Prova Modelo de Matemática A — 2026
Nível Desafio Avançado · 12.º Ano
Duração: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
Esta prova tem grau de dificuldade superior ao de um exame nacional típico, destinando-se à preparação intensiva para alunos que pretendem classificações de excelência.
Indicações:
- Para cada resposta, identifique o item.
- É permitido o uso de calculadora gráfica.
- Nos itens de escolha múltipla, escreva a letra correspondente à opção correta.
- Nos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações. Quando não é pedida aproximação, apresente o valor exato.
- A prova inclui 12 itens (assinalados com ★) cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
FORMULÁRIO
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência: $\alpha r$ ($\alpha$ — amplitude em radianos; $r$ — raio)
Área de um polígono regular: Semiperímetro $\times$ Apótema
Área de um sector circular: $\dfrac{\alpha r^{2}}{2}$
Área lateral de um cone: $\pi r g$ ($g$ — geratriz)
Área de uma superfície esférica: $4\pi r^{2}$
Volume de uma pirâmide / cone: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de uma esfera: $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
Progressões
P. aritmética: $S_{n}=\dfrac{u_{1}+u_{n}}{2}\times n$
P. geométrica: $S_{n}=u_{1}\times \dfrac{1-r^{n}}{1-r}$
Trigonometria
$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b$
Complexos
$(\rho\,e^{i\theta})^{n}=\rho^{n}\,e^{in\theta}$
$\sqrt[n]{\rho\,e^{i\theta}}=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$, $k\in\{0,\ldots,n-1\}$
Regras de derivação
$(u+v)'=u'+v'$ · $(uv)'=u'v+uv'$ · $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
$(u^{n})'=n\,u^{n-1}\,u'$ · $(\operatorname{sen}u)'=u'\cos u$ · $(\cos u)'=-u'\operatorname{sen}u$
$(\operatorname{tg}u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$ · $(e^{u})'=u'\,e^{u}$ · $(a^{u})'=u'\,a^{u}\ln a$
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ · $(\log_{a} u)'=\dfrac{u'}{u\ln a}$
Limites notáveis
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$ · $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ · $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{p}}=+\infty$ ($p\in\mathbb{R}$)
1. Considere uma sucessão $(u_{n})$ de termos reais.
★ 1.1. Seja $u_{n}=\left(\dfrac{n+3}{n-1}\right)^{\!2n}$, com $n\geq 2$. Qual é o valor de $\displaystyle\lim u_{n}$?
★ 1.2. Considere a sucessão $(v_{n})$ de termos positivos definida por $v_{1}=5$ e $$v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(v_{n}+\dfrac{16}{v_{n}}\right),\quad n\in\mathbb{N}.$$
Admita que $v_{n}\geq 4$ para todo $n\in\mathbb{N}$ (resultado que decorre da desigualdade das médias).
(a) Mostre que $(v_{n})$ é monótona decrescente.
(b) Justifique que $(v_{n})$ é convergente e determine $\lim v_{n}$.
2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
De uma progressão geométrica $(a_{n})$, de termos positivos e monótona crescente, sabe-se que $$a_{2}\cdot a_{5}=32 \quad\text{e}\quad a_{3}+a_{4}=12.$$
Determine o termo geral $a_{n}$ e calcule $\displaystyle S_{10}=\sum_{n=1}^{10}a_{n}$.
3. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere a função $h$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por $$h(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}.$$
Faça o estudo completo da função $h$, indicando, justificadamente:
- os intervalos de monotonia e os extremos relativos;
- o sentido das concavidades e os pontos de inflexão do seu gráfico;
- as equações das assíntotas, paralelas aos eixos coordenados, ao gráfico de $h$.
★ 4. Na tabela seguinte apresentam-se, para uma amostra de oito alunos do 12.º ano, o número de horas semanais dedicadas ao estudo de Matemática A ($x$) e a respetiva classificação obtida na 1.ª fase do exame nacional ($y$, em pontos, escala 0–200).
| $x$ (h) | 6 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (pts) | 95 | 110 | 125 | 130 | 145 | 160 | 170 | 175 |
Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço. Escreva, na folha de respostas, cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c).
A mediana do número de horas semanais é I horas. A amplitude interquartil de $y$ é II pontos. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$, o coeficiente de correlação linear, arredondado às milésimas, é III. Com base nesse modelo (parâmetros arredondados às milésimas), estima-se que um aluno que dedique $14$ horas semanais ao estudo obtenha, aproximadamente, IV pontos.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 12 b) 13,5 c) 15 |
a) 50 b) 55 c) 60 |
a) 0,968 b) 0,987 c) 0,996 |
a) 138 b) 144 c) 152 |
5. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine, no intervalo $[0,\,2\pi]$, o conjunto solução da equação $$\cos(2x)+3\operatorname{sen}x-2=0.$$
Apresente as soluções na forma exata.
6. Considere a função $f$, de domínio $\;\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$, definida por $f(x)=\ln(\operatorname{sen}(2x))$.
★ 6.1. Qual é o valor de $f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$?
★ 6.2. Pretende-se construir uma caixa, sem tampa, com base quadrada e volume igual a $32\,\text{dm}^{3}$. Sendo $x$ (em dm) a aresta da base, determine o valor de $x$ que minimiza a área da superfície da caixa e indique essa área mínima.
7. Numa caixa estão $5$ bolas brancas e $7$ bolas pretas, indistinguíveis ao tato.
★ 7.1. Extraem-se, sucessivamente e sem reposição, $4$ bolas da caixa. Qual é a probabilidade de as cores das bolas extraídas surgirem em sequência alternada (branca-preta-branca-preta ou preta-branca-preta-branca)?
★ 7.2. Considere todos os números naturais com sete algarismos diferentes, formados com os algarismos $\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Determine quantos desses números verificam, simultaneamente, as três condições:
- são pares;
- os algarismos $2$ e $4$ estão em posições adjacentes;
- os algarismos $1$ e $7$ não estão em posições adjacentes.
8. Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória, com $P(A)>0$ e $P(B)>0$. Sabe-se que:
- $P(A\cup B)=\dfrac{11}{12}$;
- $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$;
- $P(A\mid \bar{B})=\dfrac{2}{3}$.
Determine $P(A)$ e $P(B)$. Apresente os resultados na forma de fração irredutível.
★ 9. Num porto, a altura da água, em metros, em função do tempo $t$ (em horas, $t\in[0,24]$, contado a partir das $00\!:\!00$), é modelada, com aproximação, por $$h(t)=2+1{,}5\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)+0{,}3\,\cos(t),$$ estando os argumentos das funções trigonométricas expressos em radianos.
Nas primeiras $6$ horas do dia, há um intervalo de tempo durante o qual a altura da água é superior a $3$ metros.
Determine, recorrendo à calculadora, a duração desse intervalo. Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.
Na sua resposta:
- apresente uma condição que permita resolver o problema;
- represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes;
- apresente as coordenadas relevantes desses pontos arredondadas às centésimas.
★ 10. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, duas vezes diferenciável. Sabe-se que:
- a função $f''$ é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$;
- $f''(0)=0$.
Considere as proposições seguintes.
I. O gráfico de $f$ tem concavidade voltada para baixo em todo o domínio.
II. O gráfico de $f$ tem, exatamente, dois pontos de inflexão.
Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.
11. Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$g(x)=\operatorname{sen}(2x)-2\operatorname{sen}x.$$
Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.
★ 11.1. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $x=\dfrac{\pi}{3}$.
11.2. Estude a função $g$, no intervalo $[0,\,2\pi]$, quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. Apresente, justificadamente:
- os intervalos de monotonia;
- as abcissas e os valores dos extremos relativos.
★ 12. Considere, em $\mathbb{C}$, os números complexos $z_{1}=1+i$ e $z_{2}=-\sqrt{3}+i$.
Qual é o argumento principal de $\;\dfrac{z_{1}^{6}}{z_{2}^{4}}\;$ ?
13. Considere, em $\mathbb{C}$, a equação $z^{5}=32\,i$.
(a) Resolva a equação, apresentando as raízes na forma exponencial $\rho\,e^{i\theta}$, com $\rho\in\mathbb{R}^{+}$ e $\theta\in\;]{-\pi},\pi]$.
(b) Os afixos das cinco raízes da equação são vértices de um pentágono regular inscrito numa circunferência. Determine o perímetro desse pentágono. Apresente o resultado arredondado às centésimas (pode recorrer à calculadora).
★ 14. Seja $f$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb{R}$, tal que, para todos os números reais $x$ e $y$, $$f(x+y)=f(x)\cdot f(y),$$ e $f(0)\ne 0$.
Prove que:
(a) $f(0)=1$;
(b) $f(x)\ne 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$;
(c) $f'(x)=f'(0)\cdot f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$.
Sugestão: na alínea (c), use a definição de derivada e a propriedade funcional dada.
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | Subtotal | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.1. | 1.2. | 4. | 6.1. | 6.2. | 7.1. | 7.2. | 9. | 10. | 11.1. | 12. | 14. | ||
| 12 | 14 | 12 | 12 | 14 | 12 | 14 | 14 | 14 | 14 | 12 | 14 | 158 | |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | Subtotal | ||||||||||||
| 2. | 3. | 5. | 8. | 11.2. | 13. | ||||||||
| $3\times 14$ pontos | 42 | ||||||||||||
| TOTAL | 200 | ||||||||||||
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