Exercícios de Exame — Áreas e Quadriláteros

Áreas de trapézios e quadrados · Regiões sombreadas · Área do círculo

Matemática · 7.º ano · matematicaparatodos.pt

Ferramentas úteis.
Área do trapézio. \(A = \dfrac{B + b}{2} \times h\), em que \(B\) é a base maior, \(b\) a base menor e \(h\) a altura.  Área do quadrado: \(A = \ell^{2}\).  Área do triângulo: \(A = \dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}\).  Área do círculo: \(A = \pi r^{2}\).

Áreas e quadriláteros

1
Prova de Aferição 8.º ano — 2023

A figura ao lado é uma fotografia da fachada do Museu de Arte, Arquitetura e Tecnologia (MAAT), situado na frente ribeirinha da zona histórica de Belém, em Lisboa.

Fotografia da fachada do Museu MAAT, em Lisboa

Na figura abaixo, está representado um esquema, que não está desenhado à escala, de um dos azulejos da fachada do museu.

Esquema do azulejo: trapézio [ABCD]

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

  • \([ABCD]\) é um trapézio;
  • \(\overline{AB} = \overline{CD}\);
  • \(\overline{AD} = 32\) cm e \(\overline{BC} = 59\) cm;
  • a altura do trapézio, \(\overline{AE}\), é igual a 28 cm.

Qual é a área do trapézio \([ABCD]\)? Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o resultado em centímetros quadrados.

Identificando \([BC]\) como a base maior, \([AD]\) como a base menor e \([AE]\) como a altura do trapézio:

\(A_{[ABCD]} = \dfrac{\overline{BC} + \overline{AD}}{2} \times \overline{AE} = \dfrac{59 + 32}{2} \times 28 = \dfrac{91}{2} \times 28 = 1274\) cm²
Resposta: 1274 cm².
2
Instrumento de Aferição Amostral, 8.º ano — 2021

Na figura seguinte, está representado o trapézio \([ABCD]\), retângulo no vértice \(A\) e de bases \([AB]\) e \([DC]\). Sabe-se que \(\overline{AB} = 15\) cm, \(\overline{DC} = 7\) cm e \(\overline{AD} = 6\) cm. A figura não está desenhada à escala.

Trapézio retângulo [ABCD]

Assinala a área do trapézio \([ABCD]\), em centímetros quadrados.

(A) 36
(B) 52
(C) 66
(D) 90

As bases são \([AB]\) e \([DC]\) e a altura é \([DA]\):

\(A_{[ABCD]} = \dfrac{\overline{DC} + \overline{AB}}{2} \times \overline{DA} = \dfrac{7 + 15}{2} \times 6 = \dfrac{22}{2} \times 6 = 11 \times 6 = 66\) cm²
Resposta: (C) 66
3
Prova de Aferição 8.º ano — 2018

Uma horta plana tem a forma de um trapézio retângulo. O trapézio \([ABCD]\) da figura seguinte, de bases \([AB]\) e \([DC]\), retângulo em \(A\), é um esquema da horta. Sabe-se que \(\overline{AB} = 20\) m, \(\overline{DC} = 12\) m e \(\overline{AD} = 6\) m.

Esquema da horta: trapézio retângulo [ABCD]

Qual das seguintes expressões representa a área, em m², da horta?

(A) \(\dfrac{20 + 12}{2} \times 6\)
(B) \(\dfrac{20 \times 12}{2} + 6\)
(C) \(\dfrac{20 + 6}{2} \times 12\)
(D) \(\dfrac{20 \times 6}{2} + 12\)

A base maior é \(\overline{AB} = 20\) m, a base menor é \(\overline{DC} = 12\) m e a altura é \(\overline{AD} = 6\) m, pelo que a área é:

\(\dfrac{\overline{AB} + \overline{DC}}{2} \times \overline{AD} = \dfrac{20 + 12}{2} \times 6\)
Resposta: (A) \(\dfrac{20 + 12}{2} \times 6\)
4
Teste Intermédio 9.º ano — 07.02.2011

Na figura ao lado, está representado o trapézio retângulo \([ABCD]\). O ponto \(E\) pertence ao lado \([AB]\). Sabe-se que \(\overline{AE} = \frac{1}{3}\overline{AB}\), \(\overline{EB} = \overline{DC}\) e que a área do trapézio \([ABCD]\) é 20 cm².

Trapézio retângulo [ABCD] com região sombreada

Qual é a área da região representada a sombreado?

(A) 10 cm²
(B) 12 cm²
(C) 14 cm²
(D) 16 cm²

Os triângulos \([AED]\) e \([EBC]\) têm alturas iguais (\(\overline{ED} = \overline{BC}\)). Como \(\overline{AE} = \frac{1}{3}\overline{AB}\), tem-se \(\overline{AB} = 3\overline{AE} = \overline{AE} + 2\overline{AE}\), logo \(\overline{ED} = 2\overline{AE}\) — a base de \([EBC]\) é o dobro da base de \([AED]\):

\(A_{[EBC]} = 2 \times A_{[AED]}\)

Como \([EBC]\) e \([ECD]\) têm a mesma área, a área do trapézio é:

\(A_{[ABCD]} = A_{[AED]} + A_{[EBC]} + A_{[ECD]} = A_{[AED]} + 2A_{[AED]} + 2A_{[AED]} = 5 \times A_{[AED]}\)

Como \(A_{[ABCD]} = 20\) cm²:

\(5 \times A_{[AED]} = 20 \;\Leftrightarrow\; A_{[AED]} = 4\) cm²

A área sombreada é \(A_{[AED]} + A_{[EBC]}\):

\(A_S = A_{[AED]} + 2 \times A_{[AED]} = 3 \times 4 = 12\) cm²
Resposta: (B) 12 cm²
5
Teste Intermédio 9.º ano — 03.02.2010

Na figura ao lado, está representado o quadrado \([ABCD]\). Sabe-se que o lado do quadrado é 10 e que \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) são os pontos médios dos lados \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) e \([DA]\), respetivamente.

Quadrado [ABCD] com região sombreada [AEFCGH]

Qual é a área da região sombreada \([AEFCGH]\)?

(A) 100
(B) 75
(C) 50
(D) 45

Como \(\overline{AB} = \overline{BC} = 10\) e \(E\), \(F\) são pontos médios, \(\overline{EB} = \overline{BF} = \frac{10}{2} = 5\). A área do triângulo \([BEF]\) é:

\(A_{[BEF]} = \dfrac{\overline{EB} \times \overline{BF}}{2} = \dfrac{5 \times 5}{2} = \dfrac{25}{2}\)

Os triângulos \([BEF]\) e \([DGH]\) são congruentes. A região sombreada é a diferença entre a área do quadrado e a destes dois triângulos:

\(A_{[AEFCGH]} = A_{[ABCD]} - 2 \times A_{[BEF]} = 10 \times 10 - 2 \times \dfrac{25}{2} = 100 - 25 = 75\)
Resposta: (B) 75
6
Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2009

Na figura ao lado sabe-se que \([ACDF]\) é um quadrado de lado 4, que \(B\) é o ponto médio do segmento de reta \([AC]\) e que \(\overline{EF} = 1\).

Quadrado [ACDF] com região sombreada

Qual é a área da região sombreada? Mostra como chegaste à tua resposta.

A área sombreada é a diferença entre a área do quadrado \([ACDF]\) e a do triângulo \([ABE]\).

Como o lado do quadrado é 4:

\(A_{[ACDF]} = 4^2 = 16\)

Como \(B\) é o ponto médio de \([AC]\) e \(\overline{AC} = 4\), tem-se \(\overline{AB} = \frac{4}{2} = 2\). A altura do triângulo \([ABE]\) é igual ao lado \(\overline{AF} = 4\):

\(A_{[ABE]} = \dfrac{\overline{AB} \times \overline{AF}}{2} = \dfrac{2 \times 4}{2} = 4\)

Assim, a área sombreada é:

\(A_S = A_{[ACDF]} - A_{[ABE]} = 16 - 4 = 12\)
Resposta: 12.
7
Teste Intermédio 9.º ano — 07.05.2008

Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro \(O\), na qual está inscrito um pentágono regular \([PQRST]\). Sabe-se que a circunferência tem raio 5 e que o triângulo \([SOR]\) tem área 12.

Circunferência de centro O com pentágono regular [PQRST] inscrito

Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas.

A área do círculo, de raio 5, é:

\(A_{\circ} = \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi\)

Como o triângulo \([SOR]\) tem área 12 e o pentágono regular é formado por 5 triângulos iguais a esse:

\(A_{[PQRST]} = 5 \times A_{[SOR]} = 5 \times 12 = 60\)

A zona sombreada é a diferença entre a área do círculo e a do pentágono:

\(A_S = A_{\circ} - A_{[PQRST]} = 25\pi - 60 \approx 18{,}5\)
Resposta: \(A_S \approx 18{,}5\).
8
Teste Intermédio 8.º ano — 30.04.2008

Considera a figura ao lado, onde \(G\) é um ponto do segmento de reta \([BF]\), \([ABGH]\) é um quadrado, \([BCEF]\) é um quadrado, \(\overline{AH} = 6\) e \(\overline{FG} = 2\).

Dois quadrados [ABGH] e [BCEF]

Como se designa o quadrilátero \([ACDG]\)? Não justifiques a tua resposta.

Como os lados \([AC]\) e \([DG]\) são paralelos, o quadrilátero \([ACDG]\) tem exatamente um par de lados paralelos.

Resposta: \([ACDG]\) é um trapézio.
9
Teste Intermédio 9.º ano — 31.01.2008

Considera a figura ao lado, onde \([ABFG]\) é um quadrado de área 36, \([BCDE]\) é um quadrado de área 64 e \(F\) é um ponto do segmento de reta \([BE]\).

Dois quadrados [ABFG] e [BCDE] com zonas sombreadas

Qual é a área total das zonas sombreadas da figura?

(A) 64
(B) 66
(C) 68
(D) 70

As diagonais de um quadrado dividem-no em 4 triângulos congruentes (com a mesma área).

No quadrado \([ABFG]\), a zona sombreada corresponde a \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) da sua área:

\(A_{[ABFG]} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\)

No quadrado \([BCDE]\), a zona sombreada corresponde a \(\frac{3}{4}\) da sua área:

\(A_{[BCDE]} \times \dfrac{3}{4} = 64 \times \dfrac{3}{4} = 48\)

A área sombreada total é:

\(18 + 48 = 66\)
Resposta: (B) 66