Resolução do Exame de MACS - Época Especial 2025

Item 1.1

Votaram \(406+29=435\) dos 580 alunos. Portanto, abstiveram-se:

\[ 580-435=145. \]

A taxa de abstenção é:

\[ \frac{145}{580}\times 100=25\%. \]

Resposta: opção B.

Item 1.2

Aplicando a pontuação indicada no enunciado a cada grupo de preferências:

Plataforma A: \(4(146)+3(128)+2(67)+4(65)=1362\);
Plataforma B: \(3(146)+4(128)+4(67)+3(65)=1413\);
Plataforma C: \(2(146)+2(128)+67+65=680\);
Plataforma D: \(146+128+3(67)+2(65)=605\).

A plataforma B obtém a maior pontuação e é escolhida. Contudo, contando apenas as primeiras preferências, a plataforma A recebe \(146+65=211\) votos e a B recebe \(128+67=195\).

A plataforma B é a preferida pelo método, embora a plataforma A tenha mais primeiras preferências.

Item 2

Bloco	Joana	Rita
B1	44	46
B2	33	40
B3	23	14

A atribuição temporária entrega B3 à Joana e B1+B2 à Rita. Os totais são 23 e 86 pontos. Usa-se B1 para equilibrar a partilha. Se \(x\%\) de B1 ficar com a Joana:

\[ 23+\frac{44x}{100}=86-\frac{46x}{100} \Longleftrightarrow 0{,}90x=63 \Longleftrightarrow x=70. \]

Joana: B3 e 70% de B1. Rita: B2 e 30% de B1.

Item 3

Calculam-se os custos das subscrições para os períodos trimestrais relevantes.

Plano	Plataforma A	Plataforma B	Total
A durante 18 meses	\(5+8(6)=53\)	-	53 €
B durante 18 meses	-	\(V(12)+V(6)\approx 51\)	51 €
A 9 meses + B 9 meses	\(5+8(3)=29\)	\(V(9)\approx 26\)	55 €
A 6 meses + B 12 meses	\(5+8(2)=21\)	\(V(12)\approx 28\)	49 €

Usou-se \(V(t)=30-22e^{-0{,}2t}\), com \(t\) em meses.

Correspondências: I-c), II-c), III-b) e IV-b).

Item 4

Aplicando o algoritmo a partir de D1, selecionam-se sucessivamente as ligações:

D1-D6: 80 m;
D6-D3: 51 m;
D6-D2: 54 m;
D3-D4: 140 m;
D4-D5: 43 m.

\[ 80+51+54+140+43=368. \]

São necessários 368 metros de cabo de fibra ótica.

Item 5.1

Para \(A(t)=2e^{0{,}18t}\), com o número de utilizadores medido em centenas:

\(t\)	\(A(t)\)	Aumento mensal
4	4,11	-
5	4,92	0,81
6	5,89	0,98
7	7,05	1,16
8	8,44	1,39

O maior crescimento ocorre de 1 de julho a 1 de agosto: opção D.

Item 5.2

Determinam-se os instantes em que o modelo atinge 7 e 13,5 centenas de utilizadores:

\[ 2e^{0{,}18t}=7 \Rightarrow t\approx 6{,}96,\qquad 2e^{0{,}18t}=13{,}5 \Rightarrow t\approx 10{,}61. \]

Decorreram \(10{,}61-6{,}96=3{,}65\) meses, isto é:

\[ 3{,}65\times 30\approx 110\text{ dias}. \]

Foram necessários aproximadamente 110 dias.

Item 5.3

Comparando \(A(t)=2e^{0{,}18t}\) com o modelo da BeArtificial, obtém-se:

\(t\)	\(A(t)\)	\(B(t)\)	\(t\)	\(A(t)\)	\(B(t)\)
0	2,00	3,00	10	12,10	9,96
1	2,39	3,38	11	14,49	11,23
2	2,87	3,81	12	17,34	12,66
3	3,43	4,30	13	20,76	14,28
4	4,11	4,85	14	24,86	16,10
5	4,92	5,47	15	29,76	18,15
6	5,89	6,16	16	35,63	20,46
7	7,05	6,95	17	42,66	23,07
8	8,44	7,84	18	51,07	26,01
9	10,11	8,83	19	61,14	29,33

A BeArtificial começa com 3 centenas de utilizadores. Os modelos igualam-se durante junho e, no início de 2024, a diferença é cerca de \(1734-1266=468\) utilizadores.

Correspondências: I-a), II-b), III-b) e IV-c).

Item 6.1

As idades do grupo A são \(15,15,17,17,20,20,23,25,25,29\). A calculadora fornece:

\[ \bar x=20{,}6,\qquad s\approx 4{,}5. \]

Logo, \(]\bar x-s,\bar x+s[\approx ]16{,}1;25{,}1[\). Apenas \(15,15\) e \(29\) ficam fora do intervalo.

Sete participantes pertencem ao intervalo: opção B.

Item 6.2

Juntando as idades dos grupos A e B e ordenando os 22 valores, obtém-se:

\[ \min=15,\quad Q_1=20,\quad \widetilde{x}=24,\quad Q_3=29,\quad \max=34. \]

O diagrama correto tem extremos 15 e 34, caixa de 20 a 29 e mediana 24.

Item 7

Da primeira classe, \(N_1=n_1=3\). Assim:

\[ p=N_1+n_2=3+12=15. \]

A primeira e a terceira classes têm a mesma frequência absoluta, logo:

\[ q=fr_3=fr_1=0{,}02. \]

Como \(3\) corresponde a uma frequência relativa de \(0{,}02\), a dimensão é:

\[ n=\frac{3}{0{,}02}=150. \]

A frequência acumulada \(0{,}94\) corresponde a \(0{,}94(150)=141\). Portanto:

\[ r=150-141-3=6. \]

\(p=15\), \(q=0{,}02\), \(r=6\) e \(n=150\). Correspondências: I-c), II-a), III-b), IV-b).

Item 8.1

Em cada trabalho, \(P(\text{usar IA})=0{,}2\) e \(P(\text{não usar})=0{,}8\). Para usar IA em exatamente três de quatro trabalhos:

\[ \binom{4}{3}(0{,}2)^3(0{,}8)=4(0{,}008)(0{,}8)=0{,}0256. \]

Probabilidade: \(0{,}0256\).

Item 8.2

Seja \(E\) o acontecimento “usar a ElseIntelligence” e \(C\) o acontecimento “obter uma resposta correta”.

ElseIntelligence

\(P(E)=0{,}10\)
\(P(C\mid E)=0{,}90\)

Outra plataforma

\(P(\bar E)=0{,}90\)
\(P(C\mid\bar E)=0{,}95\)

\[ P(E\mid C)= \frac{0{,}10(0{,}90)} {0{,}10(0{,}90)+0{,}90(0{,}95)} =\frac{2}{21}. \]

\(P(E\mid C)=\dfrac{2}{21}\).

Item 9

Para \(n=250\), \(\widehat p=50/250=0{,}2\) e confiança de 99%, usa-se \(z=2{,}576\):

\[ \left]\widehat p-z\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}, \widehat p+z\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}\right[ \]

\[ \left]0{,}2-2{,}576\sqrt{\frac{0{,}2(0{,}8)}{250}}, 0{,}2+2{,}576\sqrt{\frac{0{,}2(0{,}8)}{250}}\right[ \approx ]0{,}13;0{,}27[. \]

A proporção de 30% indicada no artigo fica fora deste intervalo.

A aluna tem razões fundamentadas para duvidar da publicação.