Prova Modelo de Matemática A — 2026
Nível Desafio Extremo · 12.º Ano
Duração: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
Esta prova explora todos os temas do programa de Matemática A em vigor, com itens de dificuldade marcadamente acima do exame nacional típico. Destina-se a alunos que pretendem testar o domínio mais profundo do programa.
Indicações:
- Para cada resposta, identifique o item.
- É permitido o uso de calculadora gráfica.
- Nos itens de escolha múltipla, escreva a letra correspondente à opção correta.
- Nos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações. Quando não é pedida aproximação, apresente o valor exato.
- A prova inclui 12 itens (assinalados com ★) cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
FORMULÁRIO
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência: $\alpha r$
Área de sector circular: $\dfrac{\alpha r^{2}}{2}$
Área lateral de cone: $\pi r g$
Área de superfície esférica: $4\pi r^{2}$
Volume de pirâmide / cone: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de cilindro: $\pi r^{2}h$
Volume de esfera: $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
Progressões
P. aritmética: $S_{n}=\dfrac{u_{1}+u_{n}}{2}\times n$
P. geométrica: $S_{n}=u_{1}\times \dfrac{1-r^{n}}{1-r}$
Trigonometria
$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b$
Complexos
$(\rho\,e^{i\theta})^{n}=\rho^{n}\,e^{in\theta}$
$\sqrt[n]{\rho\,e^{i\theta}}=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$, $k\in\{0,\ldots,n-1\}$
Regras de derivação
$(u+v)'=u'+v'$ · $(uv)'=u'v+uv'$ · $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
$(u^{n})'=n\,u^{n-1}\,u'$ · $(\operatorname{sen}u)'=u'\cos u$ · $(\cos u)'=-u'\operatorname{sen}u$
$(\operatorname{tg}u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$ · $(e^{u})'=u'\,e^{u}$ · $(a^{u})'=u'\,a^{u}\ln a$
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ · $(\log_{a} u)'=\dfrac{u'}{u\ln a}$
Limites notáveis
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$ · $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ · $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{p}}=+\infty$ ($p\in\mathbb{R}$)
1. Considere sucessões reais $(u_{n})$ e $(v_{n})$.
★ 1.1. Seja $u_{n}=\dfrac{e^{1/n}-\cos(1/n)}{\operatorname{sen}(1/n)}$, com $n\in\mathbb{N}$. Qual é o valor de $\lim u_{n}$?
★ 1.2. Considere a sucessão $(v_{n})$ definida por $v_{1}=1$ e $\;v_{n+1}=\dfrac{3v_{n}+4}{v_{n}+3}\;$ para $n\in\mathbb{N}$. Admita que $0 (a) Mostre que $(v_{n})$ é estritamente crescente. (b) Justifique que $(v_{n})$ é convergente e determine $\lim v_{n}$.
2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere a sucessão $(u_{n})$, de termos positivos, definida por $u_{1}=3$ e $$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{1+2\,u_{n}},\quad n\in\mathbb{N}.$$
(a) Mostre que $\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_{n}}$ é uma constante e determine esse valor.
(b) Conclua que $\left(\dfrac{1}{u_{n}}\right)$ é uma progressão aritmética. Determine o seu termo geral e, a partir dele, o termo geral $u_{n}$.
(c) Calcule $\lim u_{n}$.
3. Considere a função $h$ definida em $\mathbb{R}^{+}$ por $h(x)=x^{x}$.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Estude $h$ quanto a:
- monotonia e extremos relativos;
- sentido das concavidades do seu gráfico;
- limites em $0^{+}$ e em $+\infty$, e existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
Sugestão: escreva $h(x)=e^{x\ln x}$.
★ 4. A tabela seguinte regista, para uma amostra de oito alunos do 12.º ano, a média das classificações ($x$, em pontos, escala 0–200) obtidas nos testes ao longo do ano letivo e a classificação obtida ($y$, em pontos) no exame nacional.
| $x$ | 92 | 108 | 116 | 125 | 134 | 148 | 162 | 175 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 85 | 112 | 120 | 128 | 140 | 155 | 168 | 180 |
Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço. Escreva, na folha de respostas, cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c).
A mediana de $x$ é I pontos. A amplitude interquartil de $y$ é II pontos. O coeficiente de correlação linear entre $x$ e $y$, arredondado às milésimas, é III. Usando a reta de regressão de $y$ em função de $x$ (parâmetros arredondados às milésimas), estima-se que um aluno com média $x=140$ obtenha, aproximadamente, IV pontos no exame.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 125 b) 129,5 c) 134 |
a) 45,5 b) 50 c) 56 |
a) 0,962 b) 0,995 c) 0,999 |
a) 142 b) 144 c) 156 |
5. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine, no intervalo $[0,\,2\pi]$, o conjunto solução da equação $$\operatorname{sen}^{4}x-\cos^{4}x=\operatorname{sen}(2x)-1.$$
Apresente as soluções na forma exata.
6. Considere a função $f$ definida em $\mathbb{R}$ por $f(x)=e^{\operatorname{sen}(x^{2})}$.
★ 6.1. Qual é o valor de $f'(\sqrt{\pi})$?
★ 6.2. Considere uma esfera de raio $R$ fixo. Pretende-se inscrever na esfera um cilindro reto (eixo passando pelo centro da esfera) de volume máximo. Determine, em função de $R$:
- o raio $r$ e a altura $h$ desse cilindro;
- o seu volume máximo $V_{\max}$.
7. Considere os atletas de uma equipa, identificados pelos números $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ (números inscritos nas suas camisolas).
★ 7.1. De um saco com bolas numeradas com os dez números acima, extraem-se, sucessivamente e sem reposição, $3$ bolas. Qual é a probabilidade de obter, pelo menos, dois números que sejam múltiplos de $3$?
★ 7.2. Vão escolher-se, ao acaso, $5$ dos $10$ atletas para iniciarem um jogo. Determine quantos grupos diferentes podem ser formados de modo que, simultaneamente:
- pelo menos um dos atletas tem número múltiplo de $3$;
- a soma dos números dos cinco atletas é par;
- nem todos os atletas têm número par.
8. Numa caixa estão três dados cúbicos, indistinguíveis ao tato, com faces numeradas de $1$ a $6$:
- o dado $A$ é equilibrado;
- o dado $B$ é viciado, com $P(\text{face }6)=\dfrac{1}{2}$ e cada uma das restantes faces com probabilidade $\dfrac{1}{10}$;
- o dado $C$ é viciado, com $P(\text{face }k)=\dfrac{k}{21}$ para $k=1,2,3,4,5,6$.
Retira-se um dado ao acaso e lança-se uma vez. Sabendo que o resultado obtido foi a face $6$, qual é a probabilidade de o dado lançado ter sido o dado $A$? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
★ 9. A concentração de um princípio ativo no sangue de um paciente, em mg/L, $t$ horas após a administração de uma dose única, é dada, aproximadamente, por $$C(t)=30\,t^{2}\,e^{-t/2},\quad t\in[0,\,12].$$
Recorrendo à calculadora, determine:
- o instante em que a concentração atinge o seu valor máximo, e esse valor máximo (em mg/L, arredondado às décimas);
- o intervalo de tempo (em horas e minutos) durante o qual a concentração se mantém acima de $20$ mg/L.
Na sua resposta:
- apresente equações/condições que permitam resolver o problema;
- represente, num referencial, o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes;
- apresente as coordenadas relevantes desses pontos arredondadas às milésimas.
★ 10. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, três vezes diferenciável. Sabe-se que:
- $f''(x)>0$ para todo $x\in\;]{-\infty},-1[$;
- $f''(x)<0$ para todo $x\in\;]-1,3[$;
- $f''(x)>0$ para todo $x\in\;]3,+\infty[$;
- $f(-1)=4$ e $f(3)=-1$.
Considere as proposições seguintes.
I. A função $f$ tem máximo absoluto em $x=-1$.
II. O gráfico de $f$ tem três pontos de inflexão.
Justifique que as proposições I e II são falsas. Apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.
11. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=(x+1)\,e^{x}$.
Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.
★ 11.1. Determine as abcissas dos pontos do gráfico de $f$ onde a reta tangente passa pela origem do referencial. Apresente as abcissas na forma exata.
11.2. Estude $f$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. Indique:
- o(s) intervalo(s) onde a concavidade está voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) onde a concavidade está voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão, caso exista(m).
★ 12. Considere, em $\mathbb{C}$, o número $z=1+i\sqrt{3}$.
Qual é o argumento principal (no intervalo $\;]{-\pi},\pi]$) de $z^{100}$?
13. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Em $\mathbb{C}$, considere a equação $\;z^{4}+16=0$.
(a) Resolva a equação, apresentando todas as soluções na forma $a+bi$, com $a,b\in\mathbb{R}$.
(b) Calcule o produto das soluções cuja parte imaginária é positiva.
★ 14. Seja $f$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, tal que, para todos $x,y\in\mathbb{R}^{+}$, $$f(xy)=f(x)+f(y),$$ e $f'(1)=1$.
Prove que:
(a) $f(1)=0$ e $f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}^{+}$;
(b) $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ para todo $x\in\mathbb{R}^{+}$, utilizando a definição de derivada e a propriedade funcional dada;
(c) $f(x)=\ln x$ para todo $x\in\mathbb{R}^{+}$. Sugestão para (c): considere a função auxiliar $g(x)=f(x)-\ln x$ e aplique um teorema apropriado.
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | Subtotal | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.1. | 1.2. | 4. | 6.1. | 6.2. | 7.1. | 7.2. | 9. | 10. | 11.1. | 12. | 14. | ||
| 12 | 14 | 12 | 12 | 14 | 12 | 14 | 14 | 14 | 14 | 12 | 14 | 158 | |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | Subtotal | ||||||||||||
| 2. | 3. | 5. | 8. | 11.2. | 13. | ||||||||
| $3\times 14$ pontos | 42 | ||||||||||||
| TOTAL | 200 | ||||||||||||
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