Exame Modelo 3 de Matemática A — 2026
(inspirado na estrutura da Prova 635 — 2.ª Fase 2025)
Decreto-Lei n.º 55/2018, de 6 de julho · Decreto-Lei n.º 62/2023, de 25 de julho
Duração: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
A prova inclui 12 itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
Indicações:
- Para cada resposta, identifique o item.
- Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
- Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.
- É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
- Apresente apenas uma resposta para cada item.
- Nos itens de escolha múltipla, escreva a letra correspondente à opção correta.
- Nos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações. Quando não é pedida aproximação, apresente sempre o valor exato.
FORMULÁRIO
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência: $\alpha r$ ($\alpha$ — amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; $r$ — raio)
Área de um polígono regular: Semiperímetro $\times$ Apótema
Área de um setor circular: $\dfrac{\alpha r^{2}}{2}$ ($\alpha$ — amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; $r$ — raio)
Área lateral de um cone: $\pi r g$ ($r$ — raio da base; $g$ — geratriz)
Área de uma superfície esférica: $4\pi r^{2}$ ($r$ — raio)
Volume de uma pirâmide: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de um cone: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de uma esfera: $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ ($r$ — raio)
Progressões
Soma dos $n$ primeiros termos de uma p. aritmética: $\dfrac{u_{1}+u_{n}}{2}\times n$
Soma dos $n$ primeiros termos de uma p. geométrica: $u_{1}\times \dfrac{1-r^{n}}{1-r}$
Trigonometria
$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\,\cos b+\operatorname{sen}b\,\cos a$
$\cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b$
Complexos
$(\rho e^{i\theta})^{n}=\rho^{n}\,e^{in\theta}$
$\sqrt[n]{\rho e^{i\theta}}=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\,,\ k\in\{0,\ldots,n-1\},\ n\in\mathbb{N}$
Regras de derivação
$(u+v)'=u'+v'$
$(u\cdot v)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
$(u^{n})'=n\,u^{n-1}\,u'$ ($n\in\mathbb{R}$)
$(\operatorname{sen}u)'=u'\cos u$
$(\cos u)'=-u'\operatorname{sen}u$
$(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$
$(e^{u})'=u'\,e^{u}$
$(a^{u})'=u'\,a^{u}\,\ln a$ ($a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$)
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
$(\log_{a}u)'=\dfrac{u'}{u\,\ln a}$ ($a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$)
Limites notáveis
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$ ($n\in\mathbb{N}$)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{p}}=+\infty$ ($p\in\mathbb{R}$)
1. Qual é o limite da sucessão de termo geral $$u_{n}=\left(\dfrac{n+3}{n-1}\right)^{2n}\ ?$$
2. Na tabela seguinte, apresentam-se os dados referentes às vendas mensais, em milhares de euros, registadas em duas lojas distintas, A e B, de uma mesma cadeia, no primeiro semestre de um determinado ano.
| Mês | Loja A (mil €) | Loja B (mil €) |
|---|---|---|
| Janeiro | 18,5 | 22,4 |
| Fevereiro | 17,2 | 21,1 |
| Março | 19,8 | 24,0 |
| Abril | 21,3 | 26,1 |
| Maio | 20,7 | 25,2 |
| Junho | 22,5 | 27,8 |
Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.
Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.
A mediana das vendas da loja B excede a mediana das vendas da loja A em I mil euros.
Considerando as vendas da loja A, há II meses em que as vendas foram superiores à soma da média com o respetivo desvio padrão.
O coeficiente de correlação linear entre as vendas da loja A e as vendas da loja B, arredondado às centésimas, é III.
Admitindo a validade do modelo de regressão linear das vendas da loja B em função das vendas da loja A, e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, estima-se que, num mês em que as vendas da loja A tenham sido de 21,00 mil euros, as vendas da loja B sejam, aproximadamente, IV mil euros.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 3,10 | a) um | a) 0,87 | a) 24,55 |
| b) 4,35 | b) dois | b) 0,99 | b) 25,70 |
| c) 5,80 | c) três | c) 3,54 | c) 27,12 |
3. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\ln(1-2x)}{x}, & \text{se } x\lt 0\\[6pt] -2, & \text{se } x=0\\[4pt] \dfrac{e^{-2x}-1}{x\cos x}, & \text{se } x\gt 0 \end{cases} $$
Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.
3.1. Averigue se a função $f$ é contínua em $x=0$.
3.2. Considere agora a função $g$, de domínio $\mathbb{R}^{+}$, definida por $$g(x)=\dfrac{2x^{2}+x+\ln(x+1)}{x}.$$
Mostre que a reta de equação $y=2x+1$ é assíntota ao gráfico da função $g$ quando $x\to+\infty$.
4. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine os números reais que são solução da equação $$e^{x}\ln(3-x)-2\ln(3-x)-e^{x}+2=0.$$
5. Seja $E$ um conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A\subset E$ e $B\subset E$).
Sabe-se que:
- $P(A\cup B)=0{,}8$;
- $P(A\cap \overline{B})=0{,}3$;
- $P(B\mid A)=0{,}4$.
Qual é o valor de $P(\overline{A}\cap B)$?
6. Numa turma do 12.º ano, constituída por 24 alunos, sabe-se que:
- $\dfrac{5}{8}$ dos alunos são raparigas;
- 3 rapazes e 5 raparigas pertencem ao Clube de Teatro da escola.
Pretende-se constituir, ao acaso, uma comissão de 5 alunos da turma.
Determine a probabilidade de a comissão ser constituída por exatamente 2 rapazes e 3 raparigas e ter pelo menos um aluno do Clube de Teatro.
Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.
7.
Na Figura 1, estão representados, no plano complexo, os afixos $Z_{1}$ e $Z_{2}$ dos números complexos $z_{1}$ e $z_{2}$, respetivamente.
Sabe-se que:
- $|z_{1}|=2$;
- $|z_{2}|=3$;
- o ângulo orientado de $z_{1}$ para $z_{2}$ tem amplitude $\dfrac{2\pi}{3}$ rad.
Qual é uma forma trigonométrica de $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$?
8. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $$z=\dfrac{(1+i)^{4}}{2-2i\sqrt{3}}+b\,e^{i\pi/2},\quad b\in\mathbb{R}.$$
Sabe-se que $\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z)$.
Determine $z$ na forma trigonométrica.
9.
Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência de centro $O$ e raio 1, e o quadrilátero $[OABD]$, onde:
- $A=(1,0)$;
- $B$ pertence ao 1.º quadrante da circunferência;
- $D$ é a projeção ortogonal de $B$ sobre o eixo $Oy$;
- $\alpha$ é a amplitude, em radianos, do ângulo $A\widehat{O}B$, com $\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$.
Mostre que a área do quadrilátero $[OABD]$ é dada, em função de $\alpha$, por $$\dfrac{\operatorname{sen}(2\alpha)+2\operatorname{sen}\alpha}{4}.$$
10. Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $V$.
Sabe-se que:
- $AB=4$;
- o centro da base da pirâmide, $M$, tem coordenadas $(1,1,2)$;
- o vértice $V$ tem cota positiva;
- o plano $ABC$ é definido pela equação $x+y-z=0$;
- o volume da pirâmide é $16\sqrt{3}$.
10.1. Qual é o valor do produto escalar $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$?
10.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do vértice $V$.
10.3. Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide $[ABCDV]$, dispondo-se, para o efeito, de seis cores distintas.
Todas as condições seguintes deverão ser respeitadas:
- cada face é pintada com uma só cor;
- são utilizadas exatamente quatro das seis cores disponíveis;
- a base e cada face lateral têm cores diferentes;
- duas faces laterais que partilhem uma aresta têm cores diferentes.
A expressão seguinte representa o número total de formas possíveis de pintar as cinco faces da pirâmide respeitando as condições enunciadas:
${}^{6}C_{4}\times 4\times \dfrac{4!}{2}$
Explique, no contexto descrito, cada um dos fatores desta expressão.
11. Seja $g$ uma função duas vezes diferenciável em $\mathbb{R}$, cuja primeira derivada é definida por $$g'(x)=-x\,e^{-x^{2}/2}.$$
Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.
11.1. Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função $g$ tem concavidade voltada para cima;
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função $g$ tem concavidade voltada para baixo;
- as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função $g$.
11.2. Considere agora a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\ln(x^{2}+1)$.
Determine os valores reais de $b$ para os quais a reta de equação $y=-x+b$ é tangente ao gráfico da função $f$.
12. Admita que a receita mensal, $R$, em milhares de euros, de uma empresa, $t$ meses após o seu lançamento, é dada, aproximadamente, por $$R(t)=1500+200t\,e^{-0{,}15t},\quad t\in[0,30].$$
De acordo com este modelo, determine, recorrendo à calculadora, o período de tempo, em meses, durante o qual a receita mensal foi igual ou superior a 1700 mil euros.
Apresente o resultado em meses, arredondado às unidades.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
- represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s);
- apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.
13. Na Figura 4, apresentam-se as quatro primeiras composições geométricas da construção do Triângulo de Sierpiński, a partir de um triângulo equilátero de lado 8.
Tal como a figura sugere, nesta construção:
- a 1.ª composição é um triângulo equilátero de lado 8;
- a 2.ª composição obtém-se decompondo o triângulo da 1.ª composição em 4 triângulos equiláteros iguais e removendo o triângulo central;
- cada uma das composições seguintes obtém-se decompondo cada um dos triângulos obtidos na composição anterior em 4 triângulos equiláteros iguais e removendo o triângulo central de cada um deles.
Admita que se continuava a construção, de acordo com o procedimento descrito, até se obter a 10.ª composição.
Determine a área da 10.ª composição, ou seja, a área total dos triângulos que formam essa composição.
Apresente o valor pedido arredondado às centésimas.
14. Seja $f$ uma função contínua em $[0,1]$, tal que $f(0)=1$ e $f(1)=0$.
Mostre que existem pelo menos dois números reais $c_{1},c_{2}\in\left]0,1\right[$ tais que $$f(c_{1})=2c_{1}\quad\text{e}\quad f(c_{2})=c_{2}^{2}.$$
15. Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ por $$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx,$$ com $a,b,c\in\mathbb{R}$ e $a\neq0$.
Sabe-se que o gráfico de $f$ tem um único ponto de inflexão $P$, de abcissa $x_{0}$.
Mostre que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $P$ tem declive $$m=c-\dfrac{b^{2}}{3a}.$$
FIM
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 2. | 3.1. | 3.2. | 5. | 7. | 10.1. | 10.2. | 10.3. | 11.1. | 12. | 14. | Subtotal |
| 12 | 12 | 14 | 14 | 12 | 12 | 12 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 158 |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4. | 6. | 8. | 9. | 11.2. | 13. | Subtotal | Total |
| 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 3 × 14 = 42 | 200 |