Proposta de Resolução — Exame Nacional de Matemática A 2024
Prova 635 · Época Especial · Estrutura e pontuação de acordo com os Critérios de Classificação do IAVE

Usando a definição por recorrência:

$$a_1=3,qquad a_2=2a_1+2=8,qquad a_3=2a_2+2=18.$$

A linha com 19 cartões corresponde à linha do Triângulo de Pascal cujos elementos são $\binom{18}{p}$.

O quarto número dessa linha é:

$$\binom{18}{3}=816.$$

O número de cartões por linha forma uma progressão aritmética de primeiro termo $1$ e razão $1$. Na linha $n$ há $c_n=n$ cartões.

Como foram usados 3081 cartões:

$$S_n=\frac{1+n}{2}\,n=3081\ \Longleftrightarrow\ n^2+n-6162=0.$$

As soluções são $n=78$ e $n=-79$. Como $n$ é natural, fica $n=78$.

Tem-se $f(0)=\dfrac{4\cos0}{\sin0-2}=-2$ e

$$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{4\cos x}{\sin x-2}=-2.$$

À esquerda:

$$\begin{aligned} \lim_{x\to0^-}\frac{1-e^{6x}}{3x} &=-2\lim_{x\to0^-}\frac{e^{6x}-1}{6x}\\ &=-2. \end{aligned}$$

Os dois limites laterais são iguais a $f(0)$.

Para $x\in]0,2\pi]$:

$$f'(x)=\left(\frac{4\cos x}{\sin x-2}\right)'=\frac{-4(1-2\sin x)}{(\sin x-2)^2}.$$

Os zeros da derivada verificam $\sin x=\frac12$, logo $x=\frac\pi6$ ou $x=\frac{5\pi}{6}$.

Se inicialmente há $a$ bolas amarelas e $v$ bolas verdes, então

$$P(A)=\frac{a}{a+v},qquad P(B\mid A)=\frac{a-1}{a-1+v}.$$

Da condição $P(A\cap B)=\frac23P(A)$ e de $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$:

$$\frac{a-1}{a-1+v}=\frac23\ \Longleftrightarrow\ 3(a-1)=2(a-1+v)\ \Longleftrightarrow\ a=2v+1.$$

Como $2v$ é par, $2v+1$ é ímpar.

Existem $200\times0,49=98$ bolas verdes e $102$ amarelas.

Ao retirar simultaneamente 4 bolas, os casos favoráveis a obter pelo menos 3 verdes são os grupos com 3 verdes e 1 amarela, ou com 4 verdes.

$$P=\frac{\binom{98}{3}\binom{102}{1}+\binom{98}{4}}{\binom{200}{4}}\approx0,3.$$

O plano da base tem equação $x+2y-8=0$, logo um plano paralelo tem a forma $x+2y+d=0$.

Como passa pelo ponto indicado, de abcissa $1$ e ordenada $-3$:

$$1+2(-3)+d=0\ \Longleftrightarrow\ d=5.$$

As interseções do plano da base com os semieixos positivos são $A=(8,0,0)$ e $B=(0,4,0)$. O ponto médio de $[AB]$ é $M=(4,2,0)$.

Como o cone é reto, a reta $MV$ é perpendicular ao plano da base e tem vetor diretor $(1,2,0)$:

$$(x,y,z)=(4,2,0)+k(1,2,0).$$

Logo $V=(4+k,2+2k,0)$. A abcissa de $V$ é uma unidade inferior à ordenada:

$$4+k=2+2k-1\ \Longleftrightarrow\ k=3.$$

Com os vencimentos da área comercial e as respetivas frequências, obtém-se:

$$\widetilde x=940,qquad \bar x=955,qquad \sigma\approx49,58.$$

Na produção existem $50-12=38$ funcionários. Como a mediana é 900 euros e nenhum recebe exatamente 900 euros, $19$ recebem menos de 900 euros. Em relação ao total:

$$\frac{19}{50}\times100=38\%.$$

O ponto $A$ da circunferência tem coordenadas $(4\cos\alpha,4\sin\alpha)$. Como $\alpha\in]\frac\pi2,\pi[$:

$$AB=4\sin\alpha,qquad OB=-4\cos\alpha,qquad BD=2OB=-8\cos\alpha.$$

O quadrilátero é a união de dois triângulos congruentes:

$$A_{[ABCD]}=BD\times AB=(-8\cos\alpha)(4\sin\alpha)=-16\sin(2\alpha).$$

A função $f(x)=ax^3+x-2$ é polinomial, portanto contínua em $[0,1]$.

$$f(0)=-2<0,qquad f(1)=a-1>0,$$

pois $a>1$. Pelo Teorema de Bolzano, existe $c\in]0,1[$ tal que $f(c)=0$.

As condições de existência impõem $x>0$. Usando as propriedades dos logaritmos:

$$\frac12\log_2x-\log_2\sqrt{x+1}=-1$$

$$\Longleftrightarrow\ \frac12\bigl(\log_2x-\log_2(x+1)\bigr)=-1$$

$$\Longleftrightarrow\ \log_2\frac{x}{x+1}=-2\ \Longleftrightarrow\ \frac{x}{x+1}=\frac14\ \Longleftrightarrow\ x=\frac13.$$

A massa diminui $5\%$ entre os instantes $a$ e $3a$, logo $m(3a)=0,95m(a)$.

A amplitude de $[a,3a]$ é $2a\approx1,054$ minutos. Como $0,054\times60\approx3,24$ segundos, obtém-se aproximadamente 1 minuto e 3 segundos.

A afirmação I é falsa. A reta tangente $r$ contém um ponto do quarto quadrante, logo tem declive negativo e $f'(0)<0$.

A afirmação II é falsa. Como $f(0)=0$, o declive de $r$ é $m_r=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x$. O declive da assíntota $s$ é $m_s=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x$. Do dado do enunciado, $m_rm_s=-\frac89\ne-1$, pelo que as retas não são perpendiculares.

Como $[AC]$ é uma diagonal do losango, $AC=|z_1-z_3|=6$ e a origem é o seu ponto médio, $|z_1|=3$.

No triângulo retângulo $[OAB]$:

$$|z_1|^2+|z_2|^2=|z_1-z_2|^2\ \Longleftrightarrow\ 3^2+|z_2|^2=5^2,$$

logo $|z_2|=4$. Sendo $z_2$ imaginário puro, $z_2=4i$, e o vértice oposto tem afixo $z_4=-4i$.

$$z_2z_4=(4i)(-4i)=16.$$

Escrevendo $z=2e^{i\theta}$, tem-se $z^2=4e^{i2\theta}$ e $2z\overline z=8$.

A equação reduz-se a:

$$4e^{i2\theta}+8-6=2\sqrt3i\ \Longleftrightarrow\ 4e^{i2\theta}=-2+2\sqrt3i.$$

Como $-2+2\sqrt3i=4e^{i2\pi/3}$:

$$2\theta=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\ \Longleftrightarrow\ \theta=\frac\pi3+k\pi.$$

Da condição $\theta\in]0,\frac\pi2[$, resulta $\theta=\frac\pi3$.

Para $x\to+\infty$, o declive da assíntota de $g$ é:

$$\begin{aligned} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x\\ &=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\left(\frac{f(x)}x\right)^2+4+\frac5x}=2, \end{aligned}$$

pois o gráfico de $f$ tem assíntota horizontal e, portanto, $\lim\frac{f(x)}x=0$.

Racionalizando para determinar a ordenada na origem:

$$\begin{aligned} b&=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{f(x)^2+4x^2+5x}-2x\right)\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)^2+5x}{\sqrt{f(x)^2+4x^2+5x}+2x}=\frac54. \end{aligned}$$