Prova Modelo 8 - Treino Digital
A prova é composta por 18 itens, organizados de acordo com a seguinte estrutura de cotações para a classificação final:
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | 1. | 2.1. | 3. | 4.1. | 4.2. | 5. | 6. | 9. | 10. | 12. | 14. | 15. | Subtotal |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cotação (em pontos) | 12 | 14 | 12 | 12 | 14 | 12 | 14 | 14 | 12 | 14 | 14 | 14 | 158 |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final da prova os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | 2.2. | 2.3. | 7. | 8. | 11. | 13. | Subtotal | ||||||
| Cotação (em pontos) | 3 × 14 pontos | 42 | |||||||||||
Parte A — Itens Obrigatórios (158 pontos)
A pontuação destes 12 itens contribui obrigatoriamente para a classificação final.
Uma turma é constituída por 12 raparigas e 10 rapazes. Vão ser formadas comissões de 5 alunos para organizar uma viagem de estudo.
Quantas comissões diferentes se podem formar com exatamente 3 raparigas, sabendo que a delegada de turma (que é uma rapariga) tem obrigatoriamente de fazer parte da comissão?
Solução
Opção A. Como a delegada já está na comissão, precisamos de escolher mais 2 raparigas entre as restantes 11 (\(^{11}C_2\)) e 2 rapazes entre os 10 disponíveis (\(^{10}C_2\)).
Numa escola, 60% dos alunos praticam desporto e 35% tocam um instrumento musical. Sabe-se ainda que, entre os alunos que praticam desporto, 20% tocam um instrumento musical.
Escolhe-se um aluno ao acaso. Determine a probabilidade de esse aluno não praticar desporto, sabendo que não toca nenhum instrumento musical. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Solução
\(P(D) = 0{,}60\), \(P(M) = 0{,}35\), \(P(M|D) = 0{,}20\).
\(P(M \cap D) = 0{,}20 \times 0{,}60 = 0{,}12\).
Pretendemos \(P(\overline{D}|\overline{M}) = \frac{P(\overline{D} \cap \overline{M})}{P(\overline{M})}\).
\(P(\overline{D} \cap \overline{M}) = 1 - P(D \cup M) = 1 - (0{,}60 + 0{,}35 - 0{,}12) = 0{,}17\).
\(P(\overline{D}|\overline{M}) = \frac{0{,}17}{0{,}65} = \frac{17}{65}\).
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), definida por \(f(x) = \frac{\ln(1+3x)}{e^{2x}-1}\).
Qual é o valor exato de \(\lim_{x \to 0} f(x)\)?
Solução
Opção A. Quando \(x \to 0\), obtemos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\).
Usando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{e^{2x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+3x}}{2e^{2x}} = \frac{3}{2}. \]
Usando limites notáveis: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{e^{2x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\ln(1+3x)}{3x}\cdot 3x}{\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2x} = \frac{1\cdot 3}{1\cdot 2} = \frac{3}{2}. \]
Considere, em \(\mathbb{C}\), o número complexo \(w_2 = 5e^{i\frac{5\pi}{6}}\).
Qual é o valor numérico exato de \((w_2)^6\)?
Solução
Opção B. \((5e^{i\frac{5\pi}{6}})^6 = 5^6 \times e^{i5\pi} = 15625 \times (-1) = -15625\).
Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(z^3=-8i\).
Apresente as soluções na forma algébrica, justificando o processo utilizado.
Solução
Escrevemos \(-8i\) na forma trigonométrica: \(-8i=8e^{i\frac{3\pi}{2}}\).
As soluções de \(z^3=8e^{i\frac{3\pi}{2}}\) são dadas por \(z_k=2e^{i\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)}\), com \(k=0,1,2\).
Assim, \(z_0=2e^{i\frac{\pi}{2}}=2i\), \(z_1=2e^{i\frac{7\pi}{6}}=-\sqrt{3}-i\) e \(z_2=2e^{i\frac{11\pi}{6}}=\sqrt{3}-i\).
Logo, as soluções são \(2i\), \(-\sqrt{3}-i\) e \(\sqrt{3}-i\).
Considere a função \(f\), definida por \(f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)\).
Qual dos seguintes conjuntos é o domínio da função \(f\)?
Solução
Opção C. \(x^2 - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) > 0\). As raízes são 1 e 3, a concavidade é voltada para cima.
Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x) = x \cdot e^{-x^2}\).
Estude a função \(g\) quanto à monotonia e à existência de extremos relativos (apresentando os valores exatos dos mesmos).
Solução
\(g'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)\). Zeros em \(x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
A função decresce em \(]-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}[\) e \(]\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty[\); e cresce em \(]-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}[\).
Mínimo relativo: \(-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-1/2}\). Máximo relativo: \(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-1/2}\).
Considere a função \(h\), contínua no intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\), definida por \(h(x) = x\cos(x) - \sin(x) + 1\).
Mostre, sem recorrer à calculadora, que a equação \(h(x) = \frac{1}{2}\) tem pelo menos uma solução no intervalo \(]0, \frac{\pi}{2}[\).
Solução
\(h(0) = 0 - 0 + 1 = 1\).
\(h(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}(0) - 1 + 1 = 0\).
Como \(h\) é contínua em \([0, \frac{\pi}{2}]\) e \(\frac{1}{2} \in ]0, 1[\), então, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um \(c \in ]0, \frac{\pi}{2}[\) tal que \(h(c) = \frac{1}{2}\).
Fixado um referencial ortonormado \(Oxyz\), considere os vetores \(\vec{u} = (1, -2, 3)\) e \(\vec{v} = (k, 1, -1)\), onde \(k \in \mathbb{R}\).
Qual é o valor de \(k\) para que os vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) sejam perpendiculares?
Solução
Opção A. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff k - 2 - 3 = 0 \iff k = 5\).
Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x) = \frac{x^2 + \ln(x)}{x}\).
Determine a equação reduzida da assíntota oblíqua ao gráfico de \(f\), quando \(x \to +\infty\).
Solução
Cálculo do declive (\(m\)):
\(m = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2 + \ln(x)}{x^2} = \lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{\ln(x)}{x^2}\right) \)
Para o cálculo de \(\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}\), recorremos à separação algébrica para usar o limite notável:
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{\ln(x)}{x} \times \frac{1}{x}\right) = 0 \times 0 = 0\).
(Nota: em alternativa, como se trata de uma indeterminação \(\frac{\infty}{\infty}\), é possível aplicar a Regra de L'Hôpital: \(\lim_{x\to +\infty}\frac{1/x}{2x}=0\)).
Logo, \(m = 1 + 0 = 1\).
Cálculo da ordenada na origem (\(b\)):
\(b = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x^2+\ln(x)}{x} - x\right) = \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\) (limite notável).
A equação da assíntota oblíqua é \(y = x\).
No conjunto dos números complexos \(\mathbb{C}\), resolva a equação \(z^3 + 8 = 0\).
Determine, na forma algébrica, a raiz desta equação cuja imagem geométrica pertence ao quarto quadrante do plano complexo.
Solução
\(z^3 = -8 = 8e^{i\pi}\). As raízes cúbicas são \(z_k = 2e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{3}}\) para \(k \in \{0, 1, 2\}\).
Para \(k=2\), obtemos \(z_2 = 2e^{i\frac{5\pi}{3}}\), que pertence ao 4.º quadrante.
Passando à forma algébrica: \(2(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}\).
Calcule o valor exato do seguinte limite: \(\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)}\)
Solução
Quando \(x \to 0\), obtemos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\).
Usando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{2\cos(2x)} = \frac{3}{2}. \]
Usando limites notáveis: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot \frac{3x}{2x}\cdot \frac{2x}{\sin(2x)} = 1\cdot\frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}. \]
Parte B — Itens Opcionais (42 pontos)
Destes 6 itens, contribuem para a classificação final da prova apenas os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
Num saco, encontram-se \(n\) bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a \(n\) (\(n \ge 3\)). Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco. A probabilidade de os números das duas bolas retiradas serem ambos pares é igual a \(\frac{2}{9}\).
Determine o valor de \(n\), sabendo que \(n\) é um número par.
Solução
\(\frac{\frac{n}{2}}{n} \times \frac{\frac{n}{2}-1}{n-1} = \frac{2}{9} \iff \frac{1}{2} \times \frac{n-2}{2(n-1)} = \frac{2}{9} \iff \frac{n-2}{4n-4} = \frac{2}{9}\).
\(9(n-2) = 2(4n-4) \iff 9n - 18 = 8n - 8 \iff n = 10\).
Uma caixa contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Retiram-se, em simultâneo e ao acaso, três bolas da caixa.
Sabendo que pelo menos uma das bolas retiradas é branca, qual é a probabilidade de terem sido retiradas exatamente duas bolas brancas? Apresente o resultado em fração irredutível.
Solução
Seja \(A\): "Sair pelo menos uma branca" e \(B\): "Sair exatamente duas brancas". Queremos calcular \(P(B|A)\).
Casos possíveis de \(A\): \({}^{9}C_{3} - {}^{5}C_{3} = 84 - 10 = 74\) (total de combinações menos as combinações sem brancas).
Casos em que saem exatamente duas brancas: \({}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 6 \times 5 = 30\).
A probabilidade condicionada pedida é \(\frac{30}{74} = \frac{15}{37}\).
Considere a função \(f\), definida por \(f(x) = e^{-x^2}\). De entre todos os retângulos em que dois vértices adjacentes pertencem ao eixo \(Ox\) e os outros dois pertencem ao gráfico de \(f\), determine a área máxima que um desses retângulos pode ter.
Solução
Para os vértices \((-x, 0)\) e \((x, 0)\) com \(x > 0\), a altura é \(e^{-x^2}\). A área é dada por \(A(x) = 2x e^{-x^2}\).
A derivada é \(A'(x) = 2e^{-x^2} - 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(1 - 2x^2)\). O máximo ocorre para \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Área máxima: \(A(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{-1/2} = \sqrt{2} e^{-1/2} = \sqrt{\frac{2}{e}}\).
Determine, no intervalo \(]-\pi, \pi]\), as soluções da equação trigonométrica \(\sin(2x) - \cos(x) = 0\).
Solução
\(2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0 \iff \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0\).
Temos \(\cos(x) = 0 \lor \sin(x) = \frac{1}{2}\).
Em \(]-\pi, \pi]\): \(\cos(x)=0 \implies x = -\frac{\pi}{2} \lor x = \frac{\pi}{2}\). E \(\sin(x)=\frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} \lor x = \frac{5\pi}{6}\).
Conjunto solução: \(\{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\}\).
Num referencial ortonormado \(Oxyz\), considere o plano \(\alpha\) definido pela equação \(2x - y + 2z - 6 = 0\). Uma superfície esférica \(E\) tem centro na origem do referencial e é tangente ao plano \(\alpha\).
Determine a medida do raio da superfície esférica \(E\).
Solução
O raio da superfície esférica é igual à distância do centro (origem \(O(0,0,0)\)) ao plano \(\alpha\).
\(r = d(O, \alpha) = \frac{|2(0) - 1(0) + 2(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\).
Calcule o valor exato do seguinte limite da sucessão: \(\quad \lim \left( \frac{n+3}{n+1} \right)^{2n}\)
Solução
\(\lim \left( \frac{n+3}{n+1} \right)^{2n} = \lim \left( \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}} \right)^{2n} = \frac{\left( \lim (1+\frac{3}{n})^n \right)^2}{\left( \lim (1+\frac{1}{n})^n \right)^2} = \frac{(e^3)^2}{(e^1)^2} = \frac{e^6}{e^2} = e^4\).