Resolução da Época Especial de 2026

(a) Os quocientes da linha do divisor \(1\) são os próprios votos de cada lista, pelo que os votos validamente expressos foram

O número total de votos inclui ainda os brancos e os nulos, logo é maior ou igual a \(317\). Das três hipóteses (\(170\), \(270\) e \(370\)), apenas \(370\) satisfaz esta condição.

(b) Ordenando os quocientes por ordem decrescente, os quatro primeiros mandatos correspondem a

O quarto termo da série é \(60\), que pertence à lista Z.

(c) e (d) Os oito maiores quocientes, correspondentes aos oito mandatos, são:

Assim, a lista X obteve três mandatos e a lista W obteve dois (a lista Z obteve três e a lista Y nenhum).

As listas X, Z e W mantêm os seus votos, pelo que mantêm os seus quocientes. Seja \(v\) o número de votos da lista Y no novo ato eleitoral; os seus quocientes passam a ser \(v\), \(\dfrac{v}{2}\), \(\dfrac{v}{3}\), ...

Pretende-se que cada uma das quatro listas obtenha dois mandatos. Os dois primeiros quocientes de X, Z e W são \(100\) e \(50\); \(120\) e \(60\); \(85\) e \(42{,}5\). O maior quociente que fica de fora é o terceiro de Z, igual a \(40\). [4 pontos]

Para que Z não obtenha um terceiro mandato, o segundo quociente de Y, \(\dfrac{v}{2}\), tem de alcançar esse valor \(40\). Ora, se \(\dfrac{v}{2}=40\), os dois termos seguintes da série são iguais (\(40\) de Z e \(40\) de Y) e correspondem a listas diferentes; pela regra do enunciado, o último mandato é atribuído à lista com menor número de votos, e como \(80\lt 120\) esse mandato cabe à lista Y.

Logo a lista Y teria de obter, no mínimo, \(80\) votos validamente expressos. [6 pontos]

A ordenação dos oito quocientes relevantes é, então: [6 pontos]

Cada lista fica com dois mandatos, como se pretendia. Como a lista Y tinha \(12\) votos, o aumento mínimo é [3 pontos]

Valor global atribuído por cada aluno aos dois bens [1 + 1 + 1 pontos]

Valor justo a receber por cada aluno — um terço do valor global que cada um atribuiu: \(80\) €, \(70\) € e \(50\) €. [1 + 1 + 1 pontos]

Distribuição dos bens — cada bem é atribuído a quem mais o valoriza: [2 pontos]

• o tablet vale mais para o Bruno (\(180\gt 100\gt 75\)) → Bruno;
• a máquina fotográfica vale mais para a Ana (\(140\gt 75\gt 30\)) → Ana.

O Carlos não recebe qualquer bem, pelo que o valor dos bens que recebe é zero euros.

Valor a pagar ou a receber por cada aluno — diferença entre o valor dos bens recebidos e o valor justo: [1 + 1 + 1 pontos]

Dinheiro que sobra — os que pagam entregam \(60+110=170\) € e o Carlos retira \(50\) €: [4 pontos]

Distribuição final [4 pontos]

Em cada mês, ao capital em dívida adiciona-se o juro (\(1{,}5\%\)) e subtrai-se a prestação (\(350\) €), conservando duas casas decimais.

(a) Juro do primeiro mês: \(1200\times 0{,}015=18\) euros.

(b) Os juros mensais foram \(18\), \(13{,}02\), \(7{,}97\) e \(2{,}83\) euros: como o capital em dívida vai diminuindo, o juro diminuiu.

(c) O empréstimo ficou amortizado ao fim de quatro meses.

(d) A prestação de acerto é o capital em dívida no penúltimo mês acrescido do respetivo juro:

Grafo que modela a planta [12 pontos: 1 + 11]

Consideram-se como vértices as sete áreas (A, T1, T2, T3, T4, T5 e T6) e como arestas os pontos de passagem entre elas.

Os graus dos vértices do grafo inicial são:

Razão que assegura o cumprimento do objetivo [4 pontos]

O percurso pretendido começa e termina na mesma área (A), atravessa todos os pontos de passagem e nenhum mais do que uma vez: é, portanto, um circuito de Euler no grafo. Um grafo conexo admite circuitos de Euler se e só se todos os seus vértices tiverem grau par.

No grafo inicial há exatamente dois vértices de grau ímpar, T1 (grau \(3\)) e T4 (grau \(1\)), pelo que não existe circuito de Euler. Criando um ponto de passagem entre T1 e T4, estes vértices passam a ter grau \(4\) e \(2\), respetivamente; todos os vértices ficam com grau par e o grafo continua conexo, pelo que passa a admitir um circuito de Euler.

Conclusão [3 pontos]

1.º Processo

Número de leitores no início da monitorização: [5 pontos]

Número de leitores dez horas depois: [5 pontos]

Quociente entre os dois valores: [6 pontos]

2.º Processo — se o número de leitores fosse trinta vezes maior, dez horas depois haveria [5 + 6 + 5 pontos]

ao passo que o modelo dá \(N(10)\approx 32{,}300\) milhares. Como \(32{,}300\neq 60\), a afirmação não se verifica.

Conclusão [3 pontos]

Como \(N(t)\) está expresso em milhares, \(12\,000\) leitores correspondem a \(N(t)=12\):

Um aumento de \(50\%\) corresponde a \(12\times 1{,}5=18\) milhares de leitores:

O tempo decorrido entre os dois momentos é

No Gráfico 1 (rede social P), a barra mais alta é a do valor \(1\), pelo que a moda das respostas relativas a P é \(1\). Por hipótese, a moda das respostas relativas a R também é \(1\).

Na Tabela 3 conhecem-se duas frequências: \(45\) pessoas responderam \(0\) e \(55\) responderam \(2\). Sendo \(n_1\) e \(n_3\) as frequências dos valores \(1\) e \(3\):

Para que \(1\) seja a moda, \(n_1\) tem de ser maior do que todas as outras frequências; em particular \(n_1\gt 55\). Além disso, \(n_1\leq 100\), porque \(n_3\geq 0\).

Do Gráfico 2, as \(200\) pessoas da rede Q distribuem-se por \(42{,}5\%\), \(30\%\), \(25\%\) e \(2{,}5\%\), ou seja:

(a) Responderam \(2\): \(50\) pessoas em P, \(50\) em Q e \(55\) em R. O número é igual nas redes P e Q.

(b) Na rede R, responderam \(0\) um total de \(45\) pessoas em \(200\):

(c) Na rede P, \(n_1+n_3=200-58-50=92\). Como \(1\) é a moda, \(n_1\gt 58\); e como a barra do \(3\) não é nula, \(n_3\geq 1\), donde \(59\leq n_1\leq 91\).

Ordenados os \(200\) valores, os zeros ocupam as posições \(1\) a \(58\) e os uns as posições \(59\) a \(58+n_1\), com \(117\leq 58+n_1\leq 149\).

• \(Q_2\) é a média dos valores nas posições \(100\) e \(101\); ambas estão entre \(59\) e \(58+n_1\), logo \(Q_2=1\).
• \(Q_3\) é a média dos valores nas posições \(150\) e \(151\); como \(58+n_1\leq 149\) e os dois ocupam até à posição \(108+n_1\geq 167\), ambas correspondem ao valor \(2\), logo \(Q_3=2\).

(d) Somando as \(600\) respostas por valor — os totais de \(0\) e de \(2\) são conhecidos e o total de \(1\) é dado:

O número de pessoas que responderam \(3\) obtém-se por diferença: \(600-188-204-155=53\). A média é

A percentagem de «caras» é o quociente entre o número de «caras» e o número total de lançamentos, multiplicado por \(100\).

No programa, o número total de lançamentos está guardado na variável n e o número de «caras» na variável cara, pelo que a expressão pretendida é \(\dfrac{\texttt{cara}}{\texttt{n}}\times 100\).

• (A) e (B) dividem por (ou pelo) número de «coroas», e não pelo total;
• (C) inverte o quociente, dando \(\dfrac{\texttt{n}}{\texttt{cara}}\times 100\);
• (D) corresponde exatamente a \(\dfrac{\texttt{cara}}{\texttt{n}}\times 100\).

Valores da variável — o dado é lançado uma única vez, pelo que a face \(1\) sai zero vezes ou uma vez: [4 pontos]

Probabilidades — o dado é equilibrado e tem seis faces, todas com igual probabilidade: [6 + 6 pontos]

Tabela de distribuição de probabilidade [3 pontos]

Das \(120\) notícias falsas: \(78\) foram divulgadas em P e \(15\) não foram divulgadas nem em P nem em Q.

(a) As notícias divulgadas em P ou em Q são as restantes:

(b) As divulgadas somente em Q obtêm-se retirando às \(105\) as que foram divulgadas em P:

(c) Escolhendo uma notícia ao acaso entre as \(120\):

(d) Se \(35\%\) foram divulgadas somente em P, isso corresponde a \(0{,}35\times 120=42\) notícias. As divulgadas em ambas as redes são as de P que não são só de P:

Considerem-se os acontecimentos \(A\): «a notícia é verdadeira» e \(B\): «a notícia é contestada». Dos dados do enunciado:

Notícias falsas não contestadas [7 pontos]

Notícias verdadeiras não contestadas [7 pontos]

Probabilidade de não ser contestada — pelo Teorema da Probabilidade Total: [2 pontos]

Probabilidade pedida — pela Regra de Bayes: [3 pontos]

Desvio padrão da distribuição da média amostral [10 pontos]

Da população sabe-se que \(\mu=40\) minutos e \(\sigma=10\) minutos; a amostra tem dimensão \(n=100\). [2 pontos]

Como \(n=100\geq 30\), pode aplicar-se o Teorema Limite Central: a distribuição de amostragem da média \(\overline{X}\) pode ser aproximada por uma distribuição normal de valor médio \(\mu\) e desvio padrão \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). [2 pontos]

[6 pontos]

Cálculo de \(P(\overline{X}\gt 43)\) [9 pontos]

Recorrendo ao formulário. Como \(43=40+3\times 1=\mu+3\sigma_{\overline{X}}\), e sendo [4 pontos]

fica de fora deste intervalo uma probabilidade de \(1-0{,}9973=0{,}0027\), repartida simetricamente pelas duas caudas: [5 pontos]

Recorrendo à calculadora. Caracterizando a distribuição por \(N(40\,;\,1)\), obtém-se diretamente \(P(\overline{X}\gt 43)\approx 0{,}00135\). [4 + 5 pontos]