Exame Modelo 1 de Matemática A — 2026
(inspirado na estrutura da Prova 635 — 1.ª Fase 2025)
Decreto-Lei n.º 55/2018, de 6 de julho · Decreto-Lei n.º 62/2023, de 25 de julho
Duração: 150 minutos · Tolerância: 30 minutos
A prova inclui 12 itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.
Indicações:
- Para cada resposta, identifique o item.
- É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.
- Apresente apenas uma resposta para cada item.
- Nos itens de escolha múltipla, escreva a letra correspondente à opção correta.
- Nos restantes itens, apresente todos os cálculos e justificações. Quando não é pedida aproximação, apresente sempre o valor exato.
FORMULÁRIO
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência: $\alpha r$ ($\alpha$ — amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; $r$ — raio)
Área de um polígono regular: Semiperímetro $\times$ Apótema
Área de um setor circular: $\dfrac{\alpha r^{2}}{2}$ ($\alpha$ — amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; $r$ — raio)
Área lateral de um cone: $\pi r g$ ($r$ — raio da base; $g$ — geratriz)
Área de uma superfície esférica: $4\pi r^{2}$ ($r$ — raio)
Volume de uma pirâmide: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de um cone: $\dfrac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{Altura}$
Volume de uma esfera: $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ ($r$ — raio)
Progressões
Soma dos $n$ primeiros termos de uma p. aritmética: $\dfrac{u_{1}+u_{n}}{2}\times n$
Soma dos $n$ primeiros termos de uma p. geométrica: $u_{1}\times \dfrac{1-r^{n}}{1-r}$
Trigonometria
$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\,\cos b+\operatorname{sen}b\,\cos a$
$\cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b$
Complexos
$(\rho e^{i\theta})^{n}=\rho^{n}\,e^{in\theta}$
$\sqrt[n]{\rho e^{i\theta}}=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\,,\ k\in\{0,\ldots,n-1\},\ n\in\mathbb{N}$
Regras de derivação
$(u+v)'=u'+v'$
$(u\cdot v)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
$(u^{n})'=n\,u^{n-1}\,u'$ ($n\in\mathbb{R}$)
$(\operatorname{sen}u)'=u'\cos u$
$(\cos u)'=-u'\operatorname{sen}u$
$(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}$
$(e^{u})'=u'\,e^{u}$
$(a^{u})'=u'\,a^{u}\,\ln a$ ($a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$)
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
$(\log_{a} u)'=\dfrac{u'}{u\,\ln a}$ ($a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$)
Limites notáveis
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$ ($n\in\mathbb{N}$)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{p}}=+\infty$ ($p\in\mathbb{R}$)
1. Qual é o limite da sucessão de termo geral $\;u_{n}=\left(1-\dfrac{2}{5n}\right)^{4n}$ ?
2. Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$g(x)=\begin{cases} x^{2}+1 & \text{se } x\leq 0 \\[2pt] 1+\operatorname{sen}x & \text{se } x>0 \end{cases}$$
Resolva os itens 2.1. e 2.2. sem recorrer à calculadora.
2.1. Averigue se a função $g$ é contínua em $x=0$.
2.2. Estude, no intervalo $\;]0,\,2\pi[$, a função $g$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de $x$ para os quais a função $g$ tem extremos relativos.
3. O produto do terceiro elemento pelo antepenúltimo elemento de uma dada linha do triângulo de Pascal é $784$.
Qual é o quarto elemento da linha seguinte?
★ 4. Numa escola, alguns alunos frequentam xadrez e outros frequentam robótica, entre outras atividades extracurriculares.
Relativamente a estes alunos, sabe-se que:
- $70\%$ estão inscritos em xadrez;
- $18\%$ estão inscritos em robótica e não estão inscritos em xadrez;
- $40\%$ dos inscritos em robótica também estão inscritos em xadrez.
Selecionou-se, ao acaso, um aluno que não está inscrito em robótica.
Determine a probabilidade de esse aluno estar inscrito em xadrez. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.
5. Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao tempo de treino semanal, $x$, em horas, e ao correspondente número de exercícios corretamente resolvidos, $y$, de uma amostra de oito alunos.
| $x$ (horas) | 6,84 | 7,05 | 7,29 | 7,56 | 7,84 | 8,02 | 8,25 | 8,47 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (exerc.) | 29,10 | 29,20 | 30,60 | 31,50 | 31,70 | 32,70 | 33,80 | 34,20 |
Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela. Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.
A mediana dos tempos de treino apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I horas. A amplitude da amostra do número de exercícios é II exercícios. O coeficiente de correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$, apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é III. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$, e com base nas estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, para um aluno cujo tempo de treino semanal seja $7{,}90$ horas, estima-se que o número de exercícios corretamente resolvidos seja, aproximadamente, IV exercícios.
| I | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| a) 0,03 b) 0,15 c) 0,40 |
a) 4,20 b) 5,10 c) 6,46 |
a) 0,76 b) 0,91 c) 0,99 |
a) 31,27 b) 32,37 c) 34,08 |
★ 6. O código de um cartão é uma sequência de quatro algarismos, como, por exemplo, $4087$ e $0215$. Admita que o código de qualquer cartão é atribuído ao acaso, com algarismos de $0$ a $9$.
Determine a probabilidade de o código atribuído a um cartão ter todos os algarismos diferentes, um dos algarismos ser o zero e a soma dos quatro algarismos ser um número par. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
★ 7. Na Figura 1, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência de centro $C$, definida pela equação $$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16,$$ e o triângulo $[ACB]$.
Sabe-se que:
- os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência;
- $\overline{AB}=\overline{AC}$.
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato do comprimento do arco menor $AB$.
Figura 1
★ 8. Na Figura 2, estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos.
Sabe-se que:
- os pontos $A$ e $C$ pertencem, respetivamente, ao $2.^{\circ}$ e ao $3.^{\circ}$ quadrantes;
- o ponto $B$ pertence ao semieixo real negativo;
- o ponto $D$ pertence ao semieixo imaginário negativo;
- o ponto $W$ pertence ao $1.^{\circ}$ quadrante e é o afixo de um número complexo $w$ tal que $\operatorname{Im}(w)=\operatorname{Re}(w)$.
Qual dos pontos seguintes pode ser o afixo do número complexo $i\,w^{4}$ ?
Figura 2
9. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, os números $$z_{1}=2+i \qquad\text{e}\qquad z_{2}=\dfrac{3-i}{1+i}.$$ Seja $\;w=2e^{i\pi/6}+ki$, com $k\in\mathbb{R}$.
Determine o valor de $k$ para o qual o afixo de $w$ é equidistante do afixo de $z_{1}$ e do afixo de $z_{2}$.
10. Na Figura 3, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma triangular $[ABCDEF]$.
Sabe-se que:
- os pontos $A$ e $B$ têm coordenadas $(1,\,2,\,0)$ e $(3,\,0,\,2)$, respetivamente;
- o ponto $C$ pertence ao plano mediador do segmento de reta $[AB]$;
- a reta $DF$ é definida pela equação vetorial $\;(x,y,z)=(4,\,1,\,-2)+t(2,\,1,\,2),\ t\in\mathbb{R}$.
Figura 3
10.1. Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta $DF$ e que passa no ponto $A$?
(em todas, $t\in\mathbb{R}$)
10.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do ponto $C$.
★ 11. Numa certa região, foi monitorizada a evolução de uma população de insetos. Admita que o número, $G$, em milhões, de insetos existentes $x$ semanas após o início da observação é dado, aproximadamente, por $$G(x)=1{,}4\,e^{\,0{,}5x-0{,}04x^{2}},\qquad x\in[0,\,20].$$ De acordo com o modelo, existe um único instante a partir do qual, passadas quatro semanas, o número de insetos ficou reduzido a metade do número de insetos existentes nesse instante.
Determine, recorrendo à calculadora, quantos dias decorreram desde o início da observação até esse instante. Apresente o resultado arredondado às unidades. Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
- represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;
- apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.
12. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=1+e^{x}.$$
Resolva os itens 12.1. e 12.2. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.
12.1. Considere, em referencial o.n. $Oxy$, a representação gráfica da função $f$ e o trapézio $[OCAB]$, tais que:
- o ponto $A$ é o ponto de interseção do gráfico da função $f$ com a reta de equação $y=5$;
- o ponto $B$ pertence ao gráfico da função $f$ e ao eixo $Oy$;
- o ponto $C$ pertence ao eixo $Ox$ e tem abcissa igual à abcissa do ponto $A$.
Determine a área do trapézio $[OCAB]$. Apresente o resultado na forma $\ln(a)$, com $a>0$.
12.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função $f$ interseta a reta de equação $y=3x+1$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $\;]0,\,1[$.
★ 13. Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, diferenciável em $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
Sabe-se que:
- a função $f$ é crescente em $\;]{-\infty},\,2[$ e em $\;]2,\,+\infty[$;
- a reta de equação $x=2$ é assíntota ao gráfico da função $f$.
Considere as proposições seguintes.
I. A função $f$ é contínua em $x=2$.
II. A reta de equação $y=-x+5$ é tangente ao gráfico da função $f$ num ponto de abcissa diferente de $2$.
Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.
14. Considere uma sucessão de composições geométricas, construídas a partir de um semicírculo de raio $2$. Na Figura 4, estão representadas as três primeiras composições dessa sucessão.
Figura 4
Tal como é ilustrado na Figura 4:
- a $1.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se ao semicírculo inicial um semicírculo nele contido, de raio $1$;
- a $2.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se à $1.^{\text{a}}$ composição um semicírculo nela contido, de raio $\dfrac{1}{2}$;
- a $3.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se à $2.^{\text{a}}$ composição um semicírculo nela contido, de raio $\dfrac{1}{4}$;
- e assim sucessivamente, retirando-se, em cada composição, um semicírculo contido na composição anterior, com metade do raio do semicírculo retirado na composição anterior, de modo que o diâmetro de cada semicírculo retirado seja colinear com o diâmetro do semicírculo inicial.
Determine o perímetro da $10.^{\text{a}}$ composição geométrica desta sucessão. Apresente o resultado arredondado às centésimas.
★ 15. Sejam $p$, $q$ e $m$ números reais não nulos, e seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=px^{3}+qx+m.$$ Seja $r$ uma reta que interseta o gráfico da função $f$ no ponto de abcissa zero.
Mostre que, se a reta $r$ intersetar o gráfico da função $f$ noutros dois pontos distintos, então esses pontos têm abcissas simétricas.
COTAÇÕES
| As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens contribuem obrigatoriamente para a classificação final. | Subtotal | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 2.1. | 2.2. | 3. | 5. | 6. | 8. | 10.1. | 10.2. | 11. | 13. | 15. | |
| 12 | 14 | 14 | 12 | 12 | 14 | 12 | 12 | 14 | 14 | 14 | 14 | 158 |
| Destes 6 itens, contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. | Subtotal | |||||||||||
| 4. | 7. | 9. | 12.1. | 12.2. | 14. | |||||||
| $3\times 14$ pontos | 42 | |||||||||||
| TOTAL | 200 | |||||||||||
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