Proposta de Resolução — Exame Nacional de Matemática A 2026
Prova 635 · 1.ª Fase · Estrutura e pontuação de acordo com os Critérios de Classificação do IAVE

Os quatro livros policiais lidos seguidos formam um único bloco. Ficam então 5 "elementos" para ordenar (o bloco + os 4 livros não policiais): $5!$ maneiras.

Dentro do bloco, os 4 policiais permutam entre si de $4!$ maneiras.

Total: $5! \times 4! = 5 \times 4! \times 4!$.

Reconhecer que $f$ é contínua em $x=3$ se $\lim\limits_{x\rightarrow 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x) = f(3)$. [2 pts]

Limite à esquerda / valor da função [2 pts]

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^-} f(x) = f(3) = 4 - e^{3-3}(3+1) - \tfrac{1}{2}\cdot 3^2 = 4 - 4 - \tfrac{9}{2} = -\tfrac{9}{2}$.

Limite à direita (indeterminação $\tfrac{0}{0}$) [8 pts]

1.º Processo (limite notável)

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 3^+} \dfrac{e^{x-3}-1}{x^2-9}$, com $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}(e^{x-3}-1)=0$ e $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}(x^2-9)=0$.

$\dfrac{e^{x-3}-1}{x^2-9} = \dfrac{e^{x-3}-1}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{e^{x-3}-1}{x-3}\times\dfrac{1}{x+3}$.

Cálculo auxiliar (mudança de variável). Fazendo $y=x-3$, quando $x\rightarrow 3^+$, tem-se $y\rightarrow 0^+$. Assim, $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{e^{x-3}-1}{x-3} =\lim\limits_{y\rightarrow 0^+}\dfrac{e^y-1}{y}=1$, pelo limite notável $\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{e^y-1}{y}=1$.

Como $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{6}$, vem $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x) = 1\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}$.

2.º Processo (Regra de L'Hôpital) — para o mesmo limite à direita [8 pts]:

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{e^{x-3}-1}{x^2-9}$, com $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}(e^{x-3}-1)=0$ e $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}(x^2-9)=0$ (indeterminação $\tfrac{0}{0}$).

Pela Regra de L'Hôpital, $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{e^{x-3}-1}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{\left(e^{x-3}-1\right)'}{\left(x^2-9\right)'}=\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{e^{x-3}}{2x}$.

Numerador: $\left(e^{x-3}-1\right)'=e^{x-3}$. Denominador: $\left(x^2-9\right)'=2x$.

Logo $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x)=\dfrac{e^{3-3}}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$.

Como $\lim\limits_{x\rightarrow 3^-} f(x) = -\dfrac{9}{2} \neq \dfrac{1}{6} = \lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x)$, concluímos que $f$ não é contínua em $x=3$. [2 pts]

Para $x<3$, $f(x) = 4 - e^{3-x}(x+1) - \tfrac{1}{2}x^2$.

$f'(x) = -\big[-e^{3-x}(x+1) + e^{3-x}\big] - x = e^{3-x}(x+1) - e^{3-x} - x = x\,e^{3-x} - x = x\left(e^{3-x}-1\right)$. [3 pts]

$f'(x)=0$ [1 pt]

$x\left(e^{3-x}-1\right)=0 \Leftrightarrow x=0 \,\vee\, e^{3-x}=1 \Leftrightarrow x=0 \,\vee\, x=3$. Em $]-\infty,3[$, o único zero é $x=0$. [3 pts]

Quadro de sinal de $f'$ e monotonia de $f$ em $]-\infty,3[$: [4 pts]

$f$ é crescente em $]-\infty,\,0]$ e decrescente em $[0,\,3[$. [2 pts]

$f$ tem um máximo relativo para $x=0$. [1 pt]

Pretende-se mostrar que existe $c\in]-1,0[$ tal que $f(c)=-c$. [2 pts]

Considere-se a função $h$ definida por $h(x)=f(x)+x$. [2 pts]

A função $h$ é contínua em $[-1,0]$, por ser soma de funções contínuas nesse intervalo (em $[-1,0]\subset]-\infty,3]$, $f$ é contínua). [2 pts]

$h(-1)=f(-1)+(-1)=\big[4-e^{4}\cdot 0-\tfrac{1}{2}\big]-1=\tfrac{7}{2}-1=\dfrac{5}{2}$. [2 pts]

$h(0)=f(0)+0=4-e^{3}(0+1)-0=4-e^{3}$. [2 pts]

Como $4-e^{3}<0<\dfrac{5}{2}$, tem-se $h(0)\lt 0\lt h(-1)$. [2 pts]

Sendo $h$ contínua em $[-1,0]$ e $h(0)\lt 0\lt h(-1)$, pelo Corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy existe $c\in]-1,0[$ tal que $h(c)=0$, isto é, $f(c)=-c$, como se pretendia. [2 pts]

(a) Média da TMB $=\dfrac{1282+1291+1385+1513+1379+1202+1567}{7}=\dfrac{9619}{7}\approx 1374$ $\rightarrow$ opção (2).

(b) IMC ordenado: $22,7;\ 23,4;\ 23,6;\ 23,9;\ 24,6;\ 27,5;\ 31,2$. Com $n=7$: $Q_1=23,4$ e $Q_3=27,5$. No intervalo aberto $]Q_1,Q_3[\,=\,]23,4;\,27,5[$ estão exatamente $23,6;\ 23,9;\ 24,6$ — 3 mulheres $\rightarrow$ opção (1).

(c) Na Tabela 1, a relação entre o IMC e a TMB tem coeficiente de correlação linear positivo, $r_{\text{Tab}}\approx 0{,}881\gt 0$ (reta de regressão de declive positivo). Na Figura 1, a reta de regressão tem declive negativo ($y=-9{,}02x+1777{,}62$), logo $r_{\text{Fig}}\lt 0$. Como $r_{\text{Tab}}\gt 0\gt r_{\text{Fig}}$, o coeficiente da Tabela 1 é superior ao da Figura 1 $\rightarrow$ opção (3).

(d) $y=-9,02\times 43+1777,62\approx 1389,76\approx 1390$ $\rightarrow$ opção (3).

A reta $DH$ tem vetor diretor $\vec{u}=(1,3,0)$. O plano pedido é perpendicular a $DH$, logo admite $\vec{n}=(1,3,0)$ como vetor normal: $x+3y+d=0$.

Passa em $G(6,9,0)$: $6+3\times 9+d=0 \Leftrightarrow d=-33$, ou seja $x+3y-33=0$.

Coordenadas do ponto $A$ [5 pts]

1.º Processo — $A\in Ox$ e $A=D-(0,0,4)$. As coordenadas de $D$ (ponto da reta $DH$) são da forma $(2+k,\,-3+3k,\,4)$. Como $A\in Ox$, tem ordenada nula: $-3+3k=0 \Leftrightarrow k=1$, donde $D(3,0,4)$ e $A(3,0,0)$.

2.º Processo — a aresta $AG$ é paralela a $DH$, logo a reta $AG$ tem a equação vetorial $(x,y,z)=(6,9,0)+k\,(1,3,0),\ k\in\mathbb{R}$. As coordenadas de $A$ são da forma $(6+k,\,9+3k,\,0)$; como $A\in Ox$, $9+3k=0 \Leftrightarrow k=-3$, donde $A(3,0,0)$.

Raio da superfície esférica [6 pts]

1.º Processo — $F=D+\vec{CG}$, com $\vec{CG}=G-C=(6,9,0)-(0,6,4)=(6,3,-4)$, logo $F=(3,0,4)+(6,3,-4)=(9,3,0)$ e $r=\overline{AF}=\sqrt{(9-3)^2+(3-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$.

2.º Processo — como $\vec{AF}=\vec{BG}$ (em $[AFGB]$, $\vec{AF}=(6,3,0)=\vec{BG}$), o raio é $\overline{GB}$. Sendo $B(0,6,0)$ (ponto de $Oy$) e $G(6,9,0)$, vem $r=\overline{GB}=\sqrt{(6-0)^2+(9-6)^2+0^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$.

Equação da superfície esférica [3 pts]

$(x-3)^2+y^2+z^2=45$.

5.(AE2018) — sucessão monótona decrescente. $\left(\tfrac{2}{3}\right)^n$ tem termos positivos e razão $\tfrac{2}{3}\in\,]0,1[$, logo é decrescente. Resposta: (D)

5.(AE2023) — progressão geométrica cuja soma de todos os termos é finita: exige $|r|<1$. Para $\left(\tfrac{2}{3}\right)^n$, $r=\tfrac{2}{3}$, com $\left|\tfrac{2}{3}\right|<1$. Resposta: (D)

1.º Processo — distribuir os 5 pares pelos 10 compartimentos.

Casos possíveis: $^{10}A_5$. [4 pts]

Casos favoráveis (par branco e par preto adjacentes): [8 pts]

• Na mesma linha (5 linhas, 2 compartimentos por linha): $5\times 2!\times{}^{8}A_3$. [3 pts]

• Na mesma coluna (2 colunas, 4 pares adjacentes por coluna): $2\times 4\times 2!\times{}^{8}A_3$. [3 pts]

• Total: $(5\times 2!+2\times 4\times 2!)\times{}^{8}A_3=(10+16)\,{}^{8}A_3=26\,{}^{8}A_3$. [2 pts]

$P=\dfrac{26\,{}^{8}A_3}{^{10}A_5}=\dfrac{26\times 336}{30240}=\dfrac{13}{45}$. [2 pts]

2.º Processo — restringir o problema à escolha (ordenada) de um compartimento para os brancos e um para os pretos.

Casos possíveis: $^{10}A_2$. [4 pts]

Casos favoráveis: mesma linha $5\times 2!$ [3 pts]; mesma coluna $2\times 4\times 2!$ [3 pts]; total $5\times 2!+2\times 4\times 2!=26$. [2 pts]

$P=\dfrac{26}{^{10}A_2}=\dfrac{26}{90}=\dfrac{13}{45}$. [2 pts]

3.º Processo — restringir o problema à escolha (não ordenada) de dois compartimentos para os dois pares.

Casos possíveis: $^{10}C_2$. [4 pts]

Casos favoráveis: dois compartimentos na mesma linha $5$ [3 pts]; na mesma coluna $2\times 4$ [3 pts]; total $5+8=13$. [2 pts]

$P=\dfrac{13}{^{10}C_2}=\dfrac{13}{45}$. [2 pts]

Sejam $S$: «utilizou o guarda-sol» e $V$: «utilizou o para-vento».

1.º Processo (cálculo direto)

$P(S)=0,75$. [1 pt]

$P(\overline{S}\cap\overline{V})=0,22$. [1 pt]

$P(V\,|\,S)=\dfrac{1}{5}$. [2 pts]

$P(S\cap V)=P(V\,|\,S)\times P(S)=\dfrac{1}{5}\times 0,75=0,15$. [2 pts]

Pedido: $P(S\,|\,\overline{V})$. [2 pts]

$P(S\,|\,\overline{V})=\dfrac{P(S\cap\overline{V})}{P(\overline{V})}$. [1 pt]

$P(S\cap\overline{V})=P(S)-P(S\cap V)=0,75-0,15=0,60$. [1 pt + 1 pt]

$P(\overline{V})=P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap\overline{V})=0,60+0,22=0,82$. [1 pt + 1 pt]

$P(S\,|\,\overline{V})=\dfrac{0,60}{0,82}\approx 0,732 \rightarrow 73\%$. [1 pt]

2.º Processo (tabela de dupla entrada) — partindo de $P(S)=0,75$, $P(\overline{S}\cap\overline{V})=0,22$ e $P(S\cap V)=P(V\,|\,S)\,P(S)=\tfrac{1}{5}\times 0,75=0,15$, completa-se a tabela:

Da tabela, $P(S\cap\overline{V})=0,60$ e $P(\overline{V})=0,82$, logo $P(S\,|\,\overline{V})=\dfrac{0,60}{0,82}\approx 0,732\rightarrow 73\%$. [14 pts no total]

Comprimento $\overline{BC}$ em função de $\alpha$ [4 pts]

1.º Processo — a reta $BD$ (que passa em $O$) tem equação $y=\tan(\alpha)\,x$. Como $B\in r:\,y=1$, a sua abcissa é $x_B=\dfrac{1}{\tan\alpha}$. Sendo $C(0,1)$, vem $\overline{BC}=x_B=\dfrac{1}{\tan\alpha}$.

2.º Processo — no triângulo retângulo $[OBC]$ (reto em $C$), a amplitude do ângulo convexo $CBO$ é $\alpha$, pelo que $\tan\alpha=\dfrac{\overline{OC}}{\overline{BC}}=\dfrac{1}{\overline{BC}}$, donde $\overline{BC}=\dfrac{1}{\tan\alpha}$.

Coordenadas de $D$ [2 pts]

$D$ é o ponto da circunferência diametralmente oposto à direção de $B$: $D=(-\cos\alpha,\,-\sin\alpha)$.

Área do triângulo $[BCD]$ [6 pts]

1.º Processo — tomando $[BC]$ como base, a altura é a distância de $D$ à reta $r:\,y=1$, igual a $1-(-\sin\alpha)=1+\sin\alpha$. [3 pts]

Área de $[BCD]=\dfrac{\overline{BC}\times(1+\sin\alpha)}{2}=\dfrac{\frac{1}{\tan\alpha}\,(1+\sin\alpha)}{2}=\dfrac{\cos\alpha\,(1+\sin\alpha)}{2\sin\alpha}$, como se pretendia. [3 pts]

2.º Processo — decompor $[BCD]$ em $[OBC]$ e $[OCD]$ (base comum $[OC]$, com $\overline{OC}=1$). [1 pt]

Área de $[OBC]=\dfrac{\overline{BC}\times 1}{2}=\dfrac{1}{2\tan\alpha}$. [2 pts]

Área de $[OCD]=\dfrac{\overline{OC}\times|x_D|}{2}=\dfrac{1\times\cos\alpha}{2}=\dfrac{\cos\alpha}{2}$. [2 pts]

Área de $[BCD]=\dfrac{1}{2\tan\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{2}$. [1 pt]

Conclusão: $\dfrac{1}{2\tan\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{2}=\dfrac{\cos\alpha}{2\sin\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{2}=\dfrac{\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha}{2\sin\alpha}=\dfrac{\cos\alpha\,(1+\sin\alpha)}{2\sin\alpha}$, como se pretendia. [2 pts]

9.(AE2018) — provar $1-\left(\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)-\operatorname{sen} x\right)^2=\operatorname{sen}(2x)$.

$\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$. [3 pts]

$\left(\cos x-\operatorname{sen} x\right)^2=\cos^2 x-2\operatorname{sen} x\cos x+\operatorname{sen}^2 x$. [3 pts]

Como $\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1$ e $2\operatorname{sen} x\cos x=\operatorname{sen}(2x)$: [3 pts]

$\left(\cos x-\operatorname{sen} x\right)^2=1-\operatorname{sen}(2x)$, logo $1-\left(\cos x-\operatorname{sen} x\right)^2=1-\big(1-\operatorname{sen}(2x)\big)$. [2 pts]

$1-\big(1-\operatorname{sen}(2x)\big)=\operatorname{sen}(2x)$, como se pretendia. [3 pts]

9.(AE2023) — $f(x)=x^4\ln x-1$, com um zero em $]1,2[$; aproximação pelo método da bissecção com erro inferior a $0,1$.

$f(1)=-1<0$ e $f(1,5)=(1,5)^4\ln(1,5)-1\approx 1,053>0$, logo $f(1)\times f(1,5)<0$: zero em $]1;\,1,5[$. [3 pts]

$f(1,25)=(1,25)^4\ln(1,25)-1\approx -0,455<0$, logo $f(1,25)\times f(1,5)<0$: zero em $]1,25;\,1,5[$. [3 pts]

$f(1,375)=(1,375)^4\ln(1,375)-1\approx 0,138>0$, logo $f(1,25)\times f(1,375)<0$: zero em $]1,25;\,1,375[$. [3 pts]

A amplitude do intervalo $]1,25;\,1,375[$ é $0,125<0,2$. [2 pts]

Tomando o ponto médio deste intervalo como aproximação, $\dfrac{1,25+1,375}{2}=1,3125$, o erro cometido é, no máximo, $\dfrac{0,125}{2}=0,0625<0,1$. [3 pts]

$z=e^{i\theta}$, com $\theta\in\,]0,\tfrac{\pi}{6}[$, é o afixo $P$ (módulo $1$, primeiro quadrante).

$z^2=e^{i\,2\theta}$ tem módulo $1$ e argumento $2\theta\in\,]0,\tfrac{\pi}{3}[$, ou seja, mantém-se sobre a circunferência de raio $1$ mas com argumento maior do que o de $P$. O único dos pontos assinalados nessas condições é o ponto $C$.

Escrever $w$ na forma trigonométrica [7 pts]

1.º Processo (operar na forma trigonométrica)

$i^{37}=i^{36}\cdot i=(i^4)^9\cdot i=i$. [1 pt]

Numerador: $-\sqrt{3}+i$ tem módulo $\sqrt{3+1}=2$ e argumento $\dfrac{5\pi}{6}$, logo $-\sqrt{3}+i=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$. [2 pts]

$w=\dfrac{-\sqrt{3}+i^{37}}{2e^{-i\frac{5\pi}{6}}}=\dfrac{2e^{i\frac{5\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{5\pi}{6}}}=e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}\right)}=e^{i\frac{5\pi}{3}}$. [4 pts]

2.º Processo (operar na forma algébrica e converter)

$i^{37}=i$. [1 pt]

Denominador: $2e^{-i\frac{5\pi}{6}}=2\left(\cos\tfrac{5\pi}{6}-i\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=2\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}-i$. [2 pts]

$w=\dfrac{-\sqrt{3}+i}{-\sqrt{3}-i}=\dfrac{(-\sqrt{3}+i)(-\sqrt{3}+i)}{(-\sqrt{3}-i)(-\sqrt{3}+i)}=\dfrac{2-2\sqrt{3}\,i}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$. [2 pts]

$w$ tem módulo $1$ e argumento $\dfrac{5\pi}{3}$, logo $w=e^{i\frac{5\pi}{3}}$. [2 pts]

Resolver $z^2=w$

As soluções são dadas por $z_k=e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+k\pi\right)}$, $k\in\{0,1\}$. [3 pts]

$z_0=e^{i\frac{5\pi}{6}}$ e $z_1=e^{i\frac{11\pi}{6}}$. [2 pts]

Na forma pedida: $z_0=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$ e $z_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i$. [2 pts]

Total depositado em 25 anos: $500\times 25=12\,500$ euros. [1 pt]

Acréscimo de $20\%$ $\Rightarrow$ capital pretendido: $12\,500\times 1,20=15\,000$ euros. [2 pts]

Equação a resolver: $C(j)=15\,000$, isto é, $500\left(1+\dfrac{100}{j}\right)\!\left[\left(1+\dfrac{j}{100}\right)^{25}-1\right]=15\,000$. [3 pts]

Na calculadora, representam-se $y_1=C(x)$ e $y_2=15\,000$ (com $x>0$). [5 pts]

Assinala-se o ponto de interseção dos dois gráficos. [1 pt]

Em qualquer das calculadoras, o ponto de interseção de $y_1=C(x)$ com $y_2=15\,000$ tem abcissa $x\approx 1,375$.

Obtém-se $j\approx 1,375$. [2 pts]

13.(AE2018) — Sejam $a,b,c,d$ os quatro últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal, por ordem decrescente.

O último elemento de qualquer linha é $1$, logo $d=1$. [1 pt]

Pela simetria do Triângulo de Pascal, o penúltimo elemento da linha é igual ao segundo, isto é, $c$ é igual ao segundo elemento dessa linha. [4 pts]

Pela regra de formação do triângulo, o quarto elemento da linha seguinte é a soma do terceiro com o quarto da linha anterior, ou seja $a+b$; assim $a+b=287\,980$. [6 pts]

A soma dos quatro últimos elementos é $a+b+c+d=288\,101$, logo $c=288\,101-287\,980-1$. [2 pts]

$c=120$. Como $c$ é igual ao segundo elemento da linha, o segundo elemento é $120$. [1 pt]

13.(AE2023) — pontuação de cada praia (4 pts à 1.ª, 3 à 2.ª, 2 à 3.ª, 1 à 4.ª preferência), aplicada à Tabela 2 (colunas de 82, 24, 51 e 43 votos): [8 pts]

A diferença entre as pontuações de A e de B (nos 200 votos da Tabela 2) é $651-497=154$. [2 pts]

Cada um dos 50 clientes restantes vota com B acima de A: por voto, a pontuação de B excede a de A no máximo em $4-1=3$ pontos. Logo, nos 50 votos, B aproxima-se de A no máximo $50\times 3=150$ pontos. [3 pts]

Como $150<154$, a pontuação final de A continua superior à de B; B nunca é a mais pontuada, pelo que não pode ser a praia escolhida. [1 pt]

Proposição I é falsa. A função $f'$ tem apenas três zeros, $-1$, $0$ e $3$. Como $f'$ é não negativa no intervalo $[0,+\infty[$, não há mudança de sinal de $f'$ em $x=3$, pelo que $f(3)$ não é extremo de $f$. Assim, $f$ admite, no máximo, dois extremos relativos (em $x=-1$ e em $x=0$) — não três. [Conteúdos]

Proposição II é falsa. No intervalo $[3,+\infty[$ a função $f'$ é monótona crescente, logo $f''>0$ nesse intervalo. Por conseguinte, o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima em $]3,+\infty[$, e não para baixo. [Conteúdos]

Critério (por parâmetros): Conteúdos — duas justificações completas: 12; uma completa e outra incompleta: 9; apenas uma completa ou as duas incompletas: 6; apenas uma incompleta: 3. Linguagem Científica — 2 / 1 pontos. [12 + 2]

1.º Processo (equação da circunferência)

Resolver $f(x)=a$: $x^2-1=a \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{a+1}$ (existe pois $a\gt -1$). [2 pts]

Um dos pontos de interseção da parábola com a reta $s$ é $\left(\sqrt{a+1},\,a\right)$. [1 pt]

O vértice da parábola é $V(0,-1)$. [1 pt]

Por simetria, o centro da circunferência pertence ao eixo $Oy$, logo $c_1=0$ e o centro é $(0,c_2)$. [1 pt]

Equação da circunferência: $x^2+\left(y-c_2\right)^2=r^2$. [2 pts]

Impondo que passa no vértice $(0,-1)$ e no ponto $\left(\sqrt{a+1},a\right)$: $\left(-1-c_2\right)^2=r^2$ e $(a+1)+\left(a-c_2\right)^2=r^2$. [3 pts]

Igualando: $(a+1)+(a-c_2)^2=(1+c_2)^2 \Leftrightarrow a+a^2=2c_2(1+a)$, donde $c_2=\dfrac{a(a+1)}{2(a+1)}=\dfrac{a}{2}$. [2 pts]

Raio: $r=|{-1-c_2}|=1+c_2=1+\dfrac{a}{2}$. [2 pts]

2.º Processo (circuncentro)

Resolver $f(x)=a$: $x=\pm\sqrt{a+1}$; os pontos de interseção são $P_1\left(\sqrt{a+1},a\right)$ e $P_2\left(-\sqrt{a+1},a\right)$, e o vértice é $V(0,-1)$. [2 + 1 + 1 pts]

O centro da circunferência é o circuncentro do triângulo $[VP_1P_2]$, interseção das mediatrizes dos lados. [1 pt]

A reta $x=0$ é a mediatriz do lado $[P_1P_2]$ (horizontal). [1 pt]

Mediatriz de $[VP_1]$: ponto médio $\left(\tfrac{\sqrt{a+1}}{2},\tfrac{a-1}{2}\right)$ e declive de $VP_1$ igual a $\dfrac{a+1}{\sqrt{a+1}}=\sqrt{a+1}$, logo a mediatriz tem declive $-\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}$: $y-\dfrac{a-1}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}\left(x-\dfrac{\sqrt{a+1}}{2}\right)$. [4 pts]

Intersetando com $x=0$: $y=\dfrac{a-1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{2}$, ou seja o centro é $\left(0,\tfrac{a}{2}\right)$. [1 pt]

Raio $=$ distância do centro ao vértice $=\left|\dfrac{a}{2}-(-1)\right|=1+\dfrac{a}{2}$. [2 + 1 pts]