de alunos de alunos da turma do Paulo.
- Dividir a soma do número de chamadas pelo número de alunos da turma do Paulo.
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Exame Nacional 3.º Ciclo - 2007, 1.ª Chamada

Hoje em dia, é possível ver um programa de televisão através de um computador.

Na tabela que se segue, podes observar o número de pessoas, em milhares, que viu televisão num computador, no primeiro trimestre de 2006, em Portugal.

Mêsjaneirofevereiromarço
N.º de pessoas (em milhares)680663682

Adaptado de Marktest-Netpanel.

68.1. De janeiro para fevereiro, o número de pessoas que viu televisão num computador diminuiu. Determina a percentagem correspondente a essa diminuição. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

68.2. A média do número de pessoas que viu televisão, num computador, nos primeiros quatro meses de 2006, foi de 680 (em milhares).

Tendo em conta os dados da tabela, quantas pessoas (em milhares) viram televisão num computador, durante o mês de abril desse ano?

Mostra como obtiveste a tua resposta.

68.1. A diminuição do número de pessoas que viu televisão num computador entre janeiro e fevereiro, é:
680- 663 = 17
Como 100% corresponde ao número de pessoas que viu televisão num computador em janeiro, (680),
então, a percentagem correspondente à diminuição (17 milhares) é dado por:
17× 100
680 = 2,5%
68.2. Como se sabe que a média do número de pessoas que viu televisão, num computador, (em milhares),
nos primeiros quatro meses, foi de 680, designado por a o número de pessoas (em milhares) viram
televisão num computador, e calculando o valor dea durante o mês de abril desse ano, vem que:
680 + 663 + 682 +a
4 = 680⇔ 2025 + a
4 = 680⇔ 2025+ a = 680×4⇔ a = 2720-2025⇔ a = 695
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Exame Nacional 3.º Ciclo - 2006, 2.ª Chamada
O Roberto tem nove primos.
Explica como farias para determinar a mediana das idades dos nove primos do Roberto.
Depois de registar todas as idades, estas devem ser ordenadas.
Como a mediana é o registo da posição central e são nove registos (um registo por cada primo), então a
mediana é a idade correspondente ao dado da posição cinco da lista ordenada:
Idade1 Idade2 Idade3 Idade4
4
Idade5
˜x
Idade6 Idade7 Idade8 Idade9
4
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Exame Nacional 3.º Ciclo - 2006, 1.ª Chamada

Muitos dos estudantes que usam mochilas transportam diariamente peso a mais para a sua idade.

O gráfico circular, da figura ao lado, fornece informação sobre as zonas do corpo onde as lesões provocadas por mochilas são mais frequentes.

Grafico circular sobre lesoes provocadas por mochilas

A Marta e duas das suas amigas começaram a construir, cada uma, um gráfico de barras que traduzisse a mesma informação deste gráfico circular.

Na figura que se segue, podes observar esses três gráficos.

Opcoes de graficos de barras

Apenas um deles poderá corresponder ao gráfico circular apresentado. Qual?

Para cada um dos outros dois gráficos, indica uma razão que te leva a rejeitá-lo.

O gráfico que corresponde ao diagrama circular é o gráfico B.
O Gráfico A não corresponde ao diagrama circular, porque no diagrama o setor relativo à lesão ”Pés e
tornozelos”(de cor mais escura) é o que representa a percentagem menor, pelo que a barra correspondente
a esta lesão deve ser que tem menor altura, o que não se verifica.
O Gráfico C também não corresponde ao diagrama circular, porque no diagrama o setor relativo ao dado
”Outros”(assinalado a branco) representa uma percentagem menor que os setores relativos aos dados
”Mãos, punhos e cotovelos”e ”Ombros e costas”, pelo que a barra correspondente a esta lesão deve ter
menor altura, que as barras das outras lesões referidas, o que não se verifica.
71
Prova de Aferição - 2004

Num clube desportivo, estão a selecionar jogadores para participarem numa prova de lançamentos. A figura apresenta o alvo e as regras de seleção.

Alvo usado pelo Joao no jogo dos dardos

Regras de seleção

  • Deves fazer, pelo menos, 3 lançamentos.
  • Não podes fazer mais do que 10 lançamentos.
  • Para seres selecionado, a média de todos os lançamentos efetuados deve ser, pelo menos, 33 pontos.

71.1. A tabela indica os resultados finais obtidos pelo Vítor.

Vítor
PontosFrequência
311
322
331
344
350

Sabendo que o Vítor acertou sempre no alvo, quantos lançamentos efetuou?

71.2. A tabela indica os resultados finais obtidos pelo João após dois lançamentos.

João
PontosFrequência
311
320
330
341
350

Sabendo que o João acertou sempre no alvo, qual é o menor número de pontos que terá de fazer no próximo lançamento, de modo a ser selecionado?

71.1. Como o Vítor acertou sempre no alvo, cada lançamento corresponde a uma pontuação, pelo que a
soma das frequências das pontuações é igual ao número de lançamentos efetuados pelo Vítor:
1 + 2 + 1 + 4 + 0 = 8
71.2. Como, para ser automaticamente apurado, a média dos três lançamentos deve ser, no mínimo 33,
calculamos o pontuação do terceiro lançamento (p3) para que a média seja 33:
31 + 34 +p3
3 = 33 ⇔ 31 + 34 +p3 = 33× 3⇔ 65 + p3 = 99 ⇔ p3 = 99- 65 ⇔ p3 = 34
Desta forma podemos afirmar que o João terá que conseguir, no mínimo, 34 pontos no terceiro
lançamento, ou seja, uma pontuação de 34 ou 35 pontos.
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Prova de Aferição - 2003
Numa competição de natação sincronizada, cada exercício é avaliado por dois grupos de cinco juízes: um
grupo avalia o Mérito Técnico e outro grupo a Impressão Artística. A nota final do exercício é calculada
de acordo com as seguintes etapas:
1. Das cinco notas atribuídas por cada grupo de juízes, eliminam-se a nota mais baixa e a nota mais
alta de cada grupo.
2. Calcula-se a média das restantes três notas atribuídas por cada grupo de juízes.
3. Utilizando as médias obtidas na etapa 2,
- multiplica-se por 6 a média das notas atribuídas pelos juízes do Mérito Técnico;
- multiplica-se por 4 a média das notas atribuídas pelos juízes da Impressão Artística.
4. A nota final do exercício é obtida pela soma dos valores obtidos na etapa 3.
Um concorrente obteve as seguintes notas num certo exercício:
Mérito Técnico 8,0 8,4 8,5 8,6 7,6
Impressão Artística 8,6 8,3 8,3 8,1 8,7
Calcula a nota final deste exercício, conforme as etapas descritas.
Indica, em cada etapa, as decisões que tomares e apresenta os cálculos que efetuares.
Calculando a nota final de acordo com as etapas, temos:
1. Mérito Técnico 8,0 8,4 8,5 8,6 7,6
Impressão Artística 8,6 8,3 8,3 8,1 8,7
2.
Mérito Técnico xT = 8 + 8,4 + 8,5
3 = 24,9
3 = 8,3
Impressão Artística xA = 8,6 + 8,3 + 8,3
3 = 25,2
3 = 8,4
3. - 6× xT = 6× 8,3 = 49,8
- 4× xA = 4× 8,4 = 33,6
4. Nota final: 6 × xT + 4× xA = 49,8 + 33,6 = 83,4
73
Prova de Aferição - 2002

Para planear a apanha da uva, na quinta Alzubar, construiu-se a seguinte tabela.

Número de trabalhadores (t)1005025
Número de dias que leva a apanha da uva (d)124

Na tabela, as variáveis t e d referem-se a grandezas inversamente proporcionais.

Na quinta Alzubar, a apanha da uva demorou 4 dias, e foram apanhados, no total, 80 000 kg de uva.

Em média, quantos quilogramas de uva apanhou cada trabalhador, por dia?

Explica a tua resposta e apresenta todos os cálculos que efetuares.

Como a apanha demorou 4 dias, podemos verificar pelos dados da tabela que estiveram envolvidos 25
trabalhadores.
Assim, como foram apanhados 80 000 kg de uvas, no total, a média da quantidade total de uvas apanhadas,
por cada trabalhador , foi:
xt = 80 000
25 = 3200 kg
Como cada trabalhador apanhou uvas durante 4 dias, a média da quantidade de uvas apanhadas, por
dia, foi:
xd = 3200
4 = 800 kg
74
Prova de Aferição - 2002

Segundo os meteorologistas, um mês considera-se seco se a precipitação total mensal (P), dada em milímetros, for inferior ao dobro do valor da temperatura média (T) desse mês, dada em graus centígrados (°C), ou seja:

P < 2T

Observa a tabela, relativa à temperatura e à precipitação, na cidade do Porto, ao longo de 1988.

MesesT - Temperatura média mensal (°C)P - Precipitação (mm)
janeiro8,8179,3
fevereiro9,7166,9
março11,6144,7
abril13,392,8
maio16,787,2
junho18,051,6
julho19,416,5
agosto19,727,5
setembro18,661,5
outubro15,5124,6
novembro11,9118,8
dezembro9,1164,3

74.1. Nesse ano, o mês de maio pode ser considerado um mês seco? Justifica a tua resposta.

74.2. Qual foi a precipitação média nos meses de julho, agosto e setembro? Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado, arredondado às décimas.

74.1. Como no mês de maio o dobro do valor da temperatura foi:
2T = 2× 16,7 = 33,4 °C
E o valor da temperatura média não é inferior ao valor calculado (2T), porque 87,2 > 33,4, então
maio não pode ser considerado um mês seco.
74.2. Como a precipitação média nos meses julho, agosto e setembro foi, respetivamente 16,5; 27,5 e 61,5;
então, calculando a precipitação média nestes três meses e arredondado o resultado às décimas,
temos:
xP = 16,5 + 27,5 + 61,5
3 = 105,5
3 ≈ 35,2 mm