Resolução do Exame de Matemática B

Item 1

Sejam (x) e (y) os números de aparadores dos modelos A e B. O lucro, em euros, é

\[L(x,y)=700x+900y.\]

As limitações de madeira e de mão de obra dão o sistema:

\[ \begin{cases} 30x+20y\leq 300\\ 5x+10y\leq 110\\ x\geq0,\ y\geq0 \end{cases} \]

Os vértices da região admissível são ((0,0)), ((10,0)), ((4,9)) e ((0,11)). Avaliando a função objetivo:

Vértice	Lucro
((0,0))	0 €
((10,0))	7000 €
((4,9))	10 900 €
((0,11))	9900 €

A empresa deve produzir 4 aparadores do modelo A e 9 do modelo B.

Item 2

Introduzindo na calculadora as temperaturas e os números de gelados vendidos, a reta de regressão linear de (y) sobre (x) é, às décimas,

\[y=9{,}8x-163{,}8.\]

Para uma temperatura máxima de (35\,^{\circ}\mathrm C):

\[y=9{,}8(35)-163{,}8=179{,}2.\]

Estimam-se 179 gelados vendidos.

Item 3.1

O modelo é (h(t)=2+1{,}5\sin(0{,}5t+1)). Procuramos o primeiro (t>0) para o qual (h(t)=h(0)):

\[ \sin(0{,}5t+1)=\sin(1). \]

A primeira solução positiva resulta de (0{,}5t+1=\pi-1):

\[t=2\pi-4\approx2{,}283\text{ h}.\]

A parte decimal corresponde a (0{,}283\times60\approx17) minutos.

Decorreram aproximadamente 2 horas e 17 minutos.

Item 3.2

Nos dois primeiros dias, o argumento do seno percorre mais de um período completo. Como (-1\leq\sin(0{,}5t+1)\leq1),

\[ 2-1{,}5\leq h(t)\leq2+1{,}5. \]

Altura mínima: 0,5 m. Altura máxima: 3,5 m.

Item 4.1

Se os lados da tela medem (x) e (y) decímetros, então:

\[2x+2y=20\iff y=10-x.\]

Assim, a área é

\[A(x)=xy=x(10-x)=10x-x^2,\qquad 0<x<10.\]

Fica demonstrada a expressão (A(x)=10x-x^2).

Item 4.2

A condição pretendida é (A(x)\geq16):

\[ 10x-x^2\geq16\iff x^2-10x+16\leq0 \iff (x-2)(x-8)\leq0. \]

(x\in[2,8]) decímetros.

Item 5.1

Se (X\sim N(17{,}4;2{,}6)), então (20=17{,}4+2{,}6=\mu+\sigma). Logo,

\[P(X>20)\approx0{,}15865.\]

Para 86 atletas, o número esperado é

\[86\times0{,}15865\approx13{,}64.\]

Espera-se que cerca de 14 atletas demorem mais de 20 minutos.

Item 5.2

O gráfico não pode representar (g), pois apresenta valores negativos e (g) mede uma distância.
Também não pode representar (h=g'): na primeira metade da volta a distância ao ponto de partida aumenta, e na segunda diminui. Portanto, (h) deveria passar de valores positivos para negativos, ao contrário do gráfico.

O gráfico não pode representar nenhuma das duas funções.

Item 6.1

Os segmentos horizontais formam uma progressão aritmética de primeiro termo 8 e razão 6. O 13.º segmento horizontal mede

\[u_{13}=8+(13-1)\times6=80.\]

O comprimento é 80 cm.

Item 6.2

Todos os segmentos formam uma progressão aritmética com (u_1=5) e razão 3. Como (15{,}5\text{ m}=1550\text{ cm}),

\[ S_n=\frac n2\left(2\times5+(n-1)3\right)=1550. \]

\[ n(3n+7)=3100\iff3n^2+7n-3100=0. \]

A solução positiva é (n=31).

A linha poligonal é constituída por 31 segmentos.

Item 7.1

Se (R) e (r) são os raios das circunferências, a área do passeio é

\[A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2).\]

A perpendicular do centro à corda tangente divide (OP=24) em duas partes de 12 m. Pelo teorema de Pitágoras,

\[R^2=r^2+12^2\iff R^2-r^2=144.\]

\[A=144\pi\approx452{,}4.\]

A área do passeio é aproximadamente (452\text{ m}^2).

Item 7.2

A reta (OP) tem declive 1. Como (Q=(-\sqrt{50},\sqrt{50})), a reta (OQ) tem declive (-1); logo, o triângulo (OPQ) é retângulo em (O).

\[ OQ=\sqrt{(-\sqrt{50})^2+(\sqrt{50})^2}=10. \]

\[A_{OPQ}=\frac{OP\times OQ}{2}=\frac{24\times10}{2}=120.\]

A área do triângulo é (120\text{ m}^2).

Item 8.1

As 3 horas e 45 minutos correspondem a 3,75 horas. Se (t) é o instante em que a equipa foi acionada, a duplicação da área traduz-se por

\[S(t+3{,}75)=2S(t),\qquad S(t)=10+40\ln(1{,}2t+1{,}4).\]

A resolução gráfica ou numérica da equação, no domínio da função, dá (t\approx0{,}75) horas.

\[0{,}75\times60=45.\]

A equipa foi acionada 45 minutos após a deteção do derrame.

Item 8.2

A função (S) é crescente. Portanto, nas primeiras 24 horas, a área máxima ocorre em (t=24):

\[S(24)=10+40\ln(30{,}2)\approx146{,}313\text{ km}^2.\]

O raio correspondente é

\[r=\sqrt{\frac{146{,}313}{\pi}}\approx6{,}824\text{ km}.\]

Como (6{,}824<7), a mancha não atingiu a costa nas primeiras 24 horas.