Resolução do Exame de Matemática B

Item 1.1

A representação gráfica de (h), nos primeiros minutos, permite concluir que:

o avião aterra quando (h(t)=0), em (t\approx5{,}6\) min;
a altura máxima é aproximadamente (8{,}9\) m;
em (t=0), a função é decrescente e a taxa de variação instantânea é negativa.

Correspondências: I-a), II-c) e III-a).

Item 1.2

Entre os 2 e os 4 minutos, (h(2)=3{,}1) e (h(4)=8{,}9). Logo,

\[ \operatorname{TMV}_{[2,4]}=\frac{h(4)-h(2)}{4-2} =\frac{8{,}9-3{,}1}{2}=2{,}9. \]

A taxa média de variação é (2{,}9\text{ m/min}).

Item 1.3

Representando simultaneamente o gráfico de (h) e a reta (y=5), as abcissas dos três pontos de interseção são

\[t_1\approx0{,}14,\qquad t_2\approx2{,}54,\qquad t_3\approx5{,}15.\]

O avião esteve à altura de 5 m nos instantes 0,14 min, 2,54 min e 5,15 min.

Item 2.1

A reta de regressão do número de documentos requisitados, (y), sobre o número de utilizadores registados, (x), ambos em milhares, é

\[y=0{,}4161x+1497{,}7654.\]

Para (x=9262):

\[y=0{,}4161(9262)+1497{,}7654\approx5352.\]

Estimam-se 5352 milhares de documentos requisitados.

Item 2.2

A média do número de utilizadores registados é aproximadamente 5755 milhares.
A mediana do número de documentos requisitados é 3756 milhares.
Os 2037 milhares de 1990 representam, relativamente aos 11 893 milhares de 2002,

\[\frac{2037}{11893}\times100\approx17\%.\]

Correspondências: I-c), II-b) e III-b).

Item 3.1

O reservatório é formado por uma semiesfera de raio 2 m e por um cilindro de raio 2 m e altura 3 m:

\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi(2)^3\approx16{,}755\text{ m}^3, \]

\[ V_{\text{cilindro}}=\pi(2)^2(3)=12\pi\approx37{,}699\text{ m}^3. \]

Metade da capacidade é (27{,}227\text{ m}^3). Depois de preenchida a semiesfera, faltam (10{,}472\text{ m}^3) no cilindro:

\[h=\frac{10{,}472}{4\pi}\approx0{,}833\text{ m}.\]

A altura total é (2+0{,}833\approx2{,}8) m.

A superfície da água fica a aproximadamente 2,8 m de altura.

Item 3.2

No triângulo retângulo (VCA), (CA=2) m e (angle CAV=31^{\circ}). Assim, a geratriz do cone é

\[\cos31^{\circ}=\frac{2}{VA}\iff VA=\frac{2}{\cos31^{\circ}}\approx2{,}333\text{ m}.\]

A área lateral da cobertura cónica é

\[A=\pi rg=\pi(2)(2{,}333)\approx14{,}7.\]

A área da cobertura é aproximadamente (14{,}7\text{ m}^2).

Item 3.3

Uma base do cilindro pertence ao plano (xOy), cuja equação é (z=0). A outra base é paralela e encontra-se 3 unidades acima, pois a altura do cilindro é 3 m.

O plano da base superior é (z=3): opção C.

Item 3.4

Durante o esvaziamento, a altura da água diminui. No cilindro, um débito constante provoca uma descida linear; na semiesfera, a área da secção diminui e a descida da superfície torna-se progressivamente mais rápida.

O único gráfico compatível é o da opção A.

Item 4

Do diagrama, (P(A\cap I)=0{,}1>0). Existe, portanto, pelo menos um aluno da escola A com 15 anos, e a afirmação I é verdadeira.

Por outro lado, as duas regiões comparadas têm probabilidades (0{,}025) e (0{,}2), que não são iguais. A afirmação II é falsa.

I é verdadeira e II é falsa.

Item 5

As boias devem ser colocadas nos pontos em que a distância vertical do arco à superfície do rio é 3,2 m. As soluções de (d(x)=3{,}2) são

\[x_1\approx16{,}9153\text{ m},\qquad x_2\approx90{,}0847\text{ m}.\]

A largura do canal é

\[90{,}0847-16{,}9153\approx73{,}17.\]

A largura máxima do canal é aproximadamente 73 m.

Item 6

A semicircunferência de diâmetro (AC=18) tem raio 9 cm e comprimento (9\pi) cm. A semicircunferência de diâmetro (AB=\frac23AC=12) tem raio 6 cm e comprimento (6\pi) cm.

Os segmentos retos do contorno totalizam 18 cm. Logo,

\[P=9\pi+6\pi+18=15\pi+18\approx65{,}1.\]

O perímetro da faca é aproximadamente 65,1 cm.

Item 7

O capital é multiplicado anualmente por (1+0{,}012=1{,}012). Após 8 anos:

\[C_8=3000(1{,}012)^8\approx3300{,}3907.\]

Ano	Capital aproximado
0	3000,00 €
2	3072,43 €
4	3146,61 €
6	3222,58 €
8	3300,39 €

O capital final é 3300,39 €.

Item 8

O lado de cada triângulo é metade do lado do triângulo anterior. Partindo de (l_1=1),

\[l_n=\left(\frac12\right)^{n-1}.\]

Para o 10.º triângulo, (l_{10}=\frac1{512}). O seu perímetro é

\[P_{10}=3\times\frac1{512}=\frac3{512}\approx0{,}005859.\]

O perímetro do décimo triângulo é aproximadamente 0,006.