Proposta de Resolução — Exame Nacional de Matemática A 2025
Prova 635 · Época Especial · Estrutura e pontuação de acordo com os Critérios de Classificação do IAVE
Item 1 12 pts
Calculam-se os limites das quatro sucessões apresentadas.
- $\displaystyle\lim\frac{2-n^2}{n}=\lim\left(\frac2n-n\right)=-\infty$;
- $(-2)^n$ não tem limite: os termos de ordem par tendem para $+\infty$ e os de ordem ímpar para $-\infty$;
- $\displaystyle\lim\left(-\frac12\right)^n=0$;
- $\displaystyle\lim(2n+3)=+\infty$.
A única sucessão convergente é $\left(-\frac12\right)^n$.
Item 2 14 pts
Numa progressão aritmética, $a_{10}=a_4+6r$. Como $a_{10}-a_4=3$, obtém-se $6r=3$, logo $r=\frac12$.
Além disso, $a_4a_{10}=40$, pelo que $a_4(a_4+3)=40$. Assim, $a_4^2+3a_4-40=0$ e $a_4=5$ ou $a_4=-8$.
Como todos os termos são positivos, $a_4=5$. Portanto, $a_1=a_4-3r=5-\frac32=\frac72$.
O termo geral é $a_k=\frac72+(k-1)\frac12$. Resolvendo $a_k=173$:
$$\frac72+\frac{k-1}{2}=173\ \Longleftrightarrow\ 7+k-1=346\ \Longleftrightarrow\ k=340.$$
Item 3.1 14 pts
Para $x<1$, $f(x)=2x+3+\ln\bigl((1-x)^3\bigr)$.
$$f'(x)=2+\frac{3(1-x)^2(-1)}{(1-x)^3}=2-\frac3{1-x}.$$
O único zero da derivada é:
$$2-\frac3{1-x}=0\ \Longleftrightarrow\ 2(1-x)=3\ \Longleftrightarrow\ x=-\frac12.$$
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac12$ | $1$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | n.d. | |
| $f$ | $\nearrow$ | máx. | $\searrow$ | n.d. |
Item 3.2 14 pts
A única candidata a assíntota vertical é $x=1$. Como
$$\lim_{x\to1^-}g(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{2x+3+\ln\bigl((1-x)^3\bigr)}{x-1}=+\infty,$$
a reta $x=1$ é assíntota vertical.
Para a assíntota horizontal, quando $x\to-\infty$:
$$\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}g(x) &=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{2x+3}{x-1}+\frac{\ln\bigl((1-x)^3\bigr)}{x-1}\right)\\ &=2-3\lim_{y\to+\infty}\frac{\ln y}{y}=2. \end{aligned}$$
Item 3.3 14 pts
$g(0)=\dfrac{f(0)}{-1}=-3$.
A função $f$ é contínua em $[-6,-5]$, pois resulta de operações entre funções contínuas nesse intervalo.
Calculando os valores nos extremos:
$$f(-6)=-9+\ln(7^3)\approx-3,16,qquad f(-5)=-7+\ln(6^3)\approx-1,62.$$
Logo, $f(-6)<-3<f(-5)$. Pelo Teorema de Bolzano, existe $c\in]-6,-5[$ tal que $f(c)=-3=g(0)$.
Item 4 14 pts
Se $D=(d,0)$, então $\overrightarrow{DC}=(-d,8)$ e $\overrightarrow{DB}=(15-d,8)$.
Como $\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DB}=50$:
$$-d(15-d)+64=50\ \Longleftrightarrow\ d^2-15d+14=0\ \Longleftrightarrow\ d=1\ \vee\ d=14.$$
A condição $OD<DA$ seleciona $d=1$.
Item 5 12 pts
Introduzindo na calculadora as distâncias percorridas e as energias gastas, obtém-se:
$$\bar x_d\approx7,5,qquad \widetilde x_e=515,qquad r\approx0,99.$$
O coeficiente $r$ revela uma correlação linear positiva forte. Pela reta de regressão, para uma distância de $6$ km, a estimativa da energia gasta é $411$ kcal.
Item 6.1 12 pts
Um ponto da reta $CD$ pertence simultaneamente ao plano da base, $x=3$, e ao plano $CDE$, $5y+2z-62=0$.
O ponto $(3,4,21)$ verifica ambas as condições, pois $5(4)+2(21)-62=0$.
Item 6.2 14 pts
A reta $EF$ é perpendicular ao plano $CDE$, logo tem vetor diretor $(0,5,2)$:
$$(x,y,z)=(-9,0,2)+k(0,5,2).$$
O ponto genérico é $(-9,5k,2+2k)$. Substituindo no plano $5y+2z-62=0$, obtém-se $29k-58=0$, logo $k=2$ e $E=(-9,10,6)$.
Assim, $EF=\sqrt{10^2+4^2}=\sqrt{116}$. A distância entre os planos das bases, $x=3$ e $x=-9$, é $AF=12$.
$$V=EF^2\times AF=116\times12=1392.$$
Item 7 14 pts
O efeito terapêutico é significativo quando $C(t)>15$.
A duração é $10,600-0,166=10,434$ horas. Como $0,434\times60\approx26$ minutos, o resultado corresponde a 10 horas e 26 minutos.
Item 8.1 14 pts
Sejam $D$: «ser do 12.º ano» e $A$: «frequentar Matemática A».
Do enunciado, $P(D\cup A)=\frac9{11}$, logo $P(\overline D\cap\overline A)=\frac2{11}$.
Designando por $n$ o número total de alunos presentes, os 10 alunos que não pertencem a nenhum dos grupos dão:
$$\frac{10}{n}=\frac2{11}\ \Longleftrightarrow\ n=55.$$
Item 8.2 12 pts
Entre os 25 alunos do 12.º ano, 10 frequentam Matemática A e 15 não frequentam.
O número de grupos de 3 com pelo menos um aluno de Matemática A é $\binom{25}{3}-\binom{15}{3}$.
$$P=\frac{\binom{25}{3}-\binom{15}{3}}{\binom{25}{3}}=\frac{369}{460}.$$
Item 9 14 pts
Sejam $F$: «frequentar Filosofia» e $E$: «frequentar Economia A». Sabe-se que $P(F)=2P(E)$ e $P(F\cup E)=3P(F\cap E)$.
Usando $P(F\cup E)=P(F)+P(E)-P(F\cap E)$:
$$3P(F\cap E)=P(F)+\frac12P(F)-P(F\cap E),$$
logo $P(F\cap E)=\frac38P(F)$ e $P(\overline E\cap F)=P(F)-\frac38P(F)=\frac58P(F)$.
$$P(\overline E\mid F)=\frac{P(\overline E\cap F)}{P(F)}=\frac58.$$
Item 10 14 pts
As abcissas dos pontos de interseção satisfazem $f(x)=g(x)$:
$$\sin^3x=\sin x\cos^2x.$$
Como $x\in]0,\pi[$, tem-se $\sin x\ne0$, pelo que $\sin^2x=\cos^2x=1-\sin^2x$. Assim, $\sin^2x=\frac12$ e, neste intervalo,
$$x=\frac\pi4\quad\text{ou}\quad x=\frac{3\pi}{4}.$$
Em ambos os casos, $f(x)=\sin^3x=\frac{\sqrt2}{4}$.
Item 11 14 pts
A afirmação I é falsa. Embora $f''$ tenha zeros em $\frac34$ e $3$, só há mudança de sinal em $x=\frac34$. Em $x=3$ a concavidade não muda, logo não existe aí ponto de inflexão.
A afirmação II é falsa. Em $]-\infty,\frac34[$, $f''(x)<0$, portanto $f'$ é decrescente. Como $-2<-1$, segue-se $f'(-2)>f'(-1)$: o declive de $r$ é maior do que o declive de $s$.
Item 12.1 12 pts
$i^{23}=i^{4\times5+3}=i^3=-i=e^{i3\pi/2}$.
Escrevendo $w=\rho e^{i\theta}$:
$$\frac{i^{23}w^2}{\overline w}=\frac{e^{i3\pi/2}\rho^2e^{i2\theta}}{\rho e^{-i\theta}}=\rho e^{i(3\pi/2+3\theta)}.$$
Item 12.2 14 pts
$1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4}$. A equação dada reduz-se a:
$$z^3=8e^{i\pi/2}.$$
As três soluções são
$$z_k=2e^{i(\pi/6+2k\pi/3)},\qquad k\in\{0,1,2\}.$$
Isto é, os argumentos são $\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$ e $\frac{3\pi}2$. Como $\operatorname{Arg}(w)\in]\frac\pi2,\pi[$, escolhe-se $w=2e^{i5\pi/6}$.
$$w=2\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i\right)=-\sqrt3+i.$$
Item 13 14 pts
Como $g(x)=[f(x)]^2$:
$$g'(x)=2f(x)f'(x)$$
e
$$g''(x)=2\left([f'(x)]^2+f(x)f''(x)\right).$$
De acordo com as hipóteses, $[f'(x)]^2>0$, $f(x)>0$ e $f''(x)\geq0$. Portanto, $g''(x)>0$ para todo $x\in\mathbb R$.
Logo, $g''(x)>0$ em $\mathbb R$.