Exame Modelo 2 de Matemática A — 2026
Dificuldade elevada
Baseado na estrutura do Decreto-Lei n.º 55/2018, de 6 de julho
Duração: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
A prova inclui 12 itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
Indicações:
- Para cada resposta, identifique o item.
- Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor.
- É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
- Apresente apenas uma resposta para cada item.
- Nos itens de escolha múltipla, escreva o número do item e a letra que identifica a opção correta.
- Nos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações. Quando não é pedida aproximação, apresente sempre o valor exato.
FORMULÁRIO
Geometria
Comprimento de um arco: $\ell=\alpha r$
Área de um setor circular: $\dfrac{\alpha r^2}{2}$
Área lateral de um cone: $\pi rg$
Área de uma superfície esférica: $4\pi r^2$
Volume de uma pirâmide: $\dfrac13\times\text{Área da base}\times\text{Altura}$
Volume de um cone: $\dfrac13\times\text{Área da base}\times\text{Altura}$
Volume de uma esfera: $\dfrac43\pi r^3$
Regras de derivação
$(u+v)'=u'+v'$
$(uv)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$(u^n)'=n u^{n-1}u'$
$(\sin u)'=u'\cos u$
$(\cos u)'=-u'\sin u$
$(e^u)'=u'e^u$
$(a^u)'=u'a^u\ln a$
$(\ln u)'=\dfrac{u'}u$
$(\log_a u)'=\dfrac{u'}{u\ln a}$
Limites notáveis
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=e$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^p}=0,\ p\in\mathbb R^+$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^p}=+\infty,\ p\in\mathbb R$
Trigonometria
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
Progressões
P. aritmética: $S_n=\dfrac{u_1+u_n}{2}\,n$
P. geométrica: $S_n=u_1\dfrac{1-r^n}{1-r}$, $r\ne1$
Complexos
$(\rho e^{i\theta})^n=\rho^n e^{in\theta}$
$\sqrt[n]{\rho e^{i\theta}}=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}$
Combinatória e Probabilidade
${}^{n}C_p=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ ${}^{n}A_p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$
$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
1. Qual é o limite da sucessão de termo geral $$u_n=\left(\dfrac{n+2}{n-1}\right)^{3n}\,?$$
2. Considere uma progressão geométrica $(v_n)$, com razão $r>0$ e primeiro termo $v_1>0$, tal que:
- $v_2+v_4=30$;
- $v_1\cdot v_2\cdot v_3=125$.
Determine $v_1$ e $r$.
3. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Seja $h$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb R$, cuja derivada $h'$ é dada por
$$h'(x)=(x^2-4)e^{-x}.$$Estude a função $h$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $h$ tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $h$ tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $h$, caso existam.
4. Considere a função $g$, de domínio $\mathbb R$, definida por
$$g(x)=\begin{cases} \dfrac{e^{x-1}-1}{x^2-1}, & x<1,\\[5pt] \dfrac12, & x=1,\\[5pt] 3^{x-1}-\dfrac12, & x>1. \end{cases}$$Resolva os itens 4.1. e 4.2. sem recorrer à calculadora.
4.1. Averigue se a função $g$ é contínua em $x=1$.
4.2. Resolva, no intervalo $\,]1,+\infty[$, a equação
$$\log_3\!\left(2g(x)+1\right)=2x-4.$$5. Um grupo de alunos inscreveu-se num programa que oferece as disciplinas de xadrez e de natação.
5.1. Oito dos alunos do grupo vão sentar-se numa fila de cadeiras numeradas de 1 a 8. A Beatriz, o Carlos e a Diana são três desses alunos.
De quantas formas diferentes se podem dispor os oito alunos, de modo que a Beatriz fique à esquerda do Carlos e o Carlos fique à esquerda da Diana (não necessariamente em lugares consecutivos)?
5.2. No momento da inscrição, todos os alunos do grupo responderam a um questionário sobre a prática de xadrez e de natação.
De acordo com as respostas ao questionário:
- $48\%$ praticavam xadrez;
- $30\%$ praticavam natação e não praticavam xadrez;
- $\dfrac34$ dos que praticavam xadrez também praticavam natação.
Selecionou-se, ao acaso, um aluno que, no questionário, tinha respondido que não praticava natação.
Determine a probabilidade de esse aluno, no questionário, também ter respondido que praticava xadrez. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
5.3. Considere que, no grupo, há 90 alunos com 15 ou 16 anos de idade, sendo o número de alunos com 16 anos maior do que o número de alunos com 15 anos.
Para realizar uma determinada tarefa, vão ser selecionados, aleatoriamente, dois desses alunos.
Sabe-se que a probabilidade de selecionar dois alunos com a mesma idade é $\dfrac{49}{89}$.
Determine o número de alunos com 15 anos que há no grupo.
6. Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o tetraedro $[OABC]$, onde $O$ é a origem.
Sabe-se que:
- $A$, $B$ e $C$ pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos $Ox$, $Oy$ e $Oz$;
- $OA=10$ e $OB=12$;
- a reta $r$, que passa por $O$ e é perpendicular à face $[ABC]$, tem equação vetorial $(x,y,z)=k(6,5,4)$, $k\in\mathbb R$;
- o plano que contém a face $[ABC]$ tem equação $6x+5y+az=b$, com $a,b\in\mathbb R^+$.
Figura 1
6.1. Qual das seguintes opções indica os valores de $a$ e de $b$?
6.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do ponto $C$.
7. Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, uma circunferência de centro na origem e raio $r$, e os pontos $A$, $P$ e $Q$ pertencentes à circunferência.
Sabe-se que:
- o ponto $A$ tem coordenadas $(3,0)$;
- o ângulo orientado $\widehat{AOQ}$ tem amplitude $\alpha$, com $\alpha\in\,]\pi,\tfrac{3\pi}{2}[$;
- os pontos $P$ e $Q$ têm a mesma ordenada;
- $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\dfrac92$.
Determine o valor de $\cos(2\alpha)$.
Figura 2
8. Uma empresa de engenharia está a testar um novo modelo de foguete. Após o lançamento, a altitude do foguete, em metros, é dada, a cada instante $t$, em segundos, por
$$a(t)=150t-15t\ln(1+t)-5t^2,\qquad t\in[0,12].$$Determine, utilizando a calculadora gráfica, o instante a partir do qual, durante 2 segundos, o foguete sobe 80 metros.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas. Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
- represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s).
9. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Sejam $f$ e $g$ duas funções duas vezes diferenciáveis, de domínios $\mathbb R$ e $\,]0,+\infty[$, respetivamente, e seja $r$ a reta de equação $y=3x-2$.
Sabe-se que:
- a reta $r$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $1$;
- $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-3x+2\bigr)=0$;
- nos respetivos domínios, o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima e o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo.
Considere as proposições seguintes:
I. O gráfico da função $f$ admite a reta $r$ como assíntota quando $x\to+\infty$.
II. $g'(x)\ge3$, para todo o $x\in\,]0,+\infty[$.
III. $f''(x)\le g''(x)$, para todo o $x\in\,]0,+\infty[$.
Justifique que as proposições I, II e III são falsas. Apresente, para cada uma, uma razão que justifique a sua falsidade.
10. Considere, no plano complexo, os pontos $A$ e $B$, afixos dos números complexos $z$ e $w$, respetivamente, e o ponto $O$, origem do referencial.
Sabe-se que:
- $\operatorname{Im}(z)=\operatorname{Re}(z)>0$;
- o ângulo convexo $\widehat{AOB}$ tem amplitude $\dfrac\pi2$ radianos, sendo $B$ um ponto do 2.º quadrante.
Qual dos valores seguintes é um argumento de $w\cdot z^2$?
11. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, em $\mathbb C$, o número complexo
$$w=\dfrac{(1+i\sqrt3)^3}{2i}.$$Determine, em $\mathbb C$, as soluções da equação $z^2=w$.
Apresente os valores pedidos na forma $a+bi$, com $a,b\in\mathbb R$.
12. Seja $f$ a função, de domínio $[0,\pi]$, definida por
$$f(x)=\sin(2x)-\sqrt3\cos(2x),$$e seja $r$ a reta de equação $y=4x-2\pi$.
12.1. Qual das expressões seguintes define a função derivada de $f$?
12.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.
Mostre, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função $f$ interseta a reta $r$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $\,]\tfrac\pi2,\tfrac{2\pi}{3}[$.
13. Sejam $a$ e $b$ números reais, não nulos, tais que a reta de equação $y=ax+b$ é tangente ao gráfico da função $f$ no ponto de abcissa $x=0$, sendo $f$ a função, de domínio $\mathbb R$, definida por
$$f(x)=ae^x+bx^2.$$Determine as coordenadas do ponto de tangência.
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | Subtotal | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 3. | 4.1. | 5.1. | 5.3. | 6.1. | 6.2. | 8. | 9. | 10. | 12.1. | 13. | |
| 12 | 14 | 14 | 12 | 14 | 12 | 14 | 14 | 14 | 12 | 12 | 14 | 158 |
| Dos restantes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | Subtotal | |||||||||||
| 2. | 4.2. | 5.2. | 7. | 11. | 12.2. | |||||||
| $3\times14$ pontos | 42 | |||||||||||
| TOTAL | 200 | |||||||||||
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