Resolução do Exame de Matemática B

Item 1

Introduzindo na calculadora o diâmetro biparietal como variável (x) e o perímetro cefálico como variável (y), obtém-se a reta de regressão

\[y=3{,}582x+4{,}206.\]

Para (x=8{,}46):

\[y=3{,}582(8{,}46)+4{,}206=34{,}50972.\]

O perímetro cefálico estimado é (34{,}510\text{ cm}).

Item 2

Escrevendo cada restrição na forma reduzida:

(2x+y\leq24\iff y\leq24-2x);
(x+2y\leq24\iff y\leq12-\frac{x}{2});
(x+y\leq14\iff y\leq14-x);
(x\geq0) e (y\geq0).

A região admissível pertence ao primeiro quadrante, contém a origem e fica abaixo das três retas.

Resposta: opção A.

Item 3.1

Para

\[a(t)=\frac{1000}{1+9e^{-0{,}1t}},\]

temos (a(0)=100). A função é crescente e aproxima-se de 1000 sem ultrapassar esse valor.

Correspondências: I-b), II-c) e III-c).

Item 3.2

O instante em que a população atinge 500 elementos satisfaz

\[\frac{1000}{1+9e^{-0{,}1t}}=500.\]

\[ 1+9e^{-0{,}1t}=2\iff e^{-0{,}1t}=\frac19 \iff t=10\ln9\approx21{,}97. \]

São necessários aproximadamente 22 meses.

Item 4

A distância da abelha à entrada da colmeia diminui no início e aumenta depois. A taxa de variação dessa distância deve, portanto, ser primeiro negativa e depois positiva.

O gráfico I é sempre positivo; o gráfico II volta a apresentar valores negativos numa fase final que o movimento descrito não contém.

O gráfico compatível com a função (V) é o gráfico III.

Item 5

A soma das probabilidades é 1:

\[k+\frac12+\frac13=1\iff k=\frac16.\]

Como o dado tem 12 faces e (P(X=2)=\frac13), existem

\[12\times\frac13=4\]

faces com o número 2. O valor médio é

\[E(X)=0\times\frac16+1\times\frac12+2\times\frac13=\frac76.\]

Correspondências: I-b), II-b) e III-c).

Item 6.1

Como (u_n=8^n),

\[u_1=8\quad\text{e}\quad u_{n+1}=8u_n.\]

A sucessão é uma progressão geométrica de razão 8.

Resposta: opção B.

Item 6.2

A área do quadrado inicial é (270^2=72,900\text{ cm}^2). Em cada etapa, a área de cada quadrado é dividida por 9:

Etapa	Área de cada quadrado
1	(8100\text{ cm}^2)
2	(900\text{ cm}^2)
3	(100\text{ cm}^2)

Na terceira etapa existem (8^3=512) quadrados.

\[512\times100=51,200.\]

A área total é (51,200\text{ cm}^2).

Item 7.1

A distância é modelada por (f(x)=\frac{11}{6}x-\frac13x^2), com (x) em minutos. A velocidade no instante em que o automóvel passa no radar é

\[ f'(0)=\frac{11}{6}\text{ km/min}. \]

Convertendo para quilómetros por hora:

\[\frac{11}{6}\times60=110\text{ km/h}.\]

O automóvel circulava a 110 km/h e cumpria o limite de velocidade.

Item 7.2

O automóvel sai da autoestrada em (x=1{,}5). A distância percorrida é

\[ f(1{,}5)=\frac{11}{6}(1{,}5)-\frac13(1{,}5)^2=2. \]

O automóvel percorreu 2 km nesse troço.

Item 8.1

O primeiro cilindro tem raio (5\text{ cm}) e altura (2\text{ cm}), logo

\[V=\pi(5)^2(2)=50\pi\text{ cm}^3.\]

No segundo cilindro, o raio é (\frac52\text{ cm}). Igualando os volumes:

\[ 50\pi=\pi\left(\frac52\right)^2h\iff h=8. \]

A altura do segundo recipiente é 8 cm.

Item 8.2

Como (A) pertence à reta (y=x) no primeiro quadrante, escrevemos (A=(k,k)), com (k>0). A circunferência tem centro na origem e raio 5:

\[k^2+k^2=25\iff k=\sqrt{\frac{25}{2}}.\]

A reflexão em relação ao eixo (Ox) conserva a abcissa e troca o sinal da ordenada.

\(A=\left(\sqrt{\frac{25}{2}},\sqrt{\frac{25}{2}}\right)\) e \(A'=\left(\sqrt{\frac{25}{2}},-\sqrt{\frac{25}{2}}\right)\).

Item 9.1

A interseção do gráfico de (h) com a reta (y=1{,}5), no intervalo indicado, ocorre em

\[t\approx3{,}87\text{ h}.\]

Como (0{,}87\times60\approx52) minutos, somamos 3 h 52 min às 16 h 18 min.

A maré atingiu 1,5 m aproximadamente às 20 h 10 min.

Item 9.2

A preia-mar ocorre em ((0;3{,}2)) e a baixa-mar em ((6{,}08;0{,}8)). Assim,

\[ \operatorname{TMV}_{[0;6{,}08]}= \frac{0{,}8-3{,}2}{6{,}08-0}\approx-0{,}4. \]

A taxa média de variação é aproximadamente (-0{,}4\text{ m/h}).